TĨM TẮT BÀI GIẢNG Đại số tuyến tính nâng cao BIÊN SOẠN: NGUYỄN MINH TRÍ ĐỒNG NAI - 2013 Mục lục Cấu trúc tự đồng cấu 1.1 Đa thức tối tiểu 1.2 Tổng trực tiếp không gian 1.3 Không gian bất biến 1.4 Tự đồng cấu lũy linh 1.5 Dạng chuẩn Jordan 1.6 Bài tập 15 22 28 32 Không gian vectơ Euclide 37 2.1 Định nghĩa 37 2.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao 43 2.3 Tự đồng cấu đối xứng 50 Dạng song tuyến tính, dạng tồn phương 3.1 Các khái niệm 3.2 Ma trận biểu thức tọa độ 3.3 Dạng tắc dạng tồn phương 3.4 Luật quán tính phân loại dạng toàn phương 3.5 Đưa dạng toàn phương dạng tắc phép biến đổi trực giao Tài liệu tham khảo 55 55 56 58 63 64 67 Chương Cấu trúc tự đồng cấu Cho ma trận vuông A Ta tìm ma trận đồng dạng với A mà có dạng đơn giản Trước tiên ta cần nhắc lại khái niệm hai ma trận tương đương Hai ma trận A B gọi tương đương có ma trận P khơng suy biến cho P −1 AP = B Tích P −1 AP gọi phép biến đổi đồng dạng A Ta nhận thấy rằng, ma trận chéo có dạng đơn giản Vì ta tự hỏi "Mọi ma trận vuông đồng dạng với ma trận chéo?" Trong học phần trước ta chứng minh điều khơng Ta lấy ví dụ ma trận " # Bài toán: A= 0 thấy A2 = Nếu tồn ma trận không suy biến P cho P −1 AP = D với D ma trận chéo D2 = P −1 AP P −1 AP = P −1 A2 P = ⇒ D = ⇒ A = 0, điều mâu thuẫn Do ma trận A không đồng dạng với ma trận chéo Ta nhận thấy A ma trận lũy linh tổng quát ma trận lũy linh khác ma trận khơng khơng chéo hóa được??? Ma trận lũy linh đóng vai trị quan trọng việc khơng chéo hóa Tiếp theo ta nhắc đến số khái niệm có liên quan đến việc chéo hóa Một tập đầy đủ vectơ riêng ma trận A cấp n tập gồm n vectơ riêng độc lập tuyến tính A Chú ý rằng: Khơng phải ma trận có tập đầy đủ vectơ riêng Ma trận vuông A cấp n chéo hóa A có tập đầy đủ vectơ riêng Hơn nữa, P −1 AP = diag(λ1 , λ2 , , λn ) cột P vectơ tập đầy đủ vectơ riêng A Vì khơng phải ma trận vng chéo hóa nên câu hỏi đặt là: "Mọi ma trận đồng dạng với ma trận dạng tam giác?" Câu trả lời "Đúng." Ta ý rằng, hai ma trận đồng dạng chúng có giá trị riêng kể bội Tuy nhiên vectơ riêng chúng khác Đối với tự đồng cấu tuyến tính f , ta biết giá trị riêng ma trận f không thây đổi sở khác Hay ta nói giá trị riêng f độc lập việc chọn sở Ta phát biểu định lý quan trọng Schur nói phép biến đổi đồng dạng ma trận sau Định lí 1.0.1 Định lý tam giác hóa Schur Mọi ma trận vng A đồng dạng với ma trận tam giác Tức tồn ma trận không suy biến P ma trận tam giác T cho P −1 AP = T Hơn phần tử nằm đường chéo ma trận T giá trị riêng ma trận A Như vậy, ta đặt tiếp câu hỏi "Mọi ma trận vng A đồng dạng với dạng ma trận đơn giản dạng tam giác không?" Câu trả lời "Có" ma trận gọi ma trận chuẩn Jordan Trong chương thấy A ∈ Mn (C) (tức ta xét ma trận vuông tập số phức) A đồng dạng với ma trận chuẩn Jordan Đối với tự đồng cấu f : V → V ta có câu hỏi sau: • Với tự đồng cấu f, có tồn sở V cho cho ma trận f sở ma trận chéo? Nếu có sở thỏa u cầu ta nói f chéo hóa Tuy nhiên, ta biết khơng phải tự đồng cấu chéo hóa • Trong trường hợp f khơng chéo hóa ta tìm sở V cho ma trận f có sở có dạng đơn giản 1.1 Đa thức tối tiểu Cho K trường, xét không gian vectơ ma trận vng Mn (K) K Ta có dim Mn (K) = n2 Tập ma trận A0 = I, A, , An phụ thuộc tuyến tính có n2 + phần tử Do có đa thức khác khơng bậc n2 p(x) = a0 + a1 x + + an2 xn ∈ K[x] cho p(A) = Đa thức nhận A làm "nghiệm" bên có bậc n2 , nhiên ta tìm đa thức có bậc nhỏ n2 nhận A làm nghiệm Đó nội dung Định lý Cayley-Hamilton mà ta nói triminhng@gmail.com 1.1 Đa thức tối tiểu Ta nhắc lại A ∈ Mn (K) ma trận vuông cấp n đa thức đặc trưng A PA (x) = det(A − xI) với PA (x) đa thức có bậc n Định lí 1.1.1 (Định lý Cayley-Hamilton) Cho A ∈ Mn (K) Khi PA (A) = Chứng minh Ta nhớ A ∈ Mn (K) ta kí hiệu adjA ma trận phụ hợp A, ta có A(adjA) = (detA)I Đặc biệt ma trận A − xI, ta có (A − xI)B(x) = det(A − xI)I với B(x) = adj(A − xI) ma trận phụ hợp A − xI Vì phần tử ma trận B(x) định thức ma trận cấp n − ma trận A − xI, nên phần tử B(x) đa thức có bậc khơng n − Như B(x) phân tích thành B(x) = B0 + B1 x + + Bn−1 xn−1 với Bi ∈ Mn (K) Ví dụ,   −1   x x2 + x +2  B(x) =  x + 2       0 0 −1       B(x) = 0 0 x + 1 0 x + 1  0 1 Bây ta có PA (x) = det(A − xI) = a0 + a1 x + + an−1 xn−1 + an xn Khi (A − xI)(B0 + B1 x + + Bn−1 xn−1 ) = (a0 + a1 x + + an−1 xn−1 + an xn )I Đồng hệ số lũy thừa x hai vế, ta AB0 = a0 I AB1 − B0 = a1 I AB2 − B1 = a2 I ABn−1 − Bn−2 = an−1 I −Bn−1 = an I triminhng@gmail.com Bây ta nhân bên trái đẳng thức sau: đẳng thức thứ với A0 = I, đẳng thức thứ hai với A1 = A, đẳng thức thứ ba với A2 , , đẳng thức cuối với An Khi ta AB0 = a0 I A2 B1 − AB0 = a1 A A3 B2 − A2 B1 = a2 A2 An Bn−1 − An−1 Bn−2 = an−1 An−1 −An Bn−1 = an An Cộng vế với vế đẳng thức ta = a0 I + a1 A + + an−1 An−1 + an An Điều chứng tỏ A nghiệm đa thức đặc trưng Ta nhầm lẫn với cách chứng minh đơn giản cách thay ma trận A vào x đa thức đặc trưng PA (x) = det(A − xI) để PA (A) = det(A − AI) = det0 = Ta thấy việc thay không Đầu tiên, định lý Cayley-Hamilton PA (A) ma trận cấp n vế phải giá trị định thức, vô hướng (det0 = phần tử thuộc trường K) Thứ hai, ta xét khai triển det(A − xI) Ta lấy − x 1.4 Tự đồng cấu lũy linh với phần tử thuộc đường chéo λ, phần tử nằm đường chéo phần tử cịn lại Định lí 1.4.3 Cho J ma trận Jordan sở liên kết với λ cấp m Khi PJ (x) = (−1)m (x − λ)m mJ (x) = (x − λ)m Chứng minh Chứng minh xem tập Ma trận chéo khối gồm khối Jordan sở liên kết với λ gọi ma trận khối Jordan liên kết với λ Ma trận chuẩn Jordan ma trận có dạng   J1     J2     Jk Ji ma trận Jordan sở phần tử lại Các khối Ji gọi khối Jordan Bổ đề 1.4.4 Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều khác không f : V → V tự đồng cấu lũy linh có bậc k Giả sử x vectơ khác không V cho f i (x) 6= f i+1 (x) = Khi tập {x, f (x), f (x), , f i (x)} độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.4.5 Cơ sở Jordan ánh xạ tuyến tính f : V → V sở V cho ma trận f sở ma trận chuẩn Jordan Định lí 1.4.6 Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều khác không f : V → V tự đồng cấu lũy linh có bậc k Khi có sở V mà ma trận f sở có dạng khối Jordan liên kết với Chứng minh Đặt Mi = Imf i ∩ Kerf với i = 0, 1, , k − Ta có dãy khơng gian lồng sau = Mk ⊂ Mk−1 ⊂ ⊂ M1 ⊂ M0 = Kerf Đặt Sk−1 sở Mk−1 , ta bổ sung vào Sk−1 tập Sk−2 để Sk−1 ∪ Sk−2 sở Mk−2 Tiếp tục bổ sung thêm Sk−3 để Sk−1 ∪ Sk−2 ∪ Sk−3 sở Mk−3 Cứ vậy, ta Sk−1 ∪Sk−2 ∪ .∪S1 ∪S0 sở M0 = Kerf Giả sử số phần tử Si vi ta đặt Si = {bi1 , bi2 , , bivi } Khi đó, ta đặt B = {bk−1,1 , bk−1,2 , , bk−1,vk−1 , , b11 , b12 , , b1v1 , b01 , b02 , , b0v0 } sở Kerf 23 triminhng@gmail.com Lấy bij ∈ B, bij ∈ Si ⊂ Imf i ∩ Kerf ⊂ Imf i Do đó, ta có xij ∈ V cho f i (xij ) = bij Đặt Jbij = {f i (xij ), f i−1 (xij ), , f (xij ), xij } Ji = Jbi1 ∪ Jbi2 ∪ ∪ Jbivi Ta chứng minh J = Jk−1 ∪ Jk−2 ∪ J1 ∪ J0 sở Jordan V Đầu tiên ta chứng minh số vectơ J n = dim V Đặt di = dim Mi ri = dim Imf i , suy số phần tử Si vi = di −di+1 Chú ý dk = = rk r0 = dim idV = n Theo ta có tính chất sau (theo [7, 4.5.1]) dim(Imf i ∩ Kerf ) = dim Imf i − dim Im(f i f ) suy di = ri − ri+1 Số phần tử Jbij i + với i = 0, 1, , k − j = 1, 2, , vi Số phần tử J k−1 X số phần tử Ji = i=1 = k−1 X i=0 k−1 X (i + 1)vi (i + 1)(di − di+1 ) i=0 = (d0 − d1 ) + 2(d1 − d2 ) + + k(dk−1 − dk ) = d0 + d1 + + dk−1 = (r0 − r1 ) + (r1 − r2 ) + + (rk−1 − rk ) = r0 − rk = n − = n Tiếp theo, ta chứng minh J tập độc lập tuyến tính Chú ý B sở Kerf nên vectơ bij độc lập tuyến tính Giả sử k−1 k−1 X X (i) (i) ak−1,1 f i (xk−1,1 ) + + + i=0 k−2 X ak−1,vk−1 f i (xk−1,vk−1 ) i=0 k−2 X (i) ak−2,1 f i (xk−2,1 ) + + i=0 (i) ak−2,vk−2 f i (xk−2,vk−2 ) i=0 + + X (i) a1,1 f i (x1,1 ) i=0 (0) +a0,1 b0,1 + + X (i) a1,v1 f i (x1,v1 ) i=0 + + (0) a0,v0 b0,v0 =0 24 triminhng@gmail.com 1.4 Tự đồng cấu lũy linh Chú ý f i+1 (Jbij ) = {0}, f i (Jbij ) = {bij } f i (Ji ) = {bi1 , bi2 , , bivi } • Lấy ảnh tổ hợp tuyến tính qua ánh xạ f k−1 Ta (0) (0) (0) ak−1,1 f k−1 (xk−1,1 ) + ak−1,2 f k−1 (xk−1,2 ) + + ak−1,v1 f k−1 (xk−1,vk−1 ) = hay (0) (0) (0) ak−1,1 bk−1,1 + ak−1,2 bk−1,2 + + ak−1,v1 bk−1,vk−1 = (0) (0) Do bk−1,1 , bk−1,2 , , bk−1,vk−1 độc lập tuyến tính nên ak−1,1 = ak−1,2 = = (0) ak−1,vk−1 = • Tiếp theo, ta lấy ảnh tổ hợp tuyến tính qua ánh xạ f k−2 Ta (1) (1) (1) (0) (0) (0) ak−1,1 f k−1 (xk−1,1 ) + ak−1,2 f k−1 (xk−1,2 ) + + ak−1,vk−1 f k−1 (xk−1,vk−1 ) +ak−2,1 f k−2 (xk−2,1 ) + ak−2,2 f k−2 (xk−2,2 ) + + ak−2,vk−2 f k−2 (xk−2,vk−2 ) = hay (1) (1) (1) (0) (0) (0) ak−1,1 bk−1,1 + ak−1,2 bk−1,2 + + ak−1,vk−1 bk−1,vk−1 +ak−2,1 bk−2,1 + ak−2,2 bk−2,2 + + ak−2,vk−2 bk−2,vk−2 = Do bk−1,1 , bk−1,2 , , bk−1,vk−1 , bk−2,1 , bk−2,2 , , bk−2,vk−2 độc lập tuyến tính (1) (1) (1) (0) (0) nên ak−1,1 = ak−1,2 = = ak−1,vk−1 = ak−2,1 = ak−2,2 = = (0) ak−2,vk−2 = • Tiếp tục, ta lấy ảnh tổ hợp tuyến tính qua ánh xạ f k−3 Ta (2) ak−1,j = 0, j = 1, 2, , vk−1 ; (1) ak−2,j = 0, j = 1, 2, , vk−2 ; (0) ak−3,j = 0, j = 1, 2, , vk−3 • Tiếp tục trình trên, lấy ảnh tổ hợp tuyến tính qua ánh xạ f k−4 , , f , f ta tất hệ số tổ hợp tuyến tính bên Vậy J tập độc lập tuyến tính có n vectơ, sở V Ta xếp vectơ B theo thứ tự J = Jk−1 ∪ Jk−2 ∪ J1 ∪ J0 với Ji = Jbi1 ∪ Jbi2 ∪ ∪ Jbivi Khi ma trận f sở J có dạng ma trận chuẩn Jordan liên kết với 25 triminhng@gmail.com Giả sử B = {b1 , b2 , , bt } sở Kerf Từ ta xây dựng sở Jordan f J = Jb1 ∪ Jb2 ∪ ∪ Jbt cho ma trận f có dạng   N1 N2         Nt Trong Ni ma trận Jordan sở liên kết với Cho f tự đồng cấu lũy linh bậc k Khi dạng Jordan f có cách tính chất: Nhận xét: • Số khối Jordan sở dim Kerf ã Khi cú cp ln nht l k ì k ã S cú cp i ì i l vi = ri − 2ri+1 + ri+2 , với ri = dim Imf i Ta xem ví dụ minh họa Ví dụ 1.4.4 Xét ánh xạ tuyến tính f : R4 → R4 xác định f (a, b, c, d) = (0, a, d, 0) Ta có f = f lũy linh với bậc k = Ta có M0 = Kerf = {(0, b, c, 0) | b, c, ∈ R} = h(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)i; M2 = Imf ∩ Kerf = 0; M1 = Imf ∩ Kerf = h(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)i Ta có S1 = {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} S0 = ∅ Cơ sở Kerf gồm vectơ nên ma trận Jordan f có khối Đặt b11 = (0, 1, 0, 0), b12 = (0, 0, 1, 0) ∈ Imf Khi ta có x11 = (1, 0, 0, 0) ∈ R4 cho f (x11 ) = b11 ; ta có x12 = (0, 0, 0, 1) ∈ R4 cho f (x12 ) = b12 Khi đó, ta có sở R4 gồm B = {f (x11 ), x11 , f (x12 ), x12 } Khi đó, ma trận f sở B có dạng khối Jordan sau   0       1 0 26 triminhng@gmail.com 1.4 Tự đồng cấu lũy linh Giả sử f : V → V đồng cấu có λ ∈ K cho đồng cấu f − λid : V → V lũy linh bậc k V có sở B ma trận f − λid có dạng chuẩn Jordan liên kết với Khi ma trận f sở B ma trận chuẩn Jordan liên kết với λ Thật vậy, giả sử J ma trận f − λid có dạng chuẩn Jordan liên kết với Ta biết ma trận λid sở ma trận chéo D với phần tử đường chéo λ Khi f = (f − λid) + λid có ma trận sở B J + D ma trận chuẩn Jordan liên kết với λ Nhận xét: Nếu B sở Ker(f − λid) vectơ B vectơ riêng f Ví dụ 1.4.5 Cho ánh xạ tuyến tính g : R4 → R4 xác định g(a, b, c, d) = (2a, a + 2b, 2c + d, 2d) Ta có đa thức đặc trưng g Pg (x) = (x − 2)4 đa thức tối tiểu g mg (x) = (x − 2)2 Khi g − 2id tự đồng cấu lũy linh bậc Nếu ta đặt f = g − 2id ta có f (a, b, c, d) = (0, a, d, 0) Theo ví dụ bên ta có sở V B = {e1 = f (x11 ), e2 = x11 , e3 = f (x12 ), e4 = x12 } mà ma trận f sở có dạng chuẩn Jordan liên kết với Khi g(e1 ) = (f g(e2 ) = (f g(e3 ) = (f g(e4 ) = (f + 2id)(e1 ) = f (e1 ) + 2e1 + 2id)(e2 ) = f (e2 ) + 2e2 + 2id)(e3 ) = f (e3 ) + 