Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 1 I.CC BI TON TèM TP HP IM Bi 1: Cho ng trũn (O; R) v tam giỏc cõn ABC cú AB = AC ni tip ng trũn (O; R) K ng kớnh AI. Gi M l mt im bt kỡ trờn cung nh AC. Mx l tia i ca tia MC. Trờn tia i ca tia MB ly im D sao cho MD = MC. a) Chng minh rng MA l tia phõn giỏc ca ca gúc BMx. b) Gi K l giao th hai ca ng thng DC vi ng trũn (O). T giỏc MIKD l hỡnh gỡ? vỡ sao? c) Gi G l trng tõm ca tam giỏc MDK. Chng minh rng khi M di ng trờn cung nh AC thỡ G luụn nm trờn mt ng trũn c nh. d) Gi N l giao im th hai ca ng thng AD vi ng trũn (O). P l giao im th hai ca phõn giỏc gúc IBM vi ng trũn. Chng minh rng, ng thng DP luụn i qua mt im c nh khi M di ng trờn cung nh AC. Hng dn: a) Gúc AMB = (1/2)sAB (gúc x N G K D I C O A B M Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 2 ni tip (O) chn AB ) Gúc AMx = 180 - Gúc AMC = 180 - (1/2)scungABC = (1/2)scungAC =(1/2)scungAB vy: Gúc AMB = Gúc AMx hay MA l tia phõn giỏc ca Gúc BMx b) +Tam giỏc MCD cõn => Gúc MCD = Gúc MDC = (1/2)Gúc BMC ( gúc ngoi ca tam giỏc) li cú Tam giỏc ABC cõn => I l im chớnh gia ca cung BC => Gúc IMC = Gúc IMB = (1/2)Gúc BMC vy Gúc MCD = Gúc IMC => IM song song vi CD + Gúc MCD = Gúc MDC = Gúc BMI => BI = MK =>Gúc MIK = Gúc IMB => IK song song vi MD Vy MIKD l hỡnh bỡnh hnh. c) D thuc ng trũn (A; AC) Gi N l im trờn AI sao cho NA = (1/3)AI.=> NG = (2/3)AD = (2/3)AC = hs => G thuc ng trũn (N; (2/3)AC) Bi 2: Cho tam giỏc ABC ngoi tip ng trũn (O; R). Gi D l im chớnh gia ca cung BC khụng cha A. V ng trũn qua D v tip xỳc vi Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh 3 AB tại B. Vẽ đường tròn qua D và tiếp xúc với AC tại C. Gọi E là giao điểm thứ hai của hai đường tròn này. a) Chứng minh 3 điểm B, C, E thẳng hàng. b) Một đường tròn tâm K di động luôn đi qua A và D, cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng BM = CN. c) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN. Hướng dẫn: a) + góc BED = góc DBx = góc ACB x y I N M E D C A B K Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh 4 + góc CED = góc DCy = góc ABD => góc BEC = gócABD + gócACD = 180 độ. => B, E, C thẳng hàng. b) cung BD = cung DC => góc BAD = góc CAD => cung DN = cung DM => DM = DN cung BD = cung DC => DB = DC góc DCN = góc DBM => Tam giác BMD = tam giác CND => BM = CN. c) Tính được DI = 2KD sin 2 (A/2) =>(DI/DK) =2 sin 2 (A/2) =hs K thuộc trung trực của AD => I thuộc đường thẳng vuông góc với AD cắt AD tại P sao cho (DP/DA )=sin 2 (A/2) Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm M, N theo thứ tự chuyển động trên các cạnh AB, AC sao cho AM = CN. a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định khác A. b) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh 5 Hướng dẫn: a) Đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tại P => tam giác AMP = tam giác CNP => PA = PC => P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => P cố định. b) Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nằm trên đường trung trực của AP. Bài 4. Tìm quỹ tích đỉnh C các tam giác ABC có AB cố định, đường cao BH bằng cạnh AC. P H I N A C B M E C A B H Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh 6 Hướng dẫn: Kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại A, trên đó lấy E sao cho AE = AB => tam giác ACE = tam giác BHA => góc ACE = 90 độ => C thuộc cung chứa góc 90 độ dựng trên AE. Bài 5: Tứ giác lồi ABCD có AC cố định, góc A =45 0 , góc B = góc C = 90 0 . a) Chứng minh rằng BD cố độ dài không đổi. b) Gọi E là giao của BC và AD, F là giao của DC và AB. Chứng minh EF có độ dài không đổi. c) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. I H J E F D O C A B Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh 7 Hướng dẫn: a) góc B = góc D = 90 độ => B, D thuộc đường tròn đường kính AC góc A = 45 độ => BD = R 2 = hs. b) Tam giác CDE vuông cân => CD = ED tam giác ADF vuông cân => DA = DF =>Tam giác ACD = tam giác FED => EF = AC = hs c) Trung trực của AF cắt trung trực của AE tại J, cắt (O) tại H và I => H, I là điểm chính giữa của hai cung AC => H, I cố định. góc HJI = góc BCD = 135 độ => J thuộc cung chứa góc 135 độ dựng trên HI. Bài 6: Cho đoạn thẳng AB cố định. Một điểm M di động trên đoạn AB. Dựng về cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB các hình vuông AMDE, MBGH. Gọi O, O' tương ứng là tâm các hình vuông trên. a) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn OO'. b) Chứng minh rằng AH và EG đi qua giao điểm N khác M của các đường tròn ngoại tiếp các hình vuông AMDE và MBGH. c) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh 8 Bài 7: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại A và D có các đường kính AOB và AO'C vuông góc với nhau tại A. Một đường thẳng d đi qua A và cắt các nửa đường tròn không chứa điểm D của (O), (O') tương ứng tại các điểm M, N khác A. a) Chứng minh tam giác ABM và tam giác CAN đồng dạng. b) Tìm quỹ tích giao điểm P của OM và O'N khi d di động. c) Tiếp tuyến M của (O) cắt AD tại I. Chứng minh rằng: IM 2 = IA. ID. d) Tìm vị trí của cát tuyến d để cho tiếp tuyến tại M của (O) và tiếp tuyến tại N của (O') cắt nhau tại một điểm thuộc đường thẳng AD. d) Xác định vị trí của d sao cho tứ giác MNCB có diện tích lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó theo R và R'. Hướng dẫn a) Tam giác AMB và tam giác CAN đồng dạng b) góc PMA + góc PNA = góc OAM + I P N D O O' B C A M Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 9 gúc O'AN = 90 => gúc OPO' =90 => P thuc ng trũn ng kớnh OO' c) Tam giỏc IMA v tam giỏc IDM ng dng => IM 2 = IA.ID d) tng t cõu c gi s tip tuyn ti N ca (O') ct AD ti I' => I'M 2 = I'A.I'D . Vy I trựng I' <=> IM = I'N <=> I thuc trung trc ca NM Vy khi I l giao ca AD v trung trc ca MN thỡ tip tuyn ti M ca (O) v tip tuyn ti N ca (O') ct nhau ti mt im thuc ng thng AD. e) din tớch T giỏc BMNC ln nht <=> (S BMA +S ANC ) min <=> (S BMA )min <=> (BM.AM) min li cú: BM 2 + AM 2 = R 2 vy: BM.AM 2 R 2 du bng khi BM = AM <=> d to vi AB mt gúc 45 Khi ú din tớch t giỏc BMNC l: 22 R'RR.R' 2 1 . Bi 8: Mt im A i ng trờn na ng trũn ng kớnh BC c nh. ng thng qua C song song vi BA ct ng phõn giỏc ngoi ca gúc BAC ca tam giỏc ABC ti D. Tỡm qu tớch D. Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 10 Hng dn AD ct (O) ti E => E c nh li cú gúc CDE = 45 Vy D thuc cung cha gúc 45 dng trờn CE. Bi 9: Cho ng trũn (O; R) c nh v ng thng d ct (O; R) ti hai im A, B c nh. Mt im M di ng trờn d v bờn ngoi on AB. V cỏc tip tuyn MP v MN vi (O; R). Gi N, P l hai tip im. j E D O B C A . tại B. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB. Bài 21: Trên mỗi bán kính OM của đường tròn (O) lấy đoạn OI bằng khoảng cách từ M đến đường kính cố định AB. Tìm tập hợp các điểm I. Bài 22:. qua một điểm cố định. Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm P di động trên cạnh BC. Vẽ PQ song song với AC ( Q thuộc AB), vẽ PR song song với AB ( R thuộc AC). Tìm quỹ tích các điểm. c) Tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB. Bài 18: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M di động trên cung BC. a) Trên tia đối của tia CM, lấy đoạn CE = MB. Tìm tập hợp