PHAN HUY PHU - NGUYEN DOAN TUAN BÀI TẬP NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI PHAN HUY PHU - NGUYEN DOAN TUAN BAI TAP DAI SO TUYEN TINH NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Chịu trách nhiệm xuất Giám đốc: Tổng biên tap: Biên tập: Trình bày bìa: NGUYÊN VĂN THỎA NGUYÊN THIỆN GIÁP HUY CHU DOAN TUAN NGỌC QUYÊN NGỌC ANH BÀI TẬP ĐẠI SỘ TUYẾN TÍNH Mã số: 01.249.ƯK.2002 In 1.500 cuốn, Xưởng in NXB Giao thông vận tải Số xuất bán: 49/ 171/CXB Số trích ngang 39 KH/XB In xong nộp lưu chiểu Quý | nam 2002 LOI NOI DAU Mơn Đại số tuyến tính đưa vào giảng dạy hầu hết trường đại học cao đẳng môn thiết để tiếp thu môn học khác Nhằm vụ cho tài liệu tham ngành tuyến khảo phục học sở cần cung cấp thêm sinh viên ngành Toán Kĩ thuật, biên soạn "Bài tập Đại số tính" Cuốn sách chia làm ba chương bao gồm vấn dé cd ban Đại số tuyến tính: Định thức ma trận - Khơng gian tuyến tính, ánh xạ tuyến tính, hệ phương trình tuyến tính - Dạng tồn phương Trong chương chúng tơi trình bày phần tóm tắt lý thuyết, vi dy, tập tự giải cuối chương có phần hướng dẫn (HD) đáp số (8) Các ví dụ tập chọn lọc mức độ từ trung bình đến khó, có tập mang tính lý thuyết tập rèn luyện kĩ nhằm giúp sinh viên hiểu sâu thêm Chúng xin cảm môn học ơn Ban biên tập nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện để sách sớm mắt bạn đọc Mặc dù sử dụng tài liệu nhiều năm cho sinh viên Toán Đại học Sư phạm Hà Nội có nhiều cố gắng biên soạn, chắn cịn có khiếm khuyết Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp độc giả Hà Nội, tháng năm 2001 Nhóm biên soạn MỤC LỤC Chương 1: ĐỊNH THỨC - MA TRẬN .ccccccccve Á-'Tôn tắt lý tha yEtsscccssssesssssissscosescstesssaracensivesisisisecivsseicasves Š„2: THỊNH THẮNG an lốc nh nhanh nh Gun tháng a0 110141 010020010100340000 3018010 ° Chương 9: KHÔNG GIAN VÉCTƠ - ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH -55ss 57 A- Tom tat ly thut §1 Khơng gian véc tơ §2 Ánh xạ tuyến tính § Hệ phương trình tuyến tin! §4 Cấu trúc tự đồng cấu B- Ví dụ §1 Khơng gian véc tơ ánh xạ tuyến tính §2 Hé phuong trinh tun tinh §3 Cấu trúc tự đồng cấu D Hướng dẫn đáp số eee essences nese 104 §1 Khơng gian véc tơ ánh xạ tuyến tính -110 § Hệ phương trình tuyến tính „122 §3 Cấu trúc tự đồng cấu -125 Chương IIT: DẠNG TOÀN PHƯƠNG - KHÔNG GIAN VÉC TƠ ØCLIT VÀ KHÔNG GIAN VÉC TƠ UNITA -.- 134 A Tém tat ly thut §1 Dạng song tuyến tính đối xứng dang tồn phương 134 § Khơng gian véc tơ Ơclit §3 Khơng gian véc tơ Unita D Hướng dẫn đáp số .-50c tre 179 "Tài Hệu tham KHẢO: ccocadointoiaetgaugs8is0484gis0n 0s 192 Chuong ĐỊNH THỨC - MA TRẬN A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT §1 PHÉP THẾ Một song ánh từ tập {1, 2, , n} lên gọi phép bậc n, kí hiệu Ở = ø(1), Tập phép 93 0, Ơy Ơy n Ơn ơ; = ơ(9), ơạ = ơ(n) bậc n với phép nhân ánh xạ lập thành nhóm, gọi nhóm đối xứng bậc n, kí hiệu S„ Số phần tử nhóm S„ nl = 1, n Khi n > 1, cặp số {i, j} &không thứ tự) gợi nghịch số (i - j) (ơ,- ø) âm Phép gọi chẵn số nghịch ơø chăn, ø gọi phép lẻ số nghịch lẻ Ki hiéu sgno = | 1néus -1néuo la phép thé chan la phép thé lé sgnơ gọi dấu phép o Néu o va hai phép thé cung bac, thi sgn(o oT) = sgn(o) sgn(T) Phép thếø gọi vòng xích độ dài k có k số i¡, iy, , i, d6i mot khac dé o(i,) = ig, ø(Œ;) =i, , ø(¿) = i, ơ() = ¡ với ¡ #i¡, i Vong xich kí hiệu (, lạ 1) Mọi phép phân tích thành tích vịng xích độc lập Một vịng xích độ dài gọi chuyển trí Vịng xích (¡, i„, , Í) phân tích thành tích (i¡„ i)đ,, i⁄.,) ( in) §2 ĐỊNH THỨC Giả sử K trường (trong sách ta chủ yếu xét K trường số thực IR trường số phức C) Ma trận kiểu (m, n) với phần tử trường K bảng chữ nhật gồm m hàng, n cột phần tử a¡ e K,¡= 1m, trận kiểu (m, n) kí hiệu M(m, J Ln Tập ma n, R) Ma trận vng cấp n ma trận có n dịng, n cột Tập ma trận vng cấp n với phần tử thuộc trường K kí hiệu Mat(n, K) Cho ma trận A vuéng cap n, A = (aj), i, j = 1, me Định thức ma trận A, kí hiệu đet A phần tử K xác định sau: detA = Ysen(o)ajecr) + B99(2) + Angin) + e5, Tính chất định thức a) Nếu đổi chỗ hai dịng (hoặc hai cột) ma trận A, định thức đổi đấu b) Nếu thêm vào dòng (hoặc cột) ma tran A tổ hợp tuyến tính dịng (hoặc cột) khác, tít định thức khơng thay đổi c) Nếu dòng (hay cột) phân tích thành tổng, định thức phân tích thành tổng hai định thức, cụ thể: #m det! Ay,221 ®ị Amo An Aa Ay Ay) = det|^z! Ay;2i «Ao,2n Aq Ani Ann d) Cho A = TA Agai tay Tại ác Ani tani | +det| địa Ayan | = Ann Am =â1i Fin an Ay c“ng Bạt22! sùi2i Ao, 2n (a,) € Mat(n, K), thi A' = (bị) dé b, = a, duge gọi ma trận chuyển vị A Ta có detA = detAt Cách tính định thức a) Cho ma trận A e Mat(n, K) Kí hiệu Mụ; định thức ma trậ thứ) cấp (n-1) nhận cách gạch bỏ dòng thứ i, cột a ma tran A va Aij = (-1)' Mj gọi phần phụ đại số phần tử a¡ ma trận A Ta có cơng thức: a ;auA iA -| i#k detAnéu i=k n izk Sandan -| detA ¡=k ia n Như đetA = SMawAw n /=1 detA = SManAn tt (k = 1, 2, n) Công thức gọi công thức khai triển định thức theo dòng hay theo cột b) Định lý Laplace Cho ma trận A = (a,) e Mat(n, K) Với „1, Va Guiecide l1