ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH PHÙNG HỒ HẢI Viện Toán học Bản nháp 0.01 Ngày 30.11.2009 Phùng Hồ Hải Đại số Đa tuyến tính Mục lục Chương I. Không gian véc tơ 5 1.1. Trường 5 1.2. Không gian véc tơ 7 1.3. Không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính 13 1.4. Tổng trực tiếp, dãy khớp của các không gian véc tơ 16 1.5. Không gian đối ngẫu và ánh xạ đối ngẫu 20 1.6. Bài toán phổ dụng 24 Chương II. Tích ten xơ 31 2.1. Ánh xạ đa tuyến tính 31 2.2. Tích ten xơ 32 2.3. Tính kết hợp và giao hoán của tích ten xơ 37 2.4. Tích ten xơ của ánh xạ, của tổng trực tiếp, tính khớp 39 2.5. Tích ten xơ của các không gian con và không gian thương 41 2.6. Liên hệ với hàm tử Hom 44 2.7. Lũy thừa ten xơ 47 2.8. Ten xơ hỗn hợp 48 Chương III. Nhóm đối xứng 51 3.1. Nhóm đối xứng 51 3.2. Tác động của S n 57 3.3. Đại số nhóm [S n ] 61 Chương IV. Lũy thừa đối xứng và ten xơ đối xứng 65 4.1. Ánh xạ đa tuyến tính đối xứng và lũy thừa đối xứng 65 4.2. Lũy thừa đối xứng của ánh xạ, tổng trực tiếp 69 4.3. Ten xơ đối xứng 71 4.4. Ten xơ đối xứng, trường hợp đặc số 0 72 3 4 Mục lục 4.5. Ten xơ đối xứng, trường hợp đặc số dương 74 4.6. Lũy thừa đối xứng và dãy khớp 75 Chương V. Lũy thừa ngoài và ten xơ phản đối xứng 79 5.1. Ánh xạ tuyến tính thay phiên và lũy thừa ngoài 79 5.2. Lũy thừa ngoài của ánh xạ, tổng trực tiếp 84 5.3. Ten xơ thay phiên 86 5.4. Ten xơ thay phiên, trường hợp đặc số 0 89 5.5. Ten xơ thay phiên, trường hợp đặc số dương 91 5.6. Đối ngẫu 92 5.7. Khai triển Cramer và khai triển Laplace 95 Chương I Không gian véc tơ 1.1. Trường ĐỊNH NGHĨA 1.1.1. Một trường là một tập hợp cùng hai phép toán “cộng”, ký hiệu +, và “nhân”, ký hiệu · thỏa mãn các điều kiện sau: (i) ( , +) là một nhóm giao hoán với phần tử đơn vị ký hiệu là 0, gọi là phần tử không của , (ii) ( × , ·) là một nhóm giao hoán (ở đây × := \ {0}), với phần tử đơn vị ký hiệu là 1, gọi là phần tử đơn vị của , (iii) phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng: (1.1.1) (a + b) · c = (a · b) + (a · c) CHÚ Ý 1.1.2. (i) Chúng ta sẽ quy ước như thông lệ là phép nhân được thực hiện trước phép cộng và thông thường sẽ bỏ dấu · khi ký hiệu phép nhân. (ii) Từ định nghĩa, một trường có ít nhất hai phần tử 0 và 1. VÍ DỤ 1.1.3. (i) Các tập hợp , , với các phép toán thông thường lập thành trường. (ii) Trường có đúng hai phần tử 0 và 1 thường được ký hiệu là 2 . Cấu trúc trường trên 2 có thể được mô tả thông qua các phép cộng và nhân modulo 2. (iii) Tương tự, với mỗi số nguyên tố p, tập các lớp đồng dư theo modulo p với các phép toán cộng và nhân tạo thành 5 6 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ một trường, thường được ký hiệu là p . Trường p như vậy có p phần tử. (iv) Cố định một trường , ta có thể xây dựng một trường mới chứa như sau. Xét tập hợp các phân thức hữu tỷ theo một biến t: (1.1.2) (t) :=  P (t) Q(t) |P, Q ∈ [t]  Khi đó (t) với các phép cộng và nhân phân thức hữu tỷ lại là một trường. Hiển nhiên trường này chứa trường như một trường con 1 . (v) Trường (t) thường được gọi là trường hàm trên theo biến t. Nó còn được gọi là trường các thương của vành đa thức [t]. Ta cũng có thể xây dựng các trường khác chứa bằng cách xét các trường thặng dư của [t] modulo một đa thức bất khả quy nào đó. Trong vành các đa thức, đa thức bất khả quy đóng vai trò của một số nguyên tố, tập hợp các lớp đồng dư modulo một đa thức bất khả quy với phép cộng và nhân thông thường cũng lập thành một trường. ĐỊNH NGHĨA 1.1.4. Đặc số của một trường là số nguyên dương nhỏ nhất p sao cho p · 1 := 1 + 1 + . . . + 1    p = 0 (ở đây 1 ký hiệu phần tử đơn vị của ). Trong trường hợp không tồn tại số p như vậy ta nói trường có đặc số 0. VÍ DỤ 1.1.5. • Rõ ràng các trường , , có đặc số 0. • Mặt khác trường p và p (t) có đặc số p. 1 Một trường con của trường là một tập con sao cho ( , +) và × , ·) là các nhóm con tương ứng của ( , +) và ( × , ·). 