NGUYỄN DUY THUẬN TS NGUYỄN DUY THUẬN B À I T Ậ P ĐẠI SƠ TUYẾN TÍNH (Sách dùng cho trường Cao đẳng Đại học) DẠI HỌC THAI NGUYÊN TRUNG TÂMHỌC LIÊU NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s PHẠM Mục lục Lịi nói đầu Kí hiệu Trang Chương I ĐỊNH THỨC 11 §1 Phép §2 Định nghĩa tính chất định thức §3 Khai triển định thức §4 Phương pháp tính định thức §5 Hệ phương trình Cramer li 15 22 28 37 Chương li KHƠNG GIAN VECTƠ 42 §1 Định nghĩa tính chất đơn giản §2 Khơng gian - Khơng gian thương §3 Sự độc lập tuyến tính - Sự phụ thuộc tuyến tính §4 Cơ sở khơng gian vectơ §5 Số chiều khơng gian vectơ §6 Toa độ vectơ §7 Hạng hệ vectơ - Hạng ma trận 42 46 52 58 62 67 73 Chướng IM ÁNH XẠ TUN TÍNH 83 §1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính - Sự xác định ánh xạ tuyến tính §2 Ảnh, hạt nhân ánh xạ tuyến tính §3 Các phép tốn trẽn ánh xạ tuyến tính §4 Khơng gian đối ngẫu 83 88 91 99 Chương IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYÊN TÍNH 101 §1 Hệ phương trình tuyến tính - Phương pháp Gauss §2 Điều kiện để hệ phương-trình tuyến tinh có nghiệm §3 Hệ phương trình tuyến tính 101 108 118 Chương V MA TRẬN §1 Ma trận ánh xạ tuyến tính §2 Các phép tốn ma trận §3 Đại số cấc ma trận vng cấp n Mat„(K) §4 Sự thay đổi ma trận ánh xạ tuyến tính thay đổi sở Ma trận đồng dạng §5 Vectơ riêng - Giá trị riêng §6 Chéo hoa ma trận 125 125 130 140 148 151 158 Chương VI DẠNG SONG TUN TÍNH - DẠNG TỒN PHƯƠNG 165 §1 Dạng tuyến tinh dạng song tuyến tính 165 §2 Dạng tồn phương 172 §3 Đưa dạng tồn phương dạng tắc 176 §4 Khơng gian vectơ ơclit 178 §5 Sơ lược không gian unita 192 Lài giải - hướng dẫn - trả lời 195 Lịi nói đ ầ u Trong mơn tốn truồng đại học Đại số tuyến tính khơng phải mơn học khó Tuy vậy, đối vói sinh viên mơn khó thường sinh viên học môn năm thứ nhất, mà họ vừa bưóc chân từ truồng trung học vào trường đại học, phải bắt đầu làm quen vói mơn học lạ với khối lượng kiến thức đồ sộ vói phương pháp tính tốn tư hồn tồn mẻ Họ khơng phải làm phép tính cồng kềnh, với phường pháp tính tốn địi hỏi nhiều kĩ thuật mà phải tập luyện phương pháp tư chặt chẽ tinh tế, phương pháp học tập, nghiên cứu cách khoa học sáng tạo Những sách tập tốt giúp đỡ họ nhiều để vượt qua khó khăn học tập, việc tiếp nhận, đào sâu, củng cố kiến thức việc rèn luyện óc tư sáng tạo họ Mục tiêu biên soạn sách thê Nội dung sách biên soạn sát vối nội dung kiến thức Đại số tuyên tính mà sinh viên học trường đại học cao đẳng nay, đặc biệt trưòng đại học cao đẳng sư phạm Trong sách có 520 tập đáp ứng tất nội dung Đại số tuyến tính Các tập đa dạng, bao gồm đủ loại: có tập rèn luyện kĩ tính tốn có nhiều có tính lí thuyết giúp học sinh rèn luyện khả vận dụng kiến thức rèn luyện tư sáng tạo Việc xếp thứ tự tập cân nhắc cách kĩ lưỡng: từ dễ đến khó, từ tập củng cố đến tập đào sâu kiến thức đến tập rèn luyện tư sáng tạo, thuận tiện cho việc sử dụng nhiều đối tượng sinh viên Trong sơ tập có nhiêu tập nâng cao nhằm giúp sinh viên có khả có tư liệu học tập tốt Đối với sinh viên, sách giúp bạn bưốc nâng cao trình độ Đối với thầy giáo, sách tư liệu tốt giúp bạn chuẩn bị giảng Các bạn dùng để thiết kế tập lổn khai thácỏ đề tài luận văn tốt nghiệp Phần "Lời giải - Hướng dẫn - Trả lời" có đưa dẫn bổ ích giúp bạn đọc tìm phương hướng giải tốn, đồng thịi có nhiều phân tích giúp bạn đọc trau dồi kinh nghiệm, biết cách suy nghĩ để vận dụng kiến thức phát triển khả tư Đối vối tập khó tác giả có đưa phương pháp giải với lí giải giúp bạn đọc hiểu cần suy nghĩ để đưa cách giải Cuối xin lưu ý sách xét không gian vectơ trường số Chữ K dùng để kí hiệu chung cho trường số hữu tỉ Q, truồng số thực R truồng số phức c Tác giả hi vọng sách thực hữu ích đối vối đối tượng rộng lớn bạn đọc Tuy có nhiều cố gắng việc biên soạn, song không tránh sai sót Rất mong nhận lời bảo quý báu bạn đọc Tác giả xin chân thành cảm ơn TÁC GIẢ C c kí hiệu Tập hợp {Ì, 2, , n} gồm n số tự nhiên từ Ì đến n x„ ' Ì n ơ= ,0*1) ơ(2) ơ(n) s„ sgn(ơ) n Phép biến phần tử i thành ơ(i) Tập hợp phép tập x„ Dấu phép Tổng a, + a + + a n Tổng số a,, vối j thuộc tập số J n Tích a,a a 1=1 n Tích thừa soa,, vối j thuộc tập số J A = nì A = (a )„ Mat„(K) s •A À-' |A| Ma trận A có m dịng, n cột, với thành phần dòng thứ i, cột thứ j Ma trận vuông cấp n Tập hợp ma trận vuông cấp n với thành phần thuộc trường K Ma trận chuyển vị ma trận A Ma trận nghịch đảo ma trận A Định thức ma trận A ì Ma trận đơn vị Mij Định thức bù thành phần a,j ma trận vuông (a,j) Phần bù đại số thành phần a„ Au Mi' ị' Định thức xác định bồi dòng i,, , i, cột j r - í -ì, Mi, ,, Đinh thức bù đinh thức Mí ~ị 1,-1, Phần bù đại số định thức M* f Ki hạng(A) A+B AB ã Hạng ma trận A Tổng hai ma trận A B Tích hai ma trận A B Vectó, phần tử khơng gian vectđ -ã Vectơ đối ã õ A= {ã,, ă , , ã J Vectơ không Hệ vectơ gồm vectơ ã,, hạng(A) (E) = {ẽ „ Ẽ , , s j dim V Hạng hệ vectơ A 2 K ă ã Cơ sỏ (é) không gian vectd Số chiều K - không gian vectơ V f: V-> w Anh xạ tuyên tính từ không gian V đến không gian w f(X) Anh tập X qua ánh xạ tuyến tính f Imf Ánh không gian V hay ảnh ánh xạ tuyên tính f f-'00 Kerfhay f-'(0) Hom (V, W) Anh ngược tập Y " K f+g g.f Hạt nhân ánh xạ tuyến tính f Tập hợp ánh xạ tuyến tính từ V đến w Tơng hai ánh xạ tuyến tính f g Tích hai ánh xạ tuyến tính f g ă| Tích vơ hướng hai vectơ Síp ã trực giao vói p H1G Không gian H trực giao vài không gian G ẹ (rã, P) = rcp (ã, P) = cp (õ , r P) f g g c) F( AnaTCHOK 3jieMeHTbi /iHHeíinoỉí Ajire6pbi "BbiiiJ3HU]aa uiKO/ia" MHHCK P.0 AnaTeHOK C6opHHK 3aaaM no ìHHeiÍHOỈí ajire6pe "Bbiimìiiiia!! QiKO^a" MHHCK, 1980 H B.ỈIpocKypnKOB CốopHHK 3aflan no ^rmeỉíHoỉí a ^rỗpe HayKa MocKBa, 1978 300 Chịu trách nhiêm xuất bản: Giám đốc ĐINH NGỌC BẢO Tổng biên tập LÊ A Biên tập nội dung: NGUYỄN TIẾN TRUNG Kĩ thuật vi tính: ĐÀO PHƯƠNG DUYÊN Trình bày bìa: PHẠM VIỆT QUANG BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH In 1000 cuốn, khổ 17 X 24 em, Xưởng in Trung tâm Học liệu Trường Đại học sư phạm Hà Nội Số xuất bản: 219-2006/CXB/11-25/ĐHSP ngày 28/3/06 In xong nộp lưu chiếu tháng 10 năm 2006