ET 2060 Định lý lấy mẫu TS. Đặng Quang Hiếu http://ss.edabk.org Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông 2011-2012 Định lý lấy mẫu x(t) lấy mẫu −−−−−−→ T s x(nT s ) chuẩn hóa −−−−−−−−→ x[n] t x(t) nT s x(nT s ) “Nếu tín hiệu x(t) không có thành phần tần số nào lớn hơn B hertz thì nó được hoàn toàn xác định tại các mẫu cách nhau 1 2B giây.” – Claude Shannon. Chứng minh định lý lấy mẫu (1) Ω X (jΩ) 2πB−2πB Gọi X (jΩ) là phổ của x(t). Khi đó: x(t) = 1 2π  ∞ −∞ X (jΩ)e jΩt dΩ = 1 2π  2πB −2πB X (jΩ)e jΩt dΩ Nếu thay t = n 2B với n ∈ Z, ta có: x(n/2B) = 1 2π  2πB −2πB X (jΩ)e jΩ n 2B dΩ Chứng minh định lý lấy mẫu (2) Ω ˜ X (jΩ) 2πB−2πB 6πB−6πB ˜ X (jΩ) = ∞  n=−∞ c n e j 2π 4πB nΩ = ∞  n=−∞ c n e jΩ n 2B c n = 1 4πB  2πB −2πB ˜ X (jΩ)e −j 2π 4πB nΩ dΩ = 1 4πB  2πB −2πB X (jΩ)e −jΩ n 2B dΩ x(n/2B) → c n = 1 2B x(−n/2B) → ˜ X (jΩ) → X (jΩ) → x(t) QED!!! Cách tiếp cận khác Coi lấy mẫu là phép nhân của x(t) với hàm xung đơn vị tuần hoàn với chu kỳ T s . x s (t) = x(t)p(t) t x(t) t p(t) t x s (t) Phổ của tín hiệu sau lấy mẫu X s (jΩ) = 1 2π [X (jΩ)∗P(jΩ)], với P(jΩ) = 2π T s ∞  k=−∞ δ(Ω−k 2π T s ) =⇒ X s (jΩ) = 1 T s ∞  k=−∞ X (j(Ω − kΩ s )), Ω s = 2π T s Ω X (jΩ) 1 Ω P(jΩ) 2π T s Ω s −Ω s Ω X s (jΩ) 1 T s Ω s −Ω s 2Ω s −2Ω s Khôi phục lại tín hiệu Cho tín hiệu x s (t) qua bộ lọc thông thấp lý tưởng với Ω c = Ω s /2 > B H(jΩ) =  T s , |Ω| ≤ Ω c 0, |Ω| > Ω c h(t) = T s sin(Ω c t) πt Ta có: x(t) = x s (t) ∗ h(t) = ∞  n=−∞ x(nT s )h(t − nT s ) = ∞  n=−∞ x(nT s ) Ω c T s π sin(Ω c (t − nT s )) Ω c (t − nT s ) . T s . x s (t) = x(t)p(t) t x(t) t p(t) t x s (t) Phổ của tín hiệu sau lấy mẫu X s (j ) = 1 2π [X (j ) P(j )] , với P(j ) = 2π T s ∞  k=−∞ ( −k 2π T s ) =⇒ X s (j ) = 1 T s ∞  k=−∞ X (j(Ω − kΩ s )) , Ω s = 2π T s Ω X. Ω c 0, |Ω| > Ω c h(t) = T s sin(Ω c t) πt Ta có: x(t) = x s (t) ∗ h(t) = ∞  n=−∞ x(nT s )h(t − nT s ) = ∞  n=−∞ x(nT s ) Ω c T s π sin(Ω c (t − nT s )) Ω c (t − nT s ) . ET 2060 Định lý lấy mẫu TS. Đặng Quang Hiếu http://ss.edabk.org Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông 2011-2012 Định lý lấy mẫu x(t) lấy mẫu −−−−−−→ T s x(nT s ) chuẩn