CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN VIII QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN C H Ư Ơ N BÀI 4: KHOẢNG CÁCH LÝ THUYẾT I = = KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG = Định nghĩa I a H M MH Nếu hình chiếu vng góc điểm đường thẳng độ dại đoạn d  M ,a d  M , a  MH gọi khoảng cách từ M đến đường thẳng a , kí hiệu Vậy P Nếu H hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng   độ dại đoạn MH d M , P  d M ,  P   MH P gọi khoảng cách từ M đến mặt phẳng   , kí hiệu  Vậy  KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Định nghĩa Khoảng cách hai đường thẳng song song a b khoảng cách từ điểm d  a, b  a đến b , kí hiệu Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng  P song song với a khoảng cách từ  P  , kí hiệu d  a,  P   điểm a đến  P   Q  khoảng cách từ điểm Khoảng cách hai mặt phẳng song song  P đến  Q  , kí hiệu d   P  ,  Q   Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng d  O,   OH Khoảng cách từ điểm đến mặt d  O,     OH phẳng Khoảng cách từ đường thẳng đến d  ,     d  M ,     mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng d     ;     d  M ;     song song M     d  a, b  MN Khoảng cách hai đường thẳng chéo Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN II HỆ THỐNG BÀI TẬ P TỰ LUẬN = = = KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG DẠNG I PHƯƠNG PHÁP = = = Bài tốn: Xác định khoảng cách từ điểm O Ví dụ Khối chóp I  P đến mặt phẳng S ABC có đáy tam giác vng cân B   Bước Xác định hình chiếu H O  P  chứa O vng góc +) Dựng mặt phẳng với AB a, SA   ABC  Góc  ABC  cạnh bên SB mặt phẳng 60O Tính khoảng cách từ A đến  SBC    Hướng dẫn giải     P     +) Tìm giao tuyến OH    H    +) Kẻ Khi Ta có d  O;     OH Bước Tính OH Lưu ý: Tính chất tứ diện vng Giả sử OABC tứ diện vuông O  OA  OB; OB  OC ; OC  OA  H hình  ABC  chiếu O mặt phẳng 1 1  2  2 OA OB OC Khi ta có OH AH  SB; AH  BC  AH   SBC   AH d  A  SBC   Tam giác SAB vuông A nên 1 a  2  AH  2 AH SA AB 2 = = = Câu 1: I BÀI TẬP Cho hình lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình chữ nhật với AD a Tam giác A ' AC vuông cân A’ thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết A ' A a Tính khoảng cách từ D’ đến mặt phẳng  A ' ACC '  Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Trong Vì  A ' AC  , kẻ A ' I  AC  A ' AC    ABCD   A ' AC    ABCD   AC nên A ' I   ABCD  DD '   A ' ACC '  d  D ',  A ' AC   d  D,  A ' AC   Vì DD ' AA ' nên Kẻ DH  AC Ta có AC  A ' A 2a  CD a Suy Câu 2: d  D,  A ' AC   DH  a  ABC  , ABC tam giác cạnh Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  SAB  bằng a, SA 2a Khoảng cách từ C đến mặt phẳng Lời giải Do SA   ABC    SAB    ABC  Dựng CN  AB  CN   SAB   d  C ;  SAB   CN Do ABC cạnh a nên Vậy d  C ;  SAB    CN  a a Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu 3:  ABC  , ABC tam giác cạnh Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  SAB  bằng a, SA 2a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách từ M đến mặt phẳng Lời giải Do SA   ABC    SAB    ABC  Dựng CN  AB  CN   SAB   d  C ;  SAB   CN Do ABC cạnh a nên CN  a Do M trung điểm BC nên a d  M ;  SAB    d  C ;  SAB    Câu 4: S ABCD Cho hình chóp có đáy ABCD hình thang, ABC BAD  90o , BA BC a; AD 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy Góc tạo SC  SAD  o  SCD  bằng 30 Khoảng cách từ A đến Lời giải Gọi E trung điểm AD Khi ABCE hình vng cạnh a Suy CE  AD Lại có CE  SA Do  CE   SAD   CSE SC ,  SAD   30o Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN o Lại có: SC.sin 30 CE a  SC 2a ABC vuông cân B nên AC a 2 Ta có SA  SC  AC a CE  AD Do nên ACD vuông C  AC  CD Dựng AF  SC Ta có: Câu 5: d  A,  SCD    AF  SA.SC a 2.a  a SC 2a  ABC  , ABC tam giác cạnh Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  SBC  bằng a, SA 2a Gọi G trọng tâm ABC Khoảng cách từ G đến mặt phẳng Lời giải Gọi M trung điểm BC, H hình chiếu vng góc A trêm SM  BC  AM  BC   SAM    SBC    SAM   BC  SA  Ta có:  AH   SBC   d  A;  SBC    AH Xét SAM vng A có 1 a 57  2  AH  2 AH AS AM GM  Do G trọng tâm ABC nên MA 57 a d  G;  SBC    d  A;  SBC    18 Suy Câu 6:  o Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành với BC a 2, ABC 60 Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng  SAB  Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Dựng SH  AB Do  SAB    ABCD  nên SH   ABCD  CK   SAB  Dựng CK  AB Vì CK  SH nên d D,  SAB   d  C ,  SAB   CK Do CD AB nên  BC sin 60o a Câu 7: a  2  ABC  , ABC tam giác vuông Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  SAB  B, BC 2a Khoảng cách từ C đến mặt phẳng Lời giải Do SA   ABC  Mặt khác Suy Câu 8: nên  SAB    ABC  BC  AB  BC   SAB  d  C;  SAB   CB 2a  ABC  , ABC tam giác vuông Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  45o Khoảng B, AB a, BC 2a Biết góc đường thẳng SB mặt phẳng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Do SA   ABC  nên AB hình chiếu vng góc SB  45o  ABC    SB;  ABC   SBA Vậy SAB vuông cân A  SA  AB a Dựng AH  SB , ta có:  SAB    SBC   AH   SBC   d  A;  SBC    AH Xét SAB vuông A nên 1 a  2  AH  2 AH AS AB Câu 9:  ABC  , ABC tam giác vng Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng B, AB a, BC 2a, SA a Gọi G trọng tâm tam giác SAB Khoảng cách từ G đến mặt phẳng  SAC  Lời giải Do SA   ABC  Trong mặt phẳng Ta có nên  SAC   ABC   ABC  , dựng BH   SAC  Suy BH  AC d  B;  SAC   BH Xét ABC vuông B nên Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 1 5a  2  BH  2 BH BA BC NG  Do G trọng tâm SAB nên NB 5a d  G;  SBC    d  A;  SBC    15 Suy Câu 10: Cho tứ diện ABCD, biết khoảng cách A đến mặt phẳng giác ABC  BCD  a Diện tích tam Lời giải Gọi M trung điểm CD H hình chiếu vng góc A BM Áp dụng kết câu 11, ta có d  A;  BCD    AH H trọng tâm BCD 2 Xét ABH vuông H: AH  AB  BH 2   AH  AB   AB  3  2 2  6a  AB  AB 3a Vậy S ABC  3a  3a   4  ABCD  , ABCD hình vng cạnh Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng a Biết góc đường thẳng SB mặt phẳng phẳng  SCD   ABCD  o 60 Khoảng cách từ B đến mặt Lời giải Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Dựng AB  b b AB đoạn vng góc chung a b BÀI TẬP = = Câu= 22: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a; cạnh bên SA vng góc với o I đáy; SC hợp với đáy góc 45 Tính khoảng cách hai dường thẳng SC BD Lời giải Ta có: AC hình chiếu vng góc SC lên  ABCD   45 SC ,  ABCD   SCA o Suy  BD  AC  BD  SC  BD  SA  Lại có: Gọi  O  AC  BD Dựng OH  SC H OH  SC  Ta có: OH  BD Suy OH la đoạn vng góc chung BD SC Suy d  BD, SC  OH Xét tam giác OHC vng H có: OH OC sin 45o  2a a  2 Page 19 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu 23: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng  SBC  vng góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA, BC Lời giải AH  AB a a  , SH  2 Kẻ AH  BC  1 Vì SA   ABC  , BC   ABC   SA  BC   Từ  1  2 Ta có suy BC   SHA   SAH  , kẻ HK  SA  K  SA Suy HK đoạn vng góc chung hai đường Trong thẳng chéo SA BC 1 16 a  2   HK  2 HS HA 3a Xét tam giác SHA vuông H có HK Vậy d  SA, BC   a BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU A VÀ B KHÔNG VUÔNG GÓC = = = I PHƯƠNG PHÁP Cách Dựng mặt phẳng   chưa b song song với a Chọn điểm M thích hợp a, dựng MH     Qua H, dựng đường thẳng a '/ / a , cắt b tại H B Page 20 Sưu tầm biên soạn