GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán §1. Độ Đo (Phiên bản đã chỉnh sửa) PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006 1 PHẦN LÝ THUYẾT 1. Không gian đo được Định nghĩa : 1) Cho tập X = ø; một họ F các tập con của X được gọi là một σ −đại số nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau : i. X ∈ F và nếu A ∈ F thì A c ∈ F , trong đó A c = X \ A. ii. Hợp c ủa đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F . 2) Nếu F là σ−đại số các tập con của X thì cặp (X, F ) gọi là một không gian đo được ; mỗi tập A ∈ F gọi là tập đo được (đo được đối với F hay F − đo được) Tính chất Giả sử F là σ−đại số trên X. Khi đó ta có : 1) ø ∈ X. Suy ra hợp của hữu hạn tập thuộc F cũng là tập thuộc F . 2) Giao của hữu hạn hoặc đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F . 3) Nếu A ∈ F, B ∈ F thì A \ B ∈ F . 2. Độ đo Định nghĩa : Cho một không gian đo được (X , F ) 1) Một ánh xạ µ : F −→ [0, ∞] được gọi là một độ đo nếu : i. µ(ø) = 0 ii. µ có tính chất σ−cộng, hiểu theo nghĩa ∀{A n } n ⊂ F, (A n ∩ A m = ø, n = m) ⇒ µ( ∞  n=1 A n ) = ∞  n=1 µ(A n ) 2) Nếu µ là một độ đo xác định trên σ−đại số F thì bộ ba (X, F, µ) gọi là một không gian độ đo 1 Tính chất : Cho µ là một độ đo xác định trên σ−đại số F ; các tập được xét dưới đây đều giả thiết là thuộc F . 1) Nếu A ⊂ B, thì µ(A) ≤ µ(B), hơn nữa nếu µ(A) < ∞ thì ta có µ(B \ A) = µ(B) − µ(A) 2) µ( ∞  n=1 A n ) ≤ ∞  n=1 µ(A n ). Do đó, nếu µ(A n ) = 0 (n ∈ N ∗ ) thì µ( ∞  n=1 A n ) = 0 3) Nếu A n ⊂ A n+1 (n ∈ N ∗ ) thì µ( ∞  n=1 A n ) = lim n→∞ µ(A n ) 4) Nếu A n ⊃ A n+1 (n ∈ N ∗ ) và µ(A 1 ) < ∞ thì µ( ∞  n=1 A n ) = lim n→∞ µ(A n ) Quy ước về các phép toán trong R Giả sử x ∈ R, a = +∞ hoặc a = −∞. Ta quy ước : 1) −∞ < x < +∞ 2) x + a = a, a + a = a 3) x.a =  a , nếu x > 0 −a , nếu x < 0 , a.a = +∞, a.(−a) = −∞ 4) x a = 0 Các phép toán a − a, 0.a, a 0 , x 0 , ∞ ∞ không có nghĩa. Khi thực hiện các phép toán trong R ta phải hết sức cẩn trọng. Ví dụ, từ x + a = y + a không suy ra được x = y (nếu a = ±∞). Định nghĩa Độ đo µ xác định trên σ−đại số F các tập con của X được gọi là : 1) Độ đo hữu hạn nếu µ(X) < ∞. 2) Độ đo σ− hữu hạn nếu tồn tại dãy {A n } ⊂ F sao cho X = ∞  n=1 A n , µ(A n ) < ∞ ∀n ∈ N ∗ 3) Độ đo đủ nếu nó có tính chất (A ⊂ B; B ∈ F, µ(B) = 0) ⇒ A ∈ F 3. Độ đo Lebesgue trên R Tồn tại một σ−đại số F cá c tập con của R mà mỗi A ∈ F gọi là một tập đo dược theo Lebesgue (hay (L)− đo được) và một độ đo µ xác định trên F (gọ i là độ đo Lebesgue trên R ) thỏa mãn các tính chất sau : 1) Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng, là (L)−đo được. Nếu I là khoảng với đầu mút a, b (−∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞) thì µ(I) = b − a 2) Tập hữu hạn hoặc đếm được là (L)−đo được và có độ đo Lebesgue bằng 0. 2 3) Tập A ⊂ R là (L)−đo được khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại tập đóng F , tập mở G sao cho F ⊂ A ⊂ G, µ(G \ F ) < ε 4) Nếu A là tập (L)−đo được thì các tập x + A, xA cũng là (L)−đo được và : µ(x + A) = µ(A) µ(xA) = |x|µ(A) 5) Độ đo Lebesgue là đủ, σ− hữu hạn 2 PHẦN BÀI TẬP 1. Bài 1 Cho không gian độ đo (X , F, µ), tập Y = ø và ánh xạ ϕ : X −→ Y Ta định nghĩa : A = {B ⊂ Y : ϕ −1 (B) ∈ F } γ(B) = µ(ϕ −1 (B)) Chứng minh A là σ−đại số trên Y và γ là độ đo xác định trên A Giải • Ta kiểm tra A thỏa hai điều kiện của σ−đại số : i. Ta có Y ∈ A vì ϕ −1 (Y ) = X ∈ F Giả sử B ∈ A, ta cần chứng minh B c = Y \ B ∈ A. Thật vậy, ta có  ϕ −1 (Y \B) = ϕ −1 (Y )\ϕ −1 (B) = X\ϕ −1 (B) ϕ −1 (B) ∈ F ( do B ∈ A) nên X \ ϕ −1 (B) ∈ F ⇒ ϕ −1 (Y \ B) ∈ F hay Y \ B ∈ A ii. Giả sử B n ∈ A(n ∈ N ∗ ) và B = ∞  n=1 B n . Ta có ϕ −1 (B) = ∞  n=1 ϕ −1 (B n ) ϕ −1 (B n ) ∈ F (n ∈ N ∗ )    ⇒ ϕ −1 (B) ∈ F hay B ∈ A. • Tiếp theo ta kiểm tra γ là độ đo . Với B ∈ A ta có ϕ −1 (B) ∈ F nên số µ[ϕ −1 (B)] xác định, không âm. Vậy số γ(B) ≥ 0, xác định. i. Ta có γ(ø) = µ[ϕ −1 (ø)] = µ(ø) = 0 ii. Giả sử B n ∈ A (n ∈ N ∗ ), B n ∩ B m = ø (n = m) và B = ∞  n=1 B n .Ta có ϕ −1 (B) = ∞  n=1 ϕ −1 (B n ), ϕ −1 (B n ) ∩ ϕ −1 (B m ) = ϕ −1 (B n ∩ B m ) = ø (n = m). ⇒ µ [ϕ −1 (B)] = ∞  n=1 µ [ϕ −1 (B n )] (do tính σ−cộng của µ) ⇒ γ(B) = ∞  n=1 γ(B n ) 3 2. Bài 2 Cho không gian độ đo (X, F, µ) và các tập A n ∈ F (n ∈ N ∗ ). Đặt : B = ∞  k=1  ∞  n=k A n  (Tập các điểm thuộc mọi A n từ một lúc nào đó) C = ∞  k=1  ∞  n=k A n  (Tập các điểm thuộc vô số các A n ). Chứng minh 1) µ(B) ≤ lim n→∞ µ(A n ) 2) µ(C) ≥ lim n→∞ µ(A n ) Nếu có thêm điều kiện µ( ∞  n=1 A n ) < ∞ Giải 2) Đặt C k = ∞  n=k A n ta có : C k ∈ F (k ∈ N ∗ ), C 1 ⊃ C 2 ⊃ . . . , µ(C 1 ) < ∞; C = ∞  k=1 C k Do đó : µ(C) = lim k→∞ µ(C k ) (1) Mặt khác ta có C k ⊃ A k nên µ(C k ) ≥ µA k ∀k ∈ N ∗ và lim k→∞ µ(C k ) ≥ lim k→∞ µ(A k ) (2) Từ (1), (2) ta có đpcm. 3. Bài 3 : Cho σ−đại số F và ánh xạ : µ : F −→ [0, ∞] thỏa mãn các điều kiện sau : i. µ(ø) = 0 ii. Nếu A 1 , A 2 ∈ F, A 1 ∩ A 2 = ø thì µ(A 1 ∪ A 2 ) = µ(A 1 ) + µ(A 2 ) (Ta nói µ có tính