CHƯƠNG II ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN, QUAN HỆ SONG SONG §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ I CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN Tính chất Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt Tính chất Có mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng Tính chât Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng Tính chất Có bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng Tính chât Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác Từ suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung qua điểm chung Tính chất Trên mặt phẳng, kết biết hình học phẳng II CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết: Nó qua ba điểm khơng thẳng hàng; Nó qua điểm chứa đường thẳng khơng qua điểm đó; Nó chứa hai đường thẳng cắt Kí hiệu - (ABC) biểu thị mặt phẳng xác định ba điểm phân biệt không thẳng hàng A, B, C (h.2.1) - (M, d) biểu thị mặt phẳng xác định đường thẳng d điểm M không nằm d (h.2.2) - (d1, d2) biểu thị mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt d1, d2 (h.2.3) Ạ B  C d  M d1 d2  (ABC) (M, d) Hình 2.1 Hình 2.2 (d1,d2) Hình 2.3 III HÌNH CHĨP VÀ HÌNH TỨ DIỆN Hình chóp Trong mặt phẳng () cho đa giác lồi A1A2…An Lấy điểm S nằm () Lần lượt nối S với đỉnh A1, A2, …, An ta n tam giác SA1A2, SA2A3…, SAnA1 Hình gồm đa giác A1A2…An n tam giác SA1A2, SA2A3… SAnA1 gọi hình chóp, kí hiệu S.A1A2… An Hình tứ diện Cho bốn điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC, ABD, ACD BCD gọi hình tứ diện, kí hiệu ABCD C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 2.1 Cho tứ diện ABCD điểm M thuộc miền tam giác ACD Gọi I J tương ứng hai điểm cạnh BC BD cho IJ không song song với CD a) Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IJM) (ACD) b) Lấy N điểm thuộc miền tam giác ABD cho JN cắt đoạn AB L Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MNJ) (ABC) 2.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện khơng song song Lấy điểm M thuộc miền tam giác SCD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng : a) (SBM) (SCD) ; b) (ABM) (SCD); c) (ABM) (SAC) 2.3 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy điểm I lấy điểm J, K điểm thuộc miền tam giác BCD ACD Gọi L giao điểm JK với mặt phẳng (ABC) a) Hãy xác định điểm L b) Tìm giao tuyến mặt phẳng (IJK) với mặt tứ diện ABCD 2.4 Cho tứ diện ABCD có điểm M N trung điểm AC BC Lấy điểm K thuộc đoạn BD (K khơng trung điểm BD) Tìm giao điểm đường thẳng AD mặt phẳng (MNK) 2.5 Cho hình chóp S.ABCD Lấy M, N P điểm đoạn SA, AB BC cho chúng không trùng với trung điểm đoạn thẳng Tìm giao điểm (nếu có) mặt phẳng (MNP) với cạnh hình chóp 2.6 Cho hình chóp S.ABCD M N tương ứng điểm thuộc cạnh SC BC Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) 2.7 Cho tứ diện SABC Trên SA, SB SC lấy điểm D, E F cho DE cắt AB I, EF cắt BC J, FD cắt CA K Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng 2.8 Cho hai mặt phẳng () (β) cắt theo giao tuyến d Trong () lấy hai điểm A B cho AB cắt d I O điểm nằm () (β) cho OA OB cắt (β) A’ B’ a) Chứng minh ba điểm I, A’, B’ thẳng hàng b) Trong () lấy điểm C cho A, B, C không thẳng hàng Giả sử OC cắt (β) C’, BC cắt B’C’ J, CA cắt C’A’ K Chứng minh I, J, K thẳng hàng 2.9 Cho tứ diện SABC có D, E trung điểm AC, BC G trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng () qua AC cắt SE, SB M, N Một mặt phẳng (β) qua BC cắt SD SA P Q a) Gọi I = AM ∩ DN, J = BP ∩ EQ Chứng minh bốn điểm S, I, J, G thẳng hàng b) Giả sử AN ∩ DM = K, BQ ∩ EP = L Chứng minh ba điểm S, K, L thẳng hàng §2 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Cho hai đường thẳng a b khơng gian Có hai trường hợp sau xảy a b: Trường hợp 1: Có mặt phẳng chứa a b Xảy bà khả sau: a b cắt điểm M, ta kí hiệu a ∩ b = M; a b song song với nhau, ta kí hiệu a // b b // a ; a b trùng nhau, ta kí hiệu a ≡ b Trường hợp : Khơng có mặt phẳng chứa a b : ta nói a b chéo II CÁC ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT Trong khơng gian, qua điểm không nằm đường thẳng cho trước, có đường thẳng song song với đường thẳng cho Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với (Định lý giao tuyến ba mặt phẳng) Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 2.10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau : a) (SAC) (SBD) ; b) (SAB) (SCD) ; c) (SAD) (SBC) 2.11 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB AC lấy điểm M N cho AM= AN Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (DBC) (DMN) AB AC 2.12 Cho tứ diện ABCD Cho I J tương ứng trung điểm BC AC, M điểm tùy ý cạnh AD a) Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (MIJ) (ABD) b) Gọi N giao điểm BD với giao tuyến d, K giao điểm IN JM Tìm tập hợp điểm K M di động đoạn AD(M không trung điểm AD) c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (ABK) (MIJ) 2.13 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R S trung điểm AB, CD, BC, AD, AC BD Chứng minh tứ giác MPNQ hình bình hành Từ suy ba đoạn thẳng MN, PQ, RS cắt trung điểm đoạn 2.14 Cho tứ diện ABCD có I J trọng tâm tam giác ABC ABD Chứng minh IJ // CD 2.15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD với đáy AD BC Biết AD = a, BC = b Gọi I J trọng tâm tam giác SAD SBC Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC M, N Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD P, Q a) Chứng minh MN song song với PQ b) Giả sử AM cắt BP E; CQ cắt DN F Chứng minh EF song song với MN PQ Tính EF theo a b §3 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Giữa đường thẳng d mặt phẳng () ta có ba vị trí tương đối sau: d () cắt M, kí hiệu d ∩ () = {M }; d song song với (), kí hiệu d // () hay () // d; d nằm (), kí hiệu d С () II ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT Nếu đường thẳng d không nằm mặt phẳng () d song song với đường thẳng d’ nằm () d song song với () d С () d // d’ d’С () => d // () Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng () Nếu mặt phẳng (β) chứa d cắt () theo giao tuyến d’ d’ song song với d d // () d С (β) => d // d’ (β) ∩() = d’ Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng () // d (β) // d => d //d’ () ∩ (β) = d’ Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 2.16 Cho tứ diện ABCD Gọi G1 G2 trọng tâm tam giác ACD BCD Chứng minh G1G2 song song với mặt phẳng (ABC) (ABD) 2.17 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF nằm hai mặt phẳng phân biệt Gọi O giao điểm AC BD, O’ giao điểm AE BF a) Chứng minh OO’ song song với hai mặt phẳng (ADF) (BCE) b) Gọi M N trọng tâm tam giác ABD ABE Chứng minh MN // (CEF) 2.18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi G trọng tâm tam giác SAB I trung điểm AB Lấy điểm M đoạn AD cho AD = 3AM a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) b) Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI N Chứng minh NG // (SCD) c) Chứng minh MG // (SCD) 2.19 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang ABCD, đáy lớn AD AD =2BC Gọi O giao điểm AC BD G tâm tam giác SCD a) Chứng minh OG // (SBC) b) Cho M trung điểm SD Chứng minh CM // (SAB) c) Giả sử điểm I nằm đoạn SC cho SC = SI Chứng minh SA // (BID) 2.20 Cho tứ diện ABCD Qua điểm M nằm AC ta dựng mặt phẳng () song song với AB CD Mặt phẳng cắt cạnh BC, BD AD N, P Q a) Tứ giác MNPQ hình ? b) Gọi O giao điểm hai đường chéo tứ giác MNPQ Tìm tập hợp điểm O M di động đoạn AC 2.21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD M điểm di động đoạn AB Một mặt phẳng () qua M song song với SA BC ; () cắt SB, SC CD N, P Q a) Tứ giác MNPQ hình ? b) Gọi I giao điểm MN PQ Chứng minh I nằm đường thẳng cố định §4 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ I ĐỊNH NGHĨA Hai mặt phẳng () (β) gọi song song với chúng điểm chung, kí hiệu () // (β) hay (β) // () () // (β) () ∩ (β) = Ø II ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT Nếu mặt phẳng () chứa hai đường thẳng cắt a, b hai đường thẳng song song với mặt phẳng (β) mặt phẳng () song song với mặt phẳng (β) a С (), b С () a cắt b => () // (β) a // (β), b // (β) Qua điểm nằm mặt phẳng cho trước có mặt phẳng song song với mặt phẳng cho Hệ Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng () () có đường thẳng song song với d qua d có mặt phẳng song song với () Hệ Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với Hệ Cho điểm A không nằm mặt phẳng () Mọi đường thẳng di qua A song song với () nằm mặt phẳng qua A song song với () Cho hai mặt phẳng song song với Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với Hệ Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng Định lý Ta-lét (Thales) Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ III HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH CHĨP CỤT • Hình lăng trụ Cho hai mặt phẳng song song () (’) Trên () cho đa giác lồi A1A2… Qua đỉnh A1, A2, … An ta vẽ đường thẳng song song với cắt (’) A’1, A’2,… A’n Hình gồm hai đa giác A1A2… An, A’1A’2…A’n hình bình hành A1A’1A’2A2, A2A’2A’3A3,… AnA’nA’1A1 gọi hình lăng trụ kí hiệu A1A2… An A’1A’2…A’n (h.2.14) A5 A1 A2  A3 A’1 ‘ A’5 A’2 ,  A4 An A’4 A’3 Hình 2.14 Lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp • Hình chóp cụt S Cho hình chóp S.A1A2…An Một mặt phẳng không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy hình chóp cắt cạnh SA1, SA2,… SAn A’1, A’2,… A’n Hình tạo thiết diện A’1A’2… A’n đáy A1A2… An hình chóp với tứ giác A’1A’2 A2 A1 , A’2A’3 A3 … A’nA’1 A1 An gọi hình chóp cụt, kí hiệu A’1A’2… A’n A1A2… An (h.2.15) A’1 A’2 P A’5 A’3 A’4 A5 A1 A2 A3 A4 A2, Hình 2.15 C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 2.22 Cho tứ diện ABCD Gọi G1, G2, G3 trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD Chứng minh (G1G2G3) // (BCD) 2.23 Từ bốn đỉnh hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song chiều Ax,By, Cz Dt cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD) Một mặt phẳng () cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói A’, B’, C’ D’ a) Chứng minh (Ax, By) // (Cz, Dt) (Ax, Dt) // (By, Cz) b) Tứ giác A’B’C’D’ hình gì? c) Chứng minh AA’ +CC’ = BB’ + DD’ 2.24 Cho hai hình vuông ABCD ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M N cắt AD AF M’ N’ Chứng minh: a) (ADF) // (BCE) b) M’N’ // DF c) (DEF) // (MM’N’N) MN // (DEF) 2.25 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA’, BB’, CC’ Gọi I I’ tương ứng trung điểm hai cạnh BC B’C’ a) Chứng minh AI // A’I’ b) Tìm giao điểm IA’ với mặt phẳng (AB’C’) c) Tìm giao tuyến (AB’C’) (A’BC) 2.26 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’ a) Chứng minh CB’ // (AHC’) b) Tìm giao tuyến d (AB’C’) (ABC) 2.27 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Gọi M N hai điểm di động tương ứng AD BE cho AM= BN MD NE Chứng minh đường thẳng MN luôn song song với mặt phẳng cố định Hãy mặt phẳng cố định 2.28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD Gọi I điểm di động đoạn AC với AI = x (0 < x < a) Lấy () mặt phẳng qua I song song với mặt phẳng (SBD) a) Xác định thiết diện mặt phẳng () với hình chóp S.ABCD b) Tìm diện tích S thiết diện câu a) theo a, b, x Tìm x để S lớn 2.29 Cho ba mặt phẳng (), (β), (γ) song song với Hai đường thẳng a a’ cắt ba mặt phẳng theo thứ tự nói A, B, C A’, B’, C’ Cho AB = 5, BC = 4, A’C’ = 18 Tính độ dài A’B’, B’C’ 2.30 Cho tứ diện ABCD Gọi I J hai điểm di động cạnh AD BC IA = JB cho Chứng minh IJ luôn song song với mặt phẳng cố ID JC định 2.31 Cho hai tia Ax, By chéo Lấy M, N điểm di động Ax, By Gọi () mặt phẳng chứa By song song với Ax Đường thẳng qua M song song với AB cắt () M’ a) Tìm tập hợp điểm M’ b) Gọi I trung điểm MN Tìm tập hợp điểm I AM = BN §5 PHÉP CHIẾU SONG SONG HÌNH BIỄU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHƠNG GIAN A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ I PHÉP CHIẾU SONG SONG Cho mặt phẳng () đường thẳng Δ cắt () Với điểm M không gian, đường thẳng qua M song song trùng với Δ cắt () điểm M’ xác định Điểm M’ gọi hình chiếu song song điểm M mặt phẳng () theo phương Δ Mặt phẳng () gọi mặt phẳng chiếu, phương đường thẳng Δ gọi phương chiếu Phép đặt tương ứng điểm M không gian với hình chiếu M’ mặt phẳng () gọi phép chiếu song song lên () theo phương Δ II CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biên tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song trùng Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song nằm đường thẳng III HÌNH BIỄU DIỄN CỦA MỘT SỐ HÌNH KHƠNG GIAN TRÊN MẶT PHẲNG Một tam giác coi hình biểu diễn tam giác tùy ý cho trước (có thể tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông,…) Một hình bình hành coi hình biển diễn hình bình hành tùy ý cho trước (có thể hình bình hành, hình vng, hình chữ nhật, hình thoi, ) Một hình thang coi hình biển diễn hình thang tùy ý cho trước, miễn tỉ số độ dài hai đáy hình biểu diễn phải tỉ số độ dài hai đáy hình cho Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn hình trịn C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 2.32 Hình chiếu song song hai đường thẳng chéo song song với hay khơng ? Hình chiếu song song hai đường thẳng cắt có song song với hay không ? 2.33 Trong mặt phẳng () cho tam giác ABC Chứng minh xem tam giác ABC hình chiếu song song tam giác 2.34 Vẽ hình biểu diễn hình lục giác 2.35 Hãy vẽ hình biểu diễn đường tròn với hai đường kính vng góc đường trịn 2.36 Hãy chọn phép chiếu song song với phương chiếu mặt phẳng chiếu thích hợp để hình chiếu song song tứ diện cho trước hình bình hành CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2.45 Các yếu tố sau xác định mặt phẳng nhất? (A) Ba điểm; (B) Một điểm đường thẳng; (C) Hai đường thẳng cắt nhau; (D) Bốn điểm 2.46 Cho hai đường thẳng a b Điều kiện sau đủ để kết luận a b chéo nhau? (A) a b khơng có điểm chung; (B) a b hai cạnh hình tứ diện; (C) a b nằm hai mặt phẳng phân biệt; (D) a b khơng nằm mặt phẳng 2.47 Cho tam giác ABC, lấy điểm I cạnh AC kéo dài (h.2.19) Các mệnh đề sau mệnh đề sai? (A) A ε (ABC); B C (B) I ε (ABC); (C) (ABC) = (BIC); A Hình 2.19 I (D) BI С (ABC) 2.48 Cho tam giác ABC Có thể xác định mặt phẳng chứa tất đỉnh tam giác ABC? (A) 4; (B) 3; (C) 2; (D) 2.49 Trong khơng gian cho bốn điểm khơng đồng phẳng, xác định nhiều mặt phẳng phân biệt từ điểm đó? (A) 6; (B) 4; (C) 3; (D) 2.50 Cho hình chóp S.ABCD với đáy tứ giác ABCD có cạnh đối khơng song song Giả sử AC ∩ BD = Ø AD ∩ BC = I Giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) là: (A) SC; (B) SB; (C) SO; (D) SI 2.51 Cho hình chóp S.ABCD với đáy tứ giác ABCD Thiết diện mặt phẳng () tùy ý với hình chóp khơng thể là: (A) Lục giác; (B) Ngũ giác; (C) Tứ giác; (D) Tam giác 2.52 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Có cạnh hình lập phương chéo với đường chéo AC’ hình lập phương? (A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 2.53 Cho hai đường thẳng phân biệt a b khơng gian Có vị trí tương đối a b? (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 2.54 Cho hai đường thẳng phân biệt nằm mặt phẳng Có vị trí tương đối hai đường thẳng đó? (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 2.55 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, Q, R, S trung điểm cạnh AC, BD, AB, CD, AD, BC Bốn điểm sau không đồng phẳng? 10 Cho u v hai vectơ không gian Từ điểm A vẽ AB = u, AC = v Khi ta gọi góc BAC (0o ≤ BAC ≤ 180o) góc hai vectơ u v, kí hiệu ( u, v ) Ta có : ( u, v ) = BAC (h.3.15) a Tích vơ hướng Tích vơ hướng hai vectơ u v khác vectơ không gian số kí hiệu u v xác định : u v = u v cos( u, v ) Nếu u = v = ta quy ước u v = A C B Hình 3.15 Tính chất Với ba vectơ a, b, c khơng gian với số k ta có : • a b = b a (tính chất giao hốn) ; • a ( b + c ) = a b + a c (tính chất phân phối phép cộng vectơ) ; • (k a ) b = k( a b ) = a k b ; • a ≥ 0; a = a = Vectơ phương đường thẳng • Vectơ a # gọi vectơ phương đường thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d • Nếu a vectơ phương đường thẳng d vectơ k a với k # vectơ phương d • Một đường thẳng d khơng gian hồn tồn xác định biết điểm A thuộc d vectơ phương a d Một số ứng dụng tích vơ hướng • Tính độ dài đoạn thẳng AB: AB = AB = AB • Xác định góc hai vectơ u v cos( u, v ) theo công thức: u.v cos( u, v ) = u v II GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song với a b III HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC • Hai đường thẳng a b gọi vng góc với góc chúng 90o Ta kí hiệu a ┴ b b ┴ a • Nếu u v vectơ phương hai đường thẳng a b a ┴ b u.v = 16 • Nếu a // b c vng góc với hai đường thẳng c vng góc với đường thẳng lại C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 3.8 Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh GD GA + GD GB + GD GC = 3.9 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn AC, BD, BC, AD có MN = PQ Chứng minh AB ┴ CD 3.10 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC = a Tính góc hai vectơ AB SC 3.11 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC = a Tính góc hai đường thẳng AB SC 3.12 Chứng minh đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng 3.13 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh (hình hộp cịn gọi hình hộp thoi) Chứng minh AC ┴ B’D’ 3.14 Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh a ABC = B’BA = B’BC = 60o Chứng minh tứ giác A’B’CD hình vng 3.15 Cho tứ diện ABCD AB ┴ AC, AB ┴ BD Gọi P Q trung điểm AB CD Chứng minh AB PQ vng góc với §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ I ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng () d vng góc với đường thẳng nằm () Khi ta cịn nói () vng góc với d kí hiệu d ┴ () () ┴ d II ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng () d vng góc với () III TÍNH CHẤT 17 Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước IV SỰ LIÊN QUAN GIỮA QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÀ QUAN HỆ SONG SONG a) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng b) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với a) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng b) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với a) Cho đường thẳng a mặt phẳng () song song với Đường thẳng vuông góc với () vng góc với a b) Nếu đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng khác chúng song song với V PHÉP CHIẾU VNG GĨC VÀ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VNG GĨC Định nghĩa Cho đường thẳng d vng góc với mặt phẳng () Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng () gọi phép chiếu vng góc lên mặt phẳng () Định lí ba đường vng góc Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng () b đường thẳng không thuộc () đồng thời khơng vng góc với () Gọi b’ hình chiếu vng góc b () Khi a vng góc với b a vng góc với b’ Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng () Ta có định nghĩa: • Nếu đường thẳng d vng góc với mặt phẳng () ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng () 90o • Nếu đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng () góc d hình chiếu d’ () gọi góc đường thẳng d mặt phẳng () Lưu ý góc đường thẳng mặt phẳng không vượt 90o C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 3.16 Một đoạn thẳng AB không vng góc với mặt phẳng () cắt mặt phẳng trung điểm O đoạn thẳng Các đường thẳng vng góc với () qua A B cắt mặt phẳng () A’ B’ Chứng minh ba điểm A’, O, B’ thẳng hàng AA’ = BB’ 18 3.17 Cho tam giác ABC Gọi () mặt phẳng vng góc với đường thẳng CA A (β) mặt phẳng vng góc với đường thẳng CB B Chứng minh hai mặt phẳng () (β) cắt giao tuyến d chúng vng góc với mặt phẳng (ABC) 3.18 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi H trực tâm tam giác ABC biết A’H vng góc với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: a) AA’ ┴ BC AA’ ┴ B’C’ b) Gọi MM’ giao tuyến mặt phẳng (AHA’) với mặt bên BCC’B’, M ε BC M’ ε B’C’ Chứng minh tứ giác BCC’B’ hình chữ nhật MM’ đường cao hình chữ nhật 3.19 Hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vng A có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Gọi D điểm đối xứng điểm B qua trung điểm O cạnh AC Chứng minh CD ┴ CA CD ┴ (SCA) 3.20 Hai tam giác cân ABC DBC nằm hai mặt phẳng khác có chung cạnh đáy BC tạo nên tứ diện ABCD Gọi I trung điểm cạnh BC a) Chứng minh BC ┴ AD b) Gọi AH đường ca tam giác ADI Chứng minh AH vng góc với mặt phẳng (BCD) 3.21 Chứng minh tập hợp điểm cách ba đỉnh tam giác ABC đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) tâm O đường trịn (C) ngoại tiếp tam giác ABC §4 HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ I GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng song song trùng ta nói góc hai mặt phẳng 0o • Xác định góc hai mặt phẳng cắt nhau: Cho hai mặt phẳng () (β) cắt theo giao tuyến c Từ điểm I c ta dựng đường thẳng a () vng góc với c dựng đường thẳng b (β) vng góc với c Khi góc () (β) góc hai đường thẳng a b • Diện tích hình chiếu đa giác: S’ = Scosφ (Với S diện tích đa giác nằm (), S’ diện tích hình chiếu vng góc đa giác ) (β), φ góc () (β) 19 II HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Định nghĩa Hai mặt phẳng () (β) gọi vng góc với góc hai mặt phẳng góc vng Khi ta kí hiệu () ┴ (β) (β) ┴ () Tính chất a) Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng b) Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng c) Cho hai mặt thẳng () (β) vuông góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng () ta dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng (β) đường thẳng nằm mặt phẳng () d) Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng III HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật Hình lập phương hình lăng trụ đứng có đáy hình vng mặt bên hình vng IV HÌNH CHĨP ĐỀU VÀ HÌNH CHĨP CỤT ĐỀU Hình chóp hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt tất cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng với C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 3.22 Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh Chứng minh AC ┴ B’D’, AB’ ┴ CD’ AD’ ┴ CB’ Khi mặt phẳng (AA’C’C) vng góc với mặt phẳng (BB’D’D)? 3.23 Cho tứ diện ABCD có ba cặp cạnh đối diện AB = CD, AC = BD AD = BC Gọi M N trung điểm AB CD Chứng minh MN ┴ AB MN ┴ CD Mặt phẳng (CDM) có vng góc với mặt phẳng (ABN) khơng ? Vì sao? 3.24 Chứng minh tứ diện ABCD có AB ┴ CD AC ┴ BD AD ┴ BC 3.25 Cho tam giác ABC vuông B Một đoạn thẳng AD vng góc với mặt phẳng (ABC) Chứng minh mặt phẳng (ABD) vng góc với mặt phẳng (BCD) 20 Từ điểm A mặt phẳng (ABD) ta vẽ AH vuông góc với BD, chứng minh AH vng góc với mặt phẳng (BCD) 3.26 Hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD cạnh a có SA = SB = SC = a Chứng minh: a) Mặt phẳng (ABCD) vng góc với mặt phẳng (SBD); b) Tam giác SBD tam giác vng S 3.27 a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh đường thẳng AC’ vng góc với mặt phẳng (A’BD) mặt phẳng (ACC’A’) vng góc với mặt phẳng (A’BD) b) Tính đường chéo AC’ hình lập phương cho 3.28 Cho hình chóp S.ABC Chứng minh: a) Mỗi cạnh bên hình chóp vng góc với cạnh đối diện; b) Mỗi mặt phẳng chứa cạnh bên đường cao hình chóp vng góc với cạnh đối diện 3.29 Tứ diện SABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh : a) AH, SK BC đồng quy b) SC vng góc với mặt phẳng (BHK) (SAC) ┴ (BHK) c) HK vng góc với mặt phẳng (SBC) (SBC) ┴ (BHK) 3.30 Tứ diện SABC có ba đỉnh A, B, C tạo thành tam giác vuông cân đỉnh B AC = 2a, có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA = a a) Chứng minh mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (SBC) b) Trong mặt phẳng (SAB) vẽ AH vng góc với SB H, chứng minh AH ┴ (SBC) c) Tính độ dài đoạn AH d) Từ trung điểm O đoạn AC vẽ OK vng góc với (SBC) cắt (SBC) K Tính độ dài đoạn OK 3.31 Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Giả sử () mặt phẳng qua A vuông góc với cạnh SC, () cắt SC I a) Xác định giao điểm K SO với mặt phẳng () b) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vng góc với mặt phẳng (SAC) BD // () c) Xác định giao tuyến d mặt phẳng (SBD) mặt phẳng () Tìm thiết diện cắt hình chóp S.ABCD mặt phẳng () 3.32 Hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng ABCD vng A D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a a) Chứng minh mặt phẳng (SAD) vng góc với mặt phẳng (SDC), mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SCB) b) Gọi φ góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD), tính tangφ 21 c) Gọi () mặt phẳng chứa SD vng góc với mặt phẳng (SAC) Hãy xác định () xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với () §5 KHOẢNG CÁCH A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ I ĐỊNH NGHĨA Cho điểm O đường thẳng a Trong mặt phẳng (O, a) gọi H hình chiếu O a Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu d(O, a) Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () khoảng cách hai điểm O H, với H hình chiếu vng góc O lên (), kí hiệu d(O, ()) Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng () song song với a khoảng cách từ điểm thuộc a tới mặt phẳng (), kí hiệu d(a, ()) Khoảng cách hai mặt phẳng song song () (β), kí hiệu d((), (β)), khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d((), (β)) = d(M, (β)) với M ε () d((), (β)) = d(N, ()) với N ε (β) Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng II LƯU Ý Tính khoảng cách áp dụng trực tiếp định nghĩa tính gián tiếp, chẳng hạn tính đường cao tam giác (khoảng cách từ đỉnh tới đáy) biết diện tích số đo độ dài cạnh đáy tam giác Trước tính tốn, cần xác định rõ yếu tố cần tính khoảng cách C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 3.33 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh khoảng cách từ điểm A’, B, D, C, B’, D’ tới đường chéo AC’ Tính khoảng cách 3.34 Hình chóp S.ABC có đáy hình vng ABCD cạnh a Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a Gọi I K trung điểm AD BC a) Chứng minh mặt phẳng (SIK) vuông góc với mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB 22 3.35 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh đường thẳng BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD) b) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung AB’ BC’ 3.36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AD = 2a có cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) với SA = a a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) 3.37 Tính khoảng cách hai cạnh đối tứ diện cạnh a 3.38 Tính khoảng cách hai cạnh AB CD hình tứ diện ABCD biết AC = BC = AD = BD = a AB = p, CD = q 3.39 Hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Gọi G trọng tâm tam giác đáy ABC a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng đáy (ABC) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SG 3.40 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh bên cạnh đáy a Các cạnh bên lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 60o hình chiếu vng góc đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm cạnh B’C’ a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy lăng trụ b) Chứng minh mặt bên BCC’B’ hình vng CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III 3.41 Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? Mệnh đề sai? a) Cho hai đường thẳng a b song song với Nếu có đường thẳng d vng góc với a d vng góc với b b) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng chúng song song với c) Một mặt phẳng () đường thẳng a vng góc với đường thẳng b a // () d) Hai mặt phẳng () (β) phân biệt vng góc với mặt phẳng (γ) () // (β) e) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng chúng song song với f) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng chúng song song với 3.42 Xét mệnh đề sau xem mệnh đề đúng, mệnh đề sai? 23 a) Qua điểm, có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước b) Qua đường thẳng, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng cho trước c) Qua điểm, có mặt phẳng vng góc với đương thẳng cho trước d) Cho hai đường thẳng a b Nếu có mặt phẳng () khơng chứa a b a b chéo 3.43 Trên mặt phẳng () cho hình vng ABCD Các tia Ax, By, Cz, Dt vng góc với mặt phẳng () nằm phía mặt phẳng () Một mặt phẳng (β) cắt Ax, By, Cz, Dt A’, B’, C’, D’ a) Tứ giác A’B’C’D’ hình gì? Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’ b) Chứng minh điều kiện để tứ giác A’B’C’D’ hình thoi có hai đỉnh đối diện cách mặt phẳng () c) Chứng minh điều kiện để tứ giác A’B’C’D’ hình chữ nhật có hai đỉnh kề cách mặt phẳng () 3.44 Hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh 7a, có cạnh SC vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) SC = 7a a) Tính góc SA BC b) Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SA BC 3.45 Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB vng góc với CD AC2 + BD2 = AD2 + BC2 3.46 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hãy tính góc cặp đường thẳng sau : a) AB’ BC’ ; b) AC’ CD’ 3.47 Cho hai tia Ax By vng góc với nhận AB làm đoạn vng góc chung Gọi M N hai điểm di động Ax By cho AM + BN = MN Đặt AB = 2a, gọi O trung điểm AB H hình chiếu vng góc điểm O đường thẳng MN a) Chứng minh OH = a, HM = AM, HN = BN b) Gọi Bx’ tia song song chiều với tia Ax K hình chiếu vng góc H mặt phẳng (Bx’, By) Chứng minh BK phân giác góc x’By c) Chứng minh điểm H nằm đường trịn cố định a 3.48 Hình thoi ABCD tâm O, có cạnh a có OB = Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) O ta lấy điểm S cho SB = a a) Chứng minh tam giác SAC tam giác vng SC vng góc với BD b) Chứng minh (SAD) ┴ (SAB), (SCB) ┴ (SCD) 24 c) Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BD CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 3.49 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với tâm O Hãy đẳng thức sai đẳng thức sau đây: (A) AC’ = AB + AD + AA’; (B) AB + BC’ + CD + D’A = 0; (C) AB + AA’ = AD + DD’; (D) AB + BC + CC’ = AD’ + D’O + OC’ 3.50 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Đặt AA’ = a, AB = b, AC = c, BC = d Trong biểu thức vectơ sau đây, biểu thức đúng? (A) a = b + c; (B) a + b + c + d = 0; (C) b + c – d = 0; (D) a + b + c = d 3.51 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hãy mệnh đề sai mệnh đề sau đây: a (A) AB AC = ; (B) AB ┴ CD hay AB CD =0; (C) AB + CD + BC + DA = 0; (D) AC AD = AC CD 3.52 Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau đây: (A) Cho hình chóp S.ABCD Nếu có SB + SD = SA + SC tứ giác ABCD hình bình hành; (B) Tứ giác ABCD hình bình hành AB = CD; (C) Tứ giác ABCD hình bình hành AB + BC + CD + DA = 0; (D) Tứ giác ABCD hình bình hành AB + AC = AD 3.53 Hãy tìm mệnh đề sai mệnh đề sau đây: (A) Ba vectơ a, b, c đồng phẳng có ba vectơ vectơ 0; (B) Ba vectơ a, b, c đồng phẳng có hai ba vectơ phương; (C) Trong hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ba vectơ AB’, C’A’, DA’ đồng phẳng; (D) Vectơ x = a + b + c luôn đồng phẳng với hai vectơ a b 3.54 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Hãy tìm mệnh đề sai mệnh đề sau đây: (A) AC’ = a 3; (B) AD’ AB’ = a2; (C) AB’ CD’ = 0; (D) AB + B’C’ + CD + D’A’ = 3.55 Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai? (A) Cho hai vectơ không phương a b Khi ba vectơ a, b, c đồng phẳng có cặp số m, n cho c = m a + n b , cặp số m, n (B) Nếu có m a + n b + p c = ba số m, n, p khác ba vectơ a, b, c đồng phẳng 25 (C) Ba vectơ a, b, c đồng phẳng và vectơ có giá thuộc mặt phẳng (D) Ba tia Ox, Oy, Oz vng góc với đơi ba tia khơng đồng phẳng 3.56 Cho hai điểm phân biệt A, B điểm O Hãy xét xem mệnh đề sau đúng? (A) Điểm M thuộc đường thẳng AB OM = OB = k BA (B) Điểm M thuộc đường thẳng AB OM = OB = k( OB – OA ) (C) Điểm M thuộc đường thẳng AB OM = k OA + (1-k) OB (D) Điểm M thuộc đường thẳng AB OM = OA + OB 3.57 Các mệnh đề sau, mệnh đề đúng, mệnh đề sai? (A) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với (B) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song với (C) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba song song với (D) Mặt phẳng () đường thẳng a vng