Trang 1 Chương 2 : KHÔNG GIAN VECTƠ 2.1. Không gian vector n chiều 2.1.1. Vectơ n chiều 1. Định nghĩa. Một vectơ n chiều là một bộ n số thực x = (x 1 ,x 2 ,…,x n ).  x j : tọa độ thứ j của vectơ x (j = n,1 )  Vectơ không : 0 = (0,0,…,0)  Vectơ đơn vị : e 1 = (1,0,…,0) , e 2 = (0,1,0,…,0) ,…, e n = (0,0,…0,1)  Dạng ma trận cột : X = [x] =                 n x x x . . 2 1 2. Phép toán trên các vectơ n chiều a. Phép cộng 2 vectơ n chiều  Cho x = (x 1 ,x 2 ,…,x n ) và y = (y 1 ,y 2 ,…,y n ) . Tổng của 2 vectơ x và y là vectơ n chiều : x + y = (x 1 +y 1 ,x 2 +y 2 ,…,x n +y n ) b. Phép nhân một số thực với một vectơ n chiều  Cho x = (x 1 ,x 2 ,…,x n ) và R   . Tích của số  với vectơ x là vectơ n chiều  x = (  x 1 ,  x 2 ,…,  x n ) Ghi chú  Vectơ (-1)x = (-x 1 ,-x 2 ,…,-x n ) gọi là vectơ đối của vectơ x , ký hiệu : -x .  Vectơ x + (-1)y được ký hiệu x – y và gọi là hiệu của vectơ x và y . 3. Tính chất các phép tóan Cho x,y,z là các vectơ n chiều và  ,   R . 1) x + y = y + x 2) ( x + y ) + z = x + ( y + z ) 3) x + 0 = x 4) x + (-x) = 0 5)  ( x + y ) =  x +  y 6) (  +  )x =  x +  x 7) (   )x =  (  x) =  (  x) Trang 2 8) 1.x = x 2.1.2. Hệ vectơ n chiều 1. Tổ hợp tuyến tính a. Định nghĩa Cho a 1 ,a 2 ,…,a m là m vectơ n chiều và i   R ( mi ,1 ). Vectơ n chiều sau đây được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ a i với các hệ số i  ( mi ,1 ). mm aaaa        2211 Ta còn nói vectơ a được biểu thị tuyến tính qua các vectơ a i với các hệ số i  . b. Ví dụ Ví dụ 1 Cho các vectơ 3 chiều : a 1 =(1,0,1) , a 2 =(1,2,0) và a 3 =(0,-1,1). a)Tìm tổ hợp tuyến tính của các vectơ a 1 ,a 2 ,a 3 với các hệ số là 2,-1,3. b)Cho vectơ v=(5,3,4) . Vectơ v có thể biểu thị tuyến tính qua 3 vectơ a 1 ,a 2 ,a 3 hay không ? Giải a. Giả sử u là tổ hợp tuyến tính của các vector a 1 , a 2 , a 3 với các hệ số: 2, - 1, 3. Suy ra: u = 2.a 1 – 1a 2 + 3a 3 2(1,0,1) (1,2,0) 3(0, 1,1) (1, 5,5).u      b. Giả sử vector v biểu thị tuyến tính được qua 123 ,,aaavới các hệ số: 123 ,,   . Khi đó: 11 2 2 33 1 2 3 511 0 302 1 41 01 va a a                    12 1 23 2 3 13 53 23 2 1 4                   Vậy vector v biểu thị tuyến tính được qua 123 ,,aaa với các hệ số: 3, 2, 1. Ví dụ 2 Cho 3 vectơ 3 chiều a=(1,1,0),b=(0,2,1) và u=(u 1, u 2, u 3 ). a)Tìm điều kiện cho các thành phần của u 1, u 2, u 3 của vectơ u để u có thể biểu thị tuyến tính theo a và b. b)Cho các vectơ v =(2,4,1) và w=(1,2,3) .Vectơ nào biểu thị tuyến tính được theo 2 vectơ a và b? Giải Trang 3 a. Giả sử vector u biểu thị tuyến tính được qua ,abvới các hệ số: 12 ,   . Khi đó: 111 12 2 1 2 122213 323 10 12 2 2 01 uu uabu uuuu uu                                  .  Vậy với 213 uuu   thì vector u biểu thị tuyến tính được qua a và b. b. Với 21 3 (2,4,1) 2vvvv. Vậy vector v biểu thị tuyến tính được qua a, b.  Với 21 3 (1, 2, 3) 2uvvv. Vậy vector u không biểu thị tuyến tính được qua a, b. 2. Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính a. Định nghĩa Cho a 1 ,a 2 ,…,a m là m vectơ n chiều  Hệ vectơ {a i } ( mi ,1 ) độc lập tuyến tính nếu mm aaa       2211 = 0  i  = 0 ( mi ,1 )  Hệ vectơ {a i } ( mi ,1 ) phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính ,nghĩa là tồn tại i   0 sao cho mm aaa      2211 = 0 . Ví dụ 1 Chứng tỏ hệ các vectơ đơn vị 3 chiều {e 1 ,e 2 ,e 3 } độc lập tuyến tính  Ta có biểu thị tuyến tính của vector 0 qua hê 123 {e ,e ,e } với các hệ số 123 {,,}   . Khi đó: 1 11 2 2 33 1 2 3 2 3 0 100 00100 0 001 0 eee                                       Vậy hệ 123 {e ,e ,e } độc lập tuyến tính. Ví dụ 2 Hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính U = {u 1 ,u 2 ,u 3 } với u 1 = (1,1,1) , u 2 = (0,1,1) và u 3 = (1,2,3) .  Ta có biểu thị tuyến tính của vector 0 qua hê 123 {u ,u ,u } với các hệ số 123 {,,}   13 1 11 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2 3 12 3 0 0 101 01120 20 0 11 3 0 30 uuu                                                             Vậy hệ 123 {u ,u ,u } độc lập tuyến tính. b. Định lý Cho n vectơ n chiều a 1 = ), ,,( 11211 n aaa a 2 = ), ,,( 22221 n aaa Trang 4 ……………………. A n = ), ,,( 21 nnnn aaa Đặt : A =             nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 Hệ vectơ {a i } ( 1,in ) độc lập tuyến tính  A  0 Hệ vectơ {a i } ( 1,in ) phụ thuộc tuyến tính  A = 0 Ví dụ 1 Chứng minh rằng hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính a 1 =(2,1,1) , a 2 =(-1,1,4) và a 3 =(1, 1,-2). Lập 211 11 4 12 0 11 2 AA           . Vậy hệ 123 {a ,a ,a } độc lập tuyến tính. Ví dụ 2 Định m để hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính a 1 =(1,0,1) , a 2 =(2,m,-1) và a 3 =(0, 2, 2). Lập 10 1 21 260 3 02 2 Am Am m       . Vậy hệ 123 {a ,a ,a } độc lập tuyến tính khi 3m   . Ghi chú : Hệ n vectơ đơn vị n chiều {e i } ( ni ,1 ) độc lập tuyến tính c. Tính chất của sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Định lý 1: {a } độc lập tuyến tính  a  0 Định lý 2: {a i } độc lập tuyến tính  a i  0 ,  mi ,1 Hệ quả : Nếu  a i = 0 thì {a i } phụ thuộc tuyến tính . Định lý 3: * Nếu {a i } ( mi ,1 ) độc lập tuyến tính thì mọi hệ vectơ con của {a i } đều độc lập tuyến tính. * Nếu {a i } ( mi ,1 ) phụ thuộc tuyến tính thì mọi hệ chứa hệ {a i } đều phụ thuộc tuyến tính. Định lý 4: Hệ vectơ {a i } ( mi ,1 ) phụ thuộc tuyến tính   a i , a i biểu thị tuyến tính theo các vectơ còn lại . 3. Hạng của một hệ vectơ n chiều Trang 5 a. Định nghĩa. Cho hệ m vectơ n chiều {a i } ( mi ,1 ) .Số vectơ độc lập tuyến tính lớn nhất chọn được từ hệ này là hạng của hệ ,ký hiệu : r(a 1 ,a 2 ,…,a m ) b. Cách tìm hạng của vectơ n chiều Cho hệ m vectơ n chiều a 1 = ), ,,( 11211 n aaa a 2 = ), ,,( 22221 n aaa ……………………. a m = ), ,,( 21 mnmm aaa Đặt : A =             mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 Ta có : r(a 1 ,a 2 ,…,a m ) = r(A) Kết quả:  Hệ {a i } ( mi ,1 ) độc lập tuyến tính  r(a 1 ,a 2 ,…,a m ) = m  Hệ {ai } ( mi ,1 ) phụ thuộc tuyến tính  r(a1,a2,…,am) < m Ví dụ Tìm hạng của hệ vectơ 4 chiều sau đây ,từ đó xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của chúng : a) a 1 =(1,-1,5,-1) , a 2 =(1,1,-2,3) và a 3 =(3, -1,8,1). Lập 115 1 115 1 115 1 11 23 02 74 02 74 3181 02 74 0000 A           Suy ra 1234 () {,a,a,a}=2rA ra  . Do 1234 {,a,a,a}=2< 3ra n nên hệ phụ thuộc tuyến tính. b) a 1 =(1,2,1, 1) , a 2 =(2,5,1,6) và a 3 =(-1,-4,2,2). Lập 1211 1211 1211 2516 01 14 0114 1422 0233 00111 A         Suy ra 1234 () {,a,a,a}=3rA ra . Do 1234 {,a,a,a}=3 = ra n nên hệ độc lập tuyến tính. 2.1.3. Không gian vectơ n chiều R n 1. Định nghĩa. Tập hợp các vectơ n chiều với 2 phép tóan : cộng 2 vectơ và nhân vectơ với 1 số thực tạo thành một cấu trúc đại số gọi là “không gian vectơ n chiều “ và ký hiệu là R n . 2. Cơ sở của R n Trang 6 a. Định nghĩa. Một hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính trong R n được gọi là một cơ sở của R n . Ghi chú :  Hệ gồm n vectơ đơn vị n chiều { e i } ( i = n,1 ) là một cơ sở của R n và được gọi là “ cơ sở chính tắc “ của R n .  Hệ {a i } (i = n,1 ) là cơ sở của R n  r(a 1 ,a 2 ,…,a n ) = n b. Ví dụ. Hệ vectơ nào sau đây là là cơ sở của R 3 a) a 1 = (1,0,1) , a 2 = (1,0,0) b) b 1 = (1,1,2) , b 2 = (0,1,3) , b 3 = (-1,1,4) , b 4 = (1,0,1) c) c 1 = (1,1,3) , c 2 = (-1,1,-1) , c 3 = (5,-2,8) d) d 1 = (1,1,0) , d 2 = (2,2,1) , d 3 = (1,0,1) . 3. Tọa độ của một vectơ trong một cơ sở của R n a. Định lý. Cho (u) ={ u i } (i= n,1 ) là một cơ sở của R n .Mọi vectơ x của R n đều biểu thị tuyến tính được theo các vectơ cơ sở , nghĩa là tồn tại bộ n số thực (x 1 ,x 2 ,…,x n ) sao cho : x = x 1 u 1 + x 2 u 2 + …+ x n u n . b. Định nghĩa. Bộ n số thực (x 1 ,x 2 ,…,x n ) trong định lý trên gọi là tọa độ của vectơ x trong cơ sở (u) và ký hiệu: x/ (u) = (x 1 ,x 2 ,…,x n ) (u) Ghi chú: Ta thấy đối với cơ sở chính tắc (e) = { e i } x = (x 1 ,x 2 ,…,x n ) = 11 2 2 nn x exe xe   Vậy : x /(e) = x = (x 1 ,x 2 ,…,x n ) Do đó khi thấy x = (1,2,3) ta hiểu đó là tọa độ của x trong cơ sở chính tắc. Ví dụ Trong 3 R cho các vector 123 (3,1, 4); (2,5,6); (1,4,8)uuu    a. Chứng minh rằng 123 {u ,u ,u }U  là một cơ sở của R 3 b. Tìm tọa độ của (3,2,1)x  trong cơ sở U Giải a. Cách 1: U gồm có 3 vector 3 chiều Lập 31 4 25 6 14 8 A        . Suy ra 26 0A   . Do đó U độc lập tuyến tính. Vậy U là một cơ sở của R 3 Cách 2 : Lập 31 4 14 8 1 4 8 1 4 8 2 5 6 2 5 6 0 3 10 0 3 10 14 8 31 4 0 11 28 0 0 26 A                   Trang 7 Suy ra : () () 3rA rU. Vậy U là một cơ sở của R 3 b. Giả sử 123 11 22 33 /(,,) U x xxx x xu xu xu 123 123 123 123 32 3 33 21 21 54 542 1468 4681 xxx xxx xxx xxx                                        Giải hệ phương trình ta có nghiệm là : 123 31 27 3 (, , ) , , 26 26 2 xxx     . Vậy 31 27 3 /,, 26 26 2 U x     . 4. Ma trận đổi cơ sở  Trong n R cho hai cơ sở: 12 {u ,u , ,u } n U   và 12 {v ,v , ,v } n V   .  