chất cộng hữu hạn) iii. Nếu A n ∈ F (n ∈ N ∗ ), A 1 ⊃ A 2 ⊃ . . . và ∞  n=1 A n = ø thì lim n→∞ µ(A n ) = 0 Chứng minh µ là độ đo. Giải Giả sử B n ∈ F (n ∈ N ∗ ), B n ∩ B m = ø (n = m) và B = ∞  n=1 B n , ta cần chứng minh µ(B) = ∞  n=1 µ(B n ) (1) 4 Đặt C k = ∞  n=k B n (k = 1, 2 . . .), ta có C k ∈ F, C 1 ⊃ C 2 ⊃ . . . và B = B 1 ∪ . . . ∪ B n ∪ C n+1 ∞  k=1 C k = ø (Xem ý nghĩa tập C, bài 2 và giả thiết về các B n ) ⇒    µ(B) = n  k=1 µ(B k ) + µ(C n+1 ) (2) ( do tính chất ii.) lim m→∞ µ(C n ) = 0 ( do tính chất iii.) Cho n → ∞ trong (2) ta có (1). 4. Bài 4 : Ký hiệu µ là độ đo Lebesgue trên R. Cho A ⊂ [0, 1] là tập (L)−đo được và µ(A) = a > 0. Chứng minh rằng trong A có ít nhất một cặp số mà hiệu của chúng là số hữu tỷ. Giải Ta viết các số hữu tỷ trong [0, 1] thành dãy {r n } n và đặt A n = r n + A (n ∈ N ∗ ). Ta chỉ cần chứng minh tồn tại n = m sao cho A n ∩ A m = ∅. Giả sử trái lại, điều này không đúng. Khi đó ta có µ( ∞  n=1 A n ) = ∞  n=1 µ(A n ) (1) Mặt khác, ta có µ(A n ) = µ(A) = a, ∞  n=1 A n ⊂ [0, 2] Do đó vế phải của (1) bằng +∞ còn vế trái ≤ 2, vô lý 5. Bài 5 : Cho tập (L)− đo được A ⊂ R. Chứng minh A có thể viết thành dạng A = B \ C với B là giao của đếm được tập mở và C là tập (L)−đo được, có độ đo Lebesgue bằng 0. Giải Do tính chất 3) của độ đo Lebesgue, với mỗi n ∈ N ∗ ta tìm được tập mở G n ⊃ A sao cho µ(G n \ A) < 1 n Đặt B = ∞  n=1 G n và C = B \ A. Ta có B là (L)− đo đưực và do đó C cũng là (L)− đo được. Vì C ⊂ G n \ A ∀n = 1, 2, . . . nên ta có : µ(C) ≤ 1 n ∀n = 1, 2, . . . Vậy µ(C) = 0. 5 6. Bài 6 : Cho tập L− đo đượ c A ⊂ [0, 1] với µ(A) = a > 0. Chứng minh: 1) Hàm f(x) = µ(A ∩ [0, x]) liên tục trên [0, 1]. 2) ∀b ∈ (0, a) ∃B ⊂ A : B (L)− đo được, µ(B) = b Giải 1) Với 0 ≤ x < y ≤ 1 ta có f(y) =µ(A ∩ [0, y]) =µ(A ∩ [0, x]) + µ(A ∩ (x, y]) ⇒ f(y) − f (x) = µ(A ∩ (x, y]) ⇒ 0 ≤ f(y) − f(x) ≤ y − x Do đó f liên tục trên [0, 1] 2) Ta có f(0) = 0, f(1) = a và f liên tục nên tồn tại x o ∈ (0, 1) thỏa f(x o ) = b hay µ(A ∩ [0, x o ]) = b. Tập B := A ∩ [0, x o ] cần tìm. 6 GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán §2. HÀM ĐO ĐƯỢC (Phiên bản đã chỉnh sửa) PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006 PHẦN LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: Cho một không gian đo được (X, F), tập A ∈ F và hàm f : A → R. Với a ∈ R, ta sẽ ký hiệu: A[f < a] = {x ∈ A : f(x) < a} Các tập hợp A[f ≤ a], A[f > a], A[f ≥ a] được định nghĩa tương tự. Ta nói hàm