Đang tải... (xem toàn văn)
Như vậy hệ thống khi sử dụng phản hồi trạng thái thì độ dự trữ ổn định tăng lên, thời gian quá độ giảm xuống nhưng sai số ở trạng thái xác lập lớn. Để khắc phục hiện tượng này ta mắc nối tiếp thêm khâu PID để làm giảm sai số của hệ thống ở trạng thái xác lập.
Bài tập phân tích và tổng hợp hệ điều khiển trên máy tính I. Lý thuyết: Câu 1: Cho hệ thống có hàm truyền nh sau: )( )( )(Ư 1 0 sU sY sW n k kn k n m j jm j sas sc = + = = = Hãy biến đổi thành dạng Jordan với n=3, r=0. Bài làm Khi n=3 thì hàm truyền có dạng nh sau: )( )( )(Ư 3 1 33 0 sU sY sW k k k m j jm j sas sc = + = = = (1) nh vậy ta phải đa từ dạng hàm truyền (1) về dạng trạng thái nh sau: x = Ax+Bu y= Cx + Du Trong đó: A,B,C,D là các ma trận hệ số mà chúng ta phải xác định từ hàm truyền (1) U: tín hiệu điều khiển X: biến trạng thái Y: tín hiệu ra Theo yêu cầu của đầu bài thì r = 0, điều đó có nghĩa lã đa thức đặc trng ở mẫu số của hàm truyền (1) có 3 nghiệm phân biệt. Nh vậy ta có thể viết hàm tryuền (1) nh sau: = = + = = = = = 3 1 3 1 0 3 1 33 0 )( )(Ư s K s sc sas sc j j k j m j jm j k k k m j jm j s s sW Do đó: )()(Ư 3 1 0 sU s sY s K i m j j = = Trong đó: s j là các nghiệm của đa thức đặc trng trogn hàm truyền (1) K j đợc xác định theo c j và s j đã biết( với j = 1, 2 ,3; k = 0, 1,2 . ) từ phơng trình: = = = = 3 1 0 1 3 )( m k km kj j scs K s Do đó )()()()( 3 3 2 2 1 1 sU s sU s sU s K sY s K s K s + + = Đặt biến trạng thái: X 1 (s) = )( 1 1 sU s s ; X 2 (s) = )( 2 1 sU s s ; X 3 (s) = )( 3 1 sU s s Khi đó Y(s)= K 1 X 1 (s)+ K 2 X 2 (s)+ K 3 X 3 (s) sX 1 (s) = s 1 X 1 (s) + U(s) sX 2 (s) = s 2 X 2 (s) + U(s) sX 3 (s) = s 3 X 3 (s) + U(s) Biến đổi ngợc Laplace ta có y= K 1 x 1 (t)+ K 2 x 2 (t)+ K 3 x 3 (t) . x 1 = s 1 x 1 (t) + 0 x 2 (t) + 0 x 3 (t) + u(t) . x 2 = 0 x 1 (t) + s 2 x 2 (t) + 0 x 3 (t) + u(t) (2) . x 3 = 0 x 1 (t) + 0 x 2 (t) + s 3 x 3 (t) + u(t) từ hệ phơng trình (2) với các biến trạng thái x 1 ,x 2 ,x 3 ta xác định đợc các na trận của hệ thống khi chuyển từ hàm truyền sang dạng không gian trạng thái nh sau: s 1 0 0 1 C= [K 1 K 2 K 3 ] D= [0] A = 0 s 2 0 B= 1 0 0 s 3 1 với các ma trận A,B,C,D nh trên chính là dạng Jordan của hàm tryuyền đạt ban đầu với r =0 Câu 2: Chứng minh định lý Chur Cohn cho hệ thống với bậc n= 5 Câu 3: Động học rời rạc: Định lý tính quan sát đợc: Phát biểu định lý: Diều kiện cần và đủ để hệ thống rời rạc bậc n X(k+1) = Ax(k) + Bu(k) (1) Y(k) = Cx(k) + Du(k) Quan sát đợc là: rank[C CA CA 2 . CA n-1 ] T = n Chứng minh: Thật vậy hệ thống rời rạc đợc coi là quan sát đợc nếu trạng thái hệ thống tại thời điểm bất kỳ t=kT nào đó có thể xác định đợc thông qua hữu hạn các giá trị của tác động cho trớc và đáp ứng. Trên cơ sở hệ thống dã cho, theo phơng pháp truy hồi ta có thể nhận đợc trạng thái của hệ thống tại các thời điểm kT nh sau: X(k) = A k x(0) + = 1 0 1 )( k j jk jBu A (2) đặt t=(k+r)T tơng tự nh (1) ta có: X(k+r) = A r x(k) + + = + 1 1 )( rk kj jrk jBu A (3) Thay (3) vào (1) ta có: y(k+r) = CA r x(k) + C + = + 1 1 )( rk kj jrk jBu A + Du(k+r) (4) Từ (4) suy ra: CA r x(k) = y(k+r) - C + = + 1 1 )( rk kj jrk jBu A - Du(k+r) (5) Với r = 0,1,2n-1 ta có [C CA CA 2 .CA n-1 ] T