Giả sử các vector của cơ sở V có biểu thị tuyến tính qua cơ sở V như sau 1111122 1 2211222 2 11 2 2 nn nn nn n nnn vauau au vauau au vauau au        Suy ra, tọa độ của các vector ở các vector ở cơ sở V trong cơ sở U là 111121 221222 12 /(,,,) /(,,,) /(,,,) n n nnnnn vaaa vaaa vaaa    U U U    Lập ma trận A với cột thứ j là tọa độ của vector / j U v ta được 11 21 1 12 22 2 12 n n nn nn aa a aa a A aa a                  Định nghĩa. Ma trận A được gọi là ma trận đổi cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở V của n R . Ví dụ. Trong 3 R cho các vector 12 3 (1,1,2); ( 1,1,1); (2, 1,0)uu u     a. Chứng minh rằng 123 {u ,u ,u }U  là một cơ sở của R 3 b. Tìm ma trận A chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở U c. Tìm ma trận nghịch đảo của A d. Tìm ma trận B chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở chính tắc. Nhận xét về B và A -1 Trang 8 Giải a. U gồm có ba vector ba chiều. Để chứng minh U là một cơ sở của 3 R chỉ cần chứng minh U độc lập tuyến tính Lập 112 111 10 210 AA          . Suy ra U độc lập tuyến tính. Vậy U là một cơ sở của 3 R . b. Ta có 12 3 /(1,1,2);/(1,1,1);/(2,1,0) EE E uu u. Do đó ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở U là : 112 11 1 21 0 A             . c. 1 12 1 243 132 A           d. Giả sử 11231112233 /(,,) . . . U eeuuu       12 3 1 12 3 123 2 3 12 20 1 11 12 011 1 0 2 021 0 1 20                                              Vậy 1 /(1,2,1) U e  Tương tự 2 / (2, 4, 3) U e  và 3 /(1,3,2) U e   Do đó ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở chính tắc là : 1 12 1 243 132 B A            Chú ý : Nếu A là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở V thì A -1 là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở V sang cơ sở U. 5. Công thức đổi tọa độ Nếu A là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở V của n R thì :       // UV x Ax hoặc là     1 // VU x Ax     Ví dụ Trong 3 R cho các vector 12 3 (1,1,1); ( 1,1,2); (1,2,3)uu u 123 (2,1, 1); (3, 2,5); (1, 1, )vvvm  Trang 9 a. Chứng minh rằng 123 {u ,u ,u }U  là một cơ sở của 3 R . Tìm tạo độ của vector (,,) x abc trong cơ sở U. b. Tìm m để 123 {v ,v ,v }V  là một cơ sở của 3 R . c. Cho m = 1. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở V và ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở V sang cơ sở U. d. Cho m = 1 và /(1,2,3) V x   . Tìm / U x ? Giải a. U là một cơ sở của 3 R (chứng minh tương tự ví dụ 1) Giả sử 123 11 22 33 /(,,) U x xxx x xu xu xu 123 12 3 123 123 11 1 11 2 2 123 23 x xxa a bx x x xx xb c x xxc                                 Lập 111 111 111 112 001 012 123 012 001 aa a Ab ba ca ccaba         Suy ra nghiệm của hệ là :   123 ,, ( , 2 , ) x xx abca bcba      Vậy  123 /,,( ,2,) U x xxx a bca b cb a b. V có ba vector 3 chiều. Để V là cơ sở của 3 R chỉ cần tìm m để V độc lập tuyến tính Lập 21 1 32 5 200 20 11 AAmm m         . Vậy với 20m  thì V là một cơ sở của 3 R . c. Giả sử 11231112233 /(,,) U vvuuu       123 1 12 3 123 2 3 123 4 2111 1112 2 1 1123 1 23 a b c                                                  Vậy  1 /4,1,1 U v . Tương tự 2 /(0,4,1) U v   và 3 /(1,4,2) U e   Do đó ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở V là : 40 1 14 4 112 A               Bây giờ ta tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở V sang cơ sở U Trang 10 Cách 1: Ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở V sang cơ sở U là 1 414 1 6915 21 5416 A                Cách 2 : Giả sử 11231112233 /(,,) V uuvvv       1 123 123 123 2 123 3 4 23 1 21 12 31 2 11 2 1 2 1 7 1 151 51 5 21                                                                 Vậy 1 42 5 /,, 21 7 21 U v     . Tương tự 2 13 4 /,, 21 7 21 U v      và 3 45 16 /,, 21 7 21 U v      Vậy ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở V sang cơ sở U là : 414 1 6915 21 5416 B         d. Đặt  123 /,, U x xxx Áp dụng công thức đổi tọa độ từ cơ sở U sang cơ sở V , ta có :   1 2 3 40 11 1 // 14423 1123 5 UUVV x xAx x x                                     Vậy  123 /,,(1,3,5) U xxxx 2.2 Không gian vector 2.2.1 Định nghĩa không gian vectơ Cho V là tập hợp khác rỗng có các phần tử kí hiệu là : a,b,c,… và R là tập hợp số thực có các phần tử kí hiệu là    ,, … Trên V cho hai phép toán :  Phép cộng hai phần tử của V : V  V  V (a,b)  a + b  Phép nhân một số thực với một phần tử của V : R V  V (  ,a)   a [...]... ,2 )= ( -2, 1,0,0)+ (0,0,1 ,2) Vậy cơ sở của W là: u1  ( 2; 1;0;0) và u2  (0;0;1; 2) BÀI TẬP CHƯƠNG 2 1 Cho các vectơ 3 chiều : a1= (2, 1,0) , a2=(1,-1,1) và a3=(0, 1, -2) a Tìm vectơ u = 3a1 – 2a2 + a3 b Tìm vectơ x sao cho a1 + x = a2 + a3 c Tìm vectơ v là tổ hợp tuyến tính của a1,a2,a3 với các hệ số 4,3,5 d Vectơ x = (1 ,2, 3) có phải là tổ hợp tuyến tính của các vectơ a1,a2,a3 không ? 2 Cho các vectơ. .. Rn ( Không gian con này sinh ra từ các vectơ hệ nghiệm cơ bản ) Ví dụ Giải và tìm không gian nghiệm và cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính  x1  2 x2  2 x3  x4  0 2 x  4 x  2 x  x  0  1 2 3 4   x1  2 x2  4 x3  2 x4  0   4 x1  8 x2  2 x3  x4  0  Biến đổi ma trận hệ số về dạng bậc thang 1 2 A 1  4 2 2 1   1 4 2 1 0  2 4 2  0   8 2 1 ... các vectơ : a a1=(0,1 ,2) , a2= (2, -1,1) và a3=(-3, 0,1) b a1=(1, -2, 0,3) , a2=(0,0,1,0) và a3=(0, -2, -1,1) c a1=(1 ,2, 3, 4) , a2=(-1 ,2, -3,4) , a3=(0,1,-1,1) và a4=(1,1,1,1) 5 Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây : a a1=(1, -2, 0) , a2=(3 ,2, 1) và a3=(0,1 ,2) b a1=(1,-1 ,2, -1) , a2= (2, 1,0 ,2) và a3=(1, 2, 4,-1) c a1=(1,0 ,2) , a2= (2, 2,1) ,a3=(3, -1,0) và a4=(-1,1,0) 6 Hệ vectơ. .. cũng tạo thành một không gian vectơ thì W được gọi là không gian vectơ con của V 2 Định lý Cho V là không gian vectơ và WV, W≠  a, b ¦ W  a  b  W a  W,   R  a  W W là không gian vectơ con của V   VD: Cho V=R3 và W={ xR3/ x=(t,0,0) với tR } CMR W là không gian con của V 2. 