f đo được trên A (đo được đối với σ-đại số F hay F-đo được) nếu: A[f < a] ∈ F, ∀a ∈ R Định lý 1: Các mệnh đề sau tương đương 1) f đo được trên A 2) A[f ≤ a] ∈ F, ∀a ∈ R 3) A[f > a] ∈ F, ∀a ∈ R 4) A[f ≥ a] ∈ F, ∀a ∈ R 2. Một số lớp hàm đo được Cho không gian đo được (X, F). Các tập hợp được xét dưới đây luôn giả thiết là thuộc F. 1) Hàm hằng số là đo được. Hàm đặc trưng 1 A của tập A là đo được khi và chỉ khi A ∈ F. 2) Nếu f đo được trên A và B ⊂ A thì f đo được trên B Nếu f đo được trên mỗi A n (n ∈ N ∗ ) thì f đo được trên ∞ ∪ n=1 A n 3) Giả sử các hàm f, g đo được trên A và chỉ nhận các giá trị hữu hạn. Khi đó các hàm sau cũng đo được trên A : |f|, |f | α (α > 0), f + g, f.g, f g (nếu g(x) = 0 ∀x ∈ A) 4) Giả sử các hàm f n đo được trên A (n ∈ N ∗ ). Khi đó các hàm sau cũng đo được trên A a) g(x) = sup{f n (x) : n ∈ N ∗ }, h(x) = inf{f n (x) : n ∈ N ∗ } b) f(x) = lim n→∞ f n (x), nếu giới hạn tồn tại tại mọi x ∈ A. 1 3. Hàm đo được theo Lebesgue Hàm đo được đối với σ-đạ i số các tập (L) đo được gọi là hàm đo được theo Lebesgue hay (L) đo được Định lý 2 Nếu A ⊂ R là tập (L)-đo được và hàm f : A → R liên tục thì f là hàm (L)-đo được. 4. Hàm đơn giản Định nghĩa : Cho không gian đo được (X, F) và tập A ∈ S. Hàm f : A → R gọi là hàm đơn giản nếu nó có dạng f(x) = n  i=1 a i 1 A i (x) trong đó : A i ∈ F, (i = 1, n), A i ∩ A j = ∅ (i = j), n ∪ i=1 A n = A và 1 A i là hàm đặc trưng của tập A i Như vậy, hàm đơn giản là hàm đo được, chỉ nhận hữu hạn giá trị. Định lý 3 Nếu f là hàm không âm, đo được trên A thì tồn tại dãy {s n } các hàm đơn giản trên A sao cho i) 0 ≤ s n (x) ≤ s n+1 (x), ∀x ∈ A ii) lim n→∞ s n (x) = f(x), ∀x ∈ A 2 PHẦN BÀI TẬP Bài 1 : Cho hàm f : X → R đo được và các số a, b ∈ R, a < b. Chứng minh rằng hàm g(x) =    f(x) nếu a ≤ f(x) ≤ b a nếu f(x) < a b nếu f(x) > b là đo được trên X. GIẢI: Cách 1: Đặt A 1 = X[a ≤ f ≤ b], A 2 = X[f < a], A 3 = X[f > b], ta có: A k ∈ F , k = 1, 2, 3, A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 = X g(x) =    f(x) x ∈ A 1 a x ∈ A 2 b x ∈ A 3 g đo được trên A 2 và A 3 vì là hàm hằng trên các tập này g đo được trên A 1 vì f đo được trên A 1 Do đó g đo được trên A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 = X. Cách 2: Ta dễ dàng kiểm tra rằng g(x) = min{b, max{a, f (x)}} Từ các hàm đo được qua phép lấy max, min ta nhận được hàm đo được. Do đó g đo được. Bài 2 : 1) Cho các hàm f, g : X → R đo được. Chứng minh tập A := {x ∈ X : f (x) = g(x)} là đo được (nghĩa là thuộc F). 2) Cho dãy hàm {f n } đo được trên X. Chứng minh rằng tập B := {x ∈ X : lim n→∞ f n (x) tồn tại} đo được. GIẢI: 1) Cách 1: Đặt A 1 = {x ∈ X : f(x) < g(x)}, A 2 = {x ∈ X : g(x) < f(x)} Ta chứng minh A 1 , A 2 ∈ F. . Ta viết tập Q thành dãy {r n }. Ta thấy f(x) < g(x) ⇔ ∃n : f(x) < r n < g(x) Do đó: A 1 = ∞  n=1 {x ∈ X : f(x) < r n < g(x)} = ∞  n=1 (X[f < r n ] ∩ X[g > r n ]) nên A 1 ∈ F. Chứng minh A 2 ∈ F tương tự. . Do A = X\(A 1 ∪ A 2 ) nên A ∈ F Cách 2: Đặt A 1 = {x ∈ X : f(x) = +∞}, A 2 = {x ∈ X : f(x) = −∞} A 3 = {x ∈ X : g(x) = +∞}, A 4 = {x ∈ X : g(x) = −∞} Y = X\ 4  k=1 A k Ta có thể chứng minh A k , Y ∈ F và 3 A = (A 1 ∩ A 3 ) ∪ (A 2 ∩ A 4 ) ∪ Y [f − g = 0] Chú ý rằng trên Y thì f, g đo được, chỉ nhận giá trị hữu hạn nên f − g đo được trên Y và do đó Y [f − g = 0] ∈ F. 2) Đặt f(x) = lim n→∞ f n (x), g(x) = lim n→∞ f n (x) . Theo định nghĩa, ta có f(x) = lim n→∞ (inf k≥n f k (x)), g(x) = lim n→∞ (sup k≥n f k (x)) Các hàm F n (x) := inf k≥n f k (x) đo được nên f(x) = lim n→∞ F n (x) đo được Tương tự, ta có g đo được . Ta có B = {x ∈ X : f(x) = g(x)} nên áp dụng câu 1) có B ∈ F Bài 3 : Cho không gian độ đo (X, F, µ), A ∈ F và hàm f : A → R đo được. 1) Đặt A n = {x ∈ A : |f(x)| ≤ n}, n ∈ N ∗ . Chứng minh lim n→∞ µ(B n ) = µ(A). 2) Giả sử µ(A) < ∞. Chứng minh rằng với mọi  > 0, tồn tại tập B ⊂ A, B ⊂ F sao cho µ(A\B) < , f bị chặn trên B GIẢI: 1) Ta có: A n ∈ F (vì |f | đo được), A n ⊂ A n+1 A = ∞  n=1 A n (do f chỉ nhận giá trị hữu hạn) Do đó lim n→∞ µ(A n ) = µ(A) 2) Do µ(A) < ∞ nên µ(A\A n ) = µ(A) − µ(A n ). Do đó lim n→∞ µ(A\A n ) = 0 Chú ý rằng f bị chặn trên A n . Do đó ta chỉ cần chọn B = A n khi n đủ lớn. Bài 4 : Cho không gian đo được (X, F) và các hàm f 1 , f 2 : X → R đo được, hàm F : R 2 → R liên tục. Chứng minh rằng hàm g : X → R, g(x) = F (f 1 (x), f 2 (x)) đo được GIẢI Ta xét ánh xạ ϕ : X → R 2 , ϕ(x) = (f 1 (x), f 2 (x)). Ta có . g(x) = (F 0 ϕ)(x) . X[g < a] = g −1 ((−∞, a)) = ϕ −1 (F −1 ((−∞, a)))] (1) Tập A := F −1 ((−∞, a)) là tập mở trong R 2 (do f liên tục) nên là hợp của đếm được các hình chữ nhật mở: A = ∞  n=1 I n × J n , I n = (a n , b n ), J n = (c n , d n ) (2) Từ (1),(2) ta có: X[g < a] = ∞  n=1 ϕ −1 (I n × J n ) = ∞  n=1 {x ∈ X : (f 1 (x), f 2 (x)) ∈ I n × J n } = ∞  n=1 ({x : a n < f 1 (x) < b n } ∩ {x : c n < f 2 (x) < d n }) ⇒ X[g < a] ∈ F ∀a ∈ R Bài 5 : Cho hàm f : (a, b) → R khà vi trên (a, b) a < b; a, b ∈ R. Chứng minh rằng hàm f  4 [...]... là (L)- đo được) Từ (1),(2) ta có f là (L) -đo được 5 GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần 3 Độ Đo Và Tích Phân §3 TÍCH PHÂN THEO LEBESGUE Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán (Phiên bản đã chỉnh sửa) PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006 1 PHẦN LÝ THUYẾT 1 Điều kiện khả tích theo Riemann Nếu hàm f khả tích trên [a, b] theo nghĩa tích phân xác định thì ta cũng nói f khả tích theo Riemann hay (R)−khả tích Định... tập độ đo 0 của tích phân, ta có thể giả thiết các diều kiện i., ii trong định lý Levi và Lebesgue chỉ cần đúng hkn trên A 5 Liên hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue Nếu A ⊂ R là tập (L) đo được thì tích phân theo độ đo Lebesgue cũng ký hiệu b f (x)dx hoặc (L) (L) f (x)dx nếu A = [a, b] a A Định lý 1) Nếu f khả tích Riemann trên [a, b] thì f cũng khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [a, b] và. .. (n = m) và f là hàm đo được, không âm ∞ hoặc khả tích trên A = An Khi đó n=1 ∞ f dµ f dµ = n=1 A A n 3.6 Một số điều kiện khả tích: • Nếu f đo được trên A thì f khả tích trên A khi và chỉ khi |f | khả tích trên A • Nếu f đo được, g khả tích trên A và |f (x)| ≤ g(x) ∀x ∈ A thì f cũng khả tích trên A • Nếu f đo được, bị chặn trên A và µ(A) < ∞ thì f khả tích trên A 4 Qua giới hạn dưới dấu tích phân Định... f khả tích Riemann trên [a, b] khi và chỉ khi nó thỏa mãn hai điiều kiện sau : i f bị chặn ii Tập các điểm gián đo n của f trên [a, b] có độ đo Lebesgue bằng 0 2 Định nghĩa tích phân theo Lebesgue Cho không gian độ đo (X, F, µ) và A ∈ F, f : A −→ R là hàm đo được n ai 1Ai với Ai ∈ F, Ai ∩ Aj = (a) Nếu f là hàm đơn giản, không âm trên A và f = i=n n ø (i = j) và Ai = A thì ta định nghĩa tích phân của... (x) → f (x)} có độ đo 0 Sự không phụ thuộc tập độ đo 0 Nếu µ(A) = 0 và f đo được trên A thì f dµ = 0 Do đó : A • Nếu f có tích phân trên A ∪ B và µ(B) = 0 thì f dµ gdµ = A A∪B • Nếu f, g đo được trên A, f (x) = g(x) hkn trên A và f có tích phân trên A thì f dµ gdµ = A A f dµ = 0 thì f (x) = 0 hkn trên A 3.3 Nếu f đo được, không âm trên A và A 3.4 Nếu f khả tích trên A thì f (x) hữu hạn hkn trên A 3.5... hàm đo được, không âm và ta có f (x) = f + (x) − f − (x) Nếu ít nhất một trong các f − dµ là số hữu hạn thì ta định nghĩa f + dµ, tích phân A A A A A f − dµ f + dµ − f dµ = f dµ tồn tại và hữu hạn (hay cả hai tích phân Ta nói f khả tích trên A nếu A f − dµ là số hữu hạn) f + dµ, A