2e3 + 2id)(e4 ) = f (e4 ) + 2e4 ma trận g sở B  = f (x11 ) + 2e1 = 2e1 = f (x11 ) + 2e1 = e1 + 2e2 = f (x12 ) + 2e3 = 2e3 = f (x12 ) + 2e4 = e3 + 2e4  0     1   Ví dụ 1.4.6 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định f (x, y, z) = (x + y, −x + 3y, −x + y + 2z) Ma trận f sở tắc     A = −1 0 −1 27 triminhng@gmail.com Ta có PA = (x − 2)3 mA = (x − 2)2 Khi ta có (f − 2id)(x, y, z) = (−x + y, −x + y, −x + y) M0 = Ker(f − 2id) = h(1, 1, 0), (0, 0, 1)i; M2 = Im(f − 2id)2 ∩ Ker(f − 2id) = 0; M1 = Im(f − 2id) ∩ Ker(f − 2id) = h(1, 1, 1)i Do S1 = {b11 = (1, 1, 1)} S0 = {b0,1 = (0, 0, 1)} Ta tìm sở Jordan R3 sau: Vì b11 ∈ S1 ⊂ Im(f − 2id) nên có x11 = (−1, 0, 0) cho (f − 2id)(x11 ) = b11 Khi Jb11 = {e1 = (f − 2id)(x11 ), e2 = x11 } Jb01 = {e3 = b01 } Do J = {e1 = (1, 1, 1), e2 = (−1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1)} sở Jordan f ma trận f sở J     0 0 0 1.5 Dạng chuẩn Jordan Mục đích mở rộng Định lý 1.4.6 trường hợp f tự đồng cấu Ta quay lại phân tích nguyên sơ Với kí hiệu dùng, ta giả sử tất giá trị riêng f thuộc trường K Khi theo Định lý 1.3.4 Hệ 1.3.6 nó, đa thức tối tiểu fi (x − λi )ei suy ánh xạ fi − λi idVi lũy linh với bậc ei khơng gian Vi có số chiều di Định lí 1.5.1 (Dạng chuẩn Jordan) Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều khác không f : V → V tự đồng cấu tuyến tính Nếu λ1 , , λk ∈ K giá trị riêng phân biệt f có sở V cho ma trận f có dạng chuẩn Jordan   J1     J2     Jk Ji ma trận khối Jordan liên kết với λi 28 triminhng@gmail.com 1.5 Dạng chuẩn Jordan Chứng minh Với kí hiệu sử dụng, theo Định lý 1.3.4 có sở Bi Vi = Ker(f − λi idVi )ei mà ma trận fi − λi idVi có dạng khối Jordan với phần tử nằm đường chéo (vì giá trị riêng ánh xạ lũy linh 0) Do ma trận Ji fi ma trận khối Jordan với λi nằm đường chéo Khi B = B1 ∪ B2 ∪ ∪ Bk sở Jordan f Chú ý: Các khối ma trận khối Jordan liên kết với giá trị riêng λi tự đồng cấu f khối khối Jordan sở liên kết với λi Định nghĩa 1.5.2 Ma trận có dạng Định lý 1.5.1 gọi ma trận chuẩn Jordan f Nói cách rõ hơn, ma trận chuẩn Jordan f khơng thứ tự khối Jordan Ji đường chéo không cố định Tuy nhiên, số khối, kích cỡ khối số ma trận Jordan sở xuất khối xác định f Vì thế, ta thấy ma trận Jordan sở xếp đường chéo theo thứ tự giảm dần kích cỡ khối Jordan xếp theo chiều tăng giá trị riêng ta có dạng chuẩn Jordan tự đồng cấu f Định nghĩa 1.5.3 Nếu ma trận A ∈ Mn (K) đồng dạng với ma trận Jordan J J gọi ma trận dạng Jordan A Nhận xét 1.5.4 Nếu đa thức đặc trưng đa thức tối tiểu f (hay ma trận k k Y Y di vuông A ánh xạ tuyến tính f ) Pf = (x − λi ) mf = (x − i=1 i=1 ei λi ) ma trận Jordan f (hay dạng Jordan A) giá trị riêng λi xuất xác di lần đường chéo chính, số ma trận Jordan sở liên kết với λi dim Ker(f − λi idVi ) có ma trận Jordan sở có cấp tối đại ei Ví dụ 1.5.1 Cho ánh xạ tuyến tính f : R7 → R7 có đa