§1. CÔNG THỨC GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1. Quy tắc cộng và quy tắc nhân 1. Quy tắc cộng Nếu một công việc được chia làm k trường hợp để thực hiện, trường hợp 1 có n 1 cách thực hiện xong công việc, trường hợp 2 có n 2 cách thực hiện xong công việc, … , trường hợp k có n k cách thực hiện xong công việc và không có bất kì một cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với một cách thực hiện ở trường hợp khác, thì có n 1 + n 2 + … + n k cách thực hiện xong công việc. 2. Quy tắc nhân Nếu một công việc được chia làm k giai đoạn để thực hiện, giai đoạn 1 có n 1 cách thực hiện xong công việc, giai đoạn 2 có n 2 cách thực hiện xong công việc, … , giai đoạn k có n k cách thực hiện xong công việc và không có bất kì một cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với một cách thực hiện ở trường hợp khác, thì có n 1 . n 2 . … n k cách thực hiện xong công việc. Ví du 1. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Hỏi có bao nhiêu số ngàn được lập từ tập A trong các trường hợp sau: a) Số ngàn có các chữ số khác nhau b) Số ngàn có các chữ số khác nhau và là số chẵn c) Số ngàn có các chữ số khác nhau và là số lẽ 1.2. Hoán vị Một hoán vị của n phần tử là một cách xếp thứ tự của n phần tử đó. Số hoán vị của n phần tử kí hiệu là ! n Pn Ví dụ 2. Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên trong đó có M, N vào một bàn dài có 5 chổ. Có bao nhiêu cách xếp trong các trường hợp sau: a) Ngồi tùy ý b) M ngồi ở đầu bàn c) M và N ngồi cạnh nhau d) M và N ngồi ở hai đầu bàn e) M và N không ngồi cạnh nhau 1.3. Chỉnh hợp Một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. Số các chỉnh hợp chập k lấy từ n phần tử kí hiệu là k n A và được xác định: ! ( )! k n n A nk   Ví dụ 3. Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ. Chọn ngẫu nhiên từ lớp đó ra 4 sinh viên để lập một ban cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó văn nghệ và thủ quỷ. Có bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp sau: a) Chọn tùy ý không phân biệt nam, nữ. b) Lớp trưởng phải là nữ. c) Có đúng một nữ. d) Có ít nhất một nữ. 1.4. Tổ hợp Một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho, kí hiệu là ! !( )! k n n C k n k   Ví dụ 4. Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ. Chọn ngẫu nhiên từ lớp đó ra 5 sinh viên. Có bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp sau a) Có 5 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn. b) Có 3 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn. c) Có ít nhất 4 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn. d) Có nhiều nhất 2 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn. Ví dụ 5. Một hộp có 5 bi xanh, 7 bi đỏ và 8 bi vàng. Lấy từ hộp ra 9 bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy trong các trường hợp sau a) Có màu tùy ý b) Có 2 bi xanh, 3 bi đỏ và 4 bi vàng c) Có 2 bi xanh d) Có nhiều nhất 2 bi xanh Ví dụ 6. Có hai hộp bi. Hộp 1 có 6 bi xanh, 4 bi đỏ, hộp 2 có 7 bi xanh, 8 bi đỏ. Lấy từ hộp 1 ra 2 bi, lấy từ hộp 2 ra 3 bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong các trường hợp sau a) Có màu tùy ý b) Có 1 bi xanh c) Có nhiều nhất 1 bi xanh §2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 2.1. Phép thử và biến cố 1. Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện xác định nào đó. Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quả được gọi là một biến cố. Ví dụ. Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Các biến cố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,… 2. Biến cố chắc chắn, kí hiệu Ω, là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm không quá 6” là biến cố chắc chắn. 3. Biến cố không thể, kí hiệu Φ, là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 6” là biến cố không thể. 4. Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử. Ta thường dùng các kí tự A, A 1 , A 2 , B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu nhiên. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một biến cố ngẫu nhiên. Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi Aj (j = 1,2,…,6) là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm” . 5. Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B là biến cố xác định bởi A + B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra. (Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra). Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n như sau: A 1 + A 2 +…+ A n xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n xảy ra. Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm không quá 3” và B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lẽ”, ta có: A = A 1 + A 2 + A 3 B = A 1 + A 3 + A 5 6. Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A∩B) là biến cố định bởi: AB xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B xảy ra (trong cùng một phép thử) Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử. Ta có thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n như sau: A 1 A 2 …A n xảy ra khi và chỉ khi tất cả n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n đồng thời xảy ra. Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau: A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn. B : Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 5. C: Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 5. Ta có: AB = A 6 và ABC = Φ. 7. Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố bất khả và không thể phân tích dưới dạng tổng của hai biến cố khác. Ta có thể xem các biến cố sơ cấp như là các nguyên tử nhỏ nhất không thể phân chia đươc nữa. Một biến cố A bất kỳ sẽ là tổng của một số biến cố sơ cấp nào đó, ta gọi những biến cố sơ cấp đó thuận lợi cho biến cố A. Như vậy, mọi biến cố sơ cấp đều thuận lợi cho biến cố tất yếu, trong khi không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến cố bất khả. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta có tất cả 6 biến cố sơ cấp là Aj (j = 1,2,…,6). Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ. Khi đó: A = A 1 + A 3 + A 5 . Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A 1 , A 3 , A 5 . 8. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB =  , nghĩa là A và B không bao giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử. Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố : A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn. B : Xuất hiện mặt 1 chấm. C : Xuất hiện mặt có số không quá 2. Ta có A và B xung khắc nhưng A và C thì không (AC = A 2 ). 9. Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu A , là biến cố định bởi A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra. Như vậy, A và A xung khắc, hơn nữa A + A = Ω, nghĩa là nhất thiết phải có một và chỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra khi thực hiện phép thử. Các ví dụ. 1) Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn. B : Xuất hiện mặt có số chấm lẻ. Ta thấy ngay B là biến cố đối lập của A. 2) Tung đồng xu, xét các biến cố A: Đồng xu xuất hiện mặt sấp B: Đồng xu xuất hiện mặt ngửa Khi đó A, B là hai biến cố đối lập 3) Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy từ hộp ra 3 bi, xét các biến cố A: Ba bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh B: Ba bi lấy ra là ba bi đỏ Khi đó A, B là hai biến cố đối lập C: Ba bi lấy ra có nhiều nhất 2 bi xanh D: Ba bi lấy ra là ba bi xanh Khi đó C, D là hai biến cố đối lập 10. Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có khả năng xảy ra như nhau khi thực hiện phép thử. Ví dụ 1. Khi tung ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất 6 mặt, các biến cố sơ cấp A j (j = 1, 2,…,6) là đồng khả năng. Ví dụ 2. Có 2 hộp bi, mỗi hộp có 10 viên trong đó hộp thứ i có i + 2 bi đỏ còn lại là bi xanh. Lấy từ mỗi hộp ra 1 bi. Gọi A i là “Bi lấy từ hộp i là bi xanh”, i = 1,2. Hãy dùng A 1 , A 2 để biểu diễn các biến cố sau a) Hai bi lấy ra là hai bi xanh b) Hai bi lấy ra có một bi xanh c) Hai bi lấy ra cùng màu d) Hai bi lấy ra chỉ có bi của hộp 2 là xanh Giải a) Gọi A là hai bi lấy ra là hai bi xanh Ta có : A = A 1 A 2 b) Gọi B là hai bi lấy ra có một bi xanh Ta có : 1 2 1 2 B AA A A c) Gọi C là hai bi lấy ra cùng màu Ta có : 1 2 1 2 C A A A A d) Gọi D là hai bi lấy ra chỉ có bi của hộp 2 là xanh Ta có : 12 D A A 2.2. Định nghĩa xác suất. Giả sử khi tiến hành một phép thử, có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó có m A biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. Tỉ số () m PA n  được gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A). Ví dụ 1. Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra ba bi. Tính các xác suất sau: a) Ba bi lấy ra là ba bi xanh b) Ba bi lấy ra có 1 bi xanh c) Ba bi lấy ra có nhiều nhất 2 bi xanh d) Ba bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh Giải a) Gọi A là “Ba bi lấy ra là 3 bi xanh” 3 6 3 10 () C PA C  b) Gọi B là “Ba bi lấy ra là có 1 bi xanh” 12 64 3 10 () CC PB C  c) Gọi C là “Ba bi lấy ra có nhiều nhất 2 bi xanh” 3 1 2 2 1 4 6 4 6 4 3 10 () C C C C C PC C   b) Gọi D là “Ba bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh” 1 2 2 1 3 6 4 6 4 6 3 10 () C C C C C PD C   Ví dụ 2. Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có: a) Nhiều nhất 2 sản phẩm xấu b) Ít nhất 1 sản phẩm xấu. Giải Gọi A i là “Có i sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy ra” (i = 0, 1, 2, 3) a) Gọi A là “Có nhiều nhất 2 sản phẩm xấu”. Ta có: A = A 0 + A 1 + A 2 . Suy ra 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A   b) Gọi B là “Có ít nhất 1 sản phẩm xấu”. Khi đó, biến cố đối lập B là biến cố không có sản phẩm xấu nào trong 3 sản phẩm chọn ra nên B = A 0 . Suy ra xác suất của B là 0 ( ) 1 ( )P B P A §3.CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1. Công thức cộng xác suất 1. Công thức cộng xác suất thứ nhất. Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có : P(A+B) = P(A) + P(B) Mở rộng. Với A 1 , A 2 , …, A n là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có: P(A 1 + A 2 + …+ A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +…+ P(A n ) Hệ quả. Với A là một biến cố bất kỳ, ta có P( A ) = 1 − P(A) Ví dụ 1. Một lô hàng có 20 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm loại A, còn lại là loại B. Lấy từ lô hàng ra 5 sản phẩm. a) Tính xác suất để 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm loại A. b) Tính xác suất để 5 sản phẩm lấy ra có nhiều nhất 4 sản phẩm loại A. Giải a) Gọi A là 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm loại A. Suy ra A là 5 sản phẩm lấy ra là 5 sản phẩm loại B. 5 14 5 20 () C PA C  Mà ( ) 1 ( )P A P A nên 5 14 5 20 ( ) 1 C PA C  b) Gọi B là 5 sản phẩm lấy ra có nhiều nhất 4 sản phẩm loại A. Suy ra B là 5 sản phẩm lấy ra là 5 sản phẩm loại A. 5 6 5 20 () C PB C  Mà ( ) 1 ( )P B P B nên 5 6 5 20 ( ) 1 C PA C  2. Công thức cộng xác suất thứ hai Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) −P(AB) Ví dụ 2 (CHKT2006). Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 50 sinh viên giỏi Toán, 60 sinh viên giỏi ngoại ngữ và 20 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và ngoại ngữ. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tính các xác suất sau a) Sinh viên đó chỉ giỏi môn toán b) Sinh viên đó chỉ giỏi ngoại ngữ c) Sinh viên đó giỏi ít nhất một trong hai môn Giải a) Gọi A là "Sinh viên chỉ giỏi môn toán" Số sinh viên chỉ giỏi Toán là: 50 20 30 . Vậy 30 ( ) 0,3 100 PA b) Gọi B là "Sinh viên chỉ giỏi môn ngoại ngữ" Số sinh viên chỉ giỏi Ngoại ngữ là: 60 20 40 . Vậy 40 ( ) 0,4 100 PB  c) Cách 1 Gọi C là “sinh viên được chọn giỏi môn Toán” Gọi D là “sinh viên được chọn giỏi môn ngoại ngữ” Khi đó - CD là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và ngoại ngữ. - C + D là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc ngoại ngữ. Vì C, D không xung khắc nên P(C + D) = P(C) + P(D) − P(CD) 50 60 20 ( ) 0,9 100 100 100 P C D     Cách 2 Gọi E là “Sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn” Khi đó E A B AB   , vì ,,A B AB xung khắc nên theo công thức cộng thư nhất ( ) ( ) ( ) ( ) 0,3 0,4 0,2 0,9P E P A P B P AB       3.2. Công thức nhân xác suất 1. Xác suất có điều kiện a. Định nghĩa. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất có điều kiện của A đối với B. Kí kiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B đã xảy ra rồi. b. Công thức () () A P AB P B P B     + P(AB) là xác suất để cả A và B cùng xảy ra. + P(B) là xác suất để B xảy ra. Ví dụ 1. Có 3 sinh viên X, Y, Z cùng thi xác suất thống kê và có hai sinh viên thi đậu. Tính xác suất để sinh viên X thi đậu biết rằng sinh viên Y đã thi đậu. Giải Gọi A là sinh viên X thi đậu Gọi B là sinh viên Y thi đậu Xác suất để sinh viên X thi đậu biết rằng sinh viên Y thi đậu chính là xác suất có điều kiện của A đối với B. Ta có: () () A P AB P B P B     , với 1 () 3 P AB  ; 2 () 3 PB  . Vậy 1 0,5 2 A P B     . Ví dụ 2. Tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Xét các biến cố sau: - A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn. - B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ. - C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 4. - D là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 4. Khi đó - P(A/B) = 0 - P(A/C) = 2/4 = 0,5 - P(A/D) = 2/3 Nhận xét. Trong ví dụ trên ta có xác suất của biến cố A là P(A) = 3/6 = 0,5. Do đó P(A/B) < P(A); P(A/C) = P(A); P(A/D) > P(A). Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể bằng nhưng cũng có thể lớn hơn xác suất thông thường P(A). Đặc biệt, ta thấy xác suất để biến cố A xảy ra là 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C đã xảy ra. Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo định nghĩa sau: 2. Biến cố độc lập. Nếu P(A/B) = P(A) hay P(B/A) = P(B), nghĩa là sự xuất hiện của biến cố B không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A hoặc ngược lại, thì ta nói A độc lập với B. 2. Công thức nhân xác suất thứ nhất Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có P(AB) = P(A) P(B) Mở rộng. Với A 1 , A 2 , …, A n là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là với mọi 1 ≤ i ≠ j ≤ n , A i và A j độc lập, ta có: P(A 1 A 2 …A n ) = P(A 1 )P(A 2 )… P(A n ). Ví dụ. Có ba hộp bi, mỗi hộp có 10 bi. Trong đó hộp thứ i có i bi đỏ, 10 – i bi xanh (i = 1, 2, 3). Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bi. Tính các xác suất sau: a) Ba bi lấy ra là ba bi đỏ b) Ba bi lấy có một bi xanh c) Bi lấy ra từ hộp hai là xanh, biết rằng ba bi lấy ra có một bi xanh Giải Gọi A i là “Bi lấy từ hộp i là bi đỏ” (i = 1, 2, 3) Ta có 1 1 ( ) ; 10 PA  2 2 ( ) ; 10 PA  3 3 ( ) ; 10 PA  1 9 ( ) ; 10 PA  2 8 ( ) ; 10 PA  3 7 ( ) ; 10 PA  a) Gọi A là “Ba bi lấy ra là ba bi đỏ” Ta có 1 2 3 A A A A Suy ra 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A b) Gọi B là “Ba bi lấy ra là có một bi xanh” 1 2 3 1 2 3 1 2 3 B AA A A A A A A A   Suy ra 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P B P A P A P A P A P A P A P A P A P A   c) Tính xác suất có điều kiện 2 2 () () P A B A P B PB     , với 2 1 2 3 ( ) ( )P A B P A A A 3. Công thức nhân xác suất thứ hai Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B) Mở rộng. Với A 1 , A 2 , …, A n là n biến cố bất kỳ, ta có: P(A 1 A 2 …A n ) = P(A 1 )P(A 2 /A 1 )… P(A n /A 1 A 2 …A n−1 ). Chẳng hạn: P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB). Ví dụ. Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Khách hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào lấy ra được 3 sản phẩm tốt thì dừng lại. a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3 b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4 c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Tính xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu Giải Gọi A i , B i lần lượt là các biến cố chọn được sản phẩm tốt xấu ở lần kiểm tra thứ i. a) Gọi A là "Khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3" Ta có : 1 2 3 A A A A , suy ra 1 2 3 1 2 1 3 1 2 ( ) ( ) ( ) ( / ) ( / )P A P AA A P A P A A P A A A 6 5 4 0,1667 10 9 8     b) Gọi B là "Khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4" Ta có : 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 B B A A A AB A A AA B A   Suy ra 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 0,2857P B P B A A A P AB A A P AA B A    c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Khi đó biến cố B đã xảy ra. Do đó xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu chính là xác suất có điều kiện 3 3 () ( / ) () P B B P B B PB  . Mà 3 1 2 3 4 B B A A B A , do đó 3 1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( / ) ( / ) ( / ) 0,0952P B B P A A B A P A P A A P B A A P A A A B   Suy ra 3 ( / ) 0,3333P B B  [...]... 2 là bi đỏ” 6 4 Khi đó P( A1 )  , P( A2 )  và {A1 ,A2 } là hệ đầy đủ 10 10 a) Gọi A là “Hai bi lấy ra có một bi xanh” Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: 1 1 1 1 6 C8C3 4 C7C4 A A P( A)  P(A1 ) P  P(A 2 ) P   2 A1 A 2 10 C 2 10 C 11 11 b) Áp dụng công thức Bayes, ta có: 1 1 4 C7C4 2 10 P(A 2 ) P( A A2 ) C 11 A P 2   1 1 1 1 A 6 C8C3 4 C7C4 P( A)  2 2 10 C 11 10 C 11             ... A1 A2 2  C10 C10  b) Gọi B là “Hai bi lấy ra có một bi xanh” Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: 1 1 1 1 1  C6C4 C7C3  B B P( B)  P(A1 ) P  P(A 2 ) P   2  2  A1 A2 2  C10 C10  c) Áp dụng công thức Bayes, ta có: 1 1 1 C6C4 2 2 C10 P(A1 ) P( B A1 ) A P 1   1 1 1 1 B P( B) 1  C6C4 2  C7C3 2  2 C10 C10    2 Gọi A1 là “Bi bỏ từ hộp 1 qua hộp 2 là bi xanh” Gọi A2 là “Bi bỏ từ hộp 1. .. , A1 , A2 - B0 , B1 , B2 - A0B0 , A0B1 , A0B2 , A1B0 , A1 B1 , A1B2, A2 B0 , A2B1 , A2B2 - A0B0 , A0B1 + A1B0, A0B2 + A1B1 + A2B0 , A1B2+ A2B1 , A2B2 4.2 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes Cho A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi Khi đó, với A là một biến cố có khả năng xảy ra phụ thuộc vào hệ {A1 ,A2 , ,An } , ta có:  A   P(A )P  A A   a P( A)  P(A1 ) P A 2 1. .. I Giải Gọi Ai là “Số sản phẩm tốt trong hai sản phẩm từ lô I bỏ sang lô II”, i  0 ,1, 2 C52 C1 C1 C2 ; P( A1 )  10 2 5 ; P( A2 )  10 2 2 C15 C15 C15 Suy ra {A0 ,A1 ,A2 } là hệ đầy đủ Ta có: P( A0 )  a) Gọi A là “Hai sản phẩm lấy từ lô II có 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu” P( A)  P( A0 ) P( A / A0 )  P( A1 ) P( A / A1 )  P( A2 ) P( A / A2 ) P( A1 ) P( A / A1 ) b) P( A1 / A)  P( A) §5 CÔNG THỨC... , với k = 1, 2, 3, , n  A   P( A) Công thức tính P(A) được gọi là công thức xác suất đầy đủ, công thức tính A P  k  được gọi là công thức Bayes  A   Ví dụ 1 Có hai hộp bi Hộp 1 có 6 bi xanh và 4 bi đỏ, hộp 2 có 7 bi xanh và 3 bi đỏ 1 Chọn một hộp, rồi từ hộp đó lấy ra hai bi Tính các xác suất sau: a) Hai bi lấy ra là hai bi xanh b) Hai bi lấy ra có một bi xanh c) Chọn được hộp 1, biết rằng... hộp 1 bỏ qua hộp 2, sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi Tính các xác suất sau: a) Hai bi lấy ra có một bi xanh b) Bi bỏ từ hộp 1 qua hộp 2 là bi đỏ biết rằng hai bi lấy ra có một bi xanh Giải 1 Gọi Ai là “Chọn được hộp thứ i” (i = 1, 2) 1 Khi đó P( A1 )  P( A2 )  và {A1 ,A2 } là hệ đầy đủ 2 a) Gọi A là “Hai bi lấy ra là hai bi xanh” Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: 1  C62 C72  A A P( A)  P(A1 ) P... loại A đó đều do máy sản xuất 1. 12 Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 60% sản phẩm tốt, trong đó lô I chứa 15 sản phẩm, lô II chứa rất nhiều sản phẩm Từ lô II lấy ra 3 sản phẩm bỏ vào lô I, sau đó từ lô I lấy ra 2 sản phẩm a) Tính xác suất lấy được 1 sp xấu, 1 sp tốt từ lô I b) Giả sử đã lấy được 1 sp tốt, 1 sp xấu từ lô I Tính xác suất đã lấy được 2 sp tốt, 1 sp xấu từ lô II 1. 13 Có 3 khẩu pháo cùng bắn vào...§4 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES 4 .1 Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi Các biến cố A1, A2,…, An được gọi là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu hai tính chất sau được thỏa: - A1 + A2 +… + An = Ω; -  1 ≤ i ≠ j ≤ n, AiAj = Φ, nghĩa là các biến cố A1, A2,…, An xung khắc từng đôi và nhất thiết phải có một và chỉ... chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô I 2 sản phẩm bỏ sang lô II, sau đó từ lô II lấy ra 2 sản phẩm a) Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra từ lô II có 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II Tính xác suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản... tiêu bị tiêu diệt khi trúng k phát đạn là 1  1/ 2k (k = 0, 1, 2, 3) a) Tính xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt b) Tính xác suất để mục tiêu bị trúng một phát khi bị tiêu diệt 1. 14 Có hai lô hàng Lô 1 gồm 3 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B Lô 2 gồm 6 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm của lô 1 đem bỏ vào lô 2 Sau đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở lô 2 a) Tính xác suất để sản . 11 64 ( ) (A ) (A ) AA 10 10 C C C C AA P A P P P P CC     b) Áp dụng công thức Bayes, ta có:   11 74 2 22 11 2 1 1 1 1 8 3 7 4 22 11 11 4 10 (A ) ( ) 64 () 10 10 CC P P A A C A P A C. công thức xác suất đầy đủ ta có:     1 1 1 1 6 4 7 3 12 22 12 10 10 1 ( ) (A ) (A ) AA 2 C C C C BB P B P P P P CC        c) Áp dụng công thức Bayes, ta có:   11 64 2 10 11 1 1. đó 1 6 () 10 PA  , 2 4 () 10 PA  và 12 {A ,A } là hệ đầy đủ a) Gọi A là “Hai bi lấy ra có một bi xanh” Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:     1 1 1 1 8 3 7 4 12 22 12 11 11 64 (