bài tập giải tích III

9 249 2
  • Loading ...
1/9 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 24/06/2014, 10:49

bài tập môn giải tích 3 1 Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014 BÀI TẬP GIẢI TÍCH III (Phương trình vi phân và chuỗi) Kiểm tra giữa kỳ : Tự luận, vào tuần học thứ 9 Thi cuối kỳ : Tự luận I. CHUỖI 1) Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của các chuỗi sau a) 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 n n                            b) 1 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5     c)     2 2 1 2 9 225 2 1 2 1 n n n         2) Sử dụng các tiêu chuẩn: So sánh; D’Alembert; Cauchy; Tích phân, xét sự hội tụ cả các chuỗi sau a) 2 1 10 1 n n n     b)    2 1 2 n n n n      c) 2 2 2 1 1 n n n            d) 3/ 4 1 1 1 n n n n       e) 2 1 1 1 n n n n n           f) 2 1 ln n n    g) 2 ln n n n    h) 2 1 1 ln 1 n n n n      i) 1 1 1 ln n n n n            k) 2 2 2 2 1 ln tan n n n n n n      l)   2 1 3 1 ! 8 n n n n     m)     2 2 1.3.5 2 1 2 1 ! n n n n       3) Xét sự hội tụ của các chuỗi số a) 2 1 1 1 1 5 n n n n           b)     2 1 3 ! 2 ! n n n n    c) 2 1 5 2 n n n     d)   1 1 1 1 n n n n n             e)   2 2 1 7 ! n n n n n    f) 2 1 4 3 n n n n n           2 g) 2 1 1 ln n n n    h) *   1 sin 2 3 n n          i)   2 3 1 ln lnln n n n n    k) 1 . ! n n n e n n    4) Xét sự hội tụ của các chuỗi số a)   1 2 1 1 n n n e     b)   2 1 1 ln n n n n       c)   1 arcsin n n e     d)   2 2 1 sin n n a      , a   e)   1 1.3.5 2 1 3 . ! n n n n      f) 3 1 cos n n a n          , a   g)   2 2 1 2 1 n n n n n n     h)   3 1 , ( 0, 0) ln n n n          i)     3 2 3 1 2cos , ( ) ln n n n n n          k)   2 1 , ( , 0 1) 1 n n na a a a         5) Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau a) 1 1 1 n n x     b) 2 1 1 n n n x x     c) 1 1 x n n xn     d) 1 cos 2 nx n nx    e)   1 2 1 1 1 n n n x       f)   1 1 ln n n n x x e      g)   1 3 2 , 1 n n n x x n                h) 1 1 2 n n n n x x           i) 1 n n n n x x    k)     1 2 5 1 2 1 2 1 n n n x n        6) Dùng tiêu chuẩn Weierstrass, chứng minh các chuỗi sau hội tụ đều trên các tập tương ứng a)   2 1 1 n n n x x     trên  b) 1 1 1 2 1 2 2 n n n x x             trên   1;1  3 c) 1 1 1 2 1 n n nx      trên [0 ; )   d) 2 2 2 1 n x n e n     trên  . 7) Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau a)   2 1 2 n n x n     b)   2 1 1 1 n n n x     c)   2 5 2 1 3 4 n n x n       d)   2 1 2 1 2 n n n x n     e) 1 1 2 1 1 2 n n n n x x             f)   1 1 1 n n x n      g)   2 1 1 5 2 .4 n n n x n      h)         1 2 2 1 1 2 1 1 3 2 n n n n n n x n         i)   1 ! 3 n n n n x n     8) Tính tổng của các chuỗi sau a)     2 5 2 0 , 3 ; 3 3 2 1 n n n x x n        b)     1 1 1 1 2 1 .3 n n n n        c)      2 2 0 , 1;1 2 1 2 2 n n x x n n         d)   2 1 1 2 , 1;1 n n n x x n n              9) Khai triển thành chuỗi Maclaurin a)   3 2 1 4 3 x x f x x x      b)   sin 3 cos3 f x x x x   c)   2 1 4 f x x   d)     2 ln 1 2 f x x x    10) a) Khai triển ( ) f x x  thành chuỗi luỹ thừa của x  4 b) Khai triển   x sin 3 f x   thành chuỗi luỹ thừa của x  1 c) Khai triển   2 1 3x+2 f x x   thành chuỗi luỹ thừa của x + 4 d) Khai triển   ln f x x  thành chuỗi luỹ thừa của 1 1 x x   11) a) Khai triển Fourier các hàm số sau 1/   , 1 f x x x   , 2/   2 , 0 1 f x x x    , 3/   10 , 5 15 f x x x     b) Cho   2 f x x  trên   ;    . Hãy khai triển Fourier của hàm   f x , sau đó tính tổng các chuỗi số   2 1 1 1 n n n     , 2 1 1 n n    4 II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1) Phương trình phân li: a) tan ln 0 y dx x x dy   b) cos y x y   c) 2 2 4 3 2 1 4 13 y y y x x x        d)   cos , 0 y a y b b a      e) 2 3 4 0 y y y      f)   2 1 y x y    g)   sin 1 y y x     h) 1 2 x y y x y       i)       2 3 3 2 5 5 , 0 1 x y dx y y dy y     k)     2 2 1 1 0, 8 1 xy dx y x dy y      2) Phương trình vi phân đẳng cấp cấp một a) 1 y x y x y     b) sin y xy x y x    c) 2 2 2 0 x y y xy x      d)   2 0 x y dx x dy    e)   2 2 y x xy dy y dx x y e dx     f)     2 3 2 1 0 x y dy x y dx       g)   ln , 1 1 y xy y y x    h)     0, 1 1 xy x dy y dx y     3) Phương trình vi phân tuyến tính cấp một a) 2 2 1 2 y xy x     b)   1 2 2 x x y y xe e x     c)   2 1 arctan x x y y x     d)   2 y x y y    e)   2 2 3 0 xy dy y dx    f)     2 1 arctan y dx y x dy    g)   cos sin cos , 0 0 y y x x x y     h)   2 1 arcsin , 0 0 y x y x y      4) Phương trình Bernoulli a) 2 1 xy y x y x     b) 2 4 y y x y x    c) 2 2 2 tan sin 0 y y x y x     d)   2 2 0 y dx x x y dy    e)     3 3 1 3 sin 0, / 2 1 dy y y x dx y      f)     2 2 2 2 0, 1 0 y y x y x y       5) Phương trình vi phân toàn phần 5 a)     2 2 0 x y dx x y dy     b) 2 2 2 3 0 y dx x dy x y                 c)     sin cos 0 x y e y y dx e x x y dy       d)     2 0, 1 0 y y e dx xe y dy y     6) Tìm thừa số tích phân  (y) để phương trình sau là phương trình vi phân toàn phần và giải phương trình đó với  tìm được     2 3 2 2 3 3 0 xy y dx y xy dy     7) Tìm thừa số tích phân  (x) để phương trình sau là phương trình vi phân toàn phần và giải phương trình đó với  tìm được   1 1 ln 0 x y dx dy x y x y             8) Giải các phương trình sau a) 4 2 1 y x y     b)     2 2 3 2 0, 0 1 y x dy xy dx y     c) 2 1 0 1 y y x      d)   2 , 0 9/ 4 x y y e y y     9) Chứng minh rằng a) 2 1 x t y x e dt   là nghiệm của phương trình 2 2 x xy y x e    b)   2 1 n n x y x n n       là nghiệm của phương trình     1 1 x dy x y dx     10) Giải các phương trình sau a) 2 2 0 y yy     b) 2 1 yy y     c) 1 y xy y      d) 2 xy y x yy      e) 4 sin y y x x    f) 0 y y x      g) 3 x x y y xe e      h) 2 2 1 xy y y      i) 2 3 10 x y y y xe       k) 2cos cos2 y y x x    l) 2 4 8 sin 2 x y y y e x       m) 2 sin sinh y y y x x       n) 3 2 3 4 2 x x y xy y      ,     1 1 , 1 0 2 y y    o) 2 2 y y y x x x      11) Giải các phương trình sau a) 1 x x e y y e     b) tan y y x     c) 2 x e y y y x      6 12) Giải các phương trình sau a) 2 xy xy y      ,     2 2, 2 1 y y    b)     2 1 0, 1 0, 1 1 yy y y y         13) Giải phương trình     2 2 2 1 2 2 x x y x y y         biết nó có hai nghiệm riêng 1 2 , 1 y x y   14) Giải phương trình     2 2 2 2 4 2 1 2 1 1 y x x y xy x x         với phép biến đổi tan x t  15) Giải phương trình 3 2 cos y y x y e y y y        bằng cách coi x là hàm của y. 16) Giải các phương trình sau a)   2 2 1 2sin , mx y my m y x e x m          b)   2 2 1 2 x x e y y y x e x         17) Tìm bốn số hạng đầu tiên khác không của chuỗi luỹ thừa mà tổng của chuỗi đó là nghiệm của phương trình sau a)     2 0, 0 0, 0 1 y x y y y        b)       2 1 1, 0 0, 0 1 y x y y y        c)       2 1 4 2 0, 0 0, 0 1 x y xy y y y          d)     0, 0 0, 0 2 y xy y y y         18) Giải các hệ phương trình sau a) dy y z dx dz x y z dx             b) 2 5 5 6 dx x y dt dy x y dt            c) 1 cos dx y dt dy x dt t            d) dx y dt x y dy x dt x y            III. PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE 3.1. Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược 1. Sử dụng định nghĩa, tìm trực tiếp biến đổi Laplace của các hàm số sau a) f(t) = t ; b) f(t) = e 3t + 1 ; c) f(t) = sinh(kt) d) f(t) = sin 2 t 2. Sử dụng bảng phép biến đổi Laplace, tìm phép biến đổi Laplace của hàm số sau 7 a)   3 f t t t   b) f(t) = t  2e 3t c) f(t) = 1 + cosh(5t) d) f(t) = cos 2 (2t) e) f(t) = (1 + t) 3 f)   t f t te  g)   sin 3 cos3 f t t t  h)   2 sinh 3 f t t  3. Sử dụng bảng phép biến đổi Laplace, tìm phép biến đổi Laplace ngược của hàm số sau a)   4 3 F s s  b)   5/ 2 1 2 F s s s   c)   3 4 F s s   d)   2 5 3 9 s F s s    e)   2 10 3 25 s F s s    f)   1 3 2 s F s s e    3.2. Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu 1. Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải bài toán giá trị ban đầu a) x'' + 4x = 0, x(0) = 5, x'(0) = 0 b) x''  x'  2x = 0, x(0) = 0, x'(0) = 2. c) x'' + x = sin2t, x(0) = 0, x'(0) = 0 d) x'' + x = cos3t, x(0) = 1, x'(0) = 0 e) 4 3 1 x x x      ,     0 0 0 x x    f)     3 2 , 0 0, 0 2 x x x t x x         2. Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính sau a)     2 , 0 1 6 3 , 0 2 x x y x y x y y             b)     2 0, 0 0 0, 0 1 x y x x x y y y                c)     2 0, 0 (0) 1 4x 2 0, (0) 0 0 x x y x y x y y x y y x y                          d)         2 4 0, 0 0 0 2 0, 0 0 1 x x y x y y x y x y                   3. Dùng Định lí 2 để tìm phép biến đổi Laplace nghịch đảo của các hàm số sau a)     1 3 F s s s   b)     2 1 4 F s s s   c)     2 2 1 1 F s s s   d)     2 2 1 1 F s s s   e)      1 1 2 F s s s s    4. Sử dụng Định lí 1, chứng minh rằng a)     1 n at n at n t e t e s a    L L b)     1 ! , 1, 2, 3 n at n n t e n s a     L 8 c)     2 2 2 sinh sk t kt s k   L d)     2 2 2 2 2 cos s k t kt s k    L e)     2 2 2 2 2 cosh s k t kt s k    L 3.3. Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản 1. Áp dụng Định lí phép tịnh tiến để tìm phép biến đổi Laplace của hàm số sau a) f(t) = t 4 e t b) f(t) = e 2t sin3t c)   2 cos2 8 t f t e t           2. Áp dụng định lí phép tịnh tiến để tìm phép biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau a)   3 2 4 F s s   b)   2 1 4 4 F s s s    c)   2 3 5 6 25 s F s s s     3. Sử dụng các phân thức đơn giản để tìm phép biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau a)   2 1 4 F s s   b)   2 5 2 7 10 s F s s s     c)   3 2 1 5 F s s s   d)   4 1 16 F s s   e)   2 4 2 2 5 4 s s F s s s     g)     2 2 2 3 2 2 s F s s s     4. Sử dụng phép phân tích     4 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 s a s as a s as a       , chứng minh rằng a) 3 1 4 4 cosh cos 4 s at at s a          L b)   2 1 4 4 1 cosh sin sinh cos 2 4 s at at at at a s a           L c) 1 4 4 2 1 sinh sin 4 2 s at at s a a          L 5. Giải phương trình vi phân cấp cao với điều kiện ban đầu a) x'' + 6x' + 25x = 0, x(0) = 2, x'(0) = 3 b) x''  4x = 3t , x(0) = x'(0) = 0 c)         3 6 0, 0 0, 0 0 1 x x x x x x           d)             4 3 0, 0 0, 0 0 0, 0 1 x x x x x x         e)             4 3 8 16 0, 0 0 0 0, 0 1 x x x x x x x           f)     4 13 , 0 0, 0 2 t x x x te x x          9 g)     6 18 cos2 , 0 1, 0 1 x x x t x x          3.4. Đạo hàm, Tích phân, và tích các phép biến đổi 1. Áp dụng định lí tích chập để tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau a)     1 3 F s s s   b)     2 2 1 9 F s s   c)     2 2 2 4 s F s s   d)       2 3 1 s F s s s    2. Dùng các định lí vi, tích phân của phép biến đổi Laplace để tìm phép biến đổi Laplace của các hàm sau a) f(t) = t sin3t b)   2 cos3 t f t te t  c)   sin t f t t  d)   3 1 t e f t t   3. Tìm phép biến đổi Laplace nghịch đảo của các hàm sau a)   2 ln 2 s F s s    b)      2 1 ln 2 3 s F s s s     c)   2 1 ln 1F s s         4. Biến đổi các phương trình vi phân sau để tìm nghiệm không tầm thường sao cho   0 0 x  a)   2 0, tx t x x       b) tx''  (4t + 1)x' + 2(2t + 1)x = 0, c) 2 0, tx x tx      d)     4 2 13 4 0 tx t x t x        5. Giải bài toán với giá trị ban đầu       , 0 0 0 mx cx kx f t x x         a)   1, 0 1, 4, 0, 0, t m k c f t t             b)   sin , 0 2 1, 9, 0, 0, 2 t t m k c f t t             c)   , 0 2 1, 4, 4, 0, 2 t t m k c f t t          
- Xem thêm -

Xem thêm: bài tập giải tích III, bài tập giải tích III, bài tập giải tích III

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay