1 XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT u  3un  xác định u1 1 n 1 với n 1 u  a) Xác định số hạng tổng quát dãy số n Bài Cho dãy số  un  2 2 b) Tính tổng S u1  u2  u3   u2011 Hướng dẫn giải * a) Dễ thấy un  0, n  N Từ un 1  3un2   un21 3un2  v 3vn   1  3   1 Đặt un có: n 1 x  Đặt xn vn  ta có: xn 1 3 xn Từ suy n cấp số nhân với x1 2 , công bội n n n Nên: xn 2.3  2.3   un  2.3  2010 b) S 2.3  2.3  2.3   2.3  2011 2  30  31  32   32010   2011   32011  1 3  2011 32011  2012  un  n xác định u1 1 un 1 un  với n 1 n a) Chứng minh rằng: un 2  Bài Cho dãy số b) Tính tổng S u1  u2  u3   un theo n Hướng dẫn giải a) Khi n 1 : u2 u1  1  2  k Giả sử uk 2  với k 1, k  N k 1 Ta chứng minh: uk 1 2  k k k k 1 Thật vậy: uk 1 uk  2   2  b) S 2 S  21  1   22  1    2n  1 21  2   n  n 2n   n 2n 1  n  2 u1    un   un 1   (  1)un Bài Cho dãy số(un) xác định sau:  (n 1, n  ) a) Chứng minh: tan   21 b) Tính: u2015 Hướng dẫn giải  tan      tan tan      8   tan   tan   tan   0 8 a) Ta có:    tan      tan     tan    tan  8 dương) (Vì    tan(a  )  tan  tan(a  ) u  8 tan(a   ) u2     8  tan a.tan  tan tan( a  ) u   tan a 8 b) Đặt , ta có: , tan a  tan  un tan(a  (n  1) ), n 1, n   Ta chứng minh: (*) Với n 1 : u1 tan a  uk tan( a  ( k  1) ) Giả sử (*) với n k , k 1 , hay ta có:   tan(a  (k  1) )  tan u  21 8 tan(a  k  ) uk 1  k   (  1)uk  tan(a  (k  1)  ).tan  8 Ta có:  un tan(a  (n  1) ), n 1, n   Vậy (*) với n k  Vậy Cho n 2015 , ta có: tan(a   3 3 u2015 tan( a  2014 ) tan( a   251 ) tan(a  ) 4  21  ) (  1) tan 1 Bài Cho dãy số thực  un  u1 1  u2  u 2u  u * n 1 n (n  N ) với  n 2 * a) Chứng minh un 3  2n với n  N b) Tính tổng S u1  u2   u2012 Hướng dẫn giải a) Dùng phương pháp qui nạp u1 1 3  2.1 , u2 3  2.2   k 3 Giả sử uk 3  2k Ta có: uk 1 2uk  uk  2(3  2k )  (3  2(k  1)) 1  2k 3  2(k  1) * Vậy un 3  2n với n  N b) S (3  2.1)  (3  2.2)   (3  2.2012) 3.2012  2(1    2012) 6036  2013.2012  4044120 Bài Cho dãy số   v1 8  (n  N * ) v2 34 v 8v  1996v n 1 n với  n 2 Tìm số dư chia v2013 cho 2011 Hướng dẫn giải Xét dãy số Ta có  un  u1 8  (n  N * ) u2 34 u 8u  15u n 1 n với  n2 un  mod 2011 * với n  N Xét phương trình đặc trưng: t  8t  15 0 Phương trình có nghiệm t 5, t 3  un  5 A  3B 8  có dạng un  A.5  B.3 Vì u1 5, u2 13 nên  25 A  B 34 Ta có: A B 1 n n n n Ta có: un 5  Ta có 2011 số nguyên tố Theo định lý Fecma ta có: 32010 1 mod 2011 52013 125  mod 2011 32013 27  mod 2011 Suy , Vậy chia u2013 cho 2011 ta số dư 152 Suy chia v2013 cho 2011 ta số dư 152 2010 1 mod 2011 u1 1  un  :  n * 3  2un 1  un  2, (n   ) Bài Cho dãy số a) Chứng minh dãy số  un  dãy số giảm b) Lập công thức số hạng tổng quát dãy số  un  Hướng dẫn giải a) Chứng minh dãy số Ta có: un 1   un  dãy số giảm un  * 3n ; Chứng minh: un 1  un n   phương pháp quy nạp u1 1    u2  u1 u2   Ta có:  Giả sử: uk 1  uk ; k   k  Chứng minh: uk 2  uk 1 Ta có: uk   uk 1 u u 1  k 1  k  k 1  k  k uk 1 * 3 Vậy un 1  un n   b) Lập công thức số hạng tổng quát dãy số  un  3n (2un 1  un ) 2  3n 1.un 1  3n.un  Ta có: n Đặt 3 un  , ta được: 3 1   (vn  6)   1  2 v1 9  (vn ) :  3 * q vn 1  , ( n   ) Ta được: cấp số nhân có cơng bội  3 v1    2 Suy ra: Vậy un  n  3 9    2 n   1 6  n  n  n 2  Bài Tìm số hạng tổng quát dãy  xn  biết rằng:  x0 1; x1 5; x2 125  2  xn 2 xn xn  3  xn 1  xn   10 xn 1  xn  ( n  N * ) Hướng dẫn giải Từ đề ta có: xn  với n  N xn 2 3xn 1 10 xn   x x xn  với n  N * n  n Ta có: Đặt yn  xn xn  ta yn 2  yn 1  10 yn 0 với n  N * Vì phương trình đặc trưng dãy  yn  có hai nghiệm phân biệt n N* x1   y1  x 5    y  x2 25  x1 Với ta có n n  B 1  n  A 0 Suy yn 5 với n  N * n Ta có xn 5 xn  5 5.x0 5 Kết hợp với x0 1 , ta suy xn 5 n ( n  1)  1 n2 n 5 n2 n * với n  N với n  N  u    un  :  7u  un 1  n , n  * 2un   Bài Cho dãy số a) Chứng minh dãy số  un  dãy số giảm b) Lập công thức tổng quát dãy số  un  Hướng dẫn giải a) Chứng minh dãy số  un  dãy số giảm 19 u1  ; u2   u1  u 2 Ta có: Giả sử: uk  uk 1 với k >1 Cần chứng minh: uk 1  uk 2 uk 1  Ta có: Mà  uk  uk 1 7uk  27 27    uk    2uk  2 2uk  2 2uk 1   1  2uk  2uK 1  27 27     uk 1  uk 2 2 2uk  2 2uk 1  (điều phải chứng minh) b) Lập công thức tổng quát dãy số  un  n n  2;5 nên yn  A     B.5 với  un  , n  * Ta có xn  un  x1  un  , ta có: Xét dãy số xn 1  un 1   un   1     xn  xn  n un 1   un    ( xn ) cấp số nhân un  2.3n 1  n   3n  1 un 2.3n   un  n un  3 1  u1  2016  un  :  u  2015un  , n  *  n 1 2016 Bài Cho dãy số * a) Chứng minh un  1, n   b) Lập công thức tổng quát dãy số  un  Hướng dẫn giải * a) Chứng minh un  1, n   u1  1 2016 Ta có: Giả sử: Ta có: uk  1, (k  1) ; Cần chứng minh: uk 1  uk   2015uk   2016  2015uk    uk 1  * 2016 Vậy un  1, n   b)Lập công thức tổng quát dãy số  un  2015 xn un  ta có x1  2016 Đặt xn 1 un 1   2015un  2015 2015  1 xn  un  1  2016 2016 2016 n   xn   2015   xn     2016  cấp số nhân n  2015  * un 1    , n   2016   Vậy Bài 10 Cho dãy số  un  xác định bởi: a) Tìm số hạng tổng quát dãy u1 2  u2 3 u nu  n  u  2n  4, n 3   n n  n  un  b) Tìm số dư chia u2016 cho 2015 Hướng dẫn giải a) Đặt un  n ta có: Khi v1 1  v2 1 v n(v  n  1)  (n  2)(v  n  2)  3n  nv  n  v , n 3   n n n n  n   (n  1)vn   (n  2)vn  Lại có:  v2 (vn   )  (vn    )   (v4  v3 )  (v3  v2 )  (n  1)vn   (n  2)vn     (n  2)vn   (n  3)vn     (3v3  2v2 )  (2v2  1v1 ) (n  1)vn   v1 Do (n  1)vn  Hay (n  1)(n  2)vn   (n  1)(n  2) 1.v1 (n  1)! Vậy un (n  1)! n b) Ta có u2016 2015! 2016 chia cho 2015 dư  x1    xn  :  x  xn , n 2  n   xn2  Bài 11 Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số Hướng dẫn giải Ta có: 1   1 xn xn  xn  yn  yn    yn2 Đặt yn  xn , ta dãy  yn    cos    cot  y1  cot  y2 cot   cot   3 2.3 sin Vì xác định sau: y1  Bằng quy nạp ta chứng minh được: Bài 12 Cho dãy số a) Chứng minh  xn  yn cot xác định bởi: lim xn  n    n  xn tan x1 4, xn 1   n , n 1 xn4  , n  * xn  xn  ; n b) Với số nguyên dương n , đặt yn  k 1 x  Tính lim yn k Hướng dẫn giải  xn  3  xn3  3 xn4  xn 1     * xn  xn   xn3  3   xn  3 a) Xét Bằng quy nạp chứng minh xn  3, n 1 xn 1  xn   Xét  x  3  n  xn 1  xn Do n Do đó: x  xn   xn   Giả sử xn4  xn2  xn   x  n xn3  xn  xn3  xn   0, n  * dãy tăng  x1  x2  x3   xn  a bị chặn  lim xn a a4   a 3  x  a3  a  (vô lý) Suy n không bị chặn Vậy lim xn  b) Từ (*), suy ra: xn 1  n Suy ra: yn  k 1  1 1     xn  xn  xn  xn  xn 1  n  1      1   xk  k 1  xk  xk 1   xn 1    lim yn lim    1 xn 1    Vậy MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ u1 2  u  u un2  un  1,  n   * Bài 13 Dãy số n xác định sau:  n 1 Chứng minh 1 22 2015 1   22016 k 1 uk 2016   Hướng dẫn giải 2 –2un   un –1 Ta có: un 1 – un  un (1) Do u1 2  u2 – u1 1  u2  u1 u  Từ phép quy nạp ta suy n dãy đơn điệu tăng thực sự, un nhận giá trị nguyên dương lớn với n 1, 2, Ta viết lại điều kiện truy hồi xác định dãy số dạng sau đây: un 1 –1 un2 – un un  un –1 (2)  Từ dẫn đến: un 1  1 1 1      , un (un  1) un  un un un  un 1  1  n    1  (4)     uk 1  k 1 uk k 1  uk  uk 1   (3) Bây từ (3), ta có: n Từ (4) suy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 2n  1 un 1  1 1 n  22  un 1   22 2n n (5) (ở n 2016 ) Ta chứng minh (5) với n Khi với n 2016 Do un nguyên dương với n , (5) tương đương n n 22  un 1   22 (6) u –1 uk 1  uk 1 –1 Xét n k  Theo (2), ta có: k 2 Vì theo giả thiết quy nạp suy ra: k k k k uk 2   22 (22  1)  22 22 2 k k k 1 k uk 2  (22  1).(22   1)  22 2 k k 2 Như với n k  , ta thu được: k 2  uk 2   2 k k 1 k 1  22  uk 2   22 (8) Từ (8) suy (6) với n 2,3, Vì (5) n 2016 Ta có điều phải chứng minh!  Bài 14 Cho dãy ( an ) n 1 : a1 1; an 1  an2  5an  10 n 1  an a) Chứng minh dãy ( an ) hội tụ tính lim an a1  a2   an   n 1 n b) Chứng minh Hướng dẫn giải a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: Đặt A 5 xét hàm f '( x )  Suy 10   x f ( x)  an  n x  x  10 10   x ( x 5) 5 x 5 x  3   0x   1;   2 1   ;1 , f ( x) nghịch biến đoạn    a1  a3  a5   a2 k    A lim a2 k  b  A    a2  a4  a6   a2 k   A   lim a2 k c  A Dẫn đến  c  5c  10 b   5 5 c  b c   2 c  b  5b  10  5 b Kết hợp công thức xác định dãy ta được:  Vậy lim an  5  5  t   1;    b) Nhận xét: t  f (t )   Dẫn đến a2 k   a2 k   5 k 1  a1  a2   a2 k   a2 k  2k 5 (1) Như bất đẳng thức với n 2k Trường hợp n 2k  , ý a2 k 1  5 a1  a2   a2 k   a2 k  a2 k 1  (2k  1) , kết hợp với (1) thu được: 5 Vậy bất đẳng thức chứng minh  an  (0;1)    an 1 (1  an )  an   Bài 15 Cho dãy số thỏa mãn: với n  Z+ 1 an   2n A CMR B Chứng tỏ dãy  an  có giới hạn tìm giới hạn u1    un2  u   n 1 2un Bài 16 Cho dãy (un ) xác định  với n 1 A Chứng minh un  với n nguyên dương B Xét tính tăng, giảm dãy số (un ) Hướng dẫn giải Bài 17 Cho dãy số u1   u2   nun 2   3n  1 un 1   n  1 un 3, n  *  sau  un  n * a) Chứng minh un 2  3n, n   n S n  uk b) Đặt k 1 Chứng minh n số nguyên tố n > S n chia hết cho n Hướng dẫn giải a) Với n 1 , u1 2  3.1  n 2 , u1 2  3.2  Giả sử uk 2k  3k ; uk 1 2k 1   k  1 Chứng minh uk 2 2k 2   k   , k  * Ta có kuk 2   3k  1 uk 1   k  1 uk 3  kuk 2   3k  1  2k 1   k  1    k  1  2k  3k  3  uk 2 2k 2   k   Vậy uk 2 2k 2   k   , k  * n S n  uk b) Đặt k 1 Chứng minh n số nguyên tố n  S n chia hết cho n n Ta có: S n  uk 2  22   2n       ( n  1)  S n 2 k 1  2n  (n  1)n (n  1)n  2  2n   1  1 2 Với Do Vậy n n số nguyên tố  2n  số nguyên tố lớn chia hết cho  ( n  1)n n chia hết cho n S n n Bài 18 Cho dãy số u1 0   un  u2 18  * un 2 5un 1  6un  24, n   Chứng minh n số nguyên tố n  un chia hết cho 6n Hướng dẫn giải * Đặt un  12 hay un vn  12, n   Khi 2 5vn 1  6vn v1 12   v2 30 v 5v  6v n 1 n  n 2 Ta Phương trình đặc trưng   5  0 có nghiệm  2   3 n n Khi a.2  b.3 v1 12   v2 30  Ta có Suy  2a  3b 12   4a  9b 30 a 3  b 2 3.2n  2.3n n n Khi un vn  12 3.2  2.3  12 Ta có un 6  2n   3n    nên un chia hết cho Mặt khác n số nguyên tố nên theo định lý Fermat n  2(mod n)  n 3 3(mod n) hay n 3.2 6(mod n)  n  2.3 6(mod n) n n Từ un (3.2  2.3  12) 0(mod n) Suy un chia hết cho n Với n số nguyên tố n   (n, 6) 1 Suy un chia hết cho 6n x  Bài 19 Cho dãy số n  x1 1   xn 1  xn  xn    xn  xn    16 với  nN  * n a) Chứng minh xn  , với n 2 n b) Đặt yn  k 1 yn xk  Tìm nlim   Hướng dẫn giải n a) Chứng minh xn  , với n 2 x2 10  52 n  n 2  Giả sử ta có xn  xn 1  xn  xn    xn  xn    16  x n  xn   xn  xn    16  xn  xn   xn  5.5n  5n n Suy xn 1  n Vậy theo qui nạp xn  với n 2 n b) Đặt yn  k 1 yn xk  Tìm nlim   Ta có: xn 1  xn  xn   xn 1   xn2  xn   xn    xn  3  1 1    xn 1   xn    xn  3 xn  xn   1   xn  xn  xn1  n yn  k 1 n  1  1 1        xk  k 1  xk  xk 1   x1  xn 1  xn 1  1  1 lim yn  lim    lim 0  n n   n   n   xn 1   xn 1  (vì xn 1  ) Vậy lim yn  n   3 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ  Bài 20 Cho dãy  an  n1 : 1 1 an sin1  22 sin  32 sin   n sin n 1 n   an  a lim n2  n2  n Chứng minh dãy   n1 hội tụ tính Hướng dẫn giải Bổ đề 1: x  sin x  x  x x  1 1     n 0 lim n Bổ đề 2: Đặt xn n sin 1 1 1  sin    k  xk  k  n Áp dụng bổ đề 1: k k k 6k 6k 1 1      6 n     n  an     n  an    2 Chia vế cho n : n 1    n 6n Cho n   , lấy giới hạn, suy Bài 21 Cho dãy số u1 2, un 1  an  n2 lim  n  1 un  n 1 un Tính giới hạn n   n lim Hướng dẫn giải n2 un n  , n 1 Ta chứng minh quy nạp n  Rõ ràng khẳng định với u1  k  1 u k  k2 uk k  1, k 1 k 1 Giả sử có k  Ta chứng minh k  (k  1)  k  1 uk k   uk 1   u  k 2 k Thật vậy: uk  k2 (k  1)  k  1  uk 1   k   k  k k 1 uk  k  k 1 1 k 1 u n2 un n  1, n 1  lim n 1 n   n Vậy ta có n  Bài 22 Cho α> dãy số x n >1 a) Chứng minh: ( x n) b) Chứng minh dãy số với: với ∀ n∈N ¿ { x 1=α ¿ ¿ ¿ ¿ ( x n ) có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải x n >1 Ta chứng minh Ta có: x 1=α Giả sử: x k >1 Ta có: x2k >3 Vậy x n >1 nên nên ¿ ¿ Đặt n+ >2 n Suyra: x n+1 >1 dãy giảm quy nạp √ α2+4 x ¿ f  x2 k    f  x2 k 1  Giả sử x2 k   x2 k 1 ta có hay x2 k  x2 k 2 ( với k ∈N ) f  x2 k   f  x2 k 2  Với x2 k  x2 k 2 Ta có: hay Với x 2k+1 |2 −k −2 |=2 –n Từ ta có un –  với n Ta có u2 u1  ⇒u n=u 1− −k ⇒u n+1 =un − 2n 1 1 ; u3 u2  ; u4 u3  ; ; un un  n  2 2 ( 12 + 21 + 21 + .+ ) n−1 un =2011− 1− Công thức tổng quát : Vậy Suy điều phải chứng minh 2 n−1 () =2011−1+ n−1 () lim un =2010 u1 a   2013 un 1  un2  un , n     a   0;1 un   2014 2014 Bài 25 Cho số thực , xét dãy số với:   a) Chứng minh rằng:  un  1, n   b) Chứng minh  un  có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Hướng dẫn giải a) Chứng minh:  un  1, n     1 n 1: u1 a   0;1   1 với n=1 1  uk2    uk2   u   k  1, k   k 2014 2014 Giả sử với Ta có:  uk     0 2013 2013 uk  2014 2014 2013 uk2  uk    u  k 1 2014 2014  Vậy:  un  1, n   b) Chứng minh Ta chứng minh:  un  có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn  un  dãy tăng n    , un 1  un  2013  un2  u n  un  un  2014 2014 2014   un  u n   un  2013     un 1  un , n    hay  un  dãy tăng.(2) Từ (1),(2) suy Ta có: a  un  có giới hạn hữu hạn.Giả sử  un  có giới hạn a,  o  a 1 2013 a2  a  a 1 2014 2014 Vậy lim un 1  u1   u 1 u  , n  N  n 1 n 3 Bài 26 Cho dãy số(un) xác định sau:   a) Chứng minh rằng:   un  2, n   b) Chứng minh  un  có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Hướng dẫn giải n 1: u1    1 a) Với: với n=1 Giả sử:   uk  với k 1, k   uk 1   uk3    uk    uk2  2uk     uk 1  3 Ta có: uk 1    uk  1   uk 1      uk 1  Vậy:   un  2, n    b) n    , un 1  un  Từ (1),(2) suy  un  1  un     u  u , n   u  n 1 n hay n dãy giảm (2)  un  có giới hạn hữu hạn u  Gọi a giới hạn n ,  a  a  a   a 1 3 Ta có Vậy lim un  Bài 27 Cho dãy số  un  xác định bởi: u1 1; un 1  un2  un , n  N * 2015 u u u  lim     n  n   u un 1   u3 Tìm giới hạn sau: Hướng dẫn giải Từ đề ta có: un 1  un   un  un2 2015     un un 1  2015 Suy ra: un 1 1  u u1 u2      k 2015    2015    u u3 uk 1  u1 uk 1   uk 1  Ta có: Ta có Nếu  un  dãy đơn điệu tăng u1 1 lim un  n   ( vơ lí Suy ra:  un   2     0 2015 dãy đơn điệu tăng u1 1 ) lim un  n   u u u  lim     n  2015 n   u un 1   u3 Kết luận: Bài 28 Cho dãy số  un  xác định u1 2013 n N*    un  2un un 1  2013 0 Chứng minh dãy (un) có giới hạn tính giới hạn Hướng dẫn giải Từ hệ thức truy hồi suy 2un un 1 un  2013 Bằng quy nạp chứng minh un > 0, với n Do ta có: un  un  12  2013  2013  2013   un    2013, n 1   un 2un  2 un   un Mặt khác ta có : un 1 un  2013 2013 1      1 un 2un 2 2un 2 (un) dãy số giảm bị chặn Đặt lim un a 2013 , (un) có giới hạn hữu hạn a Ta có : a  2013  a  2013 Vậy lim un  2013 2a Bài 29 Cho dãy số a) Chứng minh  xn  xác định bởi: lim xn  n   x1 4, xn 1  xn4  , n  * xn  xn  ; n b) Với số nguyên dương n , đặt yn  k 1 x  Tính lim yn k Hướng dẫn giải  xn  3  xn3  3 xn4  xn 1     * xn  xn   xn3  3   xn  3 a) Xét Bằng quy nạp chứng minh xn  3, n 1  Xét xn 1  xn   xn 1  xn Do  x  3  n n Do đó:  0, n  * bị chặn  lim xn a a4   a 3  x  a3  a  (vô lý) Suy n không bị chặn Vậy lim xn  b) Từ (*), suy ra: xn 1  n Suy ra: dãy tăng  x1  x2  x3   xn  a x  xn   xn   Giả sử xn4  xn2  xn   x  n xn3  xn  xn3  xn  yn  k 1  1 1     xn  xn  xn  xn  xn 1  n  1      1   xk  k 1  xk  xk 1   xn 1    lim yn lim    1 xn 1    Vậy  x1 1   xn2015 x   xn  n 1 2015 Bài 30 Cho dãy số  Tìm giới hạn dãy số un với Hướng dẫn giải un  x 2014 x12014 x22014    n x2 x3 xn 1