thức đặc trưng đa thức tối tiểu Pf = (x − 1)3 (x − 2)4 , mf = (x − 1)2 (x − 2)3 Trong ma trận Jordan f, giá trị riêng xuất ba lần đường chéo có ma trận Jordan sở liên kết với có cấp 2; giá trị riêng xuất lần đường chéo có ma trận Jordan sở liên kết với có 29 triminhng@gmail.com cấp Sắp xếp thứ tự khối, có dạng ma trận Jordan f   1            2 2            Ví dụ 1.5.2 Ta thay đổi ví dụ bên Giả sử Pf mf = (x − 1)2 (x − 2)2 Trong trường hợp giá trị riêng xuất lần đường chéo có ma trận Jordan sở liên kết với có cấp Các mà trận chuẩn Jordan xảy     1                 ,                 1 1 2 2            Ví dụ 1.5.3 Nếu ánh xạ tuyến tính f : R5 → R5 có đa thức đặc trưng Pf = (x − 2)2 (x − 3)3 đa thức tối tiểu f có dạng mf = (x − 2)i (x − 3)j , tức có khả xảy mf Khi ma trận " chuẩn # Jordan f phụ thuộc vào đa thức tối tiểu có Ma trận có dạng A B " A1 = A hai dạng sau # , " A2 = # 2 A1 gồm khối Jordan sở, A2 gồm khối Jordan sở ma trận B ba dạng sau        1 ,  B1 =   B2 =  3 3  ,  B3 =  3   B1 gồm khối Jordan sở, B2 gồm khối Jordan sở B3 gồm khối Jordan sở 30 triminhng@gmail.com 1.5 Dạng chuẩn Jordan Giả sử đa thức tối tiểu có dạng mA (x) = (x − 2)2 (x − 3) ma trận khối A có dạng A1 , ma trận khối B có dạng B3 Ví dụ 1.5.4 Đối với ma trân   −2   A = 0 −4 −5 có PA (x) = (x − 1)3 mA = (x − 1)2 Dạng Jordan A   1   J = 0 0 0 Theo Nhận xét 1.5.4, ta tìm dạng Jordan ma trận A dựa vào đa thức đặc trưng đa thức tối tiểu A Chú ý: Ví dụ 1.5.5 Tìm dạng Jordan ma trận   −4 4 −5 −2    A=  0 −2 0 −1 Ta có đa thức đặc trưng A PA = λ4 − 2λ2 + = (λ − 1)2 (λ + 1)2 đa thức tối tiểu A mA = (λ − 1)2 (λ + 1)2 (Từ đa thức tối tiểu ta biết ma trận chuẩn Jordan A gồm khối Jordan liên kết với khối Jordan liên kết với −1) Ta chọn sở chuẩn tắc C4 để tìm sở Jordan Đối với giá trị riêng λ = −1 (Tìm khối Jordan liên kết với −1) Ta có: • M0 = Ker(A + I) = h(1, 1, 0, 0)t i • M2 = Im(A + I)2 ∩ Ker(A + I) = {(0, 0, 0, 0)t } • M1 = Im(A + I) ∩ Ker(A + I) = h(1, 1, 0, 0)t i Như S1 = {(1, 1, 0, 0)t } S0 = ∅ Khi b11 = (1, 1, 0, 0)t ∈ Im(A + I) ta có x11 = ( 41 , 0, 0, 0)t ∈ C4 cho (A + I)x11 = b11 Suy J−1 = {(1, 1, 0, 0)t , ( 41 , 0, 0, 0)t } Đối với giá trị riêng λ = (Tìm khối Jordan liên kết với 1) Ta có: 31 triminhng@gmail.com • M00 = Ker(A − I) = h(1, 1, 1, 1)t i • M20 = Im(A − I)2 ∩ Ker(A − I) = {(0, 0, 0, 0)t } • M10 = Im(A − I) ∩ Ker(A − I) = h(1, 1, 1, 1)t i Như S10 = {(1, 1, 1, 1)t } S00 = ∅ Khi b011 = (1, 1, 1, 1)t ∈ Im(A − I) ta có x011 = ( 21 , 0, 21 , 0)t ∈ C4 cho (A − I)x011 = b011 Suy J1 = {(1, 1, 1, 1)t , ( 12 , 0, 12 , 0)t } Từ ta có ma trận     P =  P 1.6 −1   AP =   −1 0 −1 0 0 1 0 1 41 21 1 0 1 12 0           Bài tập Bài tập 1.1 Chứng minh ma trận vuông A khả nghịch hệ số đa thức tối tiểu A khác Bài tập 1.2 Nếu A ∈ Mn (K) khả nghịch degmA (x) = k A−1 tổ hợp tuyến tính I, A, A2 , , Ak−1 Bài tập  1.3 Xác  định đa thức tối tiểu  ma trận sau:    a 0 2 0 −1  1 −1  b −1  −2   c 0 −4 −5 Bài tập 1.4 Xác định đa thức tối tiểu ánh xạ đạo hàm Rn [x] Bài tập 1.5 Tìm đa thức tối tiểu tự đồng cấu tuyến tính f : R2 → R2 xác định f (x, y) = (x + 6y, x − y) Bài tập 1.6 Cho V không gian R3 xác định V = {(x, x, 0) | x ∈ R} Tìm hai không gian U1 , U2 khác R3 cho R3 = V ⊕ U1 = V ⊕ U2 32 triminhng@gmail.com 1.6 Bài tập Bài tập 1.7 Cho f1 , f2 , f3 , f4 : R3 → R3 tự đồng cấu tuyến tính xác định a f1 (x, y, z) = (x + y, y + z, z + x) b f2 (x, y, z) = (x − y, y − z, 0); c f3 (x, y, z) = (−y, x, z); d f4 (x, y, z) = (x, y, y) Chứng minh với i = 1, 2, 3, 4, ta có R2 = Imfi ⊕ Kerfi Bài tập 1.8 Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều A không gian V Chứng minh có khơng gian B V cho V = A ⊕ B Bài tập 1.9 Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều f : V → V ánh xạ tuyến tính Chứng minh V = Imf ⊕ Kerf Imf = Imf Bài tập 1.10 Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều f : V → V ánh xạ tuyến tính Chứng minh tồn số nguyên dương p cho Imf p = Imf p+1 suy Imf p = Imf p+k , Kerf p = Kerf p+k với k ≥ Khi ta có V = Imf p ⊕ Kerf p Bài tập 1.11 Cho V khơng gian vectơ thực có số chiều B = {e1 , e2 , e3 , e4 } sở V Với x ∈ V, ta có x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 + x4 e4 Đặt V1 = {x ∈ V | x3 = x2 , x4 = x1 }; V2 = {x ∈ V | x3 = −x2 , x4 = −x1 } Chứng minh (1) V1 V2 không gian V ; (2) B1 = {e1 + e4 , e2 + e3 } sở V1 ; B2 = {e2 − e3 , e1 − e4 } sở V2 ; (3) V = V1 ⊕ V2 ; (4) Tìm ma trận P ma trận chuyển từ sở B sang sở B1 ∪ B2 Chứng minh P −1 = 2P Bài tập 1.12 Cho V khơng gian vectơ thực có số chiều n Nếu f : V → V ánh xạ tuyến tính thỏa f = id V = Im(f + id) ⊕ Im(id − f ) Bài tập 1.13 Trong R3 cho A = h(1, 0, 1), (−1, 1, 2)i Hãy xác định phép chiếu (1, 2, 1) lên A song song với h(0, 1, 0)i Bài tập 1.14 Cho f phép chiếu lên A song song với B Chứng minh id − f phép chiếu lên B song song với A 33 triminhng@gmail.com Bài tập 1.15 Cho V không gian vectơ thực f : V → V tự đồng cấu lũy đẳng Chứng minh id + f khả nghịch xác định ánh xạ ngược Bài tập 1.16 Cho f : R4 → R4 xác định f (a, b, c, d) = (a + b + 2c − d, b + d, b + c, 2b − d) Chứng minh không gian W = {(x, 0, z, 0) | x, z ∈ R} f −bất biến Bài tập 1.17 Cho tự đồng cấu f : R3 → R3 xác định f (x, y, z) = (2x + y − z, −2x − y + 3z, z) Tìm đa thức tối tiểu f suy R3 = Kerf ⊕ Ker(f − id)2 Tìm ma trận chéo khối f Bài tập 1.18 Cho tự đồng cấu f : R3 → R3 xác định f (x, y, z) = (x + y + z, x + y + z, x + y + z) Xác định đa thức đặc trưng đa thức tối tiểu f Chứng minh hai ma trận     1 0     M = 1 1 , N = 0 0 1 0 đồng dạng Bài tập 1.19 Nếu f : R3 → R3 ánh xạ tuyến tính thỏa f = f f chéo hóa Bài tập 1.20 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định f (x, y, z) = (−2x − y + z, 2x + y − 3z, −z) Tìm giá trị riêng đa thức tối tiểu f Chứng minh f khơng chéo hóa Bài tập 1.21 Hãy xác định ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 sau có chéo hóa khơng? (a) f (x, y, z) = (3x − y + z, −x + 5y − z, x − y + 3z); (b) f (x, y, z) = (2x, x + 2y, −x + y + z); 34 triminhng@gmail.com 1.6 Bài tập (c) f (x, y, z) = (x − z, 2y, x + y + 3y) Bài tập 1.22 Cho f : R4 → R4 xác định f (a, b, c, d) = (a + b + 2c − d, b + d, b + c, 2b − d) Chứng minh không gian W = {(x, 0, z, 0) | x, z ∈ R} f −bất biến Bài tập 1.23 Chứng minh ánh xạ R3 → R3 xác định f (x, y, z) = (−x − y − z, 0, x + y + z) lũy linh Bài tập 1.24 Nếu ánh xạ tuyến tính f : R2 [x] → R2 [x] tác động lên sở {1, x, x2 } sau f (1) = −5 − 8x − 5x2 f (x) = + x + x2 f (x2 ) = + 7x + 4x2 f lũy linh Bài tập 1.25 Nếu f : V → V lũy linh f có giá trị riêng Bài tập 1.26 Cho V = Mn (R) A ∈ V Chứng minh ánh xạ fA : V → V xác định fA (X) = AX − XA ánh xạ tuyến tính Chứng minh A lũy linh fA lũy linh Bài tập 1.27 Cho f : V → V ánh xạ tuyến tính lũy linh với có bậc p Chứng minh x ∈ V cho f p−1 (x) 6= {x, f (x), , f p−1 (x)} độc lập tuyến tính V Bài tập 1.28 Cho V khơng gian vectơ có số chiều n Ta có f : V → V ánh xạ tuyến tính lũy linh có bậc n có sở V cho ma trận f sở có dạng " # In−1 0 Suy rằng, ma trận A cấp n lũy linh với bậc lũy linh n A đồng dạng với ma trận 35 triminhng@gmail.com Bài tập 1.29 Xác định dạng chuẩn  Jordan ma  trận   −3 0 10      a −1 0 b   0  −1 0   −13 −22 13    c    −5 −1 −22 13 5 Bài tập 1.30 Tìm dạng chuẩn Jordan ánh xạ đạo hàm không gian đa thức hệ số thực có bậc khơng q Bài tập 1.31 Tìm sở Jordan ánh xạ tuyến tính f có ma trận biểu diễn tập 1.29, 1.30 Bài tập 1.32 Tìm ma trận Jordan tự đồng cấu f : C3 → C3 sau a f (x, y, z) = (x − 3y + 3z, −2x − 6y + 13z, −x − 4y + 8z) b f (x, y, z) = (7x − 12y + 6z, 10x − 19y + 10z, 12x − 24y + 13z) Bài tập 1.33 Tìm ma trận Jordan tự đồng cấu f : C4 → C4 sau f (x, y, z, t) = (3x − y, x + y, 3x + 5z − 3t, 4x − y + 3z − t) 36 triminhng@gmail.com Chương Không gian vectơ Euclide 2.1 Định nghĩa Cho V R-không gian vectơ Ta gọi tích vơ hướng V qui tắc đặt hai vectơ x, y ∈ V tương ứng với số thực hx, yi thỏa điều kiện với x, y, z ∈ V, λ ∈ R hx, yi = hy, xi hλx, yi = λhx, yi hx + y, zi = hx, zi + hy, zi hx, xi ≥ 0, hx, xi = ⇔ x = Định nghĩa 2.1.1 Không gian vectơ thực V với tích vơ hướng V gọi một gian vectơ Euclide Ví dụ 2.1.1 Với x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , đặt hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn Ta tích vơ hướng tắc Rn Khi Rn khơng gian vectơ Euclide với tích vơ hướng Ví dụ 2.1.2 Cho a, b ∈ R với a < b V không gian hàm số thực liên tục f : [a, b] → R Ta định nghĩa ánh xạ từ V × V đến R sau (f, g) 7→ hf, gi = Z b f (x)g(x)dx a Theo tính chất tích phân ta chứng minh ánh xạ vừa định nghĩa bên tích vơ hướng Do V không gian vectơ Euclide 37