Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất. Bài 1:Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giác. CMR: ab + bc + ca a 2 +b 2 +c 2 < 2.(ab + bc + ca). Giải: Ta có: a 2 +b 2 +c 2 - ab + bc + ca .0)()()(. 2 1 222 accbba Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Vậy: ab + bc + ca a 2 +b 2 +c 2 . Lại có: a < b + c a 2 < a.(b + c) (1) Tương tự: b 2 < b.(a + c) (2) ,c 2 < c.(b + a) (3). Cộng (1),(2),(3) theo vế ta được: a 2 +b 2 +c 2 < a.(b + c) + b.(a + c) + c.(b + a) = 2.(ab + bc + ca). Bài 2:Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.CMR: xyzyzzxz ).().( (1). Giải: Đặt: nzy mzx (m,n,z > 0). Khi đó (1) trở thành: )).(( nzmzznzm zn z m nm .1 (2). Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 2 2 1 .( ) . 1 .( ) . m m m n z n z n m n z n m z z z Vậy (2) đúng, tức là (1) cũng đúng (đpcm). Bài 3:Cho xy > 0 và x + y = 1.CMR: .5 1 .8 44 xy yx Giải: Từ giả thiết .0, 01 0 yx yx xy Ta có: ).1(4 1 4 1 .21 xy xyxyyx Lại có: 2 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 8. 4.(1 1 ).( ) 4.( ) (1 1 ).( ) 1. x y x y x y x y x y Suy ra: 8.(x 4 + y 4 ) 1 (2). Từ (1) và (2) suy ra: .541 1 .8 44 xy yx Ta có đpcm. Bài 4:Cho ba số phân biệt a,b,c.CMR:Có ít nhất một trong ba số sau đây là số dương: x = (a + b + c) 2 - 9ab ; y = (a + b + c) 2 - 9cb ; z = (a + b + c) 2 - 9ac. Giải: Ta có:x + y + z = 3. (a + b + c) 2 - 9.(ab + bc + ca) = 3.(a 2 + b 2 +c 2 - ab - bc - ca) = = .0)()()(. 2 3 222 accbba (Do a b c a). Vậy trong ba số x,y,z luôn có ít nhất một số dương. Bài 5: Nếu 0 1 ab ba thì 8 1 44 ba . Giải: Hoàn toàn tương tự bài 3. Bài 6:CMR: 4488221010 yxyxyxyx . Giải: Ta có: 4488221010 yxyxyxyx 4444121288221212 yxyxyxyxyxyx 44448822 yxyxyxyx 0. 62268822 yxyxyxyx 2 2 2 2 2 6 6 2 2 2 2 4 2 2 4 . . 0 . . 0 x y x y x y x y x y x x y y Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.Vậy ta có đpcm. Bài 7:CMR: Nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau và a + b + c < 0 thì : P = a 3 + b 3 + c 3 - 3abc < 0. Giải: Có:P = a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c).(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca) < 0. Bài 8:CMR: 4 1 )12( 1 25 1 9 1 2 n A với .1, nn Giải: Dễ dàng biến đổi tương đương chứng minh được: )22).(12( 1 )12.(2 1 . 2 1 )12( 1 2 nnnn n Áp dụng ta có: . 4 1 22 1 2 1 . 2 1 22 1 12 1 4 1 3 1 3 1 2 1 . 2 1 )22).(12( 1 5.4 1 4.3 1 3.2 1 . 2 1 nnn nn A Ta có đpcm. Bài 9:CMR: Nếu: p,q > 0 thì: pq qp qp 22 . Giải: Có: .0 . 2 22 qp qpqpqp pq qp qp Ta có đpcm. Bài 10:CMR: k k k 1 1 11 2 với mọi số nguyên dương k >1.Từ đó suy ra: n n 1 2 1 3 1 2 1 1 222 với n >1. Giải: Ta có: kkkk k 1 1 1 ).1( 11 2 . Áp dụng cho k = 2,3, ,n ta được: . 1 2 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 222 nnn n Bài 11:Cho hai số x,y thỏa mãn: x > y và xy = 1.CMR: .022 22 yx yx Giải: Ta có: .022 2 ).(.2 2 22 yx yx yx yx yx yx Ta có đpcm. Bài 12:Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn: .cba CMR: .9 2 bccba Giải: Từ giả thiết bài ra ta có: )1(9254 0)4).((042 2 22 bccbbccb cbcbcbcabb Mà: (a + b + c) 2 (2b + c) 2 (2). Từ (1) và (2) suy ra: (a + b + c) 2 (2b + c) 2 9bc. Ta có đpcm. Bài 13: Cho 0 < a,b,c < 2.CMR:Ba số a.(2-b) ; b.(2-c) ; c.(2-a) không đồng thời lớn hơn 1. Giải: Ta có: .1 2 2 . 2 2 . 2 2 )2().2.().2.()2().2().2.( 222 ccbbaa ccbbaaaccbba Tích của ba số nhỏ hơn hoặc bằng 1 vì vậy chúng không thể đồng thời lớn hơn 1. Ta có đpcm. Bài 14: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: a > b > c > 0.CMR: caca c baba b . Giải: Ta có: caca c baba b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. 2 2. a b a b a c a c a b a b a c a c a a b a a c a b a c b c Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy ta có đpcm. Bài 15:Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: .1 222 zyx CMR: .1 333 x z z y y x Giải: Áp dụng BĐT Cô Si: 2 33 2.2 xxy y x xy y x (1). Tương tự: 2 3 2yyz z y (2) và 2 3 2zxz x z (3). Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có: ).(2 222 333 zyxzx x z yz z y xy y x Suy ra: .1)()().(2 222222 333 zyxzxyzxyzyx x z z y y x Vậy ta có đpcm. . CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất. Bài 1:Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giác. CMR: ab + bc + ca a 2 +b 2 . . 0 . . 0 x y x y x y x y x y x x y y Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.Vậy ta có đpcm. Bài 7:CMR: Nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau và a + b + c < 0 thì : P = a 3 . Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy ta có đpcm. Bài 15:Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: .1 222 zyx CMR: .1 333 x z z y y x
Ngày đăng: 21/06/2014, 13:20
Xem thêm: CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất. pptx, CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất. pptx