CHỦ ĐỀ 3.4.BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Với a,b Ỵ Z ta ta có phép chia hết a : b = q (trong b ¹ Nếu có số nguyên q cho a = bq ta gọi a số bị chia, b số chia, q thương) Khi ta nói a chia hết cho b , kí hiệu a Mb Khi a Mb a,b Ỵ Z ( , b ¹ ) ta gọi a bội b b ướccủa a Nhận xét - Số bội số nguyên khác Số khơng phải ước số nguyên - Các số - ước số ngun Tính chất Có tất tính chất tập ¥ -Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c aM b c Þ aMc bM - Nếu a chia hết cho b bội a chia ht cho b aM b ị kaM b kẻ ¢ ( ) - Nếu a , b chia hết cho c tổng hiệu chúng chia hết cho c aM c, bM c Þ a + b Mc; a - b Mc - Nếu a , b chia cho c số dư a – b chia hết cho c Nhận xét: - Nếu a chia hết cho b , b chia hết cho a a = ±b - Nếu a chia hết cho hai số m, n nguyên tố a chia hết cho mn n - Nếu a chia hết cho số nguyên tố p a chia hết cho p - Nếu ab chia hết cho m b, m nguyên tố chung a chia hết cho m - Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n II CÁC DẠNG BÀI Dạng Tìm bội ước số nguyên I Phương pháp giải -Tập hợp bội số ngun a có vơ số phần tử { k a | k Ỵ Z} ( a ¹ 0) ln hữu hạn - Tập hợp ước số số nguyên a Cách tìm: Trước hết ta tìm ước số nguyên dương phần số tự nhiên a (làm tập số tự nhiên), chẳng hạn p, q, r Khi - p, - q, - r ước số a Do ước a p, q, r , – p, – q, – r Như số ước nguyên a gấp đôi số ước tự nhiên m n t  m + 1  n + 1 … t + 1 - Số ước nguyên dương số a = x y ….z II Bài tốn A TRẮC NGHIỆM Bài 1.Khi ta nói a bội b ? A a Mb B b Ma  b C a M a D b M Lời giải Đáp án: A Bài 2.Hãy nêu cách tìm bội số: A nhân số với 1; 2; 3; C chia số cho 1; 2; 3; B nhân số với 0;1; 2; 3; D chia số cho 0;1; 2; 3; Lời giải Đáp án: B Bài 3.Hãy số ước tất số: A B C.1 D.3 C 10 D.12 Lời giải Đáp án: C Bài 4.Số 28 có ước nguyên? A B Lời giải Đáp án: D Giải thích: ta có 28  Số ước nguyên dương số 28  + 1  + 1 = 3.2 = Số ước 28 6.2  12 Bài Các số có chữ số ước 60 là: A 10; 20; 35; 60 C 10; 12; 15; 20; 30; 60 B 10; 12; 15; 20; 40; 60 D 10; 20; 40;  60 Lời giải Đáp án: C Bài Hãy tìm số x  B  12  20 < x < 50 A x   24; 36; 48 B x   24; 36; 50 B x   20; 24; 36 D x   12; 24; 36 Lời giải Đáp án: A B TỰ LUẬN Bài 1.Tìm năm bội của: ; -3 Lời giải Ta viết: 2 21 22 hay 3 31 32 hay 1 Các ước nguyên dương 36 : 1.3 2.3 4.3 1.9 2.9 4.9 Tất có ước nguyên dương là: ; ; ; ; ; 12 ; ; 18 ; 36 Tập hợp tất ước nguyên 36 : U  36  =  ±1; ± 2; ± 3; ± ; ± 6; ± 9; ± 12; ± 18; ± 36 Bài Tìm tất ước 12 mà lớn – Lời giải Các ước 12 là: 1; 2; 3; 4; 6; 12 Các ước 12 mà lớn – -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 12 Bài 8.Tìm số tự nhiên n cho: n - ước 28 Lời giải Ta có: U  28  =  ±1; ± 2; ± ; ± 7; ± 14; ± 28 n  1 U  28  Vì Vì , ta có bảng sau: n số tự nhiên nên n   0; 2; 3; 5; 8; 15; 29 Bài Tìm bội -13 lớn -40 nhỏ 40 Lời giải Các bội -13 0; 13; -13; 26, -26; 39; -39; 52; -52  Các bội -13 lớn -40 nhỏ 40 x   -39; -26;-13;0; 13; 26;39 Bài 10.Tìm số tự nhiên x bội 75 đồng thời ước 600 Lời giải x  B(75) (x  ¥ )  x   0;75; 150; 300; 600; … x  U (600) (x  ¥ )  x   1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10;12 ; 20; 24; 25; 30; 50; 60; 75; 100;1 20; 150; 200; 300; 600 án: x   75; 150; 300; 600 Bài 11 Chứng tỏ số có dạng aaa bội 37 Đáp Lời giải Đáp án: Ta có: aaa= 100a + 10a + a = 111 A = 37.a nên aaa bội 37 Bài 12 Tìm chữ số a b cho n a53b vừa bội 5, vừa bội Lời giải Ta có n M6 nên n M2 Số n a53b chia hết cho nên b =  n a530 n M3   a     M  a  8 M3 , a   1; 4; 7 Ta có n M6 nên hay Vậy n   1530; 4530; 7530 số vừa bội 5, vừa bội Bài 13 a) Tìm năm bội của: – 5; ; b) Tìm bội – 12 , biết chúng nằm khoảng từ – 100 đến 24 Lời giải a) Các bội số 5; – có dạng 5.k ( k Î ¢ ) Chẳng hạn chọn năm bội số 5; – là: –15, – 10, – 5, 0, ( ứng với k - 3;- 2;- 1; 0; 1; ) b) Các bội số ca 12 cú dng 12.k ( k ẻ  ) Cần tìm k cho: –100 < 12k < 24 kỴ Tức là: –9 < k < , chọn {- 8;- 7;- 6;- 5;- 4;- 3;- 2;- 1;0;1} Vậy bội –12 nằm khoảng từ –100 đến 24 - 96, - 84, - 72, - 60, - 48, - 36, - 24, - 12,0,12 Bài 14 Tìm tất ước của: a) –3 ; b) –25; c) 12 Lời giải a) Các ước tự nhiên 1, 3.Do ước –3 - 3, - 1, 1, - 25, - 5, - 1, 1, 5, 25 b) Các ước tự nhiên 25 1, 5, 25.Do ước 25 c) Các ước tự nhiên 12 1, 2, 3, 4, 6, 12.Do ước 12 - 12, - 6, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 12 Nhận xét: n m k Số tự nhiên a phân tích thừa số ngun tố có dạng p q r (p, q, r số nguyên tố) số ước tự nhiên a ước nguyên ( n + 1) ( m + 1) ( k + 1) Khi số nguyên a, ( )( )( ) – a có n + m + k + - p, - 1, 1, p Số nguyên tố p có ước nguyên Bài 15 Tìm số nguyên n để: a) n chia hết cho –2; b) chia hết cho n ; c) chia hết cho n + 1; d) n – 18chia hết cho 17 Lời giải a) n chia hết cho –2 , nên n bội ( không chia hết cho 2) Vậy n = 2k ( k số nguyên tùy ý) b) chia hết cho n , nên n ước Vậy { } n Ỵ - 8;- 4;- 2;- 1; 1; 2; 4; c) chia hết cho n + 1, nên n + 1là ước Suy n + 1Ỵ {- 9;- 3;- 1; 1; 3; 9} Với n + = - suy n = - - hay n = - 10 Với n + = - suy n = - - hay n = - Với n + = - suy n = - 1- hay n = - Với n + = suy n = 1- hay n = Với n + = suy n = - hay n = Với n + = suy n = - hay n = - Vậy { } n