chương 7 phương trình vi phân

14 443 0
  • Loading ...
1/14 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 21/06/2014, 16:52

Trang 1 CHƯƠNG 7 : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNPhương trình vi phânphương trình có dạng F(x,y,y’,y’’,…,y (n) )= 0 trong đó x là biến số độc lập, y =y (x) là hàm số, y’,y’’,…,y (n) là các đạo hàm.  Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm.  Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y= (x) thỏa mãn phương trình. 7.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 7.1.1. Khái niệm Phương trình vi phân cấp 1: là phương trình có dạng F (x,y,y’) = 0. Nếu có thể giải ra đối với y’ thì phương trình có dạng y’= f(x,y). Nghiệm tổng quát:Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là hàm số y =  (x,C) thỏa phương trình vi phân . Nghiệm riêng: Nghiệm y = (x,C 0 ) nhận được từ nghiệm tổng quát y = (x,C) ứng với một giá trị cụ thể C = C o gọi là nghiệm riêng.Giá trị cụ thể C o của C được suy ra từ điều kiện ban đầu y (x 0 ) = y 0 Tích phân tổng quát : Trong một số trường hợp , ta không tìm được nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dưới dạng tường minh y = (x,C) mà tìm được hệ thức dưới dạng ẩn (x,y,C) = 0. Ta gọi đó là tích phân tổng quát của phương trình vi phân . Đường cong tích phân : Đồ thị của mỗi nghiệm y =  (x,C) của phương trình vi phân gọi là đường cong tích phân của phương trình nầy. Nghiệm kỳ dị :Nghiệm của phương trình vi phân không nhận được từ họ nghiệm tổng quát thì được gọi là nghiệm kỳ dị . 7.1.2. Phương trình vi phân biến số phân ly ( hay là tách biến được) 1. Định Nghĩa: Phương trình vi phân biến số phân ly là phương trình có dạng: f(x)dx = g(y)dy (1) 2. Cách giải Lấy tích phân 2 vế của (1) Trang 2    dyygdxxf )()( F(x) = G(y) + C Dụ 1 Giải phương trình vi phân: xy’ + y = 0. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân trên với điều kiện ban đầu y (3) = 1 0 ln ln ln . dy dy dx dy dx xy y x y dx y x y x C yxCy x          Thay điều kiện ban đầu y(x = 3) = 1. Ta được C = 3. Vậy nghiệm riêng của pt là: y = 3 x Dụ 2 Giải phương trình vi phân : (1+x 2 )dy – ydx = 0 2 22 ar (1 ) 11 ln ar ln . xtgx dy dx dy dx xdy ydx y xy x yctgxCyCe       Dụ 3 Giải phương trình vi phân : 22 ()()0yxydy xy xdx    (1) Ta có 22 (1) (1 ) ( 1) 0y x dy x y dx    (2)  Nếu 2 10 1xx   thì 0dx  , nên (2) thỏa mãn. Vậy 1x  là nghiệm của (1).  Nếu 2 10 1xx   thì 22 (2) 11 yx dy dx yx     22 22 111 ln 1 ln 1 ln 1 ( 1) 222 yxCyCx Vậy nghiệm của phương trình là: 22 1(1) 1 yCx x       . Dụ 4 Giải phương trình vi phân : 2 3 y xy   (1) Ta có 22 (1) 3 3 dy x ydyxydx dx   (2)  Nếu 0y  thì 0y   nên (2) thỏa mãn. Vậy 0y  là nghiệm của (1). Trang 3  Nếu 0y  thì 2 (2) 3 dy x dx y  . Lấy tích phân hai vế: 33 23 3ln lnlnln x x dy x dx y x C y Ce y Ce y    . Vậy nghiệm của phương trình là: 3 x yCe . 7.1.3. Phương trình đẳng cấp 1. Định nghĩa Phương trình vi phân y’ = f (x,y) được gọi là đẳng cấp đối với x và y là phương trình có dạng: y’ = f ( x y ). 2. Cách giải Đặt u = x y hay y = ux Suy ra : y’ = u + xu’ f(u) = u + x . dx du <=> x dx du = f (u) - u Nếu f (u) - u  0 ta có : x dx = uuf du )( .Đây là ph. trình biến số phân ly. Dụ 1 Giải phương trình vi phân : x y y x y     (1) Đặt ux y yuxu  , ta có: 2 ux 1 u 1 u (1) ux 1 u 1 u x dx ux u ux u du x x        Lấy tích phân hai vế ta được: 222 2 22 1u u 1 2 1u 1u 21 ln 111 ar ln(1 ) ln ln ar ln(1 ) 2222 dx d udu dx du xux Cx ctgu u x C ctgu u         Vậy nghiệm của phương trình là: 22 2ln() y arctg C x y x . Trang 4 Dụ2 Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’ = x y + sin x y với điều kiện ban đầu y (1) = 2  . ĐS : y = 2xarctgx 7.1.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 1. Định Nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng là y’ + p(x).y = q(x) (1) trong đó p (x) và q (x) là những hàm liên tục. Phương trình vi phân tuyến tính gọi là thuần nhất nếu q(x) = 0 : y’ + p(x) y = 0 (2) Nhận xét : Nếu y 1 là nghiệm riêng của phương trình tuyến tính thuần nhất: y’ + p(x) y = 0 (2) thì nghiệm tổng quát của nó là y = Cy 1 (C là hằng số tùy ý) Nghiệm tổng quát của (1) = nghiệm tổng quát của (2) + nghiệm riêng của (1) 2. Cách giải : y’+ p(x)y = q(x) (1) Bước 1 : Giải phương trình thuần nhất tương ứng : y’ + p(x)y = 0 (2) Giả sử y = (x,C) nghiệm tổng quát của phương trình (2) Bước 2 : Xem C là một hàm theo x ,tính y’ rồi thay vào (1). Dụ 1 Tìm nghiệm của phương trình vi phân (x 2 +1)y’+xy = 1 thỏa điều kiện ban đầu y (0) = 2. ĐS :y = 2 2 1 2) x 1 (x ln x  dụ 2 Giải phương trình vi phân : y’+ 2xy = 2 -x xe ĐS : 2 2 -x x y = ( +K )e 2 Dụ 3 Giải phương trình vi phân : 2 y xy x    (1)  Giải phương trình thuần nhất tương ứng: 20yxy    , ta có nghiệm 0y  hoặc 2 2 2ln ln x dy x dx y x C y Ce y  Trang 5  Xem C là một hàm số theo x: ()Cx Ta được: 222 () () 2 () x xx y C xe y C xe xC xe    Thay ,yy  vào phương trình (1): 222 2 2 2 (1) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 1 () 2 xxx x x x C xe xCxe xCxe x C xe x dC xe dx Cx e K         Vậy nghiệm của phương trình là: 22 1 2 x x y eKe       . Dụ 4 Giải phương trình vi phân : 2 2 x yxyxe    (1)  Giải phương trình thuần nhất tương ứng: 20yxy    , ta có nghiệm 0y  hoặc 2 2 2ln ln x dy x dx y x C y Ce y         Xem C là một hàm số theo x: ()Cx Ta được: 222 () () 2 () x xx y Cxe y C xe xCxe     Thay ,yy  vào phương trình (1): 2222 2 (1) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) () 2 xxxx C xe xCxe xCxe xe C x x dC xdx x Cx K       Vậy nghiệm của phương trình là: 2 2 2 x x yKe      . 7.1.5. Phương trình Bernouilli( Bec-nu-li) 1. Định Nghĩa. Phương trình Bec-nu-li là phương trình có dạng: y’ + p(x)y = q(x).  y trong đó p(x), q(x) là những hàm liên tục,  R. 2. Cách giải  Nếu  = 0 hoặc  =1, phương trình trở thành phương trình tuyến tính.  Giả sử   0 và  1: Với y 0, chia 2 vế cho  y : Trang 6 y -  . y’ + p(x).y 1-  = q(x) Đặt z = y 1-  suy ra z’= (1-  ) y -  .y’, phương trình trở thành : z’+ (1-  ) p(x)z = (1-  )q(x) Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 đối với z. Dụ Giải phương trình vi phân : 2 2 x yxyxe    (1) Nếu 00yy   , (1) thỏa mãn nên y = 0 là nghiệm của phương trình. Nếu 0y  thì 323 (1) 2 2 y yxy x     . Đặt 2 3 2 y zzyy       , phương trình trở thành: 3 42(2)zxzx   Giải phương trình thuần nhất: 2 2 40 x zxz zCe   Xem C là một hàm số theo x: ()Cx Ta được: 222 222 () () 4 () x xx z Cxe z C xe xCxe    Thay ,zz  vào phương trình (2): 222 2 22 2 2 23 23 32 2 2 (2) () 4 () 4 () 2 () 2 11 2() 22 xxx x xx C xe xCxe xCxe x C xe x dC x e dx C x x e K              Vậy nghiệm của phương trình (2) là: 22 2 2 22 2 2 11 1 . 22 42 x xx x zxeKe Ke              . Nghiệm của phương trình (1) là: 2 22 2 11 2 2 0 x Ke x y y         . 7.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 7.2.1. Khái niệm  Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = 0 Nếu giải được phương trình đối với y’’, ta có dạng khác: y’’= f(x,y,y’) Trang 7  Nghiệm tổng qt : y = (x,C 1 ,C 2 )  Nghiệm riêng : y =  (x, 0 2 0 1 ,CC ) với 0 2 0 1 ,CC là các giá trị xác định của C 1 , C 2  Tích phân tổng qt :  (x,y,C 1 ,C 2 ) 7.2.2. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được Xét phương trình vi phân y’’ = f (x.y,y’) (1) Vế phải không chứa y,y’ : y’’ = f (x)  y’ = ſ f(x)dx + C 1  y = ſ (ſ f(x)dx)dx + C 1 x + C 2 Dụ : Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’ = sinkx (k 0) thoả điều kiện ban đầu y(o) = 0 và y’(o) = 1. ĐS : y = - 2 1 k sin kx + (1+ k 1 ) x (2) Vế phải không chứa y : y’’ = f(x,y’) Đặt y’=z lúc đó ta được phương trình vi phân cấp 1 theo ʓ z’= f (x,z) Giải ra nghiệm tổng quát z =  (x,C 1 )  y’ =  (x,C 1 )  12 (, ) y xC dx C     Du 1 Giải phương trình vi phân ( 1-x 2 )y’’ – xy’ = 2. ĐS : y = (arcsinx) 2 + C 1 arcsinx + C 2 (3) Vế phải không chứa x : y’’ = f (y,y’) Đặt y’ = ʓ, đạo hàm 2 vế : y’’ = dy dz z dx dy dy dz dx dz  Phương trình có dạng : ʓ dy dz = f (y,z) Giải ra ʓ =  (y,C 1 ) Trang 8  y’ =  (y,C 1 ) => y x' 1 =  (y, C 1 ) => y x' = ),( 1 1 Cy  => x =  ),( 1 Cy dy  + C 2 Duï 2 Giaûi phöông trình vi phaân 2yy’’ = y’ 2 +1 ĐS : 2 12 1 1( ) 2 x yC C C     hoặc 2 1 2 1 1 1( ) 2 Cx yC C        7.2.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng y’’ + py’ + qy = f(x) (1) ( p,q hằng số) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất tương ứng với (1): y’’ + py’ + qy = 0 (2)  Phương pháp giải : Bước 1 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng: y’’+py’ +qy = 0 (2) Bước 2 : Tìm một nghiệm riêng của phương trình (1). Bước 3 :Nghiệm tổng quát của (1) = nghiệm tổng quát của (2) + nghiệm riêng của (1) 1- Bước 1 : Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất: y’’ + py’ + qy = 0 (2) Giải phương trình đặc trưng : k 2 + pk + q = 0 (3) Ta có 3 trường hợp xảy ra : * ∆= p 2 - 4 q > 0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm thực phân biệt k 1 và k 2 Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là : Trang 9 * ∆ = p 2 - 4q = 0 : Phương trình (3) có nghiệm kép thực k Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là : y = kx e (C 1 + C 2 x) * ∆ = p 2 - 4q <0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm phức liên hợp : k 1 =  +  i và k 2 =  -  i Nghiệm tổng quát của pt (2) là : Dụ 1 : Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’ + y’ -2y = 0 thoả điều kiện ban đầu y(0) = 0 và y’(0) =1. Dụ2 : Giải phương trình vi phân : y’’ – 6y’ + 9y = 0 Dụ3 : Giải phương trình vi phân : y’’ – 2y’ + 5y = 0 2-Bước 2 : Giải phương trình vi phân không thuần nhất : y’’ + py’ + qy = f(x) (1) Ta xét các trường hợp f(x) có dạng đặc biệt : Trường hợp 1: f(x) = x e  P n (x) a) Nếu  không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng y = x e  Q n (x) b) Nếu  trùng với nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng y = x x e  Q n (x) c) Nếu  trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng y = x 2 x e  Q n (x) dụ 1 Giải phương trình: 4 23 x y yye     Giải phương trình thuần nhất tương ứng: 230yyy    .(2) Phương trình đặc trưng: 2 1 230 3 k kk k        Nghiệm (2) là: 3 12 x x y Ce C e  .  Ta có 4 () 1 () 4 n x Px fx e        . y = C 1 xk e 1 +C 2 xk e 1 y = x e  (C 1 cos  x + C 2 sin  x) Trang 10 4   không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng (1) có dạng: 44 4 416 x xx y Ae y Ae y Ae    . Thay ,, y yy  vào phương trình (1) 4444 1 (1) 16 2.4 3 5 1 5 xxxx Ae Ae Ae e A A . Nghiệm riêng của (1) là: 4 1 5 x y e . Vậy nghiệm của phương trình (1): 34 12 1 5 x xx yCe Ce e  . dụ 2 Giải phương trình: 26 x y yy xe    (1)  Giải phương trình thuần nhất tương ứng: 20yyy    .(2) Phương trình đặc trưng: 2 210 1kk k    ( nghiệm kép) Nghiệm (2) là: 12 x x y Ce xC e .  Ta có () 6 () 6 1 n x Px x fx xe        . 4   trùng với nghiệm kép phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng (1) có dạng: 232232 232 (Ax ) (Ax ) (3 2 ) (Ax ) (3 2 Ax ) x xxx x y xBe BxeyAxBxe Bxe Ax Bx Bx e      . 2232 (6 2 3 2 ) (3 2 Ax ) x x y Ax B Ax Bx e Ax Bx Bx e     . Thay ,, y yy  vào phương trình (1) 66 1 (1) 6 2 6 20 0 AA Ax B x BB          . Nghiệm riêng của (1) là: 3 x y xe . Vậy nghiệm của phương trình (1): 3 12 x xx y Ce xCe xe . dụ 3 Giải phương trình: 4 x y yxe   (1)  Giải phương trình thuần nhất tương ứng: 0yy     .(2) Phương trình đặc trưng: 2 10kki   Nghiệm (2) là: 12 cos s inxyC xC   .  Ta có () 4 () 4 1 n x Px x fx xe        . 4   không trùng với nghiệm phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng (1) có dạng: (Ax ) ( ) ( 2 ) x xx y Be y Ax A Be y Ax A Be     . [...]... pt đặc trưng thì nghiệm riêng của phương trình (1) có dạng : y = x [ Ql(x) cos  x + Rl(x) sin  x ] ( l = max (m,n) ) Dụ 1: Giải phương trình : y’’ + y’ = sin 2x ĐS : y = C1 + C2e-x  1 1 cos2x  sin2x 10 5 Dụ 2: Giải phương trình : y’’+ 4y = 3cos2x 3 4 ĐS : y = C1cos2x + C2sin2x + xsin2x BÀI TẬP CHƯƠNG IV Phương trình vi phân cấp 1 7. 1 Giải các phương trình vi phân 1) xdx + ydy = 0 2) x2(y +... y (1) = 0 x 7) y’ = ex-y 8) y’ = 2 x – y ; y (-3) = - 5 9 (1 + x3) dy - x2ydx = 0 ; y(1) = 2 Trang 12 7. 2 Giải các phương trình vi phân 1/ (x 2 + 2xy) dx + xydy = 0 ÑS : ln|x+y| + y y y’ + x = ysin x x 2/ xsin ÑS : Cx = e y x y ÑS : y 2 = Cxe - x 3/ xy + y 2 = (2x 2 + xy) y’ 4/ xy’ln cos x -C=0 x y y y = x + y ln x x ÑS : ln|Cx| = y x  y  ln x  1   7. 3 Giải các phương trình vi phân 1/ y’ +... y’cos2x + y = tgx ; y(o) = 0 ÑS : y = tgx – 1 + e-tgx 7. 4 Giải các phương trình vi phân y x 1/ y’ + = x2y4 y y2 = 2/ y’ – x 1 x 1 ÑS : y = 1 x 3 ln ÑS : y  7. 5 Giải các phương trình vi phân cấp 2 1/ y’’ -4y’ +3y = 0 2/ y’’ -2y’ + y = 0 3/ y’’ +y’ +2y = 0 4/ y’’ – 3y’- 4y = e -x (x-2) 5/ y’’- 4y’ = e2x ( x2 + x+1) 6/ y’’ + 3y’ = x2-1 Trang 13 x 1 Kx K x3 7/ y’’ - 4y’+ 4y = e2xx2 8/ y’’ – 2y’ = 2cos2x...Thay y, y, y vào phương trình (1) 2 A  4 A  2  (1)  2 Ax  2 A  2 B  4 x    2 A  2 B  0  B  2 Nghiệm riêng của (1) là: y  (2 x  2)e x Vậy nghiệm của phương trình (1): y  C1 cos x  C2 s inx  (2 x  2)e x dụ 4 Giải phương trình: y  y  2e x  x 2 (1)  Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y  y  0 (2) Phương trình đặc trưng: k 2  1  0  k  1... B  y  2 A Thay y, y, y vào phương trình (1) A 1  (1)   Ax  Bx  C  2 A   x   B  0 C  2  2 2 Nghiệm riêng của (1) là: y  x 2  2 Vậy nghiệm của phương trình (1): y  C1e x  C2 e x  x 2  2  xe x Trường hợp 2: f(x) = Pm (x) cos  x + Pn(x) sin  x Trang 11 a) Nếu  i  không trùng với nghiệm của pt đặc trưng thì nghiệm riêng của phương trình (1) có dạng: y = Ql(x) cos ... x)  2e x   n   1   1 trùng với nghiệm đơn phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng (1) có dạng: y  Axe x  y  ( Ax  A)e x  y  ( Ax  2 A)e x Thay y, y, y vào phương trình (1) (1)  2 A  2  A  1 Nghiệm riêng của (1) là: y  xe x  P ( x)   x 2  Với f 2 ( x)   x 2   n   0   0 không trùng với nghiệm phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng (1) có dạng: y  Ax . của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm.  Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y= (x) thỏa mãn phương trình. 7. 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 7. 1.1. Khái niệm Phương trình vi. đó là tích phân tổng quát của phương trình vi phân . Đường cong tích phân : Đồ thị của mỗi nghiệm y =  (x,C) của phương trình vi phân gọi là đường cong tích phân của phương trình nầy riêng của phương trình vi phân y’ = x y + sin x y với điều kiện ban đầu y (1) = 2  . ĐS : y = 2xarctgx 7. 1.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 1. Định Nghĩa. Phương trình vi phân
- Xem thêm -

Xem thêm: chương 7 phương trình vi phân, chương 7 phương trình vi phân, chương 7 phương trình vi phân

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn