Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Toán Đại học Sư Phạm năm hai khi học bộ môn Giải tích. Bài tập Giải tích Tập 2 (NXB Đại Học Quốc Gia 1998) Phạm Ngọc Thao
PHẠM N G Ọ C T H A O ( C h ủ b iê n ) BÀI TẬP ■ ( G iá o t r ì n h T o n , n h ó m n g n h I ) T  P HAI N H À X U Ấ T BẦN ĐẠI H Ọ C Q u ố c G IA HÀ NỘ I PHẠM NGỌC THAỌ (Chú biên) LÊ MẬU HẢI - NGUYỄN VĂN KHUÊ NGUYÊN ĐÌNH SANG - BÙI ĐẮC t ắ c BÀI TẬPGIẢI TÍCH (Nhóm ngành I) TÂP HAI NHÀ X U Ấ T BẢN Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G IA H À NỘI - 199 m m • LỜ I N Ĩ I Đ Ầ U Gáo trình tập chúng tỏi soạn thảo tương ứng với phầĩ lý thuyết giáo trình giải tích ‘Tốn Đ ại cương“ dùng cho nhón ngành I Đại học Qc gia Hà Nội Nó giáo trình chủ yếu để sinh viên luyện tập sau học lý thuyết phần I tập ‘‘Toái D ại cương" giải tích Trong gồm loại tập sau: lý thuyỉt giới hạn, Tôpô hàm liên tục R n, phép tính vi phân tron* R n ứng dụng, tích phân lớp, tích phân suy rộng tích phân phụ huộc tham 90 tích phân suy rộng phụ thuộc tham sơ"; chuỗi sơ, cUy chuỗi hàm; tích phân bội, tích phân đường mặt Tong chương, sau phần tóm tắt vấn đề lý thuyết, cơng thức dùng có liên quan đên chương đó, chúng tơi cho tập bíii chương đó, nghía tập mà sinh viên cần làm để nắm kiến thức kỹ Ngay xếp tập theo loại: rèn luyện kỹ áp dụng túy (ông thức kỹ nănịg tính tốn, rèn luyện tư suy luận khả lăng sáng tạo, tập mang tính chất lý thuyết, tập lâng cao Một phần khtông nhỏ tập chương nhằm bổ sing mở rộng kiên thiức cho sinh viên điều kiện thời gian hạn hẹp nà việc dạy iý thuyết chưa thực M ột sô" tập khó đượcchúng tơi đánh dấu (*) dành cho sinh viên giỏi có ý mn tìm liểu sảu thêm kiến thức: nâng cao trình độ PLần hướng dẫn trả Lời cho tập chúng tơi làm chì tết dành cơng sức tìhoả đáng Các tập dễ cho đáp sơ", ố tập khó giải tỉ mỉ Mặc dù hạn hẹp thòi gmnvà trước nhu cầu cập nhật sinh viên nên không tránh khỏi uhữ)g thiếu sót q trìn h biên soạn Chúng tơi mong nhận Iihữig ý kiến đóng góp đồng nghiệp độc giả đê hồn thiện ¿iặo rình lần tai sau N iân bày tỏ cảm ơn đôi với thành viên hội cpng thẩm định, đặc biệt GS TS Nguyễn Văn M ậu PGS N g irễ n Thủy Thanh Phạm Chí Vĩnh đóng góp nhiều ý kiến cho h'àn thiện thảo Hà nội ngày 18 tháng năm 1998 C c tá c g iả LỜI GIẢI HOẶC HƯỞNG DẨN C 'h n g I G } IỚ I H Ạ N A G lớll HẠN CỦA DÃY a) Xét 11 + 1 7n + Lấy n = 5 - < —- < e, 7('7n + 2) 7n 11 > 7c D 78 b), c) tương tự a) 2.b) Xét Xlì 2n — < — - ->• n +1 n n - > 00 Tương tự cho ạ) c) a) Giả sử k sô" tự nhiên nhỏ với k > a K hi đó: 0< a n n! a a a n-k+1 k-1 1-k-l (k - 1)! VId 1.2 n < ( k - l) ! V k J -> k hi n -> 00 b) Giả sử m số nguyên dương với m >k Khi đó: _ , b = "Vã > 1, ■1 _ ia n J a.n 111 n n rQ a11 in ữ „k _ n n m 0< — < ^ - nhưng: 0< n n b" ~ [l + ( b - 1)]" n n n n(n - 1) 1+ n(b - 1) + ——— —(b - 1) + n -> 00 < 2n n(n - l)(b - 1) c) Từ: n = [l + < ^ - , , r = [ l + n C - Ê - l) 1+ J J > ĩí£ z i) ,'V Ĩ suy ra: ir + 1)2 '^ -'b iíĩỉ - d) Bằng qui nạp ta có: n! > -> n -» 00 V3/ Từ đó: / '■v/ĩĩ! \ n 111 n V1 Từ e= lim n->ce ỉ' nên với dãy {nk>, nk ->+00 k -»+00 ta có: I \ nk e = lim 1+ — k— >oov / Nếu { pk>, pk> l, pk -> +00 k-> + 0C có dãy sơ ngun dương {nk}: nk < pk < nk +1 nk-H-oo Bởi vì: ]+ nk+l “ nk + v 1+ f MJk < 1+ < 1+ V Pk' V II k y 1+ — V nk; nk + V ’k suy ra: lim •+k->oc\ Pk ) = e Trường hợp dãy {q^ì tiến a k- lim k-»ce -00 k -Qk H q, ) áp dụng kết cho đày ->+00 ta được: = e a) Rõ 1'àng xn < x n+1 Đồng thời: 1 1 Xn < ỉ H - h - = 1+ — I—— 1.2 (n - l)n 2 1 n- n =2 -n suy ra: xn 1 Do tồn tạ i liìn x n 11—>oc b) tương tự a) b) x„ = log(n+l) —>+00 a) Dăy tăng xn+, - x„ = Pn+1 > bị chặn vì: 10n+l 9 • x„