CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Chuyên đề phương trình vi phân cấ p 2 Biên so ạ n th ầy Lê Dũng Trí FB Tri Tri Le Xét phương trình Phương trình tuyế n tính c ấ p 2 h ệ s ố h ằ ng Phương trình tuyế n tính c ấ p 2 h ệ s ố h ằ ng có d ạ ng t ổ ng quát là: 1 2 " '''' ( ) x y a y a y e f x     (1) Cách gi ải xét phương trình đặc trưng 0 2 1 2    a k a k  N ế u phương trình đ ặ c trưng có 2 nghi ệ m th ự c phân bi ệ t k1,k2 x k x k e c e c y 2 1 2 1   N ếu phương trình đặc trưng có nghiệ m kép k1=k2=k kx e x c c y ) ( 2 1    N ế u phương trình đ ặ c trưng có nghi ệ m ph ứ c            i k i k 2 1 ) sin cos ( 2 1 x c x c e y x      Các e chú í y là nghi ệ m c ủ a pt tuy ế n tính c ấ p 2 thu ầ n nh ấ t h ệ s ố h ằ ng t ứ c là nghi ệ m c ủ a pt 0 '''' " 2 1    y a y a y r y r y Chúng ta dùng phương pháp hệ s ố b ất định để GPT (1) G ọ i nghi ệ m riêng c ủ a pt 1 là , để tìm đượ c các e c ầ n chú í -N ế u  1, 2 k k  thì r y = x e  g(x) N ế u  trùng v ớ i 1 trong 2 giá tr ị k1, ho ặ c k2 thì r y = x e  g(x) x N ế u  trùng v ớ i c ả k1 và k2 thì r y = x e  g(x) 2 x Chú í g(x) là 1 đa thứ c cùng b ậ c v ớ i f(x) Sau đó tính '''' r y và '''''''' r y xem r y là y , '''' r y là y’ và '''''''' r y là y’’ thay vào pt 1 ban đầ u tìm c ụ th ể r y =?  (quá trình tìm r y s ử d ụng đồ ng nh ấ t h ệ s ố ) K ế t lu ậ n v ậ y nghi ệ m c ủ a pt là y= y + r y Ví d ụ 1 Gi ải phương trình sau 3 2 " 3 '''' 2 ( ) x y y y e x x     (2) GI Ả I Xét phương trình đặc trưng 2 3 2 0 k k    có 2 1 2 1 2 1, 2 x x k k y c e c e      α = 3 1, 2 k k  , trườ ng h ợ p 1 r y = 3 2 ( ) x e Ax Bx C   vì f(x) = 2 x x  là đa thứ c b ậc 2 nên g(x) cũng là đa thứ c b ậc 2, 1 đa thứ c b ậ c 2 có d ạ ng 2 Ax Bx C   ta d ễ dàng tính đượ c '''' r y và '''''''' r y thay vào pt 2 thu đượ c A = ½ , B =-1, C =1 v ậ y r y = 3 2 1 ( 1) 2 x e x x   kl v ậ y nghi ệ m pt là y= 2 3 2 1 2 1 ( ) ( 1) 2 x x x c e c e e x x     Ví d ụ 2 Gi ải phương trình sau 2 " 4 '''' 4 x y y y xe    (3) Xét phương trình đặc trưng 2 4 4 0 k k    nghi ệ m kép 2 1 2 1 2 2 ( ) x k k y c c x e      ta có α = 2 t rùng v ớ i c ả k1, k2 và f(x)=x là 1 đa th ứ c b ậ c nh ấ t nên g(x) cũng s ẽ là đa th ứ c b ậ c nh ấ t v ậ y g(x)=Ax+B Theo lí thuy ết trên rơi vào trườ ng h ợ p 3 v ậ y r y = x 2 e 2x (Ax + B), tính '''' r y và '''''''' r y * th ế vào phương trình ( 3 ) ta tính đượ c 1 , 0 6 A B   v ậ y r y = 2 2 1 ( ) 6 x x x e KL v ậ y nghi ệ m pt là y= 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) 6 x x c c x e x x e   Ví d ụ 3 Gi ải phương trình sau " 3 '''' 2 y y y   = 3 x e (4) Xét phương trình đặc trưng 2 3 2 0 k k    có 2 1 2 1 2 1, 2 x x k k y c e c e      α = 3 1, 2 k k  , trườ ng h ợ p 1 r y = 3 x e A (Vì hàm f(x)=1 là đa thứ c b ậ c O Nên g(x) s ẽ là đa thứ c b ậ c O v ậ y g(x) có d ạ ng g(x)=A TA CÓ '''' r y = 3 x e 3A và '''''''' r y = 3 x e 9A Thay vào pt (4) ta có 3 x e 9A- 3 x e 9A+2 3 x e A = 3 x e A=1/2 V Ậ Y r y = 3 x e 1/2 Kl v ậ y nghi ệ m pt là y= 2 1 2 x x c e c e  + 3 x e 1/2 Chú í phươn g trình tuy ế n tính c ấ p 2 h ệ s ố h ằ ng d ạ ng 1 2 " '''' y a y a y   ( ) [ ( )(cos ( ) sin ] x x e f x e P x x Q x x        Cách gi ải ta cũng xét phương trình đặc trưng 0 2 1 2    a k a k nhu tren y  Cái khác so v ớ i d ạ ng toán trên n ằ m ở ch ỗ r y  N ế u α ± iβ không ph ả i là nghi ệ m c ủa phương trình đặc trưng thì [ ( )cos ( )sin ] x r y e H x x K x x       N ế u α ± iβ là nghi ệ m c ủ a c ủa phương trình đặc trưng thì  [ ( )cos ( )sin ] x r y x e H x x K x x      Tính '''' r y và '''''''' r y xem r y là y , '''' r y là y’ và '''''''' r y là y’’ thay vào pt 1 ban đầ u tìm c ụ th ể r y =?  (quá trình tìm r y s ử d ụng đồ ng nh ấ t h ệ s ố ) trong đó H(x) và K(x) là 2 đa thức có bậc =max bậc của 2 đa thức P(x) và Q(x)  Ví d ụ 1 gi ải phương trình sau " 9 18cos3 30sin 3 y y x x    (6) Phương trình đặc trưng 2 9 0 k   có nghi ệ m 1 2 3 , 3 k i k i    nên 1 2 ( cos3 sin 3 ) ox y e c x c x    0, 3     Ta có 3 i i      là nghi ệ m c ủa pt đặc trưng và p(x)=18 và Q(x)= - 30 đây là 2 đa thứ c b ậ c O NÊN H(x) và K(x) LÀ 2 ĐA THỨ C B Ậ C O H(x)=A K(x)=B ( cos3 sin 3 ) ox r y xe A x B x   ta tính '''' r y và '''''''' r y , thay vào pt (6) Tìm c ụ th ể đượ c 5, 3 A B   V ậ y nghi ệ m t ổ ng quát c ủa phương trình đầ u là Ví d ụ 2 gi ải phương trình sau " '''' sin 2 y y x    (8) Ta có 2 i i      không ph ả i là nghi ệ m c ủa pt đặc trưng vì phương trifnhd dặc trưng là 2 1 0 k   cho nghi ệ m 1 và -1 r y y y   ) 3 sin 3 3 cos 5 ( ) 3 sin 3 cos ( 2 1 x x x x c x c     ( 0, 2, ( ) 0, ( ) 1) P x Q x       P(x) và Q(x) đây là 2 đa thứ c b ậ c O nên H(x)=A và K(x)=B nên Tính '''' r y và '''''''' r y , thay vào pt (8) T hu đượ c 1 1 , 10 5 A B    v ậ y r y = 1 1 ( cos2 sin2 ) 5 10 x x   K ế t lu ậ n 1 1 ( ) 5 ( cos2 sin2 ) 1 2 5 10 ox x x y c e c e xe x x       cos 2 sin 2 r y A x B x  