chương 4 phương trình vi phân

6 537 4
  • Loading ...
1/6 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 21/06/2014, 16:51

Trang 1 CHƯƠNG 4 : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNPhương trình vi phânphương trình có dạng F(x,y,y’,y’’,…,y (n) )= 0 trong đó x là biến số độc lập, y là hàm số theo x , y’,y’’,…,y (n) là các đạo hàm của y . • Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm. • Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y=ϕ(x) thỏa mãn phương trình. 4.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 : 4.1.1 Khái niệm : 1. Phương trình vi phân cấp 1 : Phương trình viphương trình có dạng F (x,y,y’) = 0 . Nếu có thể giải ra đối với y’ thì có dạng y’= f(x,y) . 2.Nghiệm tổng quát : Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là hàm số y = ϕ (x,C) thỏa phương trình . 3. Nghiệm riêng : Nghiệm y = ϕ(x,C 0 ) nhận được từ nghiệm tổng quát y = ϕ(x,C) ứng với một giá trị cụ thể C = C o gọi là nghiệm riêng. 4.Tích phân tổng quát : Trong một số trường hợp , ta không tìm được nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dưới dạng tường minh y = ϕ(x,C) mà tìm được hệ thức dưới dạng ẩn φ(x,y,C) = 0. Ta gọi đó là tích phân tồng quát của phương trình vi phân . * Đồ thị của mỗi nghiệm y = ϕ (x,C) của phương trình vi phân gọi là đường cong tích phân của phương trình nầy. * Nghiệm tổng quát y = ϕ(x,C) tương ứng với 1 họ đường cong tích phân phụ thuộc tham số C. * Nghiệm kỳ dị: Nghiệm của phương trình vi phân không nhận được từ họ nghiệm tổng quát thì được gọi là nghiệm kỳ dị . 4.1.2 Phương trình vi phân biến số phân ly : Trang 2 1. Định Nghĩa : Phương trình vi phân biến số phân ly là phương trình có dạng: f(x)dx = g(y)dy (1) 2. Cách giải : Lấy tích phân 2 vế của (1) ∫ ∫ = dyygdxxf )()( F(x) = G(y) + C Dụ 1 : Giải phương trình vi phân : xy’ + y = 0 Dụ 2: Giải phương trình vi phân : y’ = tgxtgy 4.1.3 Phương trình vi phân đẳng cấp : 1. Định nghĩa : Phương trình vi phân được gọi là đẳng cấp đối với x và y là phương trình có dạng : y’ = f ( x y ). 2. Cách giải : Đặt u = x y <=> y = ux => y’ = u’x + u Suy ra : f(u) = u + x . dx du <=> x dx du = f (u) - u Nếu f (u) - u ≠ 0 ta có : x dx = uuf du −)( Đây là phương trình biến số phân ly. Dụ 1 : Giải phương trình vi phân y’ = 22 yx xy − Dụ2 : Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’ = x y + sin x y với điều kiện ban đầu y (1) = 2 π 4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 : Trang 3 1. Định Nghĩa : Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng y’ + p(x).y = q(x) (1) trong đó p (x) và q (x) là những hàm liên tục . 2. Cách giải : y’+ p(x)y = q(x) (1) Bước 1 : Giải phương trình thuần nhất tương ứng y’ + p(x)y = 0 (2) Đây là phương trình biến số phân ly ,giả sử y = ϕ(x,C) là nghiệm tổng quát của phương trình (2) Bước 2 : Xem C là một hàm theo x ,tìm y’ rồi thay vào (1).Từ đó tìm ra C . dụ 1 : Giải phương trình vi phân : y’+ 2xy = xe -x2 (1) ĐS : y = 2 2 2 x eK x − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + Dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình vi phân (x 2 +1)y’+xy = 1 thỏa điều kiện ban đầu y (0) = 2. ĐS :y = 2 2 1 2) x 1 (x ln x+ +++ 4.1.5 Phương trình Bernouilli( Bec-nu-li) 1. Định Nghĩa : Phương trình có dạng : y’ + p(x)y = q(x). α y trong đó p(x), q(x) là những hàm liên tục, α ∈R. 2. Cách giải : • Nếu α = 0 hoặc α =1, phương trình trở thành phương trình tuyến tính. • Giả sử α ≠ 0 và α ≠1 Với y ≠ 0, chia 2 vế cho y ∝ y -∝ . y’ + p(x).y 1-∝ = q(x) Đặt u = y 1- α suy ra u ’= (1- α ) y - α .y’. Phương trình trên trở thành : u’+ (1- α ) p(x) u = (1- α )q(x) Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 đối với u. Dụ : Giải phương trình vi phân : y’ + 42 yx x y = (1) ĐS : y = 3 3 ln 1 x K x Trang 4 4.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 : 4.2.1- Khái niệm : Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = 0 Nếu giải được phương trình đối với y’’, ta có dạng khác :y’’= f(x,y,y’) Nghiệm tổng quát : y = ϕ (x,C 1 ,C 2 ) Nghiệm riêng :y = ϕ (x, 0 2 0 1 ,CC ) với 0 2 0 1 ,CC là các giá trị xác định của C 1 , C 2 Tích phân tổng quát : φ(x,y,C 2 ,C 2 ) = 0 4.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 : y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng : y’’ + py’ + qy = f(x) (1) ( p,q hằng số) Bước 1 : Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất : y’’ + py’ + qy = 0 (2) Giải phương trình đặc trưng : k 2 + pk + q = 0 (3) Ta có 3 trường hợp xảy ra : * ∆= p 2 -4 q > 0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm thực khác nhau k 1 và k 2 Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là : * ∆ = p 2 -4q = 0 : Phương trình (3) có nghiệm kép thực k Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là : y = kx e (C 1 +C 2 x) * ∆ = p 2 -4q <0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm phức liên hợp : k 1 = α + β i và k 2 = α - β i Nghiệm tổng quát của pt (2) là : Dụ 1 : Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’ + y’ -2y = 0 thoả điều kiện ban đầu y(0) = 0 và y’(0) =1. Dụ 2 : Giải phương trình vi phân : y’’ – 6y’ + 9y = 0 Dụ 3 : Giải phương trình vi phân : y’’ - 2y’ + 5y = 0 y = C 1 xk e 1 +C 2 xk e 1 y = x e α (C 1 cos β x + C 2 sin β x) Trang 5 Bước 2 : Phương trình vi phân không thuần nhất : y’’ + py’ + qy = f(x) (1) Phương pháp giải : * Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng : y’’+py’ +qy = 0 (2) * Tìm một nghiệm riêng của phương trình (1). * Nghiệm tổng quát của pt (1) = nghiệm tổng quát của pt (2) + nghiệm riêng của pt (1). Ta xét các trường hợp f(x) có dạng đặc biệt : 1) f(x) = x e α P n (x). a)Nếu α không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y = x e α Q n (x) b)Nếu α trùng với nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì ta tìm nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =x x e α Q n (x) c)Nếu α trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì ta tìm nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =x 2 x e α Q n (x) Dụ 1: Giải phương trình y’’ +3y’ -4y = x. ĐS : y = C 1 e x + C 2 e -4x - 4 1 x - 16 3 Dụ 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y’’ –y’ = e x (x+1) ĐS : y =(C 1 + C 2 )e 3x + x e x 3 3 6 2) f(x) = P m (x) cos β x + P n (x) sin β x : Nghiệm riêng của phương trình có dạng : • y = Q l (x) cos β x + R l (x) sin β x nếu ± i β không trùng với nghiệm của pt đặc trưng. • y = x [ Q l (x) cos β x + R l (x) sin β x ] nếu ± i β trùng với nghiệm của pt đặc trưng . ( l = max (m,n) ) Dụ : Giải phương trình : a)y’’ + y’ = sin 2x Trang 6 b)y’’+ y = xsinx . của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm. • Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y=ϕ(x) thỏa mãn phương trình. 4. 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 : 4. 1.1 Khái niệm : 1. Phương trình. 1 : Giải phương trình vi phân : xy’ + y = 0 Ví Dụ 2: Giải phương trình vi phân : y’ = tgxtgy 4. 1.3 Phương trình vi phân đẳng cấp : 1. Định nghĩa : Phương trình vi phân được gọi là đẳng. 3 3 ln 1 x K x Trang 4 4. 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 : 4. 2.1- Khái niệm : Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = 0 Nếu giải được phương trình đối với y’’,
- Xem thêm -

Xem thêm: chương 4 phương trình vi phân, chương 4 phương trình vi phân, chương 4 phương trình vi phân

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn