Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian 1. Vectơ trong không gian Khái niệm vectơ trong không gian và những phép toán trên nó đều được định nghĩa hoàn toàn giống như lớp 10. Đó là những khái niệm : vectơ, các vectơ cùng phương, các vectơ cùng hướng, độ dài vectơ, vectơ bằng nhau, phép cộng phép trừ vectơ và các tính chất, phép nhân vectơ với một số, tích vô hướng của hai vectơ và các tính chất của chúng. Dưới đây, chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ áp dụng vào vectơ trong không gian. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh rằng G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây: a) b) Với . Giải N ếu gọi lần lượt là trung điểm của hai cạnh thì ) Ta có là trung điểm của đoạn hay là trọng tâm của tứ diện b) Với . Bởi vậy .Ví dụ 2. Ch ứng minh rằng nếu một tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối thứ ba cũng vuông góc. Giải Trước hết ta chứng minh rằng với 4 điểm bất kì trong không gian, ta đều có : (1) Thật vậy Cộng ba đẳng thức trên ta được đẳng thức (1). Bây giờ ta giả sử tứ diện có (theo (1)) Ví dụ 3. Cho hình lập phương lần lượt là trung điểm của hai cạnh . a) Chứng minh rằng b) Tìm của góc hợp bởi hai đường thẳng Giải gọi là cạnh của hình lập phương a) Ta có : .Vậy Với chú ý rằng hai vectơ vuông góc với nhau có tích vô hướng bằng 0 nên Như vậy . b) Gọi là góc hợp bởi và . Ta có: (1) Mặt khác ta có : Nên Mặt khác: , ngoài ra ta có Thay vào (1) ta có 3. Vectơ đồng phẳng Đ ịnh nghĩa Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng Trên hình 24 các đường thẳng chứa 3 vectơ đều song song với mặt phẳng nên ba vectơ này đồng phẳng. Từ định nghĩa đó ta suy ra: nếu ta vẽ thì ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm nằm tr ên cùng một phẳng. Định lí 1. Cho 3 vectơ trong đó không đồng thời đồng phương. Khi đó ba vectơ đồng phẳng nếu và chỉ nếu có các số sao cho . Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian 1. Vectơ trong không gian Khái niệm vectơ trong không gian và những phép toán trên nó đều được định nghĩa. : vectơ, các vectơ cùng phương, các vectơ cùng hướng, độ dài vectơ, vectơ bằng nhau, phép cộng phép trừ vectơ và các tính chất, phép nhân vectơ với một số, tích vô hướng của hai vectơ và các. đưa ra một số ví dụ áp dụng vào vectơ trong không gian. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh rằng G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây: