ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) TS Trần Huyên Ngày 11 tháng 10 năm 2004 Mở Đầu Độc giả thân mến, các bạn đang tham gia chuyên đề "Đại số cơ sở" của Khoa Toán - Tin ĐH SP Tp. HCM. Chuyên đề của chúng tôi xây dựng, trước hết nhằm trợ giúp các ứng viên Thạc sĩ tương lai về chuyên ngành đại số hệ thống lại các kiến thức cơ sở, các kỹ thuật cơ bản, rèn luyện kỹ năng giải toán để có thể vững vàng vượt qua kỳ thi tuyển sinh cao học của ĐHSP Tp. HCM, trở thành học viên Cao học ngành Đại số của trường. Chuyên đề bám sát các nội dung đề ra trong chương trình tuyển sinh, không chỉ giúp các học viên có thể vững tâm đối diện với kỳ thi tuyển mà còn giúp cho họ c viên một khả năng, phương pháp tự học, tự đào tạo mình. Để học viên dễ theo dõi, tiếp thu các nội dung sẽ được biên soạn dưới dạng các bài giảng với ngôn ngữ đơn giản và dễ hiểu nhất, mỗi bài giảng độ hai tiết cho mỗi tuần. Chuyên đề đề sẽ được dàn dựng với thời lượng chừng 40 tiết, liên tục được cập nhật cho tới ngày các bạn có thể tham gia đợt ôn tập tập trung trước khi bước vào kỳ thi tuyển, dịp tháng 05 − 2005. Để chuyên đề càng ngày càng được triển khai một cách hữu ích, hiệu quả hơn, chúng tôi luôn luôn sẳn sàng đón nhận các góp ý, yêu cầu của các bạn. Chúng tôi cũng sẳn sàng trao đổi, giải đáp các thắc mắc của các bạn, hầu mong chuyên đề sẽ là người bạn tâm giao của độc giả trong hành trình phấn đấu khoa học của mình. Các bài tập kiểm tra nhóm Nhóm là một khái niệm cơ bản của Đại số, và là một trong những nội dung không thể vắng bóng trong các đề thi tuyển sinh chuyên ngành Đại số cơ sở. Vì vậy bạn phải nắm vững kỹ năng kiểm tra một tập X cho trước với một phép toán nào đó trên X lập thành một nhóm. Dĩ nhiên bạn phải năm vững khái niệm nhóm để theo đó mà từng bước kiểm tra tập X đã cho và phép toán đã cho có thỏa mãn tất cả các điều kiện cần có cho một nhóm hay không? Theo chương trình Đại số đại cương ta có ba định nghĩa nhóm, tương đương với nhau như sau : 1 Định nghĩa 1 Nhóm là một tập hợp X = ∅, trên đó đã xác định được một phép toán hai ngôi thỏa các điều kiện : 1. N 1 : (Điều kiện kết hợp) : ∀x, y, z ∈ X thì (xy)z = x(yz). 2. N 2 : (Điều kiện đơn vị ) : ∃e ∈ X, ∀x ∈ X thì  ex = x xe = x 1 3. N 3 : (Điều kiện khả nghịch ) ∀x ∈ X, ∃x −1 ∈ X sao cho  x −1 x = e xx −1 = e 2 Định nghĩa 2 Nhóm là nửa nhóm X, có đơn vị trái e và mọi x ∈ X đều có nghịch đảo trái x  (tức x  x = e) Như vậy so với định nghĩa 1, thì định nghĩa 2 tiết kiệm hơn; ở điều kiện N 2 chỉ cần kiểm tra ex = x và ở điều kiện N 3 chỉ phải kiểm tra x −1 x = e. Một dạng đối ngẫu của định nghĩa 2 và có thể xem như là định nghĩa 2’ là : Nhóm là nửa nhóm X, có đơn vị phải e và ∀x ∈ X đều có nghịch đảo phải x  (tức xx  = e) 3 Định nghĩa 3 Nhóm là nửa nhóm X mà các phương trình ax = b và xa = b là giải được (tức có nghiệm) trong X vớ i mọi a, b ∈ X Để kiểm tra một tập cho trước X và một phép toán cho trên X là nhóm, tùy trường hợp cụ thể mà ta lựa chọn định nghĩa nào trong các định nghĩa nêu trên để áp dụng cho phù hợp. 4 Ví dụ 4.1 Ví dụ 1 Cho tập hợp X = Z × Z = {(k 1 , k 2 ) : k 1 , k 2 ∈ Z} xác định trên X phép toán sau : (k 1 , k 2 ).(l 1 , l 2 ) = (k 1 + l 1 , k 2 + (−1) k 1 l 2 ) Chứng minh rằng X với phép toán trên là nhóm. Giải : 1. Cách 1 : (Nếu sử dụng định nghĩa 1, ta lần lượt kiểm tra từng bước như sa u:) • X = Z × Z = ∅ vì Z = ∅. • Dễ dàng thấy là nếu (k 1 , k 2 ), (l 1 , l 2 ) là cặp số nguyên thì (k 1 + l 1 , k 2 + (−1) k 1 l 2 ) cũng là một cặp số nguyên nên phép toán trên X là phép toán hai ngôi. • ∀(k 1 , k 2 ), (l 1 , l 2 ), (t 1 , t 2 ) ∈ X ta có :[(k 1 , k 2 )(l 1 , l 2 )](t 1 , t 2 ) = (k 1 + l 1 , k 2 + (−1) k 1 l 2 )(t 1 , t 2 ) = (k 1 + l 1 + t 1 , k 2 + (−1) k 1 l 2 + (−1) k 1 +l 1 t 2 ) (1) Mặt khác : (k 1 , k 2 )[(l 1 , l 2 )(t 1 , t 2 )] = (k 1 , k 2 )(l 1 + t 1 , l 2 + (−1) l 1 t 2 ) = (k 1 + l 1 + t 1 , k 2 + (−1) k 1 l 2 + (−1) k 1 +l 1 t 2 (2) So sánh ( 1) vào ( 2) ta có điều kiện kết hợp. • Tồn tại (0, 0) ∈ X mà với mọi (k 1 , k 2 ) ∈ X thì (0, 0)(k 1 , k 2 ) = (0 + k 1 , 0 + (−1) 0 k 2 ) = (k 1 , k 2 ) và (k 1 , k 2 )(0, 0) = (k 1 + 0, k 2 + (−1) k 1 .0) = (k 1 , k 2 ) Vậy (0, 0) là đơn vị trong X. 2 • ∀(k 1 , k 2 ) ∈ X, ∃(−k 1 , (−1) k 1 +1 k 2 ) ∈ X mà (−k 1 , (−1) k 1 +1 k 2 )(k 1 , k 2 ) = (−k 1 + k 1 , (−1) k 1 +1 k 2 + (−1) −k 1 k 2 ) = (0, 0) (k 1 , k 2 )(−k 1 , (−1) k 1 +1 k 2 ) = (k 1 − k 1 , k 2 + (−1) 2k 1 +1 k 2 ) = (0, 0) tức (k 1 , k 2 ) −1 = (−k 1 , (−1) k 1 +1 k 2 ) Vậy X là một nhóm. • Nhận xét : Như vậy để kiểm tra một nhóm theo định nghĩa 1, ta đã làm theo đúng các yêu cầu của định nghĩa là kiểm tra tập X = ∅, kiểm tra phép toán cho trên X thật sự là phép toán hai ngôi (hai phần tử bất kỳ của tập hợp X phải có tích là một phần tử thuộc X!) và ba tiên đề N 1 , N 2 , N 3 . Dĩ nhiên, trong các bước đó, nếu có bước nào mà các đòi hỏi đuợc thỏa mãn một cách hiển nhiên thì ta có thể bỏ qua. Chẳng hạn ở ví dụ trên nếu xem bước 1, bước 2 là hiển nhiên thỏa mãn thì vẫn có thể chấp nhận được. Tuy nhiên trong một số trường hợp cần kiểm tra một cách cẩn trọng, tránh sự sai sót. 2. Cách 2 : Nếu sử dụng định nghĩa 2 thì trong lời giải trên chỉ cần bỏ đi hai đẳng thức kiểm tra đơn vị phải, kiểm tra nghịch đảo phải (hoặc bỏ đi hai đẳng thức kiểm tra đơn vị trái, kiểm tra nghịch đảo trái). 3. Cách 3 : (Nếu sử dụng định nghĩa 3 ) Trước hết hết ta kiểm tra X = ∅, phép toán trên X thật sự là phép toán hai ngôi, kiểm tra điều kiện kết hợp của phép toán (Điều này là như cách 1). Tiếp theo ta kiểm tra các phương trình ax = b và xa = b là có nghiệm trong X. Cho a = (a 1 , a 2 ), b = (b 1 , b 2 ) ∈ X và x = (x 1 , x 2 ). • ax = b ⇐⇒ (a 1 , a 2 )(x 1 , x 2 ) = (b 1 , b 2 ) ⇐⇒ (a 1 + x 1 , a 2 + (−1) a 1 x 2 ) = (b 1 , b 2 ) ⇐⇒  a 1 + x 1 = b 1 a 2 + (−1) a 1 x 2 = b 2 ⇐⇒  x 1 = b 1 − a 1 ∈ Z x 2 = (−1) a 1 (b 2 − a 2 ) ∈ Z Vậy phương trình ax = b có nghiệm nghĩa là x = (b 1 − a 1 , (−1) a 1 (b 2 − a 2 )) ∈ X • Tương tự : xa = b ⇐⇒ (x 1 , x 2 )(a 1 , a 2 ) = (b 1 , b 2 ) ⇐⇒ (x 1 + a 1 , x 2 + (−1) x 1 a 2 ) = (b 1 , b 2 ) ⇐⇒  x 1 + a 1 = b 1 x 2 + (−1) x 1 a 2 = b 2 ⇐⇒  x 1 = b 1 − a 1 ∈ Z x 2 = b 2 − (−1) b 1 −a 1 a 2 ∈ Z tức phương trình xa = b có nghiệm là : x = (b 1 − a 1 , b 2 − (−1) b 1 −a 1 a 2 ) ∈ X Vậy tập X với phép toán đã cho lập thành nhóm. • Nhận xét : Để tìm được phần tử đơn vị (0, 0) hay nghịch đảo (k 1 , k 2 ) −1 = (−k 1 , (−1) k 1 +1 k 2 ) ở cách 1, ta sử dụng việc giải các phương trình đưa ra ở cách 3 với b = a khi tìm đơn vị e hay với b = e = (0, 0) khi tìm a −1 . 4.2 Ví dụ 2 Cho X =  a b 0 c  : ac = 0  Chứng minh rằng X là nhóm đối với phép nhân ma trận. Giải : 3 1. Cách 1 : (Nếu sử dụng định nghĩa 1) • Hiển nhiên là X = ∅ • ∀  a 1 b 1 0 c 1  ,  a 2 b 2 0 c 2  ∈ X thì  a 1 b 1 0 c 1  a 2 b 2 0 c 2  =  a 1 a 2 b 0 c 1 c 2  ∈ X(a 1 a 2 c 1 c 2 = 0) Vậy phép nhân ma trận là phép toán hai ngôi trên X. • Theo đại số tuyến tính, phép nhân các ma trận có tính chất kết hợp. • Đơn vị là E =  1 0 0 1  ∈ X • ∀  a b 0 c  ∈ X do ac = 0 theo đại số tuyến tính ta có :  a b 0 c  −1 = 1 ac  c −b 0 a  ∈ X Vậy X là một nhóm. • Nhận xét : Trong ví dụ trên, tập các ma trận và phép nhân ma trận là các đối tượng mà chuyên ngành ĐSTT đã nghiên cứu, vì vậy để kiểm tra một số điều kiện nào đó mà bản chất là các kết quả đã biết ở chuyên ngành này, ta không cần lặp lại các kiểm tra chi tiết mà chỉ cần nhắc rằng theo chuyên ngành đó (hay kết quả nào đó) ta có được điều muốn kiểm tra. Chẳng hạn tính chất kết hợp của phép nhân ma trận, đơn vị hay nghịch đảo của một ma trận không suy biến ở ví dụ trên. Tuy nhiên trong trường hợp đơn vị hay nghịch đảo, cần phải chỉ ra, phần tử đang nói tới phải thuộc tập X đã cho. 2. Cách 2 : (nếu sử dụng định nghĩa 3) : Trước hết ta kiểm tra X = ∅, phép nhân ma trận là phép toán 2 ngôi trên X, tính kết hợp của phép nhân ma trận trên X (như đã làm ở c ách 1). Tiếp theo cho a =  a 1 a 2 0 a 3  , b =  b 1 b 2 0 b 3  ∈ X ta cần chỉ ra các phương trình ax = b và xa = b đều có nghiệm trong X. Gọi x =  x 1 x 2 0 x 3  . • ax = b ⇐⇒  a 1 a 2 0 a 3  x 1 x 2 0 x 3  =  b 1 b 2 0 b 3  ⇐⇒  a 1 x 1 a 1 x 2 + a 2 x 3 0 a 3 x 3  =  b 1 b 2 0 b 3  ⇐⇒    