Đang tải... (xem toàn văn)
Toán học đóng vai trò quyết định để hiểu hành vi và hoạt động của các hệ thống điện và điện tử. Polynomials(đa thức), Algebra(đại số), Probability(xác suất), v.v… tạo thành một phần quan trọng của các công cụ được xử dụng để giải quyết các hệ thống. Với sự phức tạp ngày càng tăng của các hệ thống, cần có các phương pháp rất tinh vi. Phương trình vi phân được xử dụng nhiều để xác định các hệ thống điều khiển. Các phương trình này rất đơn giản để giải quyết. Nhưng sự phức tạp phát sinh trong khi giải quyết các phương trình vi phân bậc cao hơn. Để giải quyết các phương trình vi phân bậc cao phức tạp như vậy, phương toán học đã được chứng minh là có hiệu quả là biến đổi Laplace.. Trong nhiều năm qua, các nhà khoa học đã nghĩ ra biện pháp giản quyết hiệu quả đó là chia nhỏ bài toán ra thành nhiều bài toán. Việc giải quyết các bài toán nhỏ được tiến hành đồng thời với nhiều máy tính. Kết quả của bài toán lớn sẽ được giải quyết khi tất cả các bài toán nhỏ đã được làm. Các máy tính tiến hành xử lí song song được kết nối với nhau thành các cụm tính toán tốc độ cao. Sau một thời gian tìm hiểu và được giảng dạy về Tính toán hiệu năng cao trực tuyến và trực tiếp qua hệ thống Đại học Công nghiệp Hà Nội. Nhóm sinh viên chúng em quyết định nhận nghiên cứu đề tài: “Đánh giá hiệu năng cao của bài toán giải phương trình Laplace sử dụng MPI” làm đề tài của Báo cáo thực nghiệm kết thúc học phần.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN 🙙🙙🙙 - BÁO CÁO THỰC NGHIỆM THUỘC HỌC PHẦN: TÍNH TỐN HIỆU NĂNG CAO ĐÁNH GIÁ HIỆU NĂNG BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE SỬ DỤNG MPI Giảng viên hướng dẫn : Hà Mạnh Đào Lớp : 20231IT6069001 Khóa: : K16 Nhóm thực : Nhóm 13 Thành Viên: Lê Đăng Dương – 2021607148 Nguyễn Đắc Trường – 2021605543 Nguyễn Duy Trí – 2021604819 Hà Nội - 2023 LỜI MỞ ĐẦU Tốn học đóng vai trị định để hiểu hành vi hoạt động hệ thống điện điện tử Polynomials(đa thức), Algebra(đại số), Probability(xác suất), v.v… tạo thành phần quan trọng công cụ xử dụng để giải hệ thống Với phức tạp ngày tăng hệ thống, cần có phương pháp tinh vi Phương trình vi phân xử dụng nhiều để xác định hệ thống điều khiển Các phương trình đơn giản để giải Nhưng phức tạp phát sinh giải phương trình vi phân bậc cao Để giải phương trình vi phân bậc cao phức tạp vậy, phương toán học chứng minh có hiệu biến đổi Laplace Trong nhiều năm qua, nhà khoa học nghĩ biện pháp giản hiệu chia nhỏ toán thành nhiều toán Việc giải toán nhỏ tiến hành đồng thời với nhiều máy tính Kết tốn lớn giải tất tốn nhỏ làm Các máy tính tiến hành xử lí song song kết nối với thành cụm tính tốn tốc độ cao Sau thời gian tìm hiểu giảng dạy Tính tốn hiệu cao trực tuyến trực tiếp qua hệ thống Đại học Cơng nghiệp Hà Nội Nhóm sinh viên chúng em định nhận nghiên cứu đề tài: “Đánh giá hiệu cao tốn giải phương trình Laplace sử dụng MPI” làm đề tài Báo cáo thực nghiệm kết thúc học phần Trong q trình hồn thành báo cáo thực nghiệm, nhóm sinh viên chúng em khơng tránh khỏi sai sót, mong thơng cảm đóng góp ý kiến bổ sung thầy cô giáo tất bạn sinh viên Chúng em trân trọng tiếp thu cảm ơn MỤC LỤC CHƯƠNG I : GIỚI THIỆU THUẬT TOÁN LAPLACE Trình bày ngắn gọn kiến thức tính tốn hiệu cao: Mơ hình, phương pháp, cách thiết kế thuật toán song song Thuật toán Laplace 2.1 Giới thiệu thuật toán Laplace 2.2 Lịch sử thuật toán Laplace 2.3 Định Nghĩa Thuật Toán LapLace 2.4 Tính chất Laplace .6 CHƯƠNG II: BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE SỬ DỤNG MPI Bài toán Cài đặt môi trường MPI Code chương trình- hình kết thuật toán 10 3.1 Thuật toán song song: .10 3.2 Thuật toán tuần tự: 19 CHƯƠNG III: ĐÁNH GIÁ HIỆU NĂNG BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE SỬ DỤNG MPI 21 Lập bảng thời gian so sánh song song 21 Nhận xét 21 KẾT LUẬN VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM 23 Kiến thức tích lũy 23 2.Những thuận lợi khó khăn làm hoàn thiện tập lớn 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 CHƯƠNG I : GIỚI THIỆU THUẬT TỐN LAPLACE Trình bày ngắn gọn kiến thức tính tốn hiệu cao: Mơ hình, phương pháp, cách thiết kế thuật tốn song song Tính tốn hiệu cao (High Performance Computing - HPC ) trình kết hợp sức mạnh tính tốn nhầm mang lại hiệu suất cao nhiều so với máy tính thơng thường để giải vấn đề nghiên cứu khoa học, xử lý tính tốn vơ cùng phức tạp HPC viết tắt High Performance Computing (tính tốn hiệu cao), hoặc biết rộng rãi với cụm từ Supercomputer (siêu máy tính) Nhiệm vụ củ HPC lúc mô tả bằng việc tập hợp lượng lớn sức mạnh tính tốn kết thời gian ngắn, ngắn hoặc tức Hiệu HPC tính bằng FLOPS Thuật tốn Laplace 2.1 Giới thiệu thuật toán Laplace - Biến đổi Laplace biến đổi tích phân hàm số từ miền thời gian sang miền tần số phức, tạo nhà toán học người Pháp PierreSimon Laplace Cùng với biến đổi Fourier, phép biến đổi hai biến đổi hữu ích việc giải tốn vật lý, bằng cách đơn giản hóa phép tốn giải tích phức tạp đạo hàm, tích phân thành phép tính đại số (giống cách mà hàm logarit chuyển phép toán nhân số thành phép cộng logarit chúng) Vì đặc biệt hữu ích giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình thường xuất tốn vật lý, phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, hệ học, Bởi qua biến đổi Laplace phương trình trở thành phương trình đại số đơn giản Đối với nghiệm hàm ảnh không gian p, dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc khơng gian thực t 2.2 Lịch sử thuật toán Laplace - Từ năm 1744, nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler đưa tích phân để giải phương trình vi phân: - Năm 1773, nhà tốn học người Pháp gốc Ý Joseph-Louis Lagrange, người ngưỡng mộ Euler, nghiên cứu cách tính tích phân hàm mật độ xác suất đưa biểu thức tích phân: - Năm 1782, Laplace ý đến dạng tích phân ơng tiếp tục cơng trình Euler sử dụng phép tính tích phân để giải phương trình Đến năm 1785, vượt khỏi giới hạn giải phương trình bằng phương pháp tích phân, ơng đưa biến đổi mà trở nên phổ biến sau, với phép tích phân: - Nó tương tự với biến đổi Mellin, bằng cách biến đổi phương trình sai phân để giải phương trình biến đổi Với cách thức tương tự, Laplace suy tính chất biến đổi Laplace Ông nhận rằng phương pháp Joseph Fourier chuỗi Fourier để giải phương trình khuếch tán áp dụng vùng khơng gian giới hạn 2.3 Định Nghĩa Thuật Toán LapLace Phép biến đổi Laplace cách tiếp cận miền tần số cho tín hiệu thời gian liên tục tính ổn định hệ thống Phép biến đổi Laplace hàm số f(t) (với số thực t ≥ 0) hàm số F(s), định nghĩa sau: Trong đó: biến số phức cho (với miền tần số, có đơn vị phần giây (second) Giới hạn rõ thời điểm bắt đầu trước dùng để lấy gốc hàm số thời điểm 2.3.1 Biến đổi Laplace hai phía Một nói "biến đổi Laplace" mà khơng ý thêm gì, thường ta nói đến biến đổi phía Biến đổi Laplace định nghĩa biến đổi Laplace hai phía bằng cách mở rộng giới hạn tích phân đến vơ cực Như vậy, biến đổi Laplace phía đơn giản trở thành trường hợp đặc biệt biến đổi Laplace hai phía, xác định bằng cách lấy hàm chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside 2.3.2 Biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược giúp tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s) Biến đổi Laplace ngược định nghĩa tích phân sau Nhưng thơng thường dùng đến tích phân để tính hàm gốc mà dùng bảng "các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng" có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t) 2.4 Tính chất Laplace 2.4.1 tính chất hàm gốc Tập hợp hàm f biến số thực t cho tích phân hội tụ với số phức p gọi lớp hàm gốc Trong tập hợp giá trị p cho tích phân (hay miền qui tụ) tồn gọi miền hội tụ Ta chứng minh lớp hàm gốc phải thỏa mãn tính chất sau ● f(t) = 0, với t < ● Khi t ≥ 0, hàm f(t) liên tục cùng với đạo hàm cấp đủ lớn toàn trục t, trừ số hữu hạn điểm gián đoạn loại ● Khi hàm f(t) có cấp tăng bị chặn, tức tồn hằng số s>0 M>0 cho Khi so = inf {s} gọi số tăng hàm f (Tức hàm f(t) không tăng nhanh hàm est để đảm bảo tích phân Laplace hội tụ) 2.4.2 Tính chất biến đổi Laplace ● Cho hàm f(t) g(t), hàm ảnh tương ứng F(s) G(s): Sau bảng tính chất biến đổi Laplace: ● Định lý giá trị ban đầu: (Định lý giới hạn) ● Định lý giá trị cuối: (Định lý giới hạn) , nửa mặt phẳng (Re.s > so) CHƯƠNG II: BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE SỬ DỤNG MPI Bài tốn Phương trình Laplace phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng hàm cần tìm , tốn tử Laplace phương trình Laplace viết 1) khơng gian chiều : tốn tử Laplacian : 2) khơng gian chiều : tương tự tốn tử Laplacian : 3) tọa độ cực 4) tọa độ cầu : - 5) tọa độ trụ : : - Phương trình Laplace dạng đặc trưng phương trình Elliptic Thường gặp tốn truyền nhiệt không phụ thuộc vào thời gian, chuyển động chất lỏng không nén tác dụng trường (trọng trường, trường điện từ,…).chú thích : phương trình Laplace không gian chiều dạng Rõ ràng lời giải phương trình có dạng Chúng ta khơng xem xét phương trình Mà thường xem xét phương trình Laplace khơng gian chiều trở lên Đề tài nhằm mục đích đánh giá hiệu thực thuật toán thuật toán song song(sử dụng phương pháp Jacobi vàvà thư viện MPI) Cài đặt môi trường MPI Bước 1: Cài đặt thư viện MPI cho VS 2019 (trên máy cài sẵn VS 2019) - Bộ cài đặt gồm file: msmpisetup.exe, msmpisdk.msi - Tiến hành cài đặt tệp Bước 2: Cấu hình MPI VS 2019 Trong dự án mới, mở cửa sổ properties dự án chọn mục VC++ Directories Thêm đường dẫn sau: - Thêm vào Additional Include Directories: $(MSMPI_INC);$(MSMPI_INC)\x64 - Thêm vào Additional Dependencies Linker/Input thư viện msmpi.lib , lưu ý thêm dấu ‘;’ vào sau msmpi.lib để phân tách với chuỗi khác - Thêm vào mục Additional Library Directories Linker/General chuỗi : $ (MSMPI_LIB64) Bước 3: Chạy chương trình test Code chương trình- hình kết thuật toán 3.1 Thuật toán song song: Kết chương trình: 3.2 Thuật tốn tuần tự: Kết chương trình CHƯƠNG III: ĐÁNH GIÁ HIỆU NĂNG BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE SỬ DỤNG MPI Lập bảng thời gian so sánh song song Kích thước Tseq Tp Tseq / Tp Tseq/Tp (%) 10x10 0.002 0.00021 9.52 952 20x20 0.0061 0.00062 9.83 983 30x30 0.013 0.0014 9.23 923 40x40 0.028 0.00281 9.96 996 50x50 0.046 0.004601 9.99 999 Nhận xét Như bảng cho thấy, giải pháp song song có hiệu cao giải pháp nhiều Cụ thể, với cùng kích thước lưới, giải pháp song song có thời gian thực thi bằng 1/10 so với giải pháp Điều giải pháp song song tận dụng sức mạnh tính tốn nhiều máy tính cùng lúc Để minh họa rõ hơn, ta xem xét số trường hợp cụ thể Ví dụ, với kích thước lưới 10x10, giải pháp có thời gian thực thi 0.002 giây, giải pháp song song có thời gian thực thi 0.00021 giây Điều có nghĩa giải pháp song song giải tốn nhanh giải pháp gần 10 lần Với kích thước lưới lớn hơn, hiệu giải pháp song song cải thiện rõ rệt Ví dụ, với kích thước lưới 50x50, giải pháp có thời gian thực thi 0.046 giây, giải pháp song song có thời gian thực thi 0.004601 giây Điều có nghĩa giải pháp song song giải tốn nhanh giải pháp gần 10 lần Tóm lại, giải pháp song song giải pháp hiệu để giải tốn Laplace Giải pháp tận dụng sức mạnh tính tốn nhiều máy tính cùng lúc, giúp giảm đáng kể thời gian thực thi toán