A 3 Các tính chất Cho không gian độ đo (X, F, µ) 3.1 Một số các tính chất quen thuộc : Giả sử A ∈ F và f, g là các hàm đo. .. nghĩa tích phân của f trên A theo độ đo µ bởi : i=1 n f dµ := ai µ(Ai ) i=n A (b) Nếu f là hàm đo được, không âm thì tồn tại dãy các hàm đơn giản, không âm fn sao cho fn (x) ≤ fn+1 (x), lim fn (x) = f (x) ∀x ∈ A n→∞ Khi đó ta định nghĩa f dµ = lim fn dµ n→∞ A A Chú ý rằng, tích phân hàm đo được không âm luôn tồn tại, là số không âm và có thể bằng +∞ 1 (c) Nếu f là hàm đo được thì f + (x) = max{f (x),... Nếu f khả tích Riemann suy rộng trên [a, b] (hoặc trên [a, ∞]) và là hàm không âm thì f khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [a, b] (trên [a, ∞]) và ta có :   b b ∞ ∞ (R) f (x)dx = (L) a 2 f (x)dx (R) a f (x)dx = (L) a f (x)dx a PHẦN BÀI TẬP Trong các tập dưới đây ta luôn giả thiết có một không gian độ đo (X, F, µ) Các tập được xét luôn thuộc F Bài 1 Cho hàm f đo được trên A, hàm g, h khả tích trên... dãy các hàm {fn } khả tích, hữu hạn trên A, hội tụ đều trên A về hàm f và µ(A) < ∞ Chứng minh f khả tích trên A và f dµ fn dµ = lim n→∞ A A Giải Vì các hàm fn đo được nên f đo được Vì dãy {fn } hội tụ đều trên A về f nên có số no ∈ N∗ thỏa mãn |fn (x) − f (x)| ≤ 1 ∀x ∈ A, ∀n ≥ no (1) • Từ (1) ta có |f (x)| ≤ 1 + |fn (x)| Vì µ(A) < ∞ nên hàm 1 + |fn | khả tích trên A Do đó f khả tích trên A • Cũng từ... khả tích trên A sao cho g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) ∀x ∈ A Chứng minh f khả tích trên A Giải Ta có f + ≤ h+ , f − ≤ g − f + dµ ≤ ⇒ A ( vì g ≤ f ≤ h) f− ≤ h+ dµ, A A g − dµ A f ± dµ < ∞ Suy ra f khả tích (Bài này cũng có thể Các tích phân ở vế phải hữu hạn nên A giải dựa vào bất đẳng thức |f (x)| ≤ |g(x)| + |h(x)|) Bài 2 4 1 Cho hàm số f ≥ 0, đo được trên A Xét các hàm fn (x) = fn dµ = Chứng minh lim n→∞ nếu . GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán §1. Độ Đo (Phiên bản đã chỉnh sửa) PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006 1 PHẦN LÝ THUYẾT 1. Không gian đo. có f  là (L) -đo được. 5 GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân §3. TÍCH PHÂN THEO LEBESGUE Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán (Phiên bản đã chỉnh sửa) PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 1 tháng. khả tích: • Nếu f đo được trên A thì f khả tích trên A khi và chỉ khi |f| khả tích trên A. • Nếu f đo được, g khả tích trên A và |f (x)| ≤ g(x) ∀x ∈ A thì f cũng khả tích trên A. • Nếu f đo được,