a 1 x 1 = b 1 a 3 x 3 = b 3 a 1 x 2 +a 2 x 3 = b 2 ⇐⇒              x 1 = b 1 a 1 (a 1 = 0) x 3 = b 3 a 3 (a 3 = 0) x 2 = b 2 a 3 − a 2 b 3 a 1 a 3 (a 1 a 3 = 0) 4 Vậy nghiệm x =    b 1 a 1 b 2 a 3 − a 2 b 3 a 1 a 3 0 b 3 a 3    ∈ X • Tương tự chứng minh phương trình xa = b có nghiệm. Vậy X là nhóm. • Nhận xét : Thật ra cách 2 này khá dài dòng, chúng tôi đưa ra nhằm để các bạn làm quen nhiều hơn với định nghĩa 3, và muốn khẳng định điều rằng, mỗi bài toán đều có thể có nhiều lời giải khác nhau nếu ta ta biết huy động và vận dụng kiến thức đã biết một cách hợp lý, năng động. 4.3 Ví dụ 3 Cho tập số M = {−1, 1}. Chứng minh rằng M lập thành nhóm với phép nhân thông thường các số. Giải : 1. Cách 1 : • Hiển nhiên M = ∅ • Xét bảng nhân của M :  · -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 Kết quả của một tích bất kỳ ha i phần tử của M lại thuộc M nên phép nhân các số trên M là phép toán 2 ngôi. • Phép nhân các số (nói riêng trên M) có tính kết hợp. • Đơn vị là 1 ∈ M • Dễ thấy nếu x ∈ M thì x −1 = x ∈ M Vậy M là nhóm 2. Cách 2 : Ta biểu diễn M dưới dạng sau : M = {x ∈ R : |x| = 1} • Hiển nhiên M = ∅ • ∀x, y ∈ M thì |x| = |y| = 1 nên |xy| = |x|.|y| = 1, do đó xy ∈ M , tức phép nhân các số trên M là phép toán hai ngôi. • Phép nhân các số có tính chất kết hợp • Đơn vị là 1 ∈ M • ∀x ∈ M thì |x| = 1 nên |x −1 | = 1 |x| = 1 do đó x −1 ∈ M Vậy M là nhóm. 3. Cách 3 : Ta biểu diễn M = {x ∈ R : x 2 = 1} hay M = {(−1) n : n ∈ Z} và tiến hành kiểm tra các điều kiện như trên. 4. Cách 4 : Các bạn có thể sử dụng định nghĩa 3 với lưu ý là : 1.M = M = M.1 (−1).M = M = M.(−1) 5 • Nhận xét : Mỗi tập hợp có thể được biểu diễn dưới các dạng khác nhau. Và với mỗi cách biểu diễn, chúng ta có thể có những cách xử lý khác nhau để có được các lời giải không giống nhau. Ví dụ này muốn các bạn khi nhìn nhận một vấn đề phải biết xem xét ở những góc độ khác nhau để thấy được các cách tiếp cận khác nhau giải quyết vấn đề đó. 4.4 Ví dụ 4 Chứng minh rằng một nửa nhóm hữu hạn X có luật giản ước hai phía là nhóm. Giải : 1. Cách 1 : (Nếu sử dụng định nghĩa 3). Điều kiện về các phương trình ax = b và xa = b giải được trong X của định nghĩa 3 là tương đương với đòi hỏi aX = X = Xa, ∀a ∈ X. Gải sử rằng X = {x 1 , x 2 , , x n }. Khi đó ∀a ∈ X thì aX = {ax 1 , ax 2 , , ax n } ⊂ X đồng thời do X có luật giản ước nên n tích trong aX là đôi một khác nhau (nếu ax i = ax j thì x i = x j ) nên |aX| = |X| suy ra aX = X. Một cách tương tự có thể chứng minh Xa = X. Vậy X là nhóm. 2. Cách 2 : Các bạn có thể sử dụng định nghĩa 1 (hay định nghĩa 2 với chú ý rằng do X = ∅ nên ∃a ∈ X và do X hữu hạn nên có m > n > 0 và a m = a n . Đơn vị của X khi đó là e = a m−n (hãy tự chứng minh). Với mọi