PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz trong không gian z r k r i O r j y x • O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ . • Các trục tọa độ: • Ox : trục hoành. • Oy : trục tung. • Oz : trục cao. • Các mặt phẳng toạ độ: • (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc với nhau. • , , r r r i j k là các véctơ đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz. • i r = (1;0;0), j r = (0;1;0), k r = (0;0;1). • 1i j k= = = r r r và 2 2 2 1i j k= = = r r r . • i j⊥ r r , j k⊥ r r , k i⊥ r r . • . 0i j = rr , . 0j k = r r , . 0k i = rr . • ,i j k   =   r r r , ,j k i   =   r r r , ,k i j   =   r r r CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ • M ∈ Ox ⇔ M(x;0;0) • M ∈ Oy ⇔ M(0;y;0) • M ∈ Oz ⇔ M(0;0;z) • M ∈ (Oxy) ⇔ M(x;y;0) • M ∈ (Oyz) ⇔ M(0;y;z) • M ∈ (Oxz) ⇔ M(x;0;z) • Tọa độ của điểm: . . . ( ; ; ) = + + ⇔ uuuuur r r r O M x i y j z k M x y z • Tọa độ của vectở: 1 2 3 1 2 3 . . . ( ; ; ) = + + ⇔ = r r r r r a a i a j a k a a a a II. CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ. Cho ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; ; , ; ;= = r r a x y z b x y z và số k tuỳ ý, ta có: 1. Tổng hai vectơ là một vectơ. • ( ) 1 2 1 2 1 2 ; ; + = + + + r r a b x x y y z z 2. Hiệu hai vectơ là một vectơ. • ( ) 1 2 1 2 1 2 ; ; − = − − − r r a b x x y y z z 3. Tích của vectơ với một số thực là một vectơ. • ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 . . ; ; ; ;= = r k a k x y z kx ky kz 4. Độ dài vectơ. Bằng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 hoaønh tung cao+ + • 2 2 2 1 1 1 = + + r a x y z . 5. Vectơ không có tọa độ là: • ( ) 0 0;0;0 = r . 1 6. Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau. • 1 2 1 2 1 2 =   = ⇔ =   =  r r x x a b y y z z 7. Tích vô hướng của hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao. • 1 2 1 2 1 2 . . . . = + + r r a b x x y y z z . 0⊥ ⇔ = r r r r a b a b 8. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài. • ( ) . os a, . = r r r r r r a b c b a b 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . . . . x x y y z z x y z x y z + + = + + + + III. CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ Trong hệ trục toạ độ Oxyz: Cho A( x A ; y A ; z A ) , B( x B , y B , z B ). Khi đó: 1) Tọa độ vectơ uuur AB là: ( ) ; ; B A B A B A AB x x y y z z = − − − uuur . 2) Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài uuur AB : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = = − + − + − uuur B A B A B A AB AB x x y y z z . Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B. 3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: A B I A B I A B I x x x 2 y y y 2 z z z 2 +  =   +  =   +  =   ( ) ; ; ⇒ I I I I x y z 4) Tọa độ trọng tâm của tam giác: Cho ∆ ABC với A(x A ; y A ; z A ),B( x B , y B , z B ), C( x C , y C , z C ). Khi đó toạ độ trọng tâm G của ∆ ABC là: ( ) 3 ; ; 3 3 + +  =   + +  = ⇒   + +  =   A B C G A B C G G G G A B C G x x x x y y y y G x y z z z z z 5) Tích có hướng và tính chất của tích có hướng: Cho ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; ; , ; ;= = r r a x y z b x y z . Khi đó: • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , ; ;     =  ÷     r r y z z x x y a b y z z x x y • Hai vectơ r a , r b cùng phương , 0   ⇔ =   r r r a b . 2 • Hai vectơ r a , r b không cùng phương , 0   ⇔ ≠   r r r a b • Ba vectơ , ,c r r r a b đồng phẳng , .c 0   ⇔ =   r r r a b . • Ba vectơ , ,c r r r a b không đồng phẳng , .c 0   ⇔ ≠   r r r a b IV. MẶT CẦU Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu. Dạng 1 Dạng 2 Mặt cầu (S): ( ) ( ) ( ) − + − + − = 2 2 2 2 x a y b z c R Có tâm I(a;b;c) và bán kính R Mặt cầu (S): 2 2 2 x y z 2ax-2by-2cz+d=0+ + − Có tâm I(a;b;c) với he ä soá x a -2 he ä soá y b -2 he ä soá z c -2  =    =    =   Bán kính: = + + − 2 2 2 R a b c d LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU – MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG Vấn đề 2: Lập phương trình mặt cầu. Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng ( ) ( ) ( ) − + − + − = 2 2 2 2 x a y b z c R Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R=m (với m là số thực). Phương pháp: • Pt mặt cầu (S): ( ) ( ) ( ) − + − + − = 2 2 2 2 x a y b z c R (*). • Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=m. • Thế tâm I và bán kính R vào pt (*). Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính bằng n (với n là số thực). Phương pháp: • Pt mặt cầu (S): ( ) ( ) ( ) − + − + − = 2 2 2 2 x a y b z c R (*). • Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R= n 2 . • Thế tâm I và bán kính R vào pt (*). Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A. Phương pháp: • Pt mặt cầu (S): ( ) ( ) ( ) − + − + − = 2 2 2 2 x a y b z c R (*). • Mặt cầu có tâm I(a;b;c) • Bán kính R= IA IA= uur . • Thế tâm I và bán kính R vào pt (*). Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm bằng với bán kính R hay độ dài đoạn thẳng IA bằng với bán kính R. Loại 4: Mặt cầu có đường kính AB. Phương pháp: 3 Pt mt cu (S): ( ) ( ) ( ) + + = 2 2 2 2 x a y b z c R (*). Gi I trung im AB ( ) I ; ; Mt cu cú tõm I(a;b;c) Bỏn kớnh R= IA IA= uur hoc 2 AB R = . Th tõm I v bỏn kớnh R vo pt (*). Loi 5: Mt cu cú tõm I(a;b;c) v tip xỳc mp (P): Ax+By+Cz+D=0. Phng phỏp: Pt mt cu (S): ( ) ( ) ( ) + + = 2 2 2 2 x a y b z c R (*). Mt cu cú tõm I(a;b;c). Do mt cu tip xỳc mp(P) nờn: ( ) + + + = = + + 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D R d I,(P) A B C Th tõm I v bỏn kớnh R vo pt (*). Dng 2: Lp phng trỡnh mt cu dng: 2 2 2 x y z 2ax-2by-2cz+d=0+ + . Loi 1: Lp phng trỡnh mt cu qua bn im A, B, C, D. Phng phỏp. Pt mt cu (S) cú dng: 2 2 2 x y z 2ax-2by-2cz+d=0+ + (*) Vỡ A, B, C, D thuc (S): theỏ toùa ủoọ ủieồm A vaứo pt (*). theỏ toùa ủoọ ủieồm B vaứo pt (*). theỏ toùa ủoọ ủieồm C vaứo pt (*) theỏ toùa ủoọ ủieồm D vaứo pt (*) Gii h phng trỡnh bng phng phỏp th, ta tỡm c a, b, c, d. Sau ú th a, ,b , c, d vo pt (*). Chỳ ý: bi cú th hi thờm xỏc nh tõm, tớnh bỏn kớnh, tớnh din tớch xung quanh v th tớch khi cu ngoi tip hỡnh chúp. Loi 2: Lp Pt mt cu qua ba im A, B, C v cú tõm thuc mp (P): Ax+By+Cz+D=0. Phng phỏp. Pt mt cu (S) cú dng: 2 2 2 x y z 2ax-2by-2cz+d=0+ + (*) Vỡ A, B, C thuc (S): theỏ toùa ủoọ ủieồm A vaứo pt (*). theỏ toùa ủoọ ủieồm B vaứo pt (*). theỏ toùa ủoọ ủieồm C vaứo pt (*) Vỡ tõm I(a;b;c) thuc (P) nờn th ta a;b;c vo pt ca (P) ta c phng trỡnh th t. Ta gii h bn pt, ta tỡm c a,b,c,d. VN 3: PHNG TRèNH MT PHNG Dng 1: Vit pt mp bit im thuc mp v vect phỏp tuyn. Loi 1: Mt phng (P) qua im ( ) 0 0 0 M x ;y ;z v cú vect phỏp tuyn ( ) n A;B;C= r . Phng phỏp: 4 M n r P) • Mặt phẳng (P) qua điểm ( ) 0 0 0 M x ;y ;z . • Mặt phẳng (P) có VTPT ( ) n A;B;C= r . • Ptmp (P): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x x B y y C z z 0− + − + − = . Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm ( ) 0 0 0 M x ;y ;z và song song hoặc chứa giá của hai vectơ a , b r r . Phương pháp: • Mặt phẳng (P) qua điểm ( ) 0 0 0 M x ;y ;z . • Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là ( ) ( ) a= , b = r r • Mặt phẳng (P) có VTPT n a,b   =   r r r . • Ptmp(P): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x x B y y C z z 0− + − + − = . Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. Phương pháp: • Mặt phẳng (P) đi qua M. • Mặt phẳng (P) có VTPT: ( ) P d 1 2 3 n a a ;a ;a= = uur uur . • Ptmp(P): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x x B y y C z z 0− + − + − = Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C. Phương pháp: • Mặt phẳng (P) đi qua A. • Mặt phẳng (P) có VTPT: n AB,AC   =   r uuur uuur . • Pt(P): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x x B y y C z z 0− + − + − = Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q). Phương pháp: • Mặt phẳng (P) qua điểm A. • Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: Q AB n = = uuur uur . Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và song song với mp(Q). Phương pháp: • Mặt phẳng (P) qua điểm ( ) 0 0 0 M x ;y ;z . • Do mp(P) song song mp(Q) nên mặt phẳng (P) có VTPT = uur uur P Q n n . • Ptmp(P): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x x B y y C z z 0− + − + − = . • Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến. 5 a r b r ,n a b   =   r r r P) Q) M Q n uur M uur d a d P) • ,n AB AC   =   r uuur uuur A B C B Q n uur P) Q) A • Nên mp(P) có VTPT: Q n AB,n   =   r uuur uur . • Ptmp(P): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x x B y y C z z 0− + − + − = Dạng 6:  Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.  Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’. Phương pháp: • Mặt phẳng (P) qua điểm M d∈ . • Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: d d' a a = = uur uur . • Mp(P) có VTPT: d d' n a ,a   =   r uur uur . • Ptmp(P): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x x B y y C z z 0− + − + − = Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d. Phương pháp: • Chọn điểm M thuộc đt d. • Mặt phẳng (P) qua điểm A. • Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: d AM a = = uuuur uur . • Nên mp(P) có VTPT: d n AM,a   =   r uuuur uur . • Ptmp(P): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x x B y y C z z 0− + − + − = Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB. Phương pháp: • Gọi I là trung điểm AB ⇒ ( ) I = • Mặt phẳng (P) qua điểm I. • Mặt phẳng (P) có VTPT n AB= r uuur . • Ptmp (P): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x x B y y C z z 0− + − + − = . Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R). Phương pháp: • Mặt phẳng (P) qua điểm M. • Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: Q R n ,n = = uur uur . • Nên mp(P) có VTPT: Q R n n ,n   =   r uur uur . • Ptmp(P): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x x B y y C z z 0− + − + − = Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S): Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A. Phương pháp: • Xác định tâm I của mc(S). • Mặt phẳng (P) qua điểm A. • Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n IA= r uur . • Ptmp(P): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x x B y y C z z 0− + − + − = 6 P) A I B Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến ( ) n m;n;p= r và tiếp xúc mặt cầu (S). Phương pháp: • Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu. • Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0. Vì mp(P) có VTPT ( ) n m;n;p= r mx ny pz 0⇒ + + + =D . • Do mp(P) tiếp xúc mc(S) ⇔ ( ) ( ) =d I; P R Chú ý: A B A B A B =  = ⇔  = −  . Điều kiện tiếp xúc: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) ( ,( ))d I P R ⇔ = Điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S) ( , )d I d R ⇔ = VẤN ĐỀ 19: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG (P) VÀ MẶT CẦU (S). • Xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu (S). • Tính khoảng cách d từ tâm I đến mp(P): ( ) ( ) d d I, P= . o TH1: d r (P) (S)= .> ⇔ ∩ ∅ (hay (P) và (S) khơng có điểm chung). o TH2: d r (P) tiếp xúc cới mặt cầu (S).= ⇔ o TH3: d r (P) cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn (C).< ⇔ Vấn đề 5: Khoảng cách: 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là 0 0 0 2 2 2 A ( ,( )) x By Cz D d M P A B C + + + = + + 2. Khoảng cách từ một điểm đến một điểm đến một đường thẳng. 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 7 r = d(I,(P)) I P) • Cách xác định tâm và bán kính đường tròn(C). - Gọi H là tâm của (C). Khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua tâm I và vng góc mp(P). - Gọi r’ là bán kính của (C). Khi đó: 2 2 2 2 2 r' r d r' r d= − ⇔ = − . Cần nhớ: H là hình chiếu vng góc của I lên (P) nên tam giác IMH vng tại H. Với: r=IM, d=IH= ( ) ( ) d I, P và r’=MH. VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B. Phương pháp: • Đường thẳng d đi qua điểm A. • Đường thẳng d có VTCP: a AB= r uuur . • Pt tham số: 0 0 0 = +   = +   = +  x x at y y bt z z ct . Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’. Phương pháp: • Đường thẳng d đi qua điểm M. • Đường thẳng d có VTCP: d d' a a= uur uur . • Pt tham số: 0 0 0 = +   = +   = +  x x at y y bt z z ct . Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương. Dạng 3: Đường thẳng d đi qua một điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d’, d’’ không song song Phương pháp: • Đường thẳng d đi qua điểm M. • Đường thẳng d có VTCP:   =   uur uur uur d d' d'' a a ,a . • Pt tham số: 0 0 0 = +   = +   = +  x x at y y bt z z ct . Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P). Phương pháp: • Đường thẳng d đi qua điểm M. • Đường thẳng d có VTCP: d P a n= uur uur . • Pt tham số: 0 0 0 = +   = +   = +  x x at y y bt z z ct . Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm VTCP. VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Tìm giao điểm của đường thẳng d: 0 0 0 = +   = +   = +  x x at y y bt z z ct và mp(P): Ax+By+Cz+D=0. Phương pháp: • Gọi H là giao điểm của d và (P). 8 • Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt: 0 0 0 Ax+By+Cz+D=0 = +   = +   = +    x x at y y bt z z ct • Xét pt: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A +B +C +D=0+ + +x at y bt z ct (*).Giải pt (*) tìm t ⇒ x, y, z ⇒ H. VẤN ĐỀ 8: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN MP(P). Phương pháp: • Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P). • Tìm giao điểm H của d và (P). • Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P). Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P). VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P). Phương pháp: • Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P). • Tìm giao điểm H của d và (P). • Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của đoạn thẳng MM”. / / / / / / 2 2 2 2 2 2 +  =   = −  +   ⇔ = ⇒ = −     = − +   =   M M H H M M M M H H M M H M M M M H x x x x x x y y y y y y z z z z z z ⇒ M’= Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua (P) khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’ VẤN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN đường thẳng d. Phương pháp: • Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. • Tìm giao điểm H của d và (P). • Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d. Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P). 9 M H )P d M H )P d M / • M • H P) (d) VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đường thẳng d. Phương pháp: • Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. • Tìm giao điểm H của d và (P). • Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm của đoạn thẳng MM’. / / / / / / 2 2 2 2 2 2 +  =   = −  +   ⇔ = ⇒ = −     = − +   =   M M H H M M M M H H M M H M M M M H x x x x x x y y y y y y z z z z z z ⇒ M’= Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’. VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG. Phương pháp: Bước 1: • Xác định điểm M thuộc d và VTCP a r của d. • Xác định điểm M’ thuộc d và VTCP a' ur của d’. Bước 2: • Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương bằng cách tính a,a'   =   r ur • Nếu a,a' 0   =   r ur r thì a,a' r ur cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’. o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’. o Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’. • Nếu a,a' 0   ≠   r ur r thì a,a' r ur không cùng phương khi đó d cắt d’ hoặc d và d’ chéo nhau. o Nếu a,a' .MM' 0   =   r ur uuuuur thì d và d’ cắt nhau. o Nếu a,a' .MM' 0   ≠   r ur uuuuur thì d và d’ chéo nhau. VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP. Phương pháp: Để xét vị trí tường đối của đt d: 0 0 0 = +   = +   = +  x x at y y bt z z ct và mp(P): Ax+By+Cz+D=0. 