góc với đường thẳng b song song với 3.58 Hãy xét đúng, sai mệnh đề sau (với a, b, c đường thẳng): (A) Nếu a ┴ b b ┴ c a // c; (B) Nếu a // b b ┴ c a ┴ c; (C) Nếu a vng góc với mặt phẳng () b song song với mặt phẳng () a ┴ b; (D) Nếu a ┴ b, c ┴ b a cắt c b vng góc với mặt phẳng (a, c) 3.59 Cho mệnh đề sau với () (β) hai mặt phẳng vng góc với với giao tuyến m = () ∩ (β) a, b, c ,d đường thẳng Hãy xét xem mệnh đề đúng, mệnh đề sai? (A) Nếu a С () a ┴ m a ┴ (β); (B) Nếu b ┴ m b С () b С (β); (C) Nếu c // m c // () c // (β); (D) Nếu d ┴ m d ┴ () 3.60 Cho a, b, c đường thẳng Mệnh đề sau đúng? (A) Nếu a ┴ b mặt phẳng () chứa a; mặt phẳng (β) chứa b () ┴ (β) (B) Cho a ┴ b b nằm mặt phẳng () Mọi mặt phẳng (β) chứa a vng góc với b (β) ┴ () (C) Cho a ┴ b Mọi mặt phẳng chứa b vng góc với a (D) Cho a // b Mọi mặt phẳng () chứa c c ┴ a c ┴ b vng góc với mặt phẳng (a, b) 3.61 Chọn mệnh đề mệnh đề sau đây: 26 (A) Qua đường thẳng, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng khác; (B) Qua điểm có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước; (C) Cho hai đường thẳng a b vng góc với Nếu mặt phẳng () chứa a mặt phẳng (β) chứa b () ┴ (β); (D) Cho hai đường thẳng chéo a b đồng thời a ┴ b Ln có mặt phẳng () chứa a để () ┴ b 3.62 Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? (A) Cho hai đường thẳng a b vng góc với nhau, mặt phẳng () chứa a mặt phẳng (β) chứa b () ┴ (β); (B) Cho đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (), mặt phẳng (β) chứa a (β) ┴ () (C) Cho hai đường thẳng a b vng góc với nhau, mặt phẳng vng góc với đường song song với đường (D) Cho hai đường thẳng chéo a b, ln ln có mặt phẳng chứa đường vng góc với đường thẳng 3.63 Cho tứ diện ABCD Khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (ABC) là: (A) Độ dài đoạn DG G trọng tâm tam giác ABC; (B) Độ dài đoạn DH H hình chiếu vng góc điểm D mặt phẳng (ABC) (C) Độ dài đoạn DK K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; (D) Độ dài đoạn DI I trung điểm đoạn AM với M trung điểm đoạn BC Trong mệnh đề nêu mệnh đề sai? 3.64 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? a (A) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BD) (B) Độ dài đoạn AC’ a (C) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (CDD’C’) a (D) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC’B’) a 3.65 Khoảng cách hai cạnh đối tứ diện cạnh a bằng: (A) a 2 a (B) 2a (C) (D) 2a Hãy chọn kết 3.66 Hãy chọn kết toán sau đây: 27 Hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Khoảng cách từ đỉnh S tới mặt phẳng đáy là: (A) 1,5a ; (B) a ; (C) a ; (D) a 3.67 Các mệnh đề sau mệnh đề đúng? (A) Đường vng góc chung hai đường thẳng a b chéo đường thẳng d vừa vuông góc với a vừa vng góc với b (B) Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo đoạn ngắn đoạn nối hai điểm nằm hai đường thẳng ngược lại (C) Cho hai đường thẳng chéo a b Đường vng góc chung ln ln nằm mặt phẳng vng góc với a chứa đường thẳng b (D) Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng khơng song song với 3.68 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước AB = a, AD = b, AA’ = c Trong kết sau kết sai? (A) Độ dài đường chéo BD’ a2 + b2 + c2 (B) Khoảng cách hai đường thẳng AB CC’ b (C) Khoảng cách hai đường thẳng BB’ DD’ a2 + b2 (D) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BD) a2 + b2 + c2 3.69 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau đây: (A) Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng () song song với a khoảng cách từ điểm A thuộc a tới mặt phẳng () (B) Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b khoảng cách từ điểm M thuộc mặt phẳng () chứa a song song với b đến điểm N b (C) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm M mặt phẳng đến mặt phẳng (D) Nếu hai đường thẳng a b chéo vng góc với đường vng góc chung chúng nằm mặt phẳng () chứa đường () vng góc với đường 28 29 30 ... phẳng song song với mặt phẳng cho Hệ Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng () () có đường thẳng song song với d qua d có mặt phẳng song song với () Hệ Hai mặt phẳng phân biệt song song... mặt phẳng thứ ba song song với Hệ Cho điểm A không nằm mặt phẳng () Mọi đường thẳng di qua A song song với () nằm mặt phẳng qua A song song với () Cho hai mặt phẳng song song với Nếu mặt phẳng. .. Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước IV SỰ LIÊN QUAN GIỮA QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÀ QUAN HỆ SONG SONG a) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng vng góc với đường thẳng