x ∈ X, ắt tồn tại k > l > 0 mà x k = x l và x −1 = x k−l−1 (hãy tự chứng minh). Lưu ý trong chứng minh luôn luôn có ý thức sử dụng luật giản ước. • Nhận xét : Đây là một ví dụ tương đối khó. Việc sử dụng dạng tương đương cho sự tồn tại nghiệm các phương trình ax = b, xa = b là hoàn toàn có quyền chấp nhận, không cần phải chứng minh. Thật ra đó là dạng phát biểu khác của các điều kiện trên theo ngôn ngữ tập hợp. Cách thứ 2 chúng tôi chỉ đưa ra các cách tìm đơn vị và nghịch đảo, việc hoàn thiện chứng minh dành cho độc giả để tự khám phá lấy chính mình, thử khơi dậy bản năng khéo léo của mình. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Cho X = Z × Z = {(k 1 , k 2 ) : k 1 , k 2 ∈ Z} Trên X xác định phép toán sau : (k 1 , k 2 )(l 1 , l 2 ) = (k 1 + (−1) k 2 l 1 , k 2 + l 2 ) Chứng minh X với phép toán trên là nhóm. 2. Cho X =  a 0 b c  : ac = 0  . Chứng minh X với phép nhân ma trận lập thành một nhóm. Nhóm X có giao hoán không? 3. Cho tập các số phức D = {1, i, −1, −i}. Chứng minh rằng D là nhóm với phép nhân thông thường các số. 4. Cho tập X = ∅ và Φ(X) là tập các song ánh của X lên X. Chứng minh Φ(X) là nhóm đối với phép nhân ánh xạ. 6 5. Cho M n ∗ là tập hợp các ma trận cấp n không suy biến. Chứng minh M n ∗ là nhóm với phép nhân ma trận. 6. Ta gọi ma trận vuông A = (a ij ) cấp n có dạng tam g iác nếu a ij = 0 khi i > j. Chứng minh rằng tập các ma trận vuông cấp n không suy biến có dạng tam giác lập thành nhóm với phép nhân ma trận. 7 ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 28 tháng 10 năm 2004 Các bài tập kiểm tra nhóm con Một dạng khác của kỹ năng kiểm tra nhóm là kỹ năng kiểm tra nhóm con. Muốn kiểm tra nhóm con ta cần nắm vững ba tiêu chuẩn thông thường về nhóm con như sau. 1 Tiêu chuẩn 1 Một tập con A = ∅ trong nhóm X là nhóm con của X (viết A ⊂ n X hoặc A  X) nếu • ∀x, y ∈ A thì xy ∈ A; • e ∈ A; • ∀x ∈ A thì x −1 ∈ A. Ví dụ 1: Chứng minh rằng M 1 n =  A : det A = 1  (gồm các ma trận vuông cấp n, định thức bằng 1) là nhóm con của nhóm M ∗ n (nhóm nhân các ma trận cấp n không suy biến) Bài giải: Ta chứng minh M 1 n ⊂ n M ∗ n theo tiêu chuẩn 1. Trước hết hiển nhiên M 1 n = ∅, đồng thời ta có • ∀X, Y ∈ M 1 n thì det X = det Y = 1 do đó det X.Y = det X. det Y = 1.1 = 1 nghĩa là X.Y ∈ M 1 n . • Ma trận đơn vị E ∈ M 1 n (vì det E = 1). • ∀X ∈ M 1 n thì det X = 1 nên det X −1 = 1 det X = 1, do đó X −1 ∈ M 1 n . Vậy M 1 n thỏa cả ba điều kiện của tiêu chuẩn 1 nên M 1 n ⊂ n M ∗ n . 1 2 Tiêu chuẩn 2 Được suy ra từ tiêu chuẩn 1 nhưng bỏ đi đòi hỏi e ∈ A (vì đòi hỏi này chỉ là hệ quả của hai đòi hỏi còn lại). Như vậy, nếu áp dụng tiêu chuẩn 2 để xử lí Ví dụ 1 thì trong lời giải ta loại bỏ đòi hỏi E ∈ M 1 n . Ví dụ 2: Cho trước số nguyên m. Chứng minh rằng mZ = {mz : z ∈ Z} ⊂ n (Z, +) Bài giải: Ta kiểm tra mZ ⊂ n (Z, +) theo tiêu chuẩn 2. Trước hết, hiển nhiên mZ = ∅ và ta có: • ∀mz 1 , mz 2 ∈ mZ : mz 1 + mz 2 = m(z 1 + z 2 ) ∈ mZ. • ∀mz ∈ mZ : −(mz) = m(−z) ∈ mZ. Vậy mZ thỏa cả hai đòi hỏi của tiêu chuẩn 2 nên mZ ⊂ n (Z, +). Nhận xét: Thông thường trong lý thuyết ta ngầm định phép toá n trong nhóm là nhân và ký hiệu phần tử nghịch đảo là (·) −1 . Tuy nhiên khi phép toán trong nhóm là cộng thì tất cả cá c dấu nhân trong các biểu thức đều đổi sang dấu cộng và phần tử nghịch đảo đổi thành phần tử đối và viết là −(·). 3 Tiêu chuẩn 3 Một tập hợp con A = ∅ trong nhóm X là nhóm con của X nếu ∀x, y ∈ A thì xy −1 ∈ A. Nếu áp dụng tiêu chuẩn 3 này để xử lý Ví dụ 1 ta chỉ cần kiểm tra: ∀X, Y ∈ M 1 n ⇒ det X = det Y = 1 ⇒ det(XY −1 ) = det X det Y = 1 1 = 1 ⇒ XY −1 ∈ M 1 n Nếu áp dụng tiêu chuẩn 3 cho ví dụ 2, ta chỉ cần kiểm tra ∀mz 1 , mz 2 ∈ mZ ⇒ mz 1 − mz 2 = m(z 1 − z 2 ) ∈ mZ Nhận xét: Trong ba tiêu chuẩn nêu trên, các lời giải sử dụng tiêu chuẩn 3 có vẻ ngắn gọn hơn cả. Tuy nhiên nếu trong lời giải bắt buộc phải tính phần tử nghịch đảo thì để tránh sự rườm rà ta nên dùng tiêu chuẩn 2 vì thực chất việc dùng tiêu chuẩn 3 lúc đó các bước tính toán cũng dài ngang với dùng tiêu chuẩn 2. Ví dụ 3: Cho tập hợp các ma trận cấp hai K =  a b 0 1  : a = 0  Chứng minh K ⊂ n M ∗ 2 (M ∗ 2 là nhóm nhân các ma trận cấp hai không suy biến). Bài giải: (Vì nếu dùng tiêu chuẩn 3, ta cũng phải tính trước các phần tử nghịch đảo, do vậy ta dùng tiêu chuẩn 2) Trước hết K = ∅ (hiển nhiên). Và đồng thời: 2 • ∀  a b 0 1  ,  c d 0 1  ∈ K ta có: a = 0, b = 0 nên  a b 0 1  c d 0 1  =  ac ad + b 0 1  ∈ K vì ac = 0 • ∀  a b 0 1  ∈ K thì  a b 0 1  −1 =  1/a −b/a 0 1  ∈ K vì 1 a = 0. Vậy theo tiêu chuẩn 2: K ⊂ n M ∗ 2 Đến đây, chúng tôi đã cùng độc giả ôn lại ba tiêu chuẩn thông dụng để kiểm tra một tập hợp A = ∅ trong nhóm X cho trước có là nhóm con của nhóm X không? Tùy theo từng bài tập cụ thể mà chúng ta lựa chọn hợp lý một trong các tiêu chuẩn đó để áp dụng giải quyết bài tập đã cho. Khi đặt vấn đề ở đầu mục chúng tôi có nói rằng kỹ năng kiểm tra nhóm con là một dạng khác của kiểm tra nhóm. Nguyên do phần lớn các bài tập về kiểm tra nhóm, tập A đã cho cùng với phép toán chỉ là bộ phận của một trong những nhóm khá quen biết và do vậy thay vì kiểm tra nhóm theo định nghĩa ta chỉ cần kiểm tra theo tiêu chuẩn nhóm con đương nhiên là đơn giản hơn. Ví dụ 4: Cho X là tập hợp tất cả các căn phức bậc n của đơn vị. Chứng minh rằng X cùng với phép nhân thông thường các số phức lập thành nhóm. Bài giải: Hiển nhiên X = ∅ cùng với phép toán nhân trên nó chỉ là một bộ phận của nhóm nhân C ∗ các số phức khác 0. Vậy để chứng minh X là nhóm ta cần kiểm tra rằng X ⊂ n (C ∗ , .). Ta biểu diễn X =  z ∈ C : z n = 1  và áp dụng tiêu chuẩn 3: ∀z 1 , z 2 ∈ X ⇒ z n 1 = z n 2 = 1 ⇒ (z 1 .z −1 2 ) n = z n 1 z n 2 = 1 1 = 1 ⇒ z 1 .z −1 2 ∈ X Vậy X ⊂ n (C ∗ ), tức là X là nhóm. Nhận xét: Mỗi tập hợp X cho trước có thể có một số cách biểu diễn khác nhau, tương đương nhau và do vậy có thể cho chúng ta những lời giải khác nhau. Chẳng hạn trong Ví dụ 4, ta còn có thể biểu diễn: X = {z = cos 2kπ n + i sin 2kπ n : k ∈ Z} nhờ vào công thức lấy căn phức bậc n của đơn vị. Khi đó lời giải dựa theo sự biểu diễn mới này là: ∀z 1 = cos 2k 1 π n + i sin 2k 1 π n , z 2 = cos 2k 2 π n + i sin 2k 2 π n ∈ X thì z 1 z −1 2 = cos 2(k 1 − k 2 )π n + i sin 2(k 1 − k 2 )π n ∈ X (Dĩ nhiên nếu độc giả có biết dạng Ơle của một số phức thì lời giải trên đây sẽ còn được viết ngắn gọn hơn!) 3 [...]... các số thực Q( 2) = a + b 2 : a, b ∈ Q, a2 + b2 = 0 Chứng minh Q( 2) là nhóm với phép nhân các số thực √ √ √ 4 Cho Q( −2) = {a + b −2 : a, b ∈ Q} Chứng minh rằng Q( −2) là nhóm với phép cộng các số phức 5 Chứng minh rằng tập hợp các số phức có môđun bằng một, là nhóm với phép nhân các số phức ∞ 6 Gọi Xn là tập hợp các căn phức bậc n của đơn vị Chứng minh X = Xn là nhóm với n: 2 phép nhân số phức 4 ĐẠI... qj , dj là các nhân tử nguyên tố, thì α1 α2 cũng là phân số tối giản và ta d1 d2 dαh h phải có: s s q11 n qt t n = pn1 pnk =(tử số phân số tối giản a) 1 k α1 n m d1 dαh n = c1 1 cml =(mẫu số phân số tối giảng a) h l Tuy nhiên các đẳng thức này không thể xảy ra vì số mũ lũy thừa của các√ nhân tử nguyên tố vế n trái luôn lớn hơn hẳn số mũ lũy thừa các nhân tử nguyên tố vế phải Vậy a ∈ Q∗... minh rằng nếu a = 1 thì tồn tại một số nguyên √ / n > 0 mà n a ∈ Q∗ Nếu a = 1, ta phân tích tử số và mẫu số của a dưới dạng các nhân tử nguyên tố và được, chẳng hạn: pn1 pn2 pnk 1 2 k a = m1 m2 c1 c2 cml l với các pi , ci là các số nguyên tố khác nhau (ta giả√ thiết phân số là tối giản!) n Đặt n = max{n1 , , nk , m1 , , ml } khi đó nếu a ∈ Q∗ là một phân số tối giản có dạng: √ n a= s s s... tồn tại đúng một nhóm con A cấp k 6 Cho X là nhóm cyclic Tìm số tất cả các phần tử sinh của X nếu: Cấp X = ∞ a) Cấp X = n b) 7 Cho X là nhóm con đơn, tức X chỉ có duy nhất hai nhóm con là {e} và X Chứng minh X là nhóm cyclic hữu hạn và cấp X = p là số nguyên tố 3 ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 23 tháng 11 năm 2004 Bài 4 Các Bài Toán Kiểm Tra... nhất một đồng cấu tầm thường 6 Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm cộng các số hữu tỉ (Q, +) tới nhóm cộng các số nguyên (Z, +) 7 Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm cyclic cấp 6 tới nhóm S3 _nhóm các phép thế bậc 3 1 1 Đánh máy: Nguyễn Ngọc Quyên Ngày 5/12/2004 5 ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 30 tháng 12 năm 2004 Bài 6 Các Bài Tập Về Nhóm Đẳng Cấu Theo... cho f (x) = ax , ∀x ∈ R 5 ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 31 tháng 1 năm 2005 Bài 7 Các Bài Toán Xác Định Tính Chất Và Mô Tả Cấu Trúc Của Một Nhóm Các bài toán dạng này thường có nội dung sau: Cho nhóm X thỏa mãn một số điều kiện cho trước nào đó, kết luận của bài toán yêu cầu chỉ ra rằng, khi đó nhóm X cũng thỏa mãn một số tính chất xác định Ví... nhau 6 Môt tả cấu trúc các nhóm cấp 9 không đẳng cấu với nhau 4 ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 18 tháng 3 năm 2005 Bài 8 Các Bài Toán Kiểm Tra Vành Và Vành Con Cũng như kỹ năng kiểm tra nhóm, kỹ năng kiểm tra vành là một trong những kỹ năng cơ bản luôn có mặt trong các đề thi đại số cơ sở Trên cơ sở kế thừa các tri thức về nhóm ta có thể định... bên nhóm nếu như một đòi hỏi nào đó trong định nghĩa vành (chẳng hạn tính chất kết hợp của phép nhân ) nếu đã được đảm bảo bởi kết quả của một chuyên ngành nào đó (chẳng hạn đại số tuyến tính, số học, ) thì ta cũng chỉ cần nói lại rằng điều đó đã có theo chuyên ngành đó mà không cần viết biểu thức kiểm tra chi tiết Ta nhận xét rằng phép cộng trong vành đã có đủ các tính chất thông dụng : kết hợp, giao... của nhóm con là số phần tử của nhóm đó, khi nhóm là hữu hạn; còn nếu nhóm con có số phần tử là vô hạn thì cấp của nó là ∞!) Để tính cấp của phần tử a ∈ X, thông thường ta sử dụng một kết quả tiện dụng hơn sau đây: "Cấp của phần tử a (trong trường hợp hữu hạn) là số nguyên dương n bé nhất mà an = e." Khái niệm bé nhất trong mệnh đề trên hiểu theo nghĩa so sánh về giá trị lớn bé của các số, tuy nhiên nó... X là nhóm con chuẩn tắc của X nếu với mọi x ∈ X thì xA = Ax” Hiển nhiên là định nghĩa mới này hoàn toàn tương đương với định nghĩa ban đầu, độc giả có thể xem các chứng minh trong các tài liệu về đại số đại cương, ở đây ta chỉ nhắc lại để sử dụng Ví dụ 4 Cho nhóm X và các nhóm con chuẩn tắc của X là A, B Chứng minh AB = BA và AB X GIẢI: Ta có AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B} = {ab : b ∈ B} = a∈A BA Để chứng . ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) TS Trần Huyên Ngày 11 tháng 10 năm 2004 Mở Đầu Độc giả thân mến, các bạn đang tham gia chuyên đề " ;Đại số cơ sở" của Khoa Toán - Tin ĐH SP Tp. HCM. Chuyên đề. Chứng minh X = ∞  n : 2 X n là nhóm với phép nhân số phức. 4 ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 19 tháng 11 năm 2004 Bài 3. Các Dạng Toán. Chứng minh X là nhóm cyclic hữu hạn và cấp X = p là số nguyên tố. 3 ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 23 tháng 11 năm 2004 Bài 4. Các Bài Toán