Ỵ - 10;- 4;- 2; 0; 2; d) n – 18 chia hết cho 17, nên n – 18 bội 17 Do n – 18 = 17k ( k Î ¢ ) Vậy n = 18 + 17k ( k ẻ  ) III Bi cú hng dn Bài a) Tìm bốn bội –9; b) Tìm bội –24, biết chúng nằm khoảng từ 100 đến 200 HD a) Chẳng hạn là: –18; –9; 0; b) 120; 144; 168; 192 Bài Tìm tất ước của: a) –17; b) 49; HD a) U ( –17) = { –17; – 1; 1; 17} c) –100 b) U ( 49) = { –49; – 7; – 1; 1; 7; 49} c) U ( 100) = { –100;–50;–25;–20;–10;–5;–4;–2;–1; 1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100} Bài a) Tìm tập hợp UC ( –12; 16) b) Tìm tập hợp UC ( 15;–18;–20) ; HD a) UCLN ( 12; 16) = b) UCLN ( 15; 18; 20) = suy UC ( –12; 16) = { –4;–2;–1; 2; 4} suy UC ( 15;–18;–20) = { –1; 1} Bài Tìm số nguyên n để: a) n chia hết cho 3; b) –22chia hết cho n ; c) –16chia hết cho n – 1; d) n + 19chia hết cho 18 HD a) b) c) 7n M3 - 22 Mn nên n M3 ú n = 3k (k ẻ Â) n ẻ {- 22; - 11; - 2; - 1; 1; 2; 11; 22} - 16 M(n - 1) Vậy d) mà (7; 3) = nên nên (n - 1) Ỵ {- 16; - 8; - 4; - 2; - 1; 1; 2; 4; 8; 16} n Ỵ {- 15; - 7; - 3; - 1; 0; 2; 3; 5; 9; 17} (n + 19) M18 nên Bài Tìm tập hợp (n + 1) M18 suy BC ( 15;–12;–30) n = 18k - (k ẻ Â) HD BCNN ( 15; 20; 30) = 60 Suy BC ( 15;20;30) = B ( 60) = 60k(k ẻ Â) Bi Cho hai tập hợp { } B = {- 2;- 4;- 6} A = 1; 2; 3; 4; a) Viết tập hợp gồm phần tử có dạng a bvới a Ỵ A, b Ỵ B b) Trong tích có tích chia hết cho 5? HD a) C = {ab | a Ỵ A; b Ỵ B } = {- 2; - 4; - 6; - 8; - 10; - 12; - 16; - 18; - 20; - 24; - 30} ( Chú ý: Các phần tử tập hợp phải khác đơi một) b) Trong tích có tích chia hết cho ứng với a = b Ỵ B Dạng Vận dụng tính chất chia hết số nguyên I Phương pháp giải Để chứng minh biểu thức A chia hết cho số nguyên a; m.n p - Nếu A có dạng tích cần m (hoặc n, p) chia hết cho a Hoặc m chia hết cho a1, n chia hết cho a2 a3 , p chia hết cho a = a1a2a3 - Nếu A có dạng tổng m + n + p cần m, n, p chia hết cho a, tổng số dư chia m, n, p cho a phải chia hết cho a - Nếu A có dạng hiệu m – n cần m, n chia cho a có số dư Vận dụng tính chất chia hết để làm tốn tìm điều kiện để biểu thức thỏa mãn điều kiện cho hết II Bài toán Bài Chứng minh rằng: S = + + + + + + + chia hết cho - Lời giải Nhóm tổng S thành tổng bội số - cách: ( ) ( ) ( ) ( S = + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 ) = + 22.6 + 24.6 + 26.6 Mỗi số hạng tổng S chia hết cho - 6, nên S chia hết cho - Bài Cho số a = - 10 + Hỏi số a có chia hết cho - không? Lời giải a = - 108 + 23 = - 108 + + = -1499 42443 + gồm chữ số9 Số hạng đầu a chia hết cho 9, cịn khơng chia hết a không chia hết cho Do a khơng chia hết cho - Bài Cho a, b số nguyên Chứng minh 6a + 11b chia hết cho 31 a + 7b chia hết cho 31 Điều ngược lại có khơng? Lời giải Ta có: Do 6a + 11b = 6.