1.2. Không gian véc tơ 7 • Dễ dàng kiểm tra rằng nếu p > 0 là đặc số của thì p phải là số nguyên tố. Thật vậy, nếu p không là nguyên tố, p = p 1 p 2 , p i > 1, thì (p 1 · 1)(p 2 · 1) = p · 1 = 0 dẫn tới p 1 · 1 hoặc p 2 · 1 phải bằng 0, mâu thuẫn với giả thiết nhỏ nhất của p. • Nếu trường có đặc số 0 thì ta có thể coi như là một trường con của nó. Thật vậy, với mỗi số nguyên b = 0, phần tử b · 1 là khác 0 trong , do đó khả nghịch. Phần tử nghịch đảo của nó được ký hiệu là 1/b. Như vậy ta có thể ứng mỗi phân số a/b với phần tử a · 1/b của . • Ngược lại, nếu có đặc số p > 0, thì có thể coi p như là một trường con của . 1.2. Không gian véc tơ ĐỊNH NGHĨA 1.2.1 (Không gian véc tơ). Cố định một trường . Một không gian véc tơ trên là một tập hợp V cùng với các phép toán cộng véc tơ, ký hiệu là +, và phép nhân với vô hướng, ký hiệu là ·: (1.2.1) V × V −→ V ; (u, v) −→ u + v × V −→ V ; (λ, v) −→ λ · v thỏa mãn các điều kiện sau: (i) (V, +) là một nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là 0, (ii) phép nhân với vô hướng có tính đơn vị: 1 · v = v, với mọi v ∈ V (iii) phép nhân với vô hướng tương thích với phép nhân trong : (λµ) · v = λ · (µ · v) 8 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ (iv) phép nhân với vô hướng có tính phân phối đối với phép cộng véc tơ: λ · (a + b) = (λ · a) + (λ · b) NHẬN XÉT 1.2.2. Từ định nghĩa một không gian véc tơ ta suy ra ngay các tính chất sau: 0 · v = 0, (−1) · v = −v Chúng ta cũng sẽ quy ước như mọi khi là phép nhân với vô hướng sẽ được thực hiện trước phép cộng véc tơ cũng như sẽ bỏ dấu · khi ký hiệu phép nhân với vô hướng. VÍ DỤ 1.2.3. (i) Trên mặt phẳng cố định một điểm O. Tập các véc tơ với gốc là O và ngọn là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng lập thành một không gian véc tơ trên với phép cộng véc tơ thông thường. (ii) Ví dụ trên có thể mở rộng ra không gian. Một không gian véc tơ trên thường được gọi là một không gian véc tơ thực. (iii) Tập hợp các đa thức với hệ số trong một trường là một không gian véc tơ trên , phép cộng véc tơ ở đây là phép cộng đa thức, phép nhân với vô hướng là phép nhân một đa thức với một phần tử của . Chú ý trong trường hợp này ta có thể đồng nhất trường một cách chính tắc với tập các đa thức bậc 0. Đối với một không gian bất kỳ không có phép đồng nhất (một cách chính tắc) như vậy. ĐỊNH NGHĨA 1.2.4 (Không gian con). Tập con U trong không gian véc tơ V được gọi là không gian con nếu (U, +) là nhóm con của (V, +) và U đóng với phép nhân với vô hướng. 1.2. Không gian véc tơ 9 ĐỊNH NGHĨA 1.2.5 (Ánh xạ tuyến tính). Cho hai không gian véc tơ V và W trên trường . Một ánh xạ f : V −→ W được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: i) f(u + v) = f(u) + f(v) với mọi u, v ∈ V , ii) f(λu) = λf(u) với mọi λ ∈ , u ∈ V . Hạch của ánh xạ tuyến tính f được định nghĩa là tập Ker(f) := {v ∈ V |f(v) = 0} Đây là một không gian con của V . Ảnh của ánh xạ tuyến tính f Im(f) := {f(v)|v ∈ V } cũng là không gian con của W . ĐỊNH NGHĨA 1.2.6. Tổ hợp tuyến tính của các véc tơ trong là một tổng dạng λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + . . . λ n v n với λ i ∈ và v i ∈ V . Bộ các véc tơ (v i ) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại một bộ các phần tử λ i ∈ không đồng thời bằng 0 sao cho λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + . . . λ n v n = 0 Trong trường hợp ngược lại bộ (v i ) được gọi là độc lập tuyến tính. Một tập con S trong V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi tập con hữu hạn của nó là độc lập tuyến tính. Nhận xét rằng một tập độc lập tuyến tính không thể chứa véc tơ 0. Ngược lại một tập bao gồm chỉ một véc tơ khác 0 luôn là độc lập tuyến tính. ĐỊNH NGHĨA 1.2.7. Tập sinh của một không gian véc tơ V là một tập con S của V sao cho mọi phần tử của V biểu diễn được 10 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S. Cơ sở của V là một tập con B sao cho mọi phần tử của V biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong B. NHẬN XÉT 1.2.8. i) Một cách tổng quát hơn, với mỗi tập con S ⊂ V , tập các tổ hợp tuyến tính của các véc tơ từ S lập thành một không gian con, gọi là không gian con căng bởi S, ký hiệu S. S là tập sinh của V nếu S = V . ii) Tập sinh trong một không gian véc tơ luôn tồn tại, chẳng hạn ta có thể lấy S = V . Tuy nhiên sự tồn tại của một cơ sở là không hiển nhiên. ĐỊNH LÝ 1.2.9. Cho V là một không gian véc tơ trên trường . Các điều kiện sau đây là tương đương đối với một tập con B ⊂ V : (i) B là một cơ sở của V ; (ii) B là tập sinh tối thiểu của V (nghĩa là mọi tập con thực sự của B không là tập sinh của V ); (iii) B là tập sinh của V và B là độc lập tuyến tính. HỆ QUẢ 1.2.10. Cơ sở B của không gian véc tơ V thỏa mãn tính chất phổ dụng sau: với mọi không gian véc tơ W , mọi ánh xạ f : B −→ W có thể mở rộng một cách duy nhất thành ánh xạ tuyến tính ϕ : V −→ W . B nhúng  ∀f          V ∃!ϕ          W ĐỊNH LÝ 1.2.11. Trong một không gian véc tơ bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một cơ sở. Hai cơ sở bất kỳ có cùng lực lượng. Hơn thế nữa, nếu cho một tập các véc tơ độc lập tuyến tính trong không gian thì ta luôn có thể bổ sung vào đó các véc tơ để thu được một cơ sở của không gian. [...]... trong hai biến ta được một ánh xạ tuyến tính Trong trường hợp U = k, f được gọi là một dạng song tuyến tính Tập hợp tất cả các ánh xạ song tuyến tính từ V × W vào U được ký hiệu là B(V × W, U ) Dễ dàng kiểm tra rằng B(V × W, U ) có cấu trúc một không gian véc tơ Giả thiết V1 ⊂ V , W1 ⊂ W Khi đó ánh xạ song tuyến tính f hạn chế lên tập con V1 × W1 cho ta một ánh xạ tuyến tính f1 : V1 × W1 −→ U Mặt khác,... tính chất trên của một ánh xạ tuyến tính ta thấy f là tổ hợp tuyến tính của các ánh xạ ei với hệ số là các j phần tử trong ma trận biểu diễn của f theo các cơ sở (x) và (y): f = aj ei i j Từ đó suy ra kết luận của mệnh đề Trong trường hợp V = W , ánh xạ tuyến tính f : V −→ V được gọi là một tự đồng cấu tuyến tính hoặc một phép biến đổi tuyến tính Trong trường hợp này thay vì chọn hai cơ sở như ở trên... k cũng xác định một dạng song tuyến tính trên V với cơ sở xi đã cho iii) Ánh xạ giá trị ev : L(V, W ) × V −→ W cho bởi (f, v) −→ f (v) là một ánh xạ song tuyến tính Tổng quát, cho các không gian véc tơ V1 , V2 , , Vp Một ánh xạ từ V1 × V2 × × Vp vào một không gian véc tơ U được gọi là đa tuyến tính nếu khi cố định p − 1 biết bất kỳ ta thu được một ánh xạ tuyến tính theo biến còn lại ál;kdfj... chứng minh chúng độc lập tuyến tính ta cần bổ đề sau BỔ ĐỀ 2.2.3 Giả sử ai là các véc tơ độc lập tuyến tính trong V Khi đó từ hệ thức ai ⊗ b i = 0 i trong V ⊗ W ta phải có bi = 0 với mọi i CHỨNG MINH Giả sử ϕi : V −→ k là ánh xạ tuyến tính thỏa i mãn ϕi (aj ) = δj Khi đó từ sơ đồ giao hoán V ×W rr rr rr r ϕi id W rr6 ⊗ W G V ⊗W v vv vv vv g {vv với g là một ánh xạ tuyến tính nào đó, ta có bi = 0... KHÔNG GIAN VÉC TƠ 1.5 Không gian đối ngẫu và ánh xạ đối ngẫu Không gian các ánh xạ tuyến tính L(V, k) được gọi là không gian véc tơ đối ngẫu với V Một phần tử của L(V, k) được gọi là một dạng tuyến tính hoặc một phiếm hàm (tuyến tính) trên V Để thuận tiện ta sẽ ký hiệu V ∗ := L(V, k) Giả sử f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính Khi đó f xác định một ánh xạ, ký hiệu là f ∗ từ W ∗ tới V ∗ , như sau Với ϕ... ánh xạ tuyến tính 15 MỆNH ĐỀ 1.3.2 Chiều của không gian L(V, W ) là tích các số chiều của V và W CHỨNG MINH Cố định hai cơ sở (x) = (xi ) và (y) = (yj ) tương ứng trong V và W Khi đó tồn tại các ánh xạ tuyến tinh ei : V −→ j W xác định bởi tính chất i ei (xk ) = δk yj j Nói cách khác, ánh xạ ei biến xi vào yj còn các phần tử khác của j cơ sở (x) vào 0 Từ các tính chất trên của một ánh xạ tuyến tính. .. Ánh xạ tự nhiên V −→ V /U , v −→ v + U , gọi là ánh xạ thương, là một ánh xạ tuyến tính Nhận xét rằng đây là một toàn ánh 1.4 Tổng trực tiếp, dãy khớp của các không gian véc tơ 19 Không gian thương V /U có tính chất quan trọng sau Giả thiết f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính biến U vào 0 Khi đó f cảm ¯ sinh một ánh xạ tuyến tính f : V /U −→ W , xác định bởi ¯ f (v + U ) := f (v) (1.4.3) ¯ ¯ Dễ thấy... giữa chúng phải là đẳng cấu CHÚ Ý 1.5.2 Giả sử V là một không gian tuyến tính vô hạn chiều Khi đó ta vẫn có các tính chất sau: i) Cố định một cơ sở (x) = (xi )i∈I của V thì tồn tại các j phiếm hàm tuyến tính ξ i , ξ i (xj ) = δi ii) Phiếm hàm ξ j là phiếm hàm xác định tọa độ theo cơ sở (x) iii) Ánh xạ đối ngẫu f ∗ của một ánh xạ tuyến tính f : V −→ W được định nghĩa tương tự • Tuy nhiên các phiếm hàm... không gian véc tơ Tích ten xơ của chúng là một cặp (V ⊗ W, ⊗) trong đó V ⊗ W là một không gian véc tơ và ⊗ : V × W −→ V ⊗ W là ánh xạ song tuyến tính, thỏa mãn tính chất phổ dụng sau: (∗) Với mọi ánh xạ song tuyến tính f : V × W −→ U tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính g : V ⊗ W −→ U thỏa mãn g◦⊗=f Mô tả bằng sơ đồ: (2.2.1) V ×W qq qq qq qq ∀f q5 ⊗ U G V ⊗W w ww ww ww {ww ∃!g Nói cách khác, ánh xạ... nhất thỏa mãn tính phổ dụng ở trên3 VÍ DỤ 1.6.5 (Không gian véc tơ 0) Ta tìm không gian véc tơ có tính chất tương tự như tập rỗng Tất nhiên ở đây phạm vi nghiên cứu của chúng ta là các không gian véc tơ cùng các ánh xạ tuyến tính giữa chúng, thay vì các tập hợp và ánh xạ Theo trên, không gian véc tơ này phải thỏa mãn bài toán phổ dụng trong phạm trù các không gian véc tơ và ánh xạ tuyến tính: ∀W, (1.6.5) . ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH PHÙNG HỒ HẢI Viện Toán học Bản nháp 0.01 Ngày 30.11.2009 Phùng Hồ Hải Đại số Đa tuyến tính Mục lục Chương I. Không gian véc tơ 5 1.1 được gọi là độc lập tuyến tính. Một tập con S trong V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi tập con hữu hạn của nó là độc lập tuyến tính. Nhận xét rằng một tập độc lập tuyến tính không thể chứa. luận của mệnh đề.  Trong trường hợp V = W , ánh xạ tuyến tính f : V −→ V được gọi là một tự đồng cấu tuyến tính hoặc một phép biến đổi tuyến tính. Trong trường hợp này thay vì chọn hai cơ sở như