2.3 Không gian sinh của hệ vector W = 1 Định nghĩa Cho V là không gian vectơ và u1,u2,…,um V Tập hợp... : a1=(1,1 ,2) và a2=(0,-1,1) a Các số u1,u2,u3 thỏa điều kiện gì để vectơ u = (u1,u2,u3) là tổ hợp tuyến tính theo a1 và a2 b Vectơ nào sau đây là tổ hợp tuyến tính của a1 và a2 : x = (1 ,2, 5) ,y = (2, 4 ,2) 3 Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây : a a1=(1,3,-1) , a2=(-1 ,2, 1) và a3= (2, -1,-1) b a1=(1 ,2, -1) , a2=(4, 1 ,2) và a3= (2, -3,4) c a1=(1,1 ,2) , a2= (2, -1,1) và... tuyến tính của các vectơ u1,u2,…,um được gọi là bao tuyến tính của các vectơ u1,u2,…,um và ký hiệu : W = Vậy : W = = {1u1+2u2+…+mum / i R} 2 Định lý Cho u1,u2,…,um là các vectơ của không gian vectơ V Bao tuyến tính W = của các vectơ u1,u2,…,um là một không gian con của V Trang 11 Ghi chú :  Ta còn nói : W là không gian con sinh bởi hệ vectơ {ui} i  1,...  0 2 2 1  1 0 6 3 0  0 6 3 0   0 6 3 0 2 2 1  0 6 3   0 0 0  0 0 0 Suy ra, r ( A)  2  4 Hệ pt có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số:  x1  2   x1  2 x2  2 x3  x4  0  x2   ;( ,   R)   x3   6 x3  3 x4  0    x4  2   Trang 12 Do đó không gian nghiệm của hện phương trình: W  {( -2 , , ,2 )| ,  R} Suy ra: x  W thì x  ( -2 , , ,2 )=( -2 ...  Không gian Rn các vectơ n chiều là một không gian vectơ  Tập hợp các vectơ hình học có cùng gốc toạ độ 0 trong mặt phẳng toạ độ với phép cộng vectơ theo “quy tắc hình bình hành”, phép nhân vectơ với số thực  Tập hợp các ma trận cấp m  n với phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với một số thực 2. 2 .2 Không gian vectơ con 1 Định nghĩa Cho V là không gian vectơ và WV, W≠ Nếu W cùng với 2 phép... Xác định không gian vectơ con W sinh bởi {u,v}.Tìm cơ sở và số chiều của W b) Các vectơ x=(1,3,0,3) , y=(1,-1,0,1) có thuộc không gian W hay không ? VD2: Tìm cơ sở và số chiều của không gian con W= trong các trường hợp : a) u1=(1,1 ,2) , u2=(-1,1,1), u3= (2, -1,0) b) u1=(1,1,0), u2=(1 ,2, 1), u3=(-1,0,1) Ghi chú : Tập hợp các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một không gian con... a1=(1,7,0) , a2=(1,-5,1) b a1=(1,0 ,2, 0) , a2=(1, 1,0,1) , a3=(1, 0,4,3) và a4=(0, -2, 4, 1) c a1=(1,0,1) , a2= (2, 1,1) và a3=(-3, 2, 0) d a1=(1,1,1) , a2=(0,1,1) và a3= (2, 2, 2) 7 Trong R3 cho cơ sở chính tắc (e) và cơ sở (u)={u1,u2,u3} với u1=(0,1,1), u2=(1,0,1), u1=(1,1,0) a Tìm ma trận đổi cơ sở từ (e) sang (u) b Tìm công thức đổi tọa độ từ (e) sang (u) c Tìm tọa độ của vectơ x = (25 ,8,51) trong . 123 4 123 4 123 4 123 4 22 0 24 2 0 24 20 4 82 0 xxxx xxxx xxxx xxxx                 Biến đổi ma trận hệ số về dạng bậc thang 12 2 1 12 2 1 12 2 1 24 2 1 00 6 3 00 6 3 12. 1 414 1 6915 21 5416 A                Cách 2 : Giả sử 1 123 11 122 33 /(,,) V uuvvv       1 123 123 123 2 123 3 4 23 1 21 12 31 2 11 2 1 2 1 7 1 151 51 5 21   . 1111 122 1 22 1 122 2 2 11 2 2 nn nn nn n nnn vauau au vauau au vauau au        Suy ra, tọa độ của các vector ở các vector ở cơ sở V trong cơ sở U là 111 121 22 122 2 12 /(,,,) /(,,,)