TS NGUYỄN DUY THUẬN (Chủ biên) ThS PHI MẠNH BAN – TS NƠNG QUỐC CHINH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Mã số: 01.01.90/92 ĐH- 2003 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 11 CÁC KÍ HIỆU 15 Chương I: ĐỊNH THỨC 18 MỞ ĐẦU 18 §1 PHÉP THẾ 20 1.1 Định nghĩa phép 20 1.2 Nghịch 21 1.3 Dấu phép 21 §2 KHÁI NIỆM MA TRẬN 24 §3 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC 26 3.1 Định nghĩa 26 3.2 Tính chất định thức 27 §4 KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC 33 4.1 Định thức - Phần bù đại số 33 4.2 Khai triển định thức theo dòng 34 4.3 Khai triển định thức theo r dòng 38 §5 PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC 42 5.1 Tính định thức cấp 42 5.2 Áp dụng phép khai triển định thức theo dòng cột 43 5.3 Đưa định thức dạng tam giác 44 5.4 Áp dụng tính chất định thức 47 5.5 Phương pháp quy nạp phương pháp truy hồi 49 5.6 Tính định thức máy tính bỏ túi máy tính điện tử 51 §6 ỨNG DỤNG - HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER 55 6.1 Định nghĩa 55 6.2 Cách giải 55 6.3 Giải hệ Cramer máy tính bỏ túi máy tính điện tử 58 TÓM TẮT 60 BÀI TẬP 62 VÀI NÉT LỊCH SỬ 67 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Chương II: KHÔNG GIAN VECTƠ 69 MỞ ĐẦU 69 §1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN 71 1.1 Định nghĩa 71 1.2 Một số tính chất đơn giản 72 1.3 Hiệu hai vectơ 73 §2 KHÔNG GIAN CON 74 2.1 Định nghĩa 74 2.2 Tính chất đặc trưng 74 2.3 Tổng không gian 76 2.4 Giao không gian 76 2.5 Không gian sinh hệ vectơ 77 §3 SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH - SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 80 3.1 Định nghĩa 80 3.2 Các tính chất 81 §4 CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ 85 4.1 Định nghĩa 85 4.2 Sự tồn sở 86 §5 SỐ CHIỀU CỦA KHƠNG GIAN VECTƠ 89 5.1 Định nghĩa 89 5.2 Số chiều không gian 89 §6 TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ 92 6.1 Định nghĩa 92 6.2 Ma trận chuyển 93 6.3 Liên hệ tọa độ vectơ hai sở khác 95 §7 HẠNG CỦA HỆ VECTƠ- HẠNG CỦA MA TRẬN 97 7.1 Hạng hệ vectơ 97 7.2 Hạng ma trận 98 7.3 Cách tìm hạng ma trận 103 7.5 Tìm sở, số chiều khơng gian sinh hệ vectơ máy tính điện tử 107 TÓM TẮT 111 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ BÀI TẬP 113 VÀI NÉT LỊCH SỬ 121 Chương III: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 123 MỞ ĐẦU 123 §1 ĐỊNH NGHĨA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH - SỰ XÁC ĐỊNH MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 124 1.1 Các định nghĩa 124 1.2 Sự xác định ánh xạ tuyến tính 128 §2 ẢNH VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 129 2.1 Định nghĩa tính chất 129 2.2 Liên hệ số chiều ảnh, hạt nhân không gian nguồn 133 2.3 Sự đẳng cấu hai không gian số chiều 135 §3 CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP CÁC ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH HOMK(V, W) 136 3.1 Phép cộng hai ánh xạ tuyến tính 136 3.2 Phép nhân ánh xạ tuyến tính với số 137 3.3 Không gian vectơ HomK(V, W) 138 3.4 Tích hai ánh xạ tuyến tính 139 TÓM TẮT 141 BÀI TẬP 143 VÀI NÉT LỊCH SỬ 147 Chương IV: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 148 Mở đầu 148 §1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH - PHƯƠNG PHÁP GAUSS 149 1.1 Định nghĩa 149 1.2 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss (khử dần ẩn số) 150 1.3 Thực phương pháp Gauss máy tính điện tử 156 §2 DIỀU KIỆN ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CĨ NGHIỆM 159 2.1 Điều kiện có nghiệm 159 2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính định thức 160 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ §3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 165 3.1 Định nghĩa 165 3.2 Không gian nghiệm hệ 166 3.3 Liên hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính nghiệm hệ liên kết 170 3.4 Giải hệ phương trình tuyến tính máy tính điện tử 171 TĨM TẮ T 174 BÀI TẬP 175 VÀI NÉT LỊCH SỬ 181 Chương V: MA TRẬN 183 MỞ ĐẦU 183 §1 MA TRẬN CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 184 1.1 Định nghĩa 184 1.2 Liên hệ HomK(V, W) với Mat(m.n)(K) 186 §2 CÁC PHÉP TỐN TRÊN CÁC TẬP MA TRẬN 188 2.1 Phép cộng 188 2.2 Phép nhân ma trận với số 189 2.3 Phép trừ 190 2.4 Không gian vectơ Mat(m,n)(K) 190 2.5 Tích hai ma trận 191 2.6 Thực phép tốn ma trận máy tính bỏ túi mây tính điện tử 196 §3 ĐẠI SỐ MATN(K) CÁC MA TRẬN VUÔNG CẤP N 200 3.1 Định thức tích hai ma trận 200 3.2 Ma trận nghịch đảo 202 3.3 Tìm ma trận nghịch đảo 204 3.4 Một vài ứng dụng ma trận nghịch đảo 210 3.5 Ma trận đẳng cấu 211 §4 SỰ THAY ĐỔI CỦA MA TRẬN CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH KHI THAY ĐỔI CƠ SỞ - MA TRẬN ĐỒNG DẠNG 212 4.1 Sự thay đổi ma trận ánh xạ tuyến tính thay đổi sở212 4.2 Ma trận đồng dạng 213 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ §5 VECTƠ RIÊNG-GIÁ TRỊ RIÊNG 215 5.1 Vectơ riêng- Giá trị riêng 215 5.2 Da thức đặc trưng - Cách tìm vectơ riêng 217 5.3 Tìm giá trị riêng vectơ riêng máy tính điện tử 222 §6 CHÉO HỐ MA TRẬN 224 6.1 Định nghĩa 224 6.2 Điều kiện để ma trận chéo hoá 224 6.3 Định lí 227 TÓM TẮT 228 BÀI TẬP 230 VÀI NÉT LỊCH SỬ 240 Chương VI: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH DẠNG TOÀN PHƯƠNG 241 MỞ ĐẦU 241 §1 DẠNG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 242 1.1 Định nghĩa, ví dụ 242 §2 DẠNG TỒN PHƯƠNG 249 2.1 Định nghĩa 249 2.2 Ma trận dạng toàn phương 250 2.3 Dạng toàn phương xác định 251 §3 ĐƯA DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 252 3.1 Định nghĩa 252 3.2 Định lý 252 3.3 Dưa dạng tồn phương dạng chinh tác máy tính điện tử 257 3.4 Định lý quán tính 259 §4 KHÔNG GIAN VECTƠ ƠCLIT 262 4.1 Định nghĩa không gian vectơ Ơclit 262 4.2 Cơ sở trực chuẩn 263 4.3 Không gian bù trực giao 268 4.4 Hình chiếu vectơ lên khơng gian 269 4.5 Phép biến đổi trực giao - Ma trận trực giao 270 4.6 Phép biến đổi dối xứng 271 4.7 Ứng dụng 272 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ TÓM TẮT 280 §1 DẠNG TUYẾN TÍNH, DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 280 1.1 Định nghĩa 280 1.2 Ma trận dạng song tuyến tính 281 1.3 Liên hệ hai ma trận dạng song tuyến tính hai sở khác 281 §2 DẠNG TỒN PHƯƠNG 282 2.1 Dạng toàn phương 282 2.2 Ma trận dạng toàn phương 282 2.3 Dạng toàn phương xác định 282 §3 ĐƯA DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 283 3.1 Định nghĩa 283 3.2 Định lý 283 3.3 Dùng phần mềm Maple để đưa dạng tồn phương dạng tắc 283 3.4 Định lý quán tính 284 §4 KHƠNG GIAN VECTƠ ƠCLIT 285 4.1 Định nghĩa 285 4.2 Cơ sở trực chuẩn 285 4.3 Không gian bù trực giao 286 4.4 Hình chiếu vectơ lên không gian 286 4.5 Phép biến đổi trực giao - Ma trận trực giao 286 4.6 Phép biến đổi đối xứng 287 4.7 Ứng dụng 287 BÀI TẬP 288 §1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 288 §2 DẠNG TỒN PHƯƠNG 289 VÀI NÉT LỊCH SỬ 293 Chương VII: QUY HOẠCH TUYẾN ANH 294 MỞ DẦU 294 §1 BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 295 1.1 Một vài toán thực tế 295 1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính 297 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 1.3 Ý nghĩa hình học phương pháp đồ thị 302 §2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH VÀ CÁC THUẬT TỐN CỦA NĨ 306 2.1 Một số tính chất tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 306 2.2 Phương pháp đơn hình 313 2.3 Giải tốn quy hoạch tuyến tính máy tính điện tử ( Theo lập trình tính tốn với Mathematica 4.0) 335 TÓM TẮT 339 BÀI TẬP 340 VÀI NÉT LỊCH SỬ 346 LỜI GIẢI -HƯỚNG DẪN -TRẢ LỜI 347 TÀI LIỆU THAM KHẢO 385 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ LỜI NÓI ĐẦU Ở thời đại chúng ta, khoa học kĩ thuật phát triển vũ bão Chúng địi hỏi ngành giáo dục phải ln ln đổi kịp thời để đáp ứng nhu cầu tri thức khoa học thiếu niên, giúp họ có khả lao động sáng tạo sống sơi động Hiện chương trình sách giáo khoa bậc phổ thông nước ta bắt đầu thay đổi để phù hợp với đòi hỏi Trường Cao đẳng Sư phạm, nôi đào tạo giáo viên THCS, cần phải có đổi tương ứng chương trình sách giáo khoa Vì mục đích đó, sách giáo khoa đời, thay cho sách giáo khoa cũ Cuốn sách Đại số tuyến tính biên soạn lần này, nằm khn khổ đổi Nó nhằm làm giáo trình tiêu chuẩn chung cho trường Cao đẳng Sư phạm nước theo chương trình (chương trình 2002), địi hỏi khơng phải đổi nội dung kiến thức (nếu cần) phương pháp giảng dạy giảng viên phương pháp học tập sinh viên Mặt khác, qua thời gian dài thực chương trình sách giáo khoa cũ, đến đánh giá ưu, khuyết điểm nó, phù hợp với trình độ đầu vào sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm Do sách biên soạn lần thừa hưởng ưu điểm khắc phục thiếu sót sách cũ Đối tượng sử dụng sách sinh viên giảng viên trường Cao đẳng Sư phạm nước, giáo viên THCS cần bồi dưỡng để đạt trình độ chuẩn hố Cuốn sách dùng cho trường Đại học Cao đẳng khác cho tất muốn tự học môn học Cơ sở để lựa chọn nội dung giáo trình yêu cầu đầu trình độ đầu vào sinh viên Cao đẳng Sư