, ˜,U ÐIÊN ˜ HU NGUYÊN ´ TRINH ` GIAO , ´ ´ TINH ´ TÔI UU TUYÊN , ´ ` VA UNG DUNG , Nha` xuâ´t ban Ðai hoc Quô´c gia Ha` Nôi , ˜,U ÐIÊN ˜ HU NGUYÊN ´ TRINH ` GIAO , ´ ´ TINH ´ TÔI UU TUYÊN , ´ ` VA UNG DUNG , Nha` xuâ´t ban Ðai hoc Quô´c gia Ha` Nôi , ` ` I NOI ´ ÐÂU LO ´ phu,o,ng phap ´ tô´i u,u la` môt ` ´ hoc Ly´ thuyê´t cac toan nganh c´o râ´,t , , , , ˜ ng kê´t qua ˜ nhiê`u u´ ng dung thu c tê´ cung nhu ly´ thuyê´t Nhu ,, , , ´ dÅat Å o c vê` nghiên cu´ u tô´i uu râ´t c´o y´ ngh˜ıa ly´ thuyê´t toan du , ` ´ ´ nghanh ` ˘ công cu dÅai hoc cac kinh tê Bang sô´ va` u´ ng dung , ,, , ` va` co so toan ´ hoc ´ ly´ thuyê´t tô´i u,u tuyê´n t´ınh, giai t´ıch ham khac, , , , , ´ triên dê ´ kê´t qua râ´t dÅep ˜ dÅa˜ phat nhu thu c Å ´n cac vê` ly´ thuyê´t cung , , ´˘ liê`n vo´,i su., phat ´ triên cua công ` ` ly´ thuyê´t tô´i u,u gan hanh Ngay ´ ly´ thuyê´t tô´i u,u hâ`u nhu, dÅa˜ nghê thông tin Moi thuât toan , , ` ´ thuât ´ va` chu,o,ng tr`ınh u´,ng dung triên khai cac thu c tê´ toan , ´ hoc Nhiê`u phâ`n mê`m công cu cho toan dê tô´i uu va` Å `u c´o g´oi lênh , , diê Å `u khiên tô´i uu , , ` giang dÅa˜ day Ðây la` bai tai ÐHKHTN Ha` Nôi, , vo´ i môt hoc k`ı ,, , ˜ ng chu dê v`ong 45 dê Å ´n 60 tiê´t Tôi dÅa˜ chon Å ` khoi dâ Å `u vê` loc nhu , ˜ ` toan ´ quy hoach ` toan ´ dô ly´ thuyê´t tô´i uu bai Å ´i ngâu, tuyê´n t´ınh, bai , ` toan ´ giao thông vân ` toan ´ quy hoach bai nguyên va` môt tai, bai sô´ , , , , , ˜ chu dê ` ` toan ´ da ´ kê´t bai Å muc Å ` dê Å `u di Å tu Å n gian to´ i cac tiêu, Môi , , ˜ chu dê ` ´ thuât ´ Môi qua c´o y´ ngh˜ıa va` cuô´i cung la` cac Å ` c`on nhiê`u toan , , ,, , , vâ´n dê v`ı tho` i gian c´o han Å ` mo rông, nên chı gio´ i thiêu lo´ p va` ˜,ng ngu,o`,i sau ` ` chuyên nghiên cu´,u vê` cac ´ bai ` toan ´ danh cho nhu , , ´ tai ` liêu tô´i uu Tôi dÅa˜ tham khao va` lâ´y phâ`n ch´ınh cac [2], [3], [4], , , ˜,ng bai ˜ ` tâp Tôi cung tuyên chon Å n h`ınh va` cho sinh viên nhu diê , , ` ,, ˜,ng bai ´ bai ` tâp ` tâp thu c hanh cac Åo, nhu Å o c kiêm tra d´ dÅa˜ du `˘ ´ t´ınh va` không qua´ phu´,c tap ` bang tay may lam , , ´ Lâ`n dâ khoi sai s´ot va` nhâ`m Å `u tiên biên soan không thê tranh ˜ mong ban lân dÅoc cho y´ kiê´n ´ ˘ 2018 Ha` Nôi, 01 nam thang , ´ gia Tac , ˜ NHUNG K´I HIÊU , ´ ´ ˜,ng k´ı hiêu ´ ` ta dung ` ´ Trong cuô´n sach nhu y ngh˜ıa xac vo´ i cac , , ´, dÅinh bang duoi dây: Å N N∗ Z Q R C ≡ ∞ −∞ ; f ( x) → max / ¡ m¢ k dv Å dÅ a/ b [m] (n) QHTT BTVT , , tâp ho p sô´ tu nhiên , , ´ tâp ho p sô´ tu nhiên khac , tâp ho p sô´ nguyên , , ˜,u ty tâp ho p sô´ hu , , tâp ho p sô´ thu c , , tâp ho p sô´ phu´ c , dâ´u dô Å `ng du ,, ,, ,, , ` duong vô cung (tuong du Å ong vo´ i +∞) ` âm vô cung , ˜ tâp h o p rông ` sô´ f ( x) dÅat ˘ ham , max hoac , , ,, tô ho p châp k cua m phâ`n tu , Å n vi dô Å `ng a phân sô´ a b (≡ ) ,b , ,, , m la` phâ`n tu tru cua bang Å n h`ınh , , ,, , n la` phâ`n tu chon Å n h`ınh côt cua bang quy hoach tuyê,´n t´ınh ` toan ´ vân bai tai MUC LUC `,i noi ´ dâ Lo Å `u ˜,ng k´ı hiêu Nhu Muc luc , ,, , ` toan ´ tô´i uu 11 Chuong Gio´ i thiêu bai ´ hoc ` toan ´ thu.,c tê´ 11 1.1 Mô h`ınh toan bai 1.1.1 V´ı du lâp mô h`ınh , , ´ buo´,c xây du.,ng va` giai mô h`ınh toan ´ hoc 1.1.2 Cac , ` toan ´ tô´i uu va` cac ´ ` phâ`n 1.2 Bai 11 ` toan ´ ngh˜ıa bai 1.2.1 Ðinh 20 ´ bai ` toan ´ 1.2.2 Phân loai cac , 1.2.3 Nôi dung nghiên cu´ u , , 1.3 Kiê´n thu´ c dÅai sô´ va` giai t´ıch 1.3.1 Không gian tuyê´n t´ınh n chiê`u 22 n 1.3.2 T´ınh châ´t h`ınh hoc không gian R , , ,, ˘ ˘ 1.3.3 Ðuo` ng thang va` siêu phang , , ` sô´ 1.3.4 Môt Å n gian sô´ loai ham , ´ niêm 1.4 Môt sô´ khai giai t´ıch lô`i 18 20 24 25 25 26 27 28 29 ´ loai 1.4.1 Cac tâp hôp lô`i 29 1.4.2 N´on lô`i , 1.4.3 Tâp Å diên ho p lô`i da , ` lô`i va` t´ınh châ´t cua ham ` lô`i 1.4.4 Ham 31 ` tâp 1.5 Bai 39 ` tâp ` toan ´ 1.5.1 Bai lâp mô h`ınh bai , , ` tâp ´ co, so, 1.5.2 Bai kiê´n thu´ c toan ,, Chuong Quy hoach tuyê´n t´ınh 39 ´ dang ` toan ´ qui hoach bai 2.1 Cac tuyê´n t´ınh , ` toan ´ tuyê´n t´ınh tông quat ´ 2.1.1 Bai , ´˘ ´˘ va` dang 2.1.2 Dang chuân tac ch´ınh tac 32 34 41 44 44 44 47 ´ tr`ınh Quy hoach Giao tuyê´n t´ınh , , ` toan ´ QHTT 2.1.3 Chuyên dô bai Å i dang , ,, ´ h`ınh hoc 2.2 Phuong phap giai QHTT ` toan ´ qui hoach 2.3 T´ınh châ´t bai tuyê´n t´ınh ,, ´ , 2.4 Phuong an cu c biên ` tâp 2.5 Bai ,, ,, , ´ Chuong Phuong phap Å n h`ınh , ,, ´ tu,o,,ng chung cua ´ 3.1 Y phuong phap ,, , ,, , ´ 3.2 Co so cua phuong phap , ´ 3.3 Thuât Å n h`ınh toan , , 3.4 Bang Å n h`ınh , , , 3.5 Thu tuc Å n h`ınh bang , ` toan ´ nhâ´t hoac ˘ nhiê`u nghiêm 3.6 Bai tô´i uu ,, , , ` ´ ´ max 3.7 Phuong phap toan Å n h`ınh vo´ i bai ,, ´ hai pha 3.8 Phuong phap ,, ´ dÅanh ´ 3.9 Phuong phap thuê´ , ,, , ´ dÅai 3.10 Dang Å n h`ınh sô´ cua phuong phap , ´ 3.10.1 Thuât ma trân Å n h`ınh dang toan , , ´ ma trân 3.10.2 Cai tiê´n thuât Å n h`ınh dang toan ´˘ phuc 3.11 Xoay v`ong va` khac ` toan ´ phân sô´ tuyê´n t´ınh ham ` muc 3.12 Bai tiêu , ` toan ´ c´o chu´ a tham sô´ ham ` muc 3.13 Bai tiêu ` tâp 3.14 Bai ,, ˜ ` toan ´ quy hoach dô Chuong Bai Å ´i ngâu ˜ ´ hoc ` toan ´ QHTT dô ˘ bai 4.1 Mô h`ınh toan Å ´i ngâu cap ˜ ` toan ´ gô´c va` bai ` toan ´ dô 4.2 Bai Å ´i ngâu , , , ` ˜ dô ´˘ ´ chuân tac toan 4.2.1 Ðô´i ngâu Å ´i xu´ ng vo´ i bai , ˜ cua bai ´˘ ` toan ´ dang 4.2.2 Ðô´i ngâu ch´ınh tac , , ˜ cua bai ` toan ´ QHTT tông quat ´ 4.2.3 Ðô´i ngâu , ˜ ´ t´ınh châ´t cua cap ` toan ´ dô ˘ bai 4.3 Cac Å ´i ngâu ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên 50 54 61 65 74 79 79 80 87 88 90 97 101 103 109 117 117 121 123 126 130 134 138 138 140 140 142 144 147 https://www.facebook.com/groups/vietex/ Muc luc ,, ´ , ˘ ˜ 4.4 T`ım phuong an tô´i uu cap Å ´i ngâu dô , ,, ´ tông quat ´ dÅinh ly´ dÅô lêch 4.4.1 Su dung bu` môt cach ,, ´ , ` toan ´ gô´c 4.4.2 Biê´t phuong an tô´i uu bai , , ,, ´ , , tô´i uu 4.4.3 C´o bang Å n h`ınh cua phuong an ` tâp 4.5 Bai ,, ,, , ˜ ´ Chuong Phuong phap Å n h`ınh dô Å ´i ngâu ,, , ,, ˜ 5.1 Co so châ´p nhân Å o c dô Å ´i ngâu du , ˜ ´ 5.2 Thuât Å n h`ınh dô Å ´i ngâu toan , ˜ chu,a c´o co, so,, châ´p nhân ´ 5.3 Thuât Å n h`ınh dô Å ´i ngâu toan , ` toan ´ QHTT tham sô´ vê´ phai 5.4 Bai ` toan ´ QHTT 5.5 Phân t´ıch kê´t luân bai , , , 5.5.1 Thay dô Å i nguô`n lu c gio´ i han dÅa˜ cho 155 155 160 164 167 174 175 180 185 192 196 197 ` 5.5.2 Thêm rang buôc cho mô h`ınh ` toan ´ QHTT va` phu,o,ng tr`ınh tuyê´n t´ınh 5.6 Bai , ´ ngh˜ıa cua ˜ ` toan ´ dô bai 5.7 Y Å ´i ngâu 199 ` tâp 5.8 Bai , ,, ` toan ´ vân Chuong Bai tai , ` toan ´ vân 6.1 Mô h`ınh bai tai , , ` toan ´ vân 6.2 T´ınh châ´t cua bai tai , , , 6.3 Bang vân tai va` t´ınh châ´t cua n´o , , , 6.4 Xây du ng v`ong bang vân tai ,, ´ ´ 6.5 T`ım phuong an xuâ´t phat , ,, ´ cu,o´,c ph´ı nho nhâ´t 6.5.1 Phuong phap ,, ´˘ ´ g´oc tây bac 6.5.2 Phuong phap ,, ´ Vogel (Fogel) 6.5.3 Phuong phap , , ´ phu,o,ng phap ´ giai bai ` toan ´ vân 6.6 Cac tai ´ quy không cu,o´,c ph´ı cac ´ ô chon 6.6.1 Thuât toan 210 ´ thê´ vi 6.6.2 Thuât toan ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên 203 207 214 214 217 220 226 231 232 234 236 238 239 246 https://vietex.blog.fc2.com/ ´ tr`ınh Quy hoach Giao tuyê´n t´ınh , `˘ ´ ` toan ´ vân thu phat 6.7 Bai tai không cân bang , ,`, , , ´ nhiê`u hon thu 6.7.1 Truong ho p tông phat , ,, , , ´ 6.7.2 Truo` ng ho p tông thu nhiê`u hon phat , ` toan ´ vân 6.8 Bai tai suy biê´n ` tâp 6.9 Bai , ,, ´ bai ` toan ´ dang Chuong Cac vân tai , ` toan ´ phân phô´i ham ` muc 7.1 Bai tiêu cu c dÅai ,, ´ gian ´ tiê´p 7.1.1 Phuong phap , ,, ´ giai tru.,c tiê´p 7.1.2 Phuong phap , ` toan ´ vân 7.2 Bai tai c´o ô bi câ´m , ` toan ´ bô nhiêm 7.3 Bai , , ` toan ´ bô nhiêm 7.3.1 Gio´ i thiêu bai 254 255 259 260 264 267 267 268 269 273 280 280 ´ Hungary 285 7.3.2 Thuât toan , ` toan ´ vân 7.4 Bai tai thông qua han chê´ 289 , ` toan ´ san xuâ´t dô 7.5 Bai Å `ng bô 293 , , ` toan ´ san xuâ´t dô 7.5.1 Gio´ i thiêu Å `ng bô 293 bai , , , , ` toan ´ san xuâ´t dô 7.5.2 T´ınh châ´t co ban cua bai Å `ng bô 297 , ,, , ,, ´ nhân tu giai bai ` toan ´ san xuâ´t dô 7.5.3 Phuong phap Å `ng bô 301 ` tâp 7.6 Bai ,, ` toan ´ quy hoach nguyên Chuong Bai ` toan ´ quy hoach 8.1 Bai nguyên va` v´ı du , ´ giai bai ` toan ´ QHTT nguyên 8.2 Minh hoa cach ,, `˘ ´ Gomory bang dô 8.2.1 Phuong phap Å ` thi , ,, , ´ bang 8.2.2 Phuong phap Å n h`ınh , ´˘ Gomory tông quat ´ cat ´ 8.3 Thuât toan ,, ´ nhanh ´ 8.4 Phuong phap cân Land ± Doig 8.4.1 V´ı du minh hoa 309 312 312 315 315 318 321 322 322 ´ nhanh ´ ` toan ´ QHTT nguyên 325 8.4.2 Thuât cân toan cho bai ` tâp 8.5 Bai ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên 331 https://www.facebook.com/groups/vietex/ Muc luc ,, , ` toan ´ tro` choi ma trân Chuong Bai 333 ,, ´ niêm 9.1 Môt Å `u 333 sô´ khai mo dâ , 9.1.1 V´ı du vê` tr`o choi ma trân 333 , ` toan ´ tr`o choi ma trân 9.1.2 Bai 334 , ` thu hoach 9.1.3 Ham cua P 335 , , ` ,, , 9.2 Ðiêm yên ngu a va chiê´n luo c tô´i uu 336 , , 9.2.1 Ðiêm yên ngu a 336 ,, , 9.2.2 Chiê´n luo c tô´i uu 338 , ´ ´, 9.2.3 Tr`o choi dô Å i xung 339 ,, ´ t`ım chiê´n lu,o.,c tô´i u,u 340 9.3 Phuong phap , , ` toan ´ QHTT 340 9.3.1 Ðua tr`o choi ma trân vê` bai ,, , , ´ t`ım chiê´n luo c tô´i u,u 341 9.3.2 Phuong phap ` tâp 9.4 Bai 344 ,, , Chuong 10 Tô´i uu tuyê´n t´ınh nhiê`u muc tiêu 346 ,´ ` toan ´ 346 10.1 Gioi thiêu bai , , ` phat 10.2 Tiê´p cân theo muc tiêu cu c tiêu ham 349 , 10.2.1 Quy hoach nhiê`u muc tiêu không uu tiên 349 , 10.2.2 Quy hoach nhiê`u muc tiêu c´o uu tiên 352 , ´ tiê´p cân 10.3 Cach theo tô´i uu Pareto 354 , , ˜,u hiêu ` toan ´ quy hoach 10.3.1 Ðiêm hu Å muc cua bai da tiêu 355 , ˜,u hiêu ´ t`ım diê 10.3.2 Thuât Å m hu toan 358 ` tâp 10.4 Bai , ,, `,i giai va` go.,i y´ bai ` tâp Chuong 11 Lo , ,, , , ` tâp 11.1 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 11.2 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 11.3 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 11.4 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 11.5 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 11.6 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên 361 363 363 365 369 384 398 406 https://vietex.blog.fc2.com/ 10 ´ tr`ınh Quy hoach Giao tuyê´n t´ınh , ,, , , ` tâp 11.7 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 11.8 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 11.9 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 11.10 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 10 , ` liêu Tai tham khao `, khoa ´ Danh muc tu ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên 427 435 437 439 440 441 https://www.facebook.com/groups/vietex/ , ,, , , ` tâp 11.7 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 431 ,, Cho u = 0, t`ım du Å o c u = − M, u = 4, v1 = 3, v2 = 2, v3 = M ´ ∆i j = u i + v j − c i j : T´ınh cac ∆11 = −1 − M, ∆12 = −1 − M, ∆13 = 0, ∆21 = 0, ∆22 = 0, ∆23 = 0, ∆31 = 0, ∆32 = − M, ∆33 = M − , ` ` Khi M > ta c´o nhâ´t ∆33 > Ô du la ô (3, 3) Å a vao C´o v`ong: V = {(3, 3)+ , (3, 1)− , (2, 1)+ , (2, 3)− } V + = {(3, 3), (2, 1)}, V − = , {(3, 1), (2, 3)} min{ x31 , x23 } = min{70, 10} = 10 = x23 Vây Å a la` (2, 3) ô du , ,, ´ mo´,i: xÅ 33 = + 10 = 10, xÅ 31 = 70 − 10 = 60 xÅ 21 = Xây du ng phuong an 10 + 10 = 20, xÅ 23 = 10 − 10 = 00 ,, ´ , Ta c´o phuong an mo´ i xÅ = (0, 0, 50, 20, 20, 0, 60, 0, 10)T bj 80 20 60 50 40 M 70 50 20 20 M 60 11 10 ´˘ dâ `˘ ˘ mo´,i xÅ va` bat Thay x bang Å `u v`ong lap , `˘ ´ giai hê: cach T`ım thê´ vi u i , (i = 1, 2, 3); v j , ( j = 1, 2, 3) bang ( u + v3 = 1, u + v1 = 3, u + v2 = 2, u + v1 = 7, u + v3 = 11 ,, Cho u = 0, t`ım du Å o c u = −6, u = 4, v1 = 3, v2 = 2, v3 = ´ ∆i j = u i + v j − c i j : T´ınh cac ∆11 = −8, ∆12 = −8, ∆13 = 0, ∆21 = 0, ∆22 = 0, ∆23 = − M, ∆31 = 0, ∆32 = − M, ∆33 = , ,, ´ tô´i u,u diê Khi M > ta c´o nhâ´t ∆ i j ≤ Do d´ Åo phuong an Å `u chınh la` , ´ X ∗ = (0, 0, 50, 20, 20, 0, 60, 0, 10) va` f (x∗ ) = 680 Do tranh ô câ´m phai chi , thêm 680 − 670 = 10 Å n vi ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, , , ` tâp Chuong 11 Lo` i giai va` go i y´ bai 432 3 , P P , `˘ ´ thu phat: 7.4 Kiêm tra diê a i = 370, b j = 310, nhu Å `u kiên cân bang i =1 j =1 , ,, ´ lo´,n ho,n thu, d´ ´ tram ` ´ tram vây thu du dÅu hang, cac Åo cac Å o c nhân phat , , , , , , ` ´ phai chiu ` ´ A phai du phat nhung riêng tram Å o c uu tiên tôn hang, phat ` tiêu thu hê´t hang , ,, , , , ` tuo ng trung câ`n nhân Ta lâp vê` thêm tram thu gia B4 vo´ i luo ng hang 3 P P ,, , ` − b j = 370 − 310 = 60, cuo´ c ph´ı c i4 , i ∈ 1, Khi d´ la` Å n vi hang, Åo i =1 j =1 , , ,, ` `˘ ´ bang 11.20 ´ vân thu phat ta du toan Å o c bai tai cân bang bj 100 120 90 60 10 9,5 14 M 8,5 10 12 12 120 120 130 , Bang 11.20: ,, ,, ,, `˘ ´ Fogels, ta t`ım du ´ cu.,c biên xuâ´t phat ´ phuong phap - Bang Å o c phuong an , , nhu bang 11.21 bj 100 120 90 ui q 10 120 9,5 14 8,5 20 10 12 130 120 1, 5x 1x 0, 5; 1, 90 12 0, 5; M 100 120 vj = 60 30 3; 0 10 2x , Bang 11.21: , , , ,, , ,, - Tâp ô co so nhu bang trên, ky´ hiêu tâp ô co so la` J , , ` - Xây du ng thô´ng thê´ vi: công thu´ c u i + v j = c i j , (i, j) ∈ J, ta d, ung , ,, , , thu du Å o c thô´ng thê´ vi nhu o bang 11.22 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , ,, , , ` tâp 11.7 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong bj 100 120 90 60 ui q 10 120 100 9,5 + 8,5 12 120 130 vj = 433 10 14 M − 20 −M 10 90 30 − 12 + −M 120 10 9+ M 10 + M M , Bang 11.22: ,, ´ ,, `˘ ´ du phân phô´i Vogel 7.5 Phuong an xuâ´t phat bang Å o c xây dung bj   + r + s = 0,      14 + r + s = 0,    6 + r + s = 0,  + r + s = 0,       + r + s = 0,    4 + r + s = 3 ´ ´ biê´n khac Cho r = 0, t´ınh cac 55 65 110 120 14 110 55 M 40 4 55 M 80 −6 q 60 80 sj = ri 10 60 −7 −14 10 −6 , ,, ` toan ´ vân Bai tai sau quy không cuo´ c ph´ı ,, , ´ cu.,c biên hiên Do tô`n tai cÅ23 = −2 < nên phuong an tho` i không, la` ,, ´ , , , , , , , , ´ mo´ i tô´t hon: Luo ng diê phuong an tô´i uu Ta xây du ng phuong an Å `u chınh q = {40, 55} = 40 bj 55 65 110 110 80 55 M +4 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên M +3 + 10 − 55 120 -2 − 40 + 60 60 80 https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, , , ` tâp Chuong 11 Lo` i giai va` go i y´ bai 434 ,, ´ , Phuong an mo´ i   0 + r + s = 0,    0 + r + s = 0,     0 + r + s = 0,  + r + s = 0,       −2 + r + s = 0,    0 + r + s = 3 bj 55 65 0 110 sj = ´  sô´ Phu,o,ng an ´ tô´i u,u 7.6 Ðap 0 0 0 0     a) x∗ = 1 0 0, f = 15   0 0 1 0 ´  sô´ Phu,o,ng an ´ tô´i u,u 7.7 Ðap 0 0 0   = 16 a) x∗ =  , f 1 0 0 0 -2 0 55 65 120 bj 3 −2 80 110 60 40 110 80 40 M +3 60 55 M +2 15 M +1 40 80  0   b) x∗ = 0  0 0 0 0 0  0   0, f max = 33  0  0  b) x∗ =  0 0 0 0  0  = 27 , f 1 max ´ sô´ Phu,o,ng an ´ tô´i u,u 7.8 Ðap    0 0 0 0 1 1    a) x∗ =  = 16 b) x∗ =  , f 1 0 0 0 0 0 0 0 0 15 M +4 80 q 60 55 ri 60 40 110 , ` toan ´ vân Bai tai sau quy ,, không cuo´ c ph´ı ô chon: ,, ´ cu.,c V`ı cÅ i j ≥ nên phuong an , , , ´ biên hiên tho` i la` phuong an , ´ uu   50 60 x∗ = 55 15 40  0 80 120 0 0  0  = 32 , f 0 max  10 20 20 ´ sô´ Phu,o,ng an ´ tô´i u,u x∗ =  20 5 , f = 355 7.9 Ðap 0 20  ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , ,, , , ` tâp 11.8 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 435   0 15 45 ,, ´ , , f = 280 7.10 Phuong an tô´i uu x∗ = 15 25 15 10 20 ´ sô´ Bai ` toan ´ không c´o phu,o,ng an ´ 7.11 Ðap ´ sô´ Phu,o,ng an ´ tô´i u,u la` 7.12 Ðap  0, 63 0 0, 37  0 0, 63 0, 37   ,  x∗ =   vo´ i zmax = 6, 0, 21 0, 79 0  0 0, 525 0, 475  , ,, , , ` go i y´ bai ` tâp ` i giai va 11.8 Lo chuong , ´˘ 12 bang) ´ sô´: x∗ = (3, 2, 10, 2, 3)T va` zmax = (dung ` ´ cat, 8.1 Ðao lat , ´˘ bang) ´ sô´: x∗ = (1, 1, 1, 1)T va` zmax = (dung ` ´ cat, 8.2 Ðao lat , ´˘ bang) ´ sô´: x∗ = (1, 2, 1, 1)T va` zmax = 11 (dung ` ´ cat, 8.3 Ðao lat , ´˘ 19 bang) ´ sô´: x∗ = (0, 2, 23, 0, 0)T va` zmax = 153 (dung ` ´ cat, 8.4 Ðap 18 lat ´ sô´: Phu,o,ng an ´ tô´i u,u la` x∗ = (0, 3, 6)T va` zmin = 69 8.5 Ðap ´ sô´: Phu,o,ng an ´ tô´i u,u la` x∗ = (0, 4, 4)T va` zmin = 28 8.6 Ðap ´ sô´: Phu,o,ng an ´ tô´i u,u la` x∗ = (4, 4, 0)T va` zmax = 44 8.7 Ðap ´ sô´: Phu,o,ng an ´ tô´i u,u la` x∗ = (0, 1, 1)T va` zmax = 27 8.8 Ðap , , ` ´˘ giai bai ` toan ´ (so, dô 8.9 So dô Å ` 11.1) Å t´om tat ´ sô´: Phu,o,ng an ´ tô´i u,u la` x∗ = (13/3, 0, 5)T va` zmin = 80/3 8.10 Ðap , , ` ´˘ giai bai ` toan ´ (so, dô 8.11 So dô Å ` 11.2) Å t´om tat ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, , , ` tâp Chuong 11 Lo` i giai va` go i y´ bai 436 (P1 ) : D1 x1 = (9/4, 0, 21/4) z1 = 261/4 x1 ≤ (P2 ) D2 = {x ∈ D1 : x1 ≤ 2} x2 = (2, 1/2, 5), z2 = 133/2 x2 ≤ (P4 ) D4 = {x ∈ D2 : x2 ≤ 0} x4 = (2, 0, 11/2), z4 = 68 z0 = 68, Loại bỏ (P4 ) x1 ≥ (P3 ) D3 = {x ∈ D1 : x1 ≥ 3} D3 = ∅, Loại bỏ (P3 ) x2 ≥ (P5 ) D5 = {x ∈ D2 : x2 ≥ 1} x5 = (7/4, 1, 19/4), z5 = 271/4 < z0 = 68 x1 ≤ x1 ≥ (P6 ) D6 = {x ∈ D5 : x1 ≤ 1} x6 = (1, 5/2, 4), z6 = 143/2 z6 > z0 = 68, Loại bỏ (P6 ) (P7 ) D7 = {x ∈ D5 : x1 ≥ 2} D7 = ∅ Loại bỏ (P7 ) ` toan ´ QHTT nguyên bô phân H`ınh 11.1: Bai (P1 ) : D1 = D x1 = (0, 19/8, 5/2) z1 = 19, 375 x3 ≤ (P2 ) D2 = {x ∈ D1 : x3 ≤ 2} x2 = (2/3, 2, 2), z2 = 18, 667 = z0 x1 ≤ x1 ≥ (P4 ) D4 = {x ∈ D2 : x1 ≤ 0} x4 = (0, 5/2, 2), z4 = 18.5 z0 = 18.5 x3 ≥ (P3 ) D3 = {x ∈ D1 : x3 ≥ 3} D3 = ∅, Loại bỏ (P3 ) (P5 ) D5 = {x ∈ D2 : x2 ≥ 1} x5 = (1, 29/16, 7/4), z4 = 18.3125 ` toan ´ QHTT nguyên bô phân H`ınh 11.2: Bai ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , ,, , , ` tâp 11.9 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 437 , ,, , , ` go i y´ bai ` tâp ` i giai va 11.9 Lo chuong , `,i giai Ta c´o max a i j = −2 < max a i j = 9.1 Lo j j i i , , , , ˜ Nhu vây ma tr ân A d a cho không c´ o diê m yên ngu a (tu´ c la` không c´o chiê´n Å Å , ´ tô´i u,u) lu a thuâ`n   4 p Chon p = 3, ta c´o A = (a i j + 3)3×4 = 1 7 ˜ ` toan ´ dô ˘ bai X´et cap Å ´i ngâu , ` toan ´ cua P Bai , ` toan ´ cua Q B f = xÅ + xÅ + xÅ → min,  f = yÅ + yÅ + yÅ + yÅ → max,   xÅ + xÅ + xÅ ≥ 1,   + yÅ ≤ 1, yÅ + yÅ       ≥ 1,    yÅ + yÅ + yÅ + yÅ ≤ 1,  xÅ + xÅ 2 xÅ + xÅ ≥ 1,   yÅ + yÅ + yÅ ≤ 1,       xÅ + xÅ + xÅ ≥ 1,   yÅ ≥ 0, i = 1, 2, 3,   i  xÅ ≥ 0, i = 1, 2, i , , `˘ phu,o,ng phap ` toan ´ ´ ` toan ´ Cap ˘ bai Giai bang Å n h`ınh bai ,, ´ , ` ´ c´o phuong an uu la xÅ ∗ = (11/80, 12/80, 4/80)T va` yÅ ∗ = (15/160, 25/160, 14/160, 0)T , , , , , p ∗ ∗ vo´ i f 1∗ = f 2∗ = 27/80 Suy lo` i giai cua tr`o cho ma trân A la` v p = 1/ f = , , , , , , ∗ T ∗ 87/27 Chiê´n luo c tô´i uu tuong u´ ng la` p = (11/80, 12/80, 4/80) va` q = (15/160, 25/160, 14/160, 0)T , , , , Lo` i giai cua tr`o choi ma trân Å `u la` x∗ = (11/80, 12/80, 4/80)T va` ban dâ ∗ T y = (15/160, 25/160, 14/160, 0) , , , ∗ ∗ vo´ i gia´ cua cuôc choi la` v = v p − p = 80/27 − = −1/27 , `,i giai Ta c´o max a i j = −2 < max a i j = 9.2 Lo j j i i , , , , ˜ Nhu vây ma tr ân A d a cho không c´ o diê m yên ngu a (tu´ c la` không c´o chiê´n Å Å , , tụi uu) lu a thuõ`n ả p Chon p = + = 3, ta c´ o A = (a 3) 2×4 ij ˜ ` toan ´ dô ˘ bai X´et cap Å ´i ngâu ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ,, , , ` tâp Chuong 11 Lo` i giai va` go i y´ bai 438 , ` toan ´ cua Q Bai f = yÅ + yÅ + yÅ + yÅ → max,    yÅ + yÅ + yÅ + yÅ ≤ 1, , ` toan ´ cua P Bai f = xÅ + xÅ → min,  xÅ + xÅ ≥ 1,       xÅ + xÅ ≥ 1,   xÅ + xÅ ≥ 1,     xÅ + xÅ ≥ 1,     xÅ ≥ 0, i = 1,   4y1 + yÅ + yÅ + yÅ ≤ 1, yÅ i ≥ 0, i = 1, 2, 3, i , , , ˜ qua bang ` toan ´ gô´c P theo phu,o,ng phap ´ Giai bai Å n h`ınh dô Å ´i ngâu , ∗ Ta c´o kê´t qua xÅ = (2/17, 3/17)T , yÅ ∗ = (0, 4/17, 0, 1/17)T va` f 1∗ = f 2∗ = 5/17 = 1/v p suy v p = 17/5 , , `, d´ Tu Åo suy nghiêm cua tr`o choi la` ,, , + Chiê´n luo c dô Å ´i vo´ i P: x∗ = v p xÅ ∗ = (17/5)(2/17, 3/17)T = (2/5, 3/5)T ,, , + Chiê´n luo c dô Å ´i vo´ i P: y∗ = v p yÅ ∗ = (17/5)(0, 4/17, 0, 1/17)T = (0, 4/5, 0, 1/5)T , , + Gia´ cua tr`o choi: v∗ = v p − p = 17/5 − = 2/5 ´ sô´ a) -3/100; b) 1/5 9.3 Ðap ´ sô´ a) a 22 = b) a 23 = 9.4 Ðap , , ˜ cua tr`o cho,i ma trân `,i giai a) Cap ` toan ´ dô ˘ bai 9.5 Lo Å ´i ngâu E , , ` ´ B to an c ua Q ` toan ´ cua P Bai f = yÅ + yÅ + yÅ + yÅ → max, f1 = xÅ + xÅ → min,  − yÅ + yÅ ≤ 1,  xÅ ≥ 1,   yÅ     yÅ + yÅ + yÅ ≤ 1,  xÅ ≥ 1,     yÅ i ≥ 0, i = 1, 2, 3, −2 xÅ + xÅ ≥ 1,     xÅ + xÅ ≥ 1,     xÅ i ≥ 0, i = 1, , ˜ cua tr`o cho,i ma trân ` toan ´ dô ˘ bai a) Cap Å ´i ngâu F , , ` toan ´ cua P ` toan ´ cua Q Bai Bai f1 = xÅ + xÅ + xÅ → min, f2 = yÅ + yÅ + yÅ → max, xÅ + xÅ − xÅ ≥ 1, yÅ + yÅ − yÅ ≤ 1,          xÅ  yÅ + xÅ ≥ 1, + yÅ ≤ 1,   + yÅ ≤ 1, − xÅ + xÅ + xÅ ≥ 1, −3 yÅ        xÅ ≥ 0, i = 1, 2,  yÅ ≥ 0, i = 1, 2, i i ´ sô´ a) x∗ = (4/7, 0, 3/7) va` y∗ = (0, 4/7, 0, 3/7) vo´,i v∗ = 2/7 9.6 Ðap ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , ,, , , ` tâp 11.10 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 10 439 , b) x∗ = (1/4, 11/20, 1/5, 0) va` y∗ = (1/2, 3/10, 1/5) vo´ i v∗ = 3/10 ´ sô´ a) x∗ = (0, 0, 1) va` y∗ = (4/5, 1/5, 0) vo´,i v∗ = 9.7 Ðap , , ˜ ˘ dô b) B c´o diê Å ´i ngâu Å m yên ngu a max a i j = max a i j = Lâp cap j j i i , ,, va` giai b`ınh thuo` ng , ,, , , ` go i y ` tâp ` i giai va 11.10 Lo ´ bai chuong 10 , ˜,u hiêu ´ cu.,c biên, d´ ´ sô´ C´o phu,o,ng an 10.1 Ðap Åo c´o diê Å m hu , , ˘ ´ sô´ Ðoan nô´i hai diê 10.2 Ðap Å m x1 = (3, 0)T va` x2 = (1, 6)T thang ´ sô´ x1 = (7/5, 11/5, 0)T , x2 = (0, 4/5, 14/5)T , x3 = (0, 0, 10/3)T , x4 = 10.3 Ðap (5/2, 0, 0)T ´ sô´ x∗ = (0, 12, 0, 4)T , y0∗ = 392 10.4 Ðap ´ sô´ 10.5 Ðap a) x∗ = (0, 8, 2)T , y0∗ = 18 b) x∗ = (3, 0, 1)T , y0∗ = ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ , ` LIÊU TAI THAM KHAO ´ [1] Trâ`n Ð`ınh Anh, Bai ` tâp quy hoach tuyê´n t´ınh, NXBGD, 2007 ˜ Ngoc ´˘ ˜ Ð`ınh H´oa Quy hoach [2] Nguyên Nguyên Thang, tuyê´n t´ınh NXB ÐHQGHN, 2004 [3] Trâ`n Vu˜ Thiêu, ´ tr`ınh tô´i u,u tuyê´n t´ınh, NXB ÐHQGHN, Giao 2004 , ˜ Thanh ` [4] Nguyên Ca, Tô´i u,u h´oa tuyê´n t´ınh, NXB Lao dÅông, 2011 2001 , , ˜ Van ˜ Hu ˜,u Ðiên Giao ˜ ˘ Hiê`n, Lê Dung [5] Nguyên Muu va` Nguyên ´ , , ` ´ ` tr`ınh giai t´ıch lôi ung dung, NXB ÐHQG Ha Nôi, 2015 , ˜ Hu ˜,u Ðiên Thu ,c hanh [6] Nguyên ` t´ınh toan ´ Maple, NXB ÐHQG Ha` Nôi, 2015 [7] Bertsekas D.P., Programming, NXB GD, 2000 , [8] N H Ðiên, Môt ´ NXB GD, 2006 Å ` vê` thuât sô´ vâ´n dê toan, ˜ Ðu´,c Ngh˜ıa, Tô´i u,u h´oa, Nxb Giao ´ duc, [9] Nguyên 2002; ,, ´ [10] Phan Quô´c Khanh ± Trâ`n Huê Nuong, Quy hoach tuyê´n t´ınh, ´ duc, Nxb Giao 2003 ` [11] Horst R, Hoang Tuy, Global optimization: Deterministic approaches, Springer Verlag, Berlin, 1993; ` Thê´ Tâm ± Trâ`n Vu˜ Thiêu, [12] Bui Cac ´ phu,o,ng phap ´ tô´i u,u h´oa, , Nxb Giao thông vân tai, 1998 ´ Quy hoach [13] Trâ`n Tuc, tuyê´n t´ınh, Ðai hoc Kinh tê´ Quô´c dân, 2001 , ` ´ Danh muc t u khoa bao d´ Åong, 26 biên, 26 , ,, biê´n co so, 81 , biê´n gia, 104 biê´n phu, 51 , ´ biên tu do, 81 ` toan ´ bai , bô nhiêm, 281 , , ´ 287 bô nhiêm tông quat, phân phô´i, 267 quy hoach biê´n boolean, 23 quy hoach nguyên, 23 quy hoach nhiê`u muc tiêu, 348 quy hoach tuyê´n t´ınh, 23 quy hoach 23 dÅông, , san xuâ´t dô Å `ng bô, 295 thông qua han chê´, 289 , ` tô´i uu c´o rang buôc, 22 , ` tô´i uu không rang buôc, 22 , tô´i uu phi tuyê´n, 23 , , tô´i uu ro` i rac, 23 , ´ uu tham sô´, 23 , , tô´i uu v´ec to, 355 , tô´i uu da Å muc tiêu, 23 , vân không suy biê´n, 219 tai , ´n, 219, 260 vân tai suy biê , , ` toan ´ c´o lo` i giai, 46 bai ` toan ´ cu.,c tri, bai 22 ´ ` toan ´ gôc, 140 bai ` toan ´ max, 101 bai , ` toan ´ mo, rông, bai 186 ` toan ´ QHTT c´o tham sô´, 192 bai ` toan ´ tô´i u,u, 20 bai ˜ 140 ` toan ´ dô bai Å ´i ngâu, , bang ` toan ´ dô bai Å `ng bô, 297 , , ´ vân tai tông quat, 220 , , ˜ tông quat, ´ Å n h`ınh dô Å ´i ngâu 180 , , bang Å n h`ınh, 88 ,, ˜ , chiê´n luo c hôn ho p, 335 ,, , chiê´n luo c tô´i uu, 338 ,, , chiê´n luo c Å n, 334 , , , chuân cua môt vecto, 26 , , , , chı sô´ co so, 81 , chu´ a v`ong, 223 ´ ô dÅôc cac , lâp tuyê´n t´ınh, 224 ´ tra tiê`n, 333 cach , ,, co so, 26 ,, châ´p nhân Å o c, 175 du ,, ˜ châ´p nhân Å o c dô Å ´i ngâu, du 176 , tô´i uu, 175 ˜ 176 dô Å ´i ngâu, canh vô han, 32 ˜ 145 ` ˘ rang cap buôc Å ´i ngâu, dô , , ` cuc, cu c tiêu toan 36 , , ,, cu c tiêu dÅia phuong, 36 `˘ ´ 216 thu-pha, diê Å `u kiên cân bang , , ˜ u hiêu, diê Å m hu 355 , ´ 215 diê Å m phat, , diê Å m thu, 215 , , diê Å m tô´i uu Pareto, 355 , ,, diê Å m châ´p nhân Å o c, 21 du Ðinh ly´ Bolzano-Weierstrass, 26 dÅinh ly´ , Danh muc tu` kh´oa 442 minimax, 339 tô`n tai, 149 ˜ manh, 148 dô Å ´i ngâu ˜ dô Å ´i ngâu yê´u, 147 156 dÅô lêch bu` manh, dÅô lêch bu` yê´u, 152 ´ manh, Ðinh ly´ tach 31 , ˘ 27 Å an thang, , ˜ bai ` toan ´ tông quat, ´ 144 dô Å ´i ngâu ˜ bai ´˘ 142 ` toan ´ ch´ınh tac, dô Å ´i ngâu dây truyê`n, 222 , ´˘ 48 Dang chuân tac, ´˘ 48 Dang ch´ınh tac, ` phu,o,ng, 28 dang toan , dang t´ıch ma trân dÅao, nghich 123 , Dang vecto, 49 , , dâ´u hiêu hông c´o lo` i giai, 84 , dâ´u hiêu tô´i uu, 83 , , ,, vecto co so, 175 , , ,, v´ecto co so, 81 , ´ khoang cach, 26 , không chu´ a v`ong, 223 không gian con, 26 không gian tuyê´n t´ınh n chiê`u, 25 ´ ` khôi lôi da Å diên, 32 liên tuc, 28 ˘ 34 l˜om chat, ˘ 30, 34 lô`i chat, , , gia´ cua tr`o choi, 338 , gio´ i nôi, 26 , ,, ma trân co so, 89, 118, 175 ,, ma trân cuo´ c ph´ı, ,216 ma trân dÅao, 118 nghich , ` co, so,, 118 ma trân ngoai ´˘ ma trân 334 thang, , ma trân tr`o choi, 333 ` miê`n rang buôc, 45 môt chu tr`ınh, 222 môt v`ong, 222 ` l˜om, 34 ham ` lô`i, 34 ham ` lô`i manh, ham 36 ` muc ham tiêu, 44 ` muc ham Åıch, 21 d´ ` thu hoach, ham 336 , , ` toan ` phuong, 28 ham ` tuyê´n t´ınh, 28 ham ` tuyê´n t´ınh afin, 28 ham ` tu.,a l˜om, 35 ham ` tu.,a lô`i, 35 ham h`ınh n´on, 32 ` cuc, nghiêm toan 21 ` cuc nghiêm 21 toan manh, ,, nghiêm phuong, 21 dÅia ,, nghiêm 21 phuong manh, dÅia ,`, , nguoi choi max, 333 ,, , nguo` i choi min, 333 n´on lô`i, 32 n´on lô`i da Å diên, 32 ,, ,, nua không gian mo, 28 ,, nua không gian d´ Åong, 28 ,, , , ´ dÅinh nua xac duong, 29 , ,, ,`, ˘ nua du 32 Å ong thang, ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , Danh muc tu` kh´oa ô chon, 221 ô loai, 221 , ,, phuong cua tia, 32 ,, , phuong cu c biên, 32 ,, ´ phuong phap , ´, , cuoc ph´ı lo´ n nhâ´t, 269 `˘ dô Gomory bang Å ` thi, 315 , , , t`ım chiê´n luo c tô´i uu, 341 ,, ´ hai pha, 103 phuong phap ,, ´ h`ınh hoc, phuong phap 55 ,, ´ dÅanh ´ phuong phap thuê´, 109 ,, phuong vô han, 32 ,, ´ phuong an , cu c biên không suy biê´n, 80 ,, ´ ,, phuong an châ´p nhân Å o c, 45 du , ,, ´ , phuong an co ban, 46 ,, ´ , , phuong an co ban suy biê´n, 46 , ,, ´ phuong an cua BTVT, 216 ,, ´ , phuong an cu c biên, 65 ,, ´ , phuong an không cu c biên, 46 ,, ´ phuong an không suy biê´n, 46 ,, ´ , phuong an tô´i uu, 46 ,, ´ , , phuong an tô´i uu cua BTVT, 216 phu thuôc tuyê´n t´ınh, 25 443 , , ´˘ chon theo chı sô´ nho, 95 Quy tac , ´˘ cai thiên Quy tac nhiê`u nhâ´t, 95 ´˘ sô´ lo´,n nhâ´t, 94 Quy tac r-lân cân, 26 ` rang buôc, 44 ` rang buôc ch´ınh, 44 ` ˘ 46, 156 rang buôc chat, ` ` sô´, 22 rang buôc h,am ` rang buôc long, 46, 156 , ` rang buôc tru c tiê´p, 22 ` rang buôc vê,` dâ´u, 44 , ` ˘ thu´ c, 22 rang buôc dÅang , ˘ siêu phang, 27 ´ sô thu hoach, 336 ´ thuât toan , ´˘ Gomory tông quat, ´ 321 cat Ford-Fulkerson, 289 , , ` toan ´ san xuâ´t dô giai bai Å `ng bô, 306 Hungary, 285 ,, ´ ô quy không cuo´ c ph´ı cac chon, 240 thê´ vi, ,248 , t`ım diê Å m tô´i uu Pareto, 358 , Qui hoach Å n h`ınh, 87 l˜om, 24 , ˜ 181 Qui hoach Å n h`ınh dô Å ´i ngâu, lô`i, 24 , , Qui hoach ` phâ`n cua v´ecto, 25 phi tuyê´n, 23 , Qui hoach tia, 32 phân thu´ c, 24 quy hoach nguyên tuyê´n t´ınh tr`o cho,i ma trân, 334 , , ` toan, ` 313 hoan tr`o choi dô Å ´i xu´ ng, 339 , quy hoach nguyên tuyê´n t´ınh bô tru c giao, 27 ,, ´ du phân, tach Å o c, 31 313 ,, ´˘ cho,i, 333 quy tac t´ıch vô huo´ ng, 27 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/ 444 , Danh muc tu` kh´oa ,, tâp Å o , 21 châ´p nhân du , , tâp ho p mu´ c, 35 , tâp Åong, 26 ho p d´ ` tâp , lôi, 29 , tô ho p lô`i, 25 , , tô ho p tuyê´n t´ınh, 25 ,, ,, uo´ c luo ng, 81 , vecto côt, 217 , vecto d`ong, 217 vuông g´oc, 27 , v´ecto n chiê`u, 25 , , ,, v´ecto co so, 81 , ´ tuyê´n, 55 v´ecto phap , , v´ecto tu do, 81 ,, ´ dÅinh xac duong, 28 da lô`i, 33 Å diên , diê Å m biên, 26 , , diê Å m cu c biên, 30 , , diê Å m cu c tri, 22 , diê Å m trong, 26 , , diê Å m yên ngu a, 337 ,, , du Å o` ng mu´ c, 55 , , dÅınh cua da Å diên lô`i, 33 , ` vecto, 26 dÅô dai dÅôc lâp tuyê´n t´ınh, 25 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://www.facebook.com/groups/vietex/ , Danh muc tu` kh´oa 445 ˜ Hu˜ ,u Ðiê,n Nguyên https://vietex.blog.fc2.com/