Trường THCS Hồng Dương ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Năm học: 2013-2014 Thời gian : 120 phút Bài (6 điểm) y2  y   a) Giải phương trình: b) Giải bất phương trình: x  2x  1 1    0 x  x  x  x  12 x  x  20 x  11x  30 Bài (5 điểm) 2.1 ) Cho đa thức P( x) 6 x  x  16 x  m a) Tìm m để P( x) chia hết cho x  b) Với m vừa tìm câu a, tìm số dư chia P( x) cho x  phân tích thừa số bậc 2.2) Cho đa thức P( x) x  ax  bx  cx  dx  e Biết P (1) 1; P(2) 4; P(3) 16; P(5) 25 Tính P (6); P (7)? Bài (2 điểm) Cho a, b, c   0;1 a  b  c 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P a  b  c Bài (7 điểm) Cho hình bình hành ABCD  AC  BD  Gọi E, F hình chiếu B, D lên AC; H, K hình chiếu C AB AC a) Tứ giác DFBE hình ? Vì ? b) Chứng minh: CHK BCA c) Chứng minh: AC  AB AH  AD AK ĐÁP ÁN Bài a)   y  y  3  x  x   6 x  2x  2    y  1     x  1  3 6     y2  y   2 2 2 2 2 0;  y  1 0   x  1  y  1   y  1   x  1  6   x  1  y  1   y  1   x  1 0 Vì  x  1  x  0    y     x    y 1 1 1    0 x  x  x  x  12 x  x  20 x  11x  30 1 1     0  x 1;2;3;4;5;6   x    x  3  x  3  x    x    x    x    x   b) 1 1 1 1        0 x x x x x x x x 1 4   0  0   x    x    x x  x  2  x  6   x   x    x     x  20 60 2  x 6  20  x  60 Kết hợp với điều kiện ta có  x  x 3;4;5 Bài 2.1) 3 2 a) P( x) 6 x  x  16 x  m 6 x  x  16 x  24 x  x  12  m  12 3 x  x  3  x  x  3   x  3  m  12  x  3  x  x    m  12 Để P ( x ) x  3 m  12 0  m 12 3 2 b) Với m 12; P( x) 6 x  x  16 x  12 6 x  x  x  x  18 x  12 2 x  3x    x  x     x    x    x  x   Phân tích P( x) tích thừa số bậc nhất: P ( x ) 6 x  x  16 x  12  x    3x    x   2.2 ) Vì P (1) 1; P (2) 4; P(3) 9; P (4) 16; P (5) 25 2 Mà P ( x) x  ax  bx  cx  dx  e  P ( x)  x  1  x    x    x    x    x  P(6) 5.4.3.2.1  62 156  P(7) 6.5.4.3.2  769 Bài Vì a, b, c   0;1    a    b    c  0 Ta có:   a    b    c  1   a  b  c    ab  bc  ac   abc  Vi a  b  c 2     ab  bc  ac   abc 0  ab  bc  ac abc  1(Vi abc 0)    ab  bc  ac   Lại có:  a  b  c  a  b  c   ab  bc  ac   P a  b  c  a  b  c    ab  bc  ac  4   ab  bc  ac  4  2 Vậy Pmax 2   a, b, c  hoán vị  0;1;1 Bài A H B F E D C K a) DF / / BE (vì vng góc với AC) AFD CEB (Cạnh huyền – góc nhọn)  DF BE  DFBE hình bình hành  b) BC / / AK  BCK 90 ABC 900  BCH  (góc ngồi CHB)    HCK 900  BCH  ABC HCK    Có: CKD  ACD  DAC (góc ngồi DKC )        HBC BAC  BCA mà BCA DAC ; BAC DCA CD CK AB CK  CKD CBH      CHK BCA  c.g c  BC CH BC CH AB AE AEB AHC    AE AC  AB AH  1 AC AH c) AF AD   AF AC  AD AK   AK AC Cộng (1) (2) vế theo vế ta có: AE AC  AF AC  AB AH  AD AK (3) AFD AKC  Mà AFD CEB  cmt   AF CE  3  AC. AE  EC   AB AH  AD.AK  AC  AB.AH  AD.AK