x(k)= (6) từ (5) suy ra: y(k+r) - CA r x(k) - Du(k+r) = (7) Căn cứ vào (6) ta có nhận xét rằng: Trạng thái x(k) của hệ thống tại t=kT tùy ý cho tr ớc sẽ xác định hữu hạn duy nhất qua hữu hạn n trị số cho trớc của tác động u(j) và n giá trị tơng ứng của dáp ứng y(j), tức là n trị số thành phần của véc tơ , điều này xảy ra khi và chỉ khi: rank (C CA CA 2 CA n-1 ) = n (đpcm) II. Thực hành: Câu 1: Cho hệ thống có hàm truyền nh sau: 200 ( ) (1 0,5 ) s s s W = + Thiết kế bộ điều khiển Lead sao cho t s <0.5s; V< 500m/s; <30%; <15m Bài làm: Với hệ thống ban đầu đã cho, trớc hết ta xét tính ổn định của nó theo các bớc nh sau: >> Ac=[0 1;0 -2]; >> Bc=[0 1]'; >> Cc=[400 0]; >> Dc= [0]; >> ac=ss(Ac,Bc,Cc,Dc); >> hc=tf(ac) Transfer function: 400 s^2 + 2 s >> wk=feedback(hc,1); >> step(wk) >> nyqust(hc) +Độ dự trữ ổn định: 85,3%, +Thời gian quá đô; 3,8s, + Sai số ở chế độ xác lập: 0% + Độ dự trữ pha: 5,77 0 . * Nh vậy hệ thống ban đầu đã cho là không ổn định, do đó ta sử dụng thêm phản hồi trạng thái để làm tăng tính ổn định cũng nh chất lợng của hệ thống. Từ điều kiện ban đầu của bài toán là: t s <0.5s; <30%. Ta áp dụng bất đẳng thức Evan để tìm các trị riêng mong muốn nh sau: t smac d 4 ; ln5,0 4 mac d (1) Các trị riêng mong muốn có dạng nh sau: r = d d i Thay các giá trị t s <0.5s; <30% vào (1) ta đợc d -8và d 20,87.Vì vậy ta chọn d = - 12 ; d = 21 Để tăng tính ổn định của hệ thống sử dụng phản hồi trạng thái với trị riêng mong muốn r 1 = - 12 + 21*i và r 2 = - 12 - 21*i. Từ đó xác định véc tơ phản hồi K nh sau: >> r=[-12+21*i; -12-21*i]; >> K=acker(Ac,Bc,r) K = 585 22 >> A=Ac-Bc*K; >> aps=ss(A,Bc,Cc,Dc); (Hệ thống có phản hồi trạng thái) >> step(aps) +Độ dự trữ ổn định: 16,6%, +Sai số ở chế độ xác lập:35,5%. + Thời gian quá độ: Nh vậy hệ thống khi sử dụng phản hồi trạng thái thì độ dự trữ ổn định tăng lên, thời gian quá độ giảm xuống nhng sai số ở trạng thái xác lập lớn. Để khắc phục hiện tợng này ta mắc nối tiếp thêm khâu PID để làm giảm sai số của hệ thống ở trạng thái xác lập. Khâu PID có hàm truyền nh sau: W PID =K p + s K i ; (Trong đó chọn K p =1) Lúc đó phơng trình trạng thái của hệ thống khi mắc thêm khâu PID nh sau: A1= [A c -B c *C c 0; -C c 0]; B1=[B c 0]; B f =[B c 1];D1=[0] Các bớc tiến hành xác định ma trận và Km sau khi mắc thêm khâu PID nh sau: >> A1=[0 1 0; -400 -2 0]; >> A1=[0 1 0; -400 -2 0;-400 0 0]; >> B1=[0 1 0]'; >> C1=[400 0 0]; >> D1=[0]; >> Bf=[0 1 1]; >> rm=[r;-15];( chọn trị riêng thứ ba mong muốn sau khi mắc thêm khâu PID là bằng -15) >> Km=acker(A1,B1,rm) Km = 545.0000 37.0000 -21.9375; (Trong đó hệ số K i của khâu PID là -21,9375 ). >> ams=ss(A1-B1*Km,Bf',C1,D1); >> step(ams) >>nyquist(ams) +Độ dự trữ ổn định: 7,16%, +Thời gian quá đô; 0,324s, +Sai số ở chế độ xác lập:0%. * Nh vậy hệ thống khi sử dụng phản hồi trạng thái và mắc nối tiếp thêm khâu PID đã làm cho các chỉ tiêu chất lợng của hệ thống đảm bảo theo yêu cầu. Câu 2: Thiết kế hệ thống với đối tợng điều khiển có hàm truyền cho nh sau bằng phơng pha quĩ đạo nghiệm. )04,01)(5,01( 200 )(Ư Ư 0 ss s W ++ = Với điều kiện t s <0.5s; V< 500m/s; <30%; <15m Bài làm: Với điều kiện t s <0.5s; <30% sử dụng bất đẳng thức Evan: t smac d 4 ; ln5,0 4 mac d Các trị riêng mong muốn có dạng nh sau: r = d d i Thay các giá trị t s <0.5s; <30% vào (1) ta xác định đợc d = - 8; d = 21 Xét hàm truyền của hệ thống ban đầu để xác định các chỉ tiêu chất lợng của hệ thống: >> n=[200]; >> d=[0.02 0.54 1]; >> Wo = tf(n,d); >> Wk =feedback(Wo,1); >> step(Wk) >> nyquist(Wo) + Độ quá chỉnh: =65,2% + Thời gian quá độ của hệ thống: ts=0,288s + Độ dự trữ pha:15,4 Từ các chỉ tiêu chất lợng hệ thống xác định của hệ thống ban đầu ở trên ta tháy rằng hệ thống ban đầu là không ổn định. Nhiệm vụ của bài toán là phải thiét kế hệ thống với đối tợng điều khiển ban đầu đã cho ở trên đảm bảo các chỉ tiêu chất lợng theo yêu cầu. Để đạt đợc điều đó ta sử dụng phơng pháp quĩ đạo nghiệm để thiế kế hệ thống. Các bớc tiến hành nh sau: - Với đối tợng điều khiển đã cho để tăng tính ổn định của hệ thống ta mắc nối tiếp với hệ thống một khâu PI (tăng bậc phiếm tĩnh của hệ thống tức là làm tăng chất lợng của hệ thống). Hàm truyền của khâu PI có dạng nh sau: W PI = K P + s K i (1) Trong đó: K P và K i là các hệ số Ta có thể viết (1) dới dạng nh sau: W PI = s s K i )1( + Trong đó: K K i p = Hàm truyền của hệ hở là: W c = )04,01)(5,01( )1( 0 sss s K K i ++ + = )04,01)(5,01( )1( sss s K ++ + Trong đó : K thỏa mãn điều kiện: K V =33,3. Ta chọn K = 36 Sử dụng nguyên lý Evan ta xác định hàm Evan từ biểu thức: 1+ W c = 0 (2) Thay K = 36 vào W c và W c vào (2) ta đợc: 1 + 3654,002,0 36 23 +++ s s ss = 0 Vậy hàm Evan là: W (s) = 3654,002,0 36 23 +++ s s ss >> ne=[36 0]; >> de=[0.02 0.54 1 36]; >> We = tf(ne,de) Transfer function: 36 s 0.02 s^3 + 0.54 s^2 + s + 36 >> rlocus(ne,de);[t,p]=rlocfind(ne,de) Select a point in the graphics window selected_point = -10.6339 -15.1553i t = 0.2276 p = -10.9011 +15.0821i -10.9011 -15.0821i -5.1978 X¸c ®Þnh ®îc: τ = 0,2276 Thay τ = 0,2276 >> n1=36*[0.228 1]; >> d1=[0.02 0.54 1 0]; >> Wc = tf(n1,d1); >> Wk=feedback(Wc,1); >> Wk=feedback(Wc,1); >> step(Wk) >> nyquist(Wc) + §é qu¸ chØnh:25,9% + Thêi gian qu¸ ®é cña hÖ thèng: ts=0,46 + §é dù tr÷ pha:50,7 0 C©u 3 ThiÕt kÕ bé ®iÒu khiÓn sè Ricati >> Ac=[-0.313 56.7 0;-0.0139 -0.426 0; 0 56.7 0]; >> Bc=[0.232 0.0203 0]'; >> Cc=[0 0 1]; >> Dc=[0]; >> Fc=ss(Ac,Bc,Cc,Dc); >> step(feedback,1) >> step(feedback(Fc,1)) >> T=0.01; >> [A,B,C,D]=c2dm(Ac,Bc,Cc,Dc,T) A = 0.9968 0.5649 0 -0.0001 0.9957 0 -0.0000 0.5658 1.0000 B = 0.0024 0.0002 0.0001 C = 0 0 1 D = 0 >> Fd=ss(A,B,C,D,T); >> Fz=feedback(Fd,1); >> step(Fz) >> R=[1];V=[50];Q=C'*V*C; >> K=dlqr(A,B,Q,R) K = -0.6436 168.3611 6.9555 >> Fpz=ss(A-B*K,B,C-D*K,D,T); >> step(Fpz) >> nyquist(Fd) . Bài tập phân tích và tổng hợp hệ điều khiển trên máy tính I. Lý thuyết: Câu 1: Cho hệ thống có hàm truyền nh sau: )( )( )(Ư 1 0 sU sY sW n k kn k n m j jm j sas sc = + = = = Hãy. sau: - Với đối tợng điều khiển đã cho để tăng tính ổn định của hệ thống ta mắc nối tiếp với hệ thống một khâu PI (tăng bậc phiếm tĩnh của hệ thống tức là làm tăng chất lợng của hệ thống). Hàm truyền của. phải thiét kế hệ thống với đối tợng điều khiển ban đầu đã cho ở trên đảm bảo các chỉ tiêu chất lợng theo yêu cầu. Để đạt đợc điều đó ta sử dụng phơng pháp quĩ đạo nghiệm để thiế kế hệ thống. Các