10 M M / • H P) (d) [...]... (P) 3/ Viết pt mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P) Tính khoảng cách giữa (P) và (Q) CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bài 148: ĐHBK năm 96 Cho tứ diện ABCD với A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;-1) 1 Chứng minh rằng ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau 2 Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC) 3 Thi t lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu Tính... mặt phẳng (P) Bài 28: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mặt phẳng (P):2x-2y-z-1=0 Bài 29: Viết phương trình mc (S) có tâm I(-1;-2;-3) và tiếp xúc mặt phẳng (P):2x+2y+z-3=0 Bài 30(Đề thi đại học giao thông vận tải năm 99): Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc mặt phẳng (P): 16x-15y-12z-75=0 Bài 31: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là trung điểm AB và tiếp...  z = 4t  Bài 123: Chứng minh hai đường thẳng d:  x = 9 + 2t   y = 13 + 3t vuông góc với nhau z = 1− t  x −1 y − 2 z x y +5 z −4 = = và d’: = = chéo nhau 2 −1 1 −2 3 −1 BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ÔN THI TÔT NGHIỆP -Bài 124: Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết rằng A(6;2;-5), B(-4;0;7) 1/ Tìm tọa độ tâm I, bán kính r và viết phương trình mặt cầu (S) 2/... z = 4  2/ x = 1− t  d:  y = 2 + 2t và d’:  z = 3t  x = 1+ t   y = 3 − 2t z = 1  III/ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU r ur u Cách giải : Chứng minh a.a ' =0 (chứng minh tích vô hướng bằng 0) x = 1+ t  x = 2 − 2t '   Bài 121: Chứng minh hai đường thẳng d:  y = 2 + 3t và d’:  y = −2 + 2t ' vuông góc với nhau z = 3 − t  z = 1 + 4t '   x = 5 − t  Bài 122: Chứng minh hai... + bt ) +C ( z0 + ct ) +D=0 (*).Giải pt tìm t o Pt(*) có một nghiệm t ⇔ d cắt mp(P) tại một điểm o Pt (*) vô nghiệm ⇔ d song song với (P) o Pt(*) có vô số nghiệm t ⇔ d nằm trong (P) VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH 1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông tại A Cần nhớ: Tam giác ABC uuu uuu A r uuu vuông tại uuu r r r ⇔ AB ⊥ AC ⇔ AB ⊥ AC = AB.AC = 0 Phương pháp:r uuu uuu r • Tính AB = ,AC = uuu uuu... d đi qua 2 điểm B(-1;2;3), C(-3,-9,15) Bài 90: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm B(-1;-2;-3), C(3,-9,27) Bài 91: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1;0;-2) và gốc tọa độ CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Bài 92: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm E(1;0;2), M(3;4;1) và N(2;3;4) 1/ Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN 2/ Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm E và vuông góc với . Viết phương trình mc (S) có tâm I(-1;-2;-3) và tiếp xúc mặt phẳng (P):2x+2y+z-3=0. Bài 30(Đề thi đại học giao thông vận tải năm 99): Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp. +  =   A B C G A B C G G G G A B C G x x x x y y y y G x y z z z z z 5) Tích có hướng và tính chất của tích có hướng: Cho ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; ; , ; ;= = r r a x y z b x y z . Khi đó: • 1 1. z 7. Tích vô hướng của hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao. • 1 2 1 2 1 2 . . . . = + + r r a b x x y y z z . 0⊥ ⇔ = r r r r a b a b 8. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích