CHƯƠNG : TÍCH PHÂN ĐƯỜNG –TÍCH PHÂN MẶT 6.1 Tích phân đường loại 6.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f(x, y) xác định cung phẳng AB  Chia cung AB thành n cung nhỏ điểm A = A0, A1, , An = B Gọi độ dài cung Ai-1Ai si  Trên cung nhỏ Ai-1Ai lấy điểm tuỳ ý Mi(xi, yi)  Lập tổng tích phân In = n  f ( x , y )s i 1 i i i  Nếu lim I n tồn mà không phụ thuộc cách chia cung AB cách chọn n điểm Mi gọi tích phân đường loại hàm số f(x, y) theo cung AB Ký hiệu : I=  f ( x, y )ds AB Ghi :  Nếu hàm số f (x, y) có tích phân đường loại I theo cung AB ta nói hàm số f(x, y) khả tích cung AB  Cung AB cho phương trình : y = y(x) với a  x  b gọi cung trơn hàm số y = y(x) có đạo hàm liên tục [a,b]  x  x(t ) ( t1  t  t2 ) gọi  y  y (t )  Cung AB cho phương trình tham số  cung trơn hai hàm số x = x(t) y = y (t) có đạo hàm liên tục đoạn [ t1, t2 ] Định lý: Nếu hàm số f(x, y) liên tục cung trơn AB khả tích cung 6.1.2 Cách tính tích phân đường loại 1 Nếu cung AB trơn, cho phương trình y = y(x), a  x  b f(x, y) liên tục AB :  b f ( x, y )ds =  f ( x, y( x))  ( y '( x)) dx a AB  x  x(t )  y  y (t ) Nếu cung AB trơn, cho phương trình tham số  ( t1  x  t2 ) hàm f(x, y) liên tục AB :  t2  f ( x(t ), y(t )) f ( x, y )ds = ( x '(t ))  ( y '(t )) dt t1 AB Nếu cung AB cho toạ độ cực r  r(),      Khi coi  tham số, ta có phương trình cung AB x  r()cos  y  r()sin   x2  y2  r()2  r()2 Vậy  f ( x, y )ds =  f(r()cos, r()sin ) r()2  r()2 d   AB Tích phân đường loại không gian Cho hàm số f(x, y, z) liên tục cung trơn AB có phương trình tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1  t  t Khi  t2 f ( x, y, z )ds =  f ( x(t ), y(t ), z (t )) ( x '(t ))  ( y '(t ))  ( z(t )) dt t1 AB Ví dụ Tính  (x  y)ds , với C – tam giác với đỉnh O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1) C Giải Ta có   C    OA AB BO Trên OA: y = 0, ds = dx Suy  OA (x  y)ds   xdx  Trên OB: x = 0, ds = dy Suy  (x  y)ds   ydy  OB Trên AB: y = – x Suy  (x  y)ds   dx  ds   (y(x))2 dx  2dx  AB Vậy  (x  y)ds   C Ví dụ Tính  x  y ds,C : x  y  ax C Giải   Đưa C toạ độ cực ta r = acos  ,     , r  r2  a  Vậy x  y ds  C   ard  a  cosd  2a  Ví dụ Tính I   2     z ds, với cung AB có phương trình AB x  a cos t,y  as int,z  bt,0  t  Giải Ta có: I  AB b z ds   b2 t a2 sin t  a2 cos2 t  b2 dt a b 2  t dt  9b 2 a2  b Ví dụ Tính  x ds,C : x  y  C Giải Ngồi cách tính trực tiếp với C có phương trình y    x (hoặc đưa toạ độ cực), ta sử dụng tính đối xứng Vì đường trịn C đối xứng x 1 C  y nên rõ ràng ta có:  x ds    x ds   y ds   C  C 2  (x  y )ds 2C Trên đường trịn C ta có x  y  Vậy  x ds   ds  2.4  8 C (  ds  chu vi đường tròn = 4 ) C C 6.2 Tích phân đường loại 6.2.1 Định nghĩa Cho hàm số P(x, y) Q(x, y) xác định cung AB  Chia cung AB thành n cung nhỏ điểm : A = A0, A1, ., An = B   Gọi hình chiếu vectơ Ai 1 Ai trục Ox Oy xi yi  Trên cung Ai-1 Ai lấy điểm Mi (  i , i ) tùy ý  Lập tổng tích phân: In = n  i 1 [P(  i , i )xi + Q(  i , i )yi]  Nếu lim I n tồn không phụ thuộc cách chia cung AB cách chọn Mi n gọi tích phân đường loại hàm số P(x, y) Q(x, y) dọc theo cung AB Ký hiệu: I=  P(x, y) dx + Q(x, y) dy AB  Định lý : Nếu P(x, y) Q(x, y) liên tục cung trơn AB tích phân đường loại tồn  Chiều đường lấy tích phân :  AB Pdx + Qdy = -  Pdx  Qdy BA 6.2.2 Cách tính tích phân đường lọai Giả sử AB cung trơn hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục cung AB Nếu cung AB cho phương trình : y = y(x), a hoành độ A, b hồnh độ B :  AB P(x, y) dx + Q(x, y) dy =  b a [P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) y’(x)] dx Ví dụ Tính I   x ydx  ( x  y )dy , với L đường sau: L a (P): y = x2, nối O(0, 0) với A(1, 1) I   x ydx  ( x  y )dy   ( x  x  x )dx   L 15 b L đường thẳng nối O(0, 0) với A(1, 1) I   x ydx  ( x  y )dy   ( x  x)dx   L Nếu cung AB cho phương trình tham số { x  x (t ) y  y (t ) với đầu mút A, B theo thứ tự ứng với giá trị tA, tB tham số  tB P(x, y) dx + Q(x, y) dy =   P( x(t ), y(t )) x '(t )  Q( x(t ), y(t )) y '(t )dt tA AB Ví dụ Tính I   ydx  ( x  y )dy , với L đường nối A(1, 0) B(0, 1) L theo đường sau: a Đường gấp khúc ACB, với B(1, 1) b Đường trịn tâm O bán kính Giải a Ta có: I   ydx  ( x  y )dy  L  x   dx  Do Trên AC:  y : 1  y   dy  Do  y :1  Trên CB:    AC CB    (1  y)dy  AC  BC 0   dx  1 Vậy I =  x  cos t dx   sin tdt   ;0  t   y  sin t dy  cos tdt b Tham số hóa:    2 0 I   sin t.( sin t )dt  (cost  2sin t ) cos tdt   (  sin t  cos 2t  2sin t cos t )dt   2   (cos2t  sin 2t )dt  (sin 2t  cos2t )  0 Ví dụ Tính I   y dx  x dy C C – vịng trịn tâm (0, 0) bán kính C có phương trình x  cos t,y  sin t,0  x  2 2 Vậy I   sin t( sin t)  cos2 t(cos t)dt    Ghi :  Tích phân đường loại : chiều đường lấy tích phân khơng quan trọng  Tích phân đường loại : Phải ý chiều đường lấy tích phân  Trong trường hợp, L đường cong khép kín , ta tính tích phân đường lọai theo chiều dương L  Qui ước : Chiều dương đường cong kín chiều mà theo chiều ,ta thấy miền giới hạn bên trái Ký hiệu :   Pdx + Qdy L 6.2.3 Công thức Green Cho hai hàm P(x,y) Q(x,y) có đạo hàm riêng liên tục miền D L biên D, ta có cơng thức Green:   P(x, y) dx + Q(x, y) dy = L Q P  ( x  y )dxdy D Hệ quả: Nếu L đường biên kín miền D diện tích S miền D cho công thức : S=  xdy-ydx 2 L Ví dụ Tính I   xy dy  x ydx,C : x  y   C Ta có P  x y,Q  xy Q P   x2  y2 x y Vận dụng công thức Green ta I   x2  y2 1 2 (x  y )dxdy   d r dr   6.2.4 Sự độc lập đường lấy tích phân Định Lý Tích phân đường  P(x, y) dx + Q(x, y) dy phụ thuộc vào AB đầu mút A,B mà khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân từ A đến B : P Q  y x VD 1: Chứng minh tích phân I =  xe y dx + (3x + y + 1) e y dy không AN phụ thuộc vào đường lấy tích phân VD 2: Chứng minh tích phân I   ( x  y )dx  ( x  y )dy phụ thuộc vào AB đường lấy tích phân VD 3: Tính I   ( x  y )dx  ( y  3x)dy với A (1,1), B(2,3) AB (3,4) VD 4: Tính I =  ydx  xdy (0,1) 6.2.5 Ứng dụng tích phân đường loại s= Chiều dài cung:  ds AB Khối lượng cung: m=   ( x, y)ds AB với (x,y) khối lượng riêng M(x,y) Tọa độ trọng tâm cung xG =  x ( x, y)ds m AB  Nếu cung đồng , yG =  y  ( x, y)ds m AB xG =  xds s AB , yG =  yds s AB Với s độ dài cung AB VD 1: Tìm khối lượng cung trịn x = cost, y = sint (  t  ) khối lượng riêng M (x,y) y VD 2: Tìm tọa độ trọng tâm cung x = t - sint , y = - cost (0  t  ) 6.3 Tích phân mặt loại 6.3.1 Định nghĩa Cho hàm số f(x,y,z) xác định mặt S  Chia mặt S thành n mãnh nhỏ có diện tích Si (i= 1, n )  Trên mảnh nhỏ chọn điềm tùy ý Mi (xi , yi , zi)  Lập tổng tích phân: In = n  f (M )S i 1  Nếu lim I n i i tồn mà không phụ thuộc vào cách chia mặt S cách chọn n  điểm Mi gọi tích phân mặt loại hàm số f (x,y,z) mặt S Ký hiệu : I=  f ( x, y, z )dS S Định lý: Nếu mặt S trơn (nghĩa mặt S liên tục có pháp tuyến biến thiên liên tục) hàm số f(x,y,z) liên tục S tích phân mặt loại tồn Tích phân mặt loại I có tính chất giống tích phân kép 6.3.2 Cách tính tích phân mặt loại Giả sử mặt S cho pt z = z(x,y) z(x,y) liên tục, có đạo hàm riêng z’x z’y liên tục miền đóng bị chặn D với D hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy Nếu f (x,y,z) liên tục S ta có:  f ( x, y, z )dS S =  f ( x, y, z ( x, y)) D : p  z z , q y x  p  q dxdy Ví dụ Tính I   ( x  y )ds , S mặt cầu: x  y  z  R , z  S Giải Chiếu S xuống Oxy ta đường tròn: x  y  , miền mặt S có phương trình: z  R  x  y Do đó: ds  Vậy: I   ( x  y )ds   S Dxy 2 R 0 I  R  d  R R x y 2 R R2  x2  y ( x  y )dxdy r2 rdr   R R2  r Ví dụ Tính I   ( x  y  z )ds , S phần mặt phẳng : x  y  z  , S góc x  0, y  0, z  Giải Chiếu S xuống Oxy ta đường tròn: x  y  , miền mặt S có phương trình: z  R  x  y Do đó: ds  Vậy: I   ( x  y )ds   S Dxy 2 R I  R  d  0 R R x y 2 R R  x2  y 2 ( x  y )dxdy r2 rdr   R R r 2 6.3.3 Ứng dụng tích phân mặt loại 1 Diện tích mặt: S=  dS S Khối lượng mặt: m=   ( x, y, z )dS S Tọa độ trọng tâm mặt: xG  x  ( M )dS m  S với  ( x, y, z ) khối lượng riêng yG  y  ( M )dS m  S zG  z  ( M )dS m  S Nếu mặt S đồng phẳng thì: xG  xdS , S  S yG  1  ydS , zG  S  zdS S S S VD 1: Tính khối lượng mặt cầu bán kính R khối lượng riêng điểm bình phương khỏang cách từ đến đường kính cố định mặt cầu (  ( M )  R  x ) VD 2: Tính tọa độ trọng tâm phần mặt phẳng z= x giới hạn mặt phẳng x + y = 1, y = 0, x = 6.4 Tích phân mặt loại 6.4.1 Định nghĩa Nếu hàm P(x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) liên tục mặt S có định hướng tích phân mặt loại ba hàm số là:  Pdydz  Qdzdx  Rdxdy S Ghi chú:  Nếu đổi hướng mặt S tích phân đổi dấu  Tích phân mặt loại có tính chất giống tích phân kép 6.4.2 Cách tính tích phân mặt loại Việc tính tích phân mặt loại đưa việc tính tích phân kép Giả sử mặt S có phương trình z = z (x,y) liên tục, xác định D1 hình chiếu S mặt phẳng Oxy ta có:  Rdxdy   R( x, y, z ( x, y))dxdy S Các tích phân D1  Pdydz ,  Qdzdx S tính tương tự : S  Pdydz =  P( x( y, z ), y, z )dydz ;  Qdzdx =  Q( x, y( x, z ), z )dzdx S D2 S D3 VD 1: Tính I   xdydz  dzdx  xz dxdy S phần mặt cầu tâm O, S bán kính 1, nằm góc phần tám thứ có pháp vectơ hướng ngồi VD Tính I   xydydz  yzdzdx  xzdxdy S mặt hình S chóp OABC với A(1,0,0) , B(0,1,0) , C(0,0,1) 6.4.3 Định lý Stokes Giả sử hàm P(x,y,z) , Q(x,y,z) R(x,y,z) liên tục có đạo hàm riêng liên tục mặt định hướng S , biên S đuờng cong kín L Ta có công thức Stokes :  D  R Q   Q P   P R    y  z dydz   z  x dxdz   x  y dxdy   Pdx  Qdy  Rdz          L VD: Tính  y2dx+z2dy+x2dz L chu tuyến tam giác ABC với L A  a,0,0  , B  0,a,0  , C  0,0,a  lấy theo chiều dương 6.4.4 Định lý Gauss – Ostrogratski Giả sử V miền đóng bị chặn R3 có biên mặt S kín trơn mảnh Các hàm P(x,y,z) , Q(x,y,z), R(x,y,z) liên tục có đạo hàm riêng liên tục V Ta có cơng thức Gauss –Ostrogratski sau :  P Q R    x  y  z dxdydz   Pdydz  Qdxdz  Rdxdy     V S vectơ pháp tuyến S hướng VD : Tính I =  S zdxdy +(y+y2)dxdz S mặt phía ngồi vật thể giới hạn z = x2+y2, z = , z = công thức Gauss – Ostrogratski BÀI TẬP CƯƠNG 6.1 Tính tích phân đường loại 1 I=  ( x  y )ds với AB l đọan thẳng nối A(1,2) với B(2,4) AB I=  xyds với L cung AB elip L x2 y2   A(0,2) B(-3,0) I=  ( x  y )ds với L biên hình tam giác OAB A(1,1) v B(-1,1) L I=  ( x  y )ds với AB phần đường trịn tâm O ,bán kính R nằm AB góc tọa độ thứ I=  xyds với L biên hình vng x  y  L  x  a(t  sin t ) (  t  2 I=  y ds với L cung đường Cyclôit   y  a(1  cos t ) L , a>0 ) I=  OA ds x  y2  với OA đọan thẳng nối O A(1,2) 6.2 Tính tích phân đường loại I=  ( x  xy )dx  ( y  xy )dy với L cung parabol y = x2 nối từ điểm L A(-1,1) đến điểm B(1,1) I=  ( x  xy )dx  (2 xy  y )dy với L chu tuyến dương miền D giới L hạn parabol y = x2 ,y = , x = x  10 I=  (2a  y )dx  xdy với L cung đường Cyclôit L  x  a(t  sin t ) , t thay đổi từ đến    y  a(1  cos t ) dx  dy x y L 11 I=  với L chu tuyến dương hình vng ABCD với đỉnh A(1,0) , B(0,1) , C(-1,0) , D(0,-1) 12 I=  ( x y )dx  xy dy với L đường tròn x2+y2 = lấy theo chiều dương L 13 I=  2( x  y )dx  ( x  y ) dy với L chu tuyến dương tam giác ABC L với A(1,1) , B(2,2) , C(1,3) a) Áp dụng công thức Green để tính I b) Tính trực tiếp để kiểm tra kết 14 I=  (2 xy  x )dx  ( x  y )dy với L chu tuyến dương miền tạo L parabol y = x2 x = y2 a) Áp dụng cơng thức Green để tính I b) Tính trực tiếp để kiểm tra kết 15 I=  (2 x  y )dx  ( x  y )dy với L đường tròn x2+y2=1 theo chiều L dương 16 I=  (2 x  y )dx  ( x  y )dy với L đường nối từ điểm A(1,2) đến điểm L B(2,4) (1,1)  ( x  y)dx  ( x  y)dy 17 I= ( 0,0 ) 18 I=  ( ye xy  x cos y  x y )dx  ( xe xy  x sin y  xy  xy )dy với L nửa L đường tròn x2+y2=2x ( y  ) từ điểm A(2,0) đến O y x 19 I=  xy[( x  )dx  (  y )dy ] với L chu tuyến dương tam giác ABC L với đỉnh A(-1,0) ,B(1,-2) C(1,2) 20 I=  2( x  y )dx  (4 y  3) xdy với L đường gấp khúc tạo đọan L thẳng OA AB tam giác OAB với A(1,1) , B(0,2) 21 I   xydx với L cung parapol y  x , từ A(1; -1) đến B(1;1) L 22 I   ( xy  1)dx  x ydy với L cung nối từ A(1; 0) , B(0; 2) L a Theo đường thẳng AB b Theo cung parapol y  4(1  x) 23 I   xdx  ( x  y )dy với L chu tuyến tam giác ABC theo chiều L ngược kim đồng hồ với A(-1; 0), B(0; 2), C(2; 0) 24 I   (2 x  y  xy )dx  ( yx  x  y  2)dy với C nửa đường tròn C x  y  4, y  , chiều kim đồng hồ 2 25 I   ( y  x y  xy )dx  (3x  C chiều kim đồng hồ xy y2  x y )dy với C elip x   , ngược 4 26 I   ( y  x y  xy  y sin( xy ))dx  (3 x  C elip x  xy  x y  x sin( xy )) dy với C nửa y2  1, y  , ngược chiều kim đồng hồ ... đổi hướng mặt S tích phân đổi dấu  Tích phân mặt loại có tính chất giống tích phân kép 6. 4.2 Cách tính tích phân mặt loại Việc tính tích phân mặt loại đưa việc tính tích phân kép Giả sử mặt S có...  Tích phân đường loại : chiều đường lấy tích phân khơng quan trọng  Tích phân đường loại : Phải ý chiều đường lấy tích phân  Trong trường hợp, L đường cong khép kín , ta tính tích phân đường. .. Nếu mặt S trơn (nghĩa mặt S liên tục có pháp tuyến biến thiên liên tục) hàm số f(x,y,z) liên tục S tích phân mặt loại tồn Tích phân mặt loại I có tính chất giống tích phân kép 6. 3.2 Cách tính tích