phạm nay, đồng thời cần tính đến vai trị môn học môn khoa học khác Giải tích, Hình học, Vật lý, Hố học,v.v , tạo điều kiện cho người học học lên cao Cụ thể, giáo trình phải trang bị cho người giáo viên toán tương lai trường THCS kiến thức cần thiết, đầy đủ, vững vàng Đại số tuyến tính để giảng dạy tốt phần liên quan chương trình tốn THCS Tuy nhiên, nội dung phương pháp trình bày nội dung lại phải phù hợp với trình độ 11 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Nghiệm tổng quát hệ (0, 0, c3); nghiệm (0, 0, 1) Không gian riêng tương ứng sinh vectơ (0, 0, 1) + Với k2 = − giải hệ phương trình: Nghiệm tổng quát hệ (c1, -(1 + (1, -(1 + ),0) )c1, 0), hệ nghiệm Không gian riêng tương ứng sinh vectơ (1, -(1 + + với k3 = ),0) giải hệ phương trình: Nghiệm tổng quát hệ (c1, ( -1), 0), hệ nghiệm (1, - 1, 0) Không gian riêng tương ứng sinh vectơ (1, - 1, 0) • Các giá trị riêng fg: K1 = 0, k2 = 1, k3 = - , k4 = 372 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ + với k = 0, giải hệ phương trình: Nghiệm tổng quát hệ (c1, -c1, 0, 0); hệ nghiệm (1, -1, 0, 0) Không gian riêng tương ứng sinh vectơ (1, -1, 0, 0) + Với k2 = 1, giải hệ phương trình: Nghiệm tổng quát hệ (0, 0, 0, c); hệ nghiệm (0, 0, 0, 1) Không gian riêng tương ứng sinh vectơ (0, 0, 0, 1) + Với k3 = - , giải hệ phương trình: Nghiệm tổng quát hệ (c1, -(1+ )c1, (2+ )c1, 0); hệ nghiệm (1, -(1+ ), (2 + ), 0) Không gian riêng tương ứng sinh vectơ (1, -(1+ ), (2+ ), 0) + Với k4 = giải hệ phương trình: 373 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Nghiệm tổng quát hệ (c1, ( -1)c1, (2- )c1 , 0); hệ nghiệm (1, -1 , 2- , 0) Không gian riêng tương ứng sinh vectơ (1, -1 , 2- , 0) f) Ma trận BA chéo hoá có giá trị riêng phân biệt Trong sở gồm vectơ {(0, 0, 1), (1, -1 ma trận gf ma trận chéo , 0), (1, -1+ , 0)} Gọi T ma trận chuyển từ sở tắc sang sở ta có C = T-1BAT Ma trận AB chéo hoá Trong sở gồm vectơ {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (1, -1- , 2+ , 0), (1, -1, 2- , 0)} ma trận fg ma trận chéo Chương VI DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TỒN PHƯƠNG Trên R3 ta xét sở tắc e = { 1, 2, 3} với = (1, 0, 0), = (0, 1, 0), = (0, 0, 1) Khi ma trận dạng song tuyến tính ϕ 374 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ R3 đố với sở e = { 1, 2, 3} Chính A = (ϕ ( i, j)) Theo định nghĩa Ma trận chuyển từ sở tắc e={ T= 1, 2, 3} sang sở (ξ) ma trận dạng song tuyến tính ϕ R3 sở (ξ) 375 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ giá trị riêng λ = - 1, λ = , ứng với λ = - có vectơ riêng ứng với λ = có vectơ riêng P= , đặt ta có ma trận: 376 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Chương VII QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Gọi x1, x2 theo thứ tự số đơn vị loại hàng I, II cần sản xuất theo kế hoạch ngày Khi doanh thu ngày 7xl + 5x2 Do trữ lượng nguyên liệu có hạn lượng hàng sản xuất khơng vượt q nhu cầu thị trường nên ta có: Và tất nhiên x1, x2 ≥ Từ ta lập mơ hình tốn học cho tốn thực tế Tập phương án X ≠ ∅ x* ∈ X Với phương án x = (x1, x2, x3) bất kì, cách cộng vế với vế bất phương trình hệ ràng buộc cưỡng ta có 7xl + x2 ≥ V x1 ≥ nên f(x) = 84x1 + x3 ≥ 7x1 + x3 ≥ = f (x*) với phương án x Từ suy điều phải chứng minh a) (4, 1); b) Tập phương án rỗng x1 phương án cực biên không suy biến, x2 phương án cực biên suy biến, x3 phương án cực biên Có tất phương án cực biên Bài tốn khơng suy biến phương án cực biên không suy biến Chú ý rằng, ràng buộc thứ hai xác định nửa mặt phẳng chứa gốc toạ độ, bờ ln qua điểm (x1, x2 ) = (0, 2), có hệ số góc (t) Xét trường hợp cho (-t) tăng dần từ - ∞ đến + ∞ (-π/2< φ 2/3; b) t < -1; c) -1 < t < 2/3; d) t = -1 10 a) Cách Biểu diễn hình học tập phương án, vẽ đường mức chứng tỏ khơng có vị trí giới hạn 377 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Cách Tìm điều kiện t cho x = (t, t) phương án Khi f(x(t)) = 2t cho qua giới hạn ta điều phải chứng minh b) Xác định t cho x(t) = (0, t, 0, t) phương án Khi đó, tính f(x(t)) cho qua giới hạn ta điều phải chứng minh ∆j ≤ Với i nên phương án tối ưu 12 a) (71/10, 0, 0, 13/10, 0, 2/5) phương án tối ưu b) (1, 1, 1/2, 0) phương án tối ưu c) Hàm mục tiêu không bị chặn d) ( 0, 6, 2, 3, 0, ) phương án tối ưu e) ( 0, 0, 3, 4, 0) phương án tối ưu g) Tập phương án rỗng h) ( 1, 0, 6, 3) phương án tối ưu i) Hàm mục tiêu không bị chặn k) Tập phương án rỗng 378 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ BẢNG THUẬT NGỮ Trang A Ánh xạ 123 Ánh xạ tuyến tính 124 Ảnh ánh xạ tuyến tính 129 Ảnh vectơ 125 Ảnh ngược 129 Ẩn sở 153 Ẩn phi sở 153 B Bài toán chuẩn 37 Bài toán cực tiểu hoá 330 Bài tốn dạng tắc 331 Bài tốn dạng chuẩn tắc 331 Bài tốn khơng suy biến suy biến 338 Bài tốn q hoạch tuyến tính 325 Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt 329 Bài tốn quy hoạch toán học (tối ưu hoá) 325 Bảng đơn hình 355 Bước lặp 353 C Chuẩn vectơ 263 Chuyển trí 20 Cơng thức đổi toạ độ 96 Cột xoay 357 379 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Cơ sở không gian vectơ 85 Cơ sở tắc 86 Cơ sở ma trận 337 Cơ sở phương án cực biên 337 Cơ sở trực chuẩn 263 D Dạng chéo ma trận 213 Dạng tắc dạng tồn phương 185 Dạng cực dạng toàn phương 282 Dạng song tuyến tính 274 Dạng song tuyến tính đối xứng 274 Dạng toàn phương 283 Dạng toàn phương xác định 265 Dạng toàn phương xác định dương (âm) 265 Dấu phép Dòng xoay 22 341 Đ Đa thức đặc trưng 233 Đại số ma trận vuông Matn(K) 214 Đẳng cấu 136 Định thức 27 Định thức 35 Định thức bù 35 Đồng cấu 133 Đơn cấu 136 380 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ G Giao không gian 84 Giá trị riêng 229 Giá trị tối ưu 314 H Hàm mục tiêu 313 Hàm mục tiêu không bị chặn 314 Hạng hệ vectơ 104 Hạng ma trận 104 Hạt nhân ánh xạ tuyến tính 139 Hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính 180 Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính 60 178 Hệ sinh không gian vectơ 84 Hệ vectơ độc lập tuyến tính 88 Hệ vectơ liên kết Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 324 88 Hiện tượng xoay vịng 336 Hình chiếu vectơ lên khơng gian 284 K Khai triển định thức theo dòng 36 Khai triển định thức theo r dịng 42 Khơng gian 81 Không gian bù trực giao 283 Không gian bất biến 230 Không gian vectơ ơclit 277 Không gian sinh hệ vectơ 84 381 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Không gian vectơ 76 M Ma trận 25 Ma trận toạ độ 106 Ma trận chuyển (từ sở sang sở khác) 100 Ma trận chuyển vị 126 Ma trận ánh xạ tuyến tính 198 Ma trận dạng song tuyến tính 260 Ma trận đối xứng 264 Ma trận đặc trưng 233 Ma trận đồng dạng 227 Ma trận đơn vị 214 Ma trận nghịch đảo 261 Ma trận ràng buộc 316 Ma trận tam giác 47 Ma trận tam giác 48 Ma trận trực giao Ma trận vuông 285 27 N Nghịch 22 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính 160 Nghiệm đa thức đặc trưng 233 Nghiệm riêng hệ phương trình tuyến tính 167 Nghiệm tổng qt 167 382 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ P Phần bù đại số 35 Phần tử trục 341 Phép biến đổi sơ cấp 114 Phép biến đổi đối xứng 287 Phép biến đổi trực giao 285 Phép cộng hai ánh xạ tuyến tính 146 Phép cộng hai ma trận 204 Phép nhân ánh xạ tuyến tính với số 147 Phép nhân ma trận với số 204 Phép 21 Phép chẵn, phép lẻ 22 Phép xoay 341 Phương án 313 Phương án cực biên 321 Phương án cực biên không suy biến suy biến 322 Phương án đơn hình 321 Phương án tìm theo hướng 333 Phương án tối ưu 314 R Ràng buộc cưỡng 313 Ràng buộc tự nhiên 313 S Số chiều khơng gian vectơ 96 383 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ T Tích hai ánh xạ tuyến tính 149 Tích hai ma trận 205 Tích vơ hướng 277 Toạ độ vectơ Tồn cấu Tổ hợp tuyến tính 99 136 87 Tổng hai ánh xạ tuyến tính 146 Tổng hai ma trận 202 Tổng không gian 83 Ư Ước lượng 330 V Vectơ Vectơ định chuẩn 78 278 Vectơ đối 78 Vectơ không 78 Vectơ riêng 229 Vectơ trực giao 278 384 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng văn Uyên Quy hoạch tuyến tính NXBGD.1996 Hoàng Tuỵ Lý thuyết quy hoạch Nhà xuất Khoa học Hà Nội 1968 Phí Mạnh Ban Quy hoạch tuyến tính NXBGD 1998 Ngơ Thúc Lanh Đại số tuyến tính Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Nguyễn Duy Thuận Toán Cao cấp A1 Phần Đại số tuyến tính NXBGD 2001 Nguyễn Đức Nghĩa Tối ưu hố (Quy hoạch tuyến tính rời rạc) NXBGD.1996 Trần Văn Hạo Đại số cao cấp Tập I Đại số tuyến tính NXBGD 1977 Jonathan S Golan Foundation of Linear Algebra Kluwer Academic Pubhshers 1996 J.M.Arnaudiès- H.Fraysse Cours de Mathématiqué-J Algèbre DUNOD Paris.1996 385 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Chịu trách nhiệm xuất bản: Giám đốc ĐINH NGỌC BAO Tổng biên tập Lê A Biên tập nội dung: NGUYÊN TIÊN TRUNG Trình bày bìa: PHẠM VIỆT QUANG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH In 600 cuốn, khổ 17 x 24 cm Cơng ty In Văn hố phẩm Hà Nội Giấy phép xuất số 90 -II31/XB-QLXB, ký ngày 29/8/2003 In xong nộp lưu chiểu tháng 11 năm 2003 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/