( a + 7b) - 31b (*) 31bM31, 6a + 11bM31, từ (*) suy 6( a + 7b) M31, Mà 31 nguyên tố nhau, nên suy a + 7bM31 Ngược lại, a + 7bM31, mà 31bM31, từ (*) suy 6a + 7bM31 Vậy điều ngược lại Ta phát biểu tốn lại sau: “Cho a, blà số nguyên Chứng minh 6a + 11b chia hết cho 31 a + 7b chia hết cho 31” Bài Tìm số nguyên x cho: a) 3x + chia hết cho x - 3; b) x + ước số x + Lời giải a) Nhận thấy Do 3x + = 3( x - 3) + 3( x - 3) M ( x - 3) , nên ( 3x + 4) M( x - 3) x - 3Ỵ Suy x - Ỵ Ư(5) hay b) Nhận thấy Do Vậy x + 1Ỵ xỴ 5M ( x - 3) { - 5;- 1; 1; 5} Vậy x Ỵ { - 2; 2; 4; 8} x2 + = x ( x + 1) - ( x + 1) + x ( x + 1) M ( x + 1) , Suy nên x2 + 7M ( x + 1) 8M ( x + 1) { - 8;- 4;- 2;- 1; 1; 2; 4; 8} { - 9; - } 5; - 3; - 2; 0; 1; 3; III Bài tập có hướng dẫn ( - 39) Bài Chứng minh rằng: S = + + + + + + + + chia hết cho HD S = + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 = (3 + + ) + (3 + + ) + (3 + + ) = 39 + 33.39 + 36.39 = 39.(1 + 33 + 36) Suy S M39 nên M39 SM(- 39) Bài Cho số a = 11 11 (gồm 20 chữ số 1) Hỏi số a có chia hết cho 111 khơng? HD 17 14 11 Nhận thấy: a = 111.10 + 111.10 + 111.10 + 111.10 + 111.10 + 111.10 + 11 17 14 11 = 111.(10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 ) + 11 Suy a tổng hai số hạng có số chia hết cho 111, số không chia hết cho 111 nên a không chia hết cho 111 Vậy a không chia hết cho 111 Bài Cho a, b số nguyên Chứng minh 5a + 2b chia hết cho 17 9a + 7b chia hết cho 17 HD Xét hiệu 5.(9a + 7b) - 9.(5a + 2b) = 17b Nhận thấy 17b M17 Nếu 9a + 7b Nếu 5a + 2b nên: M17 M17 ( 9; 17) = nên 5a + 2b M17 9.(5a + 2b) , mà M17 M17 ( 5; 17) = nên (9a + 7b) M17 5.(9a + 7b) , mà Bài Tìm số nguyên x cho: b) x + 2là ước số x + a) 2x – chia hết cho x – 1; HD (2x - 5)M(x - 1) Û 3M (x - 1) (x - 1) Ỵ {- 3;- 1; 1; 3} a) 2x - = 2(x - 1) - nên Vậy x - Ỵ {- 2; 0; 2; 4} (x2 + 8) M(x + 2) Û 12 M(x + 2) x + = x ( x + 2) ( x + 2) + 12 b) Do nên Do Vậy (x + 2) Ỵ {- 12;- 6;- 4;- 3;- 2;- 1; 1; 2; 3; 4; 6; 12} x Ỵ {- 14;- 8;- 6;- 5;- 4;- 3; - 1; 0; 1; 2; 4; 10} Bài Tìm cặp số nguyên x, y cho: a) ( x - 1) ( y + 1) = 5; b) x.( y + 2) = - 8; c) xy - 2x - 2y = HD a) Vì = 5.1 = (- 1).(- 5) nên ta có trường hợp sau: 1) x - = y + = Û x = y = 2) x - = y + = Û x = y = 3) x - = - y + = - Û x = y = - 4) x - = - y + = - Û x = - y = - b) (x;y) = (- 8;- 1); (1;- 10); (8;- 3);(- 1; 6); (- 4; 0); (2;- 6); (4;- 4); (- 2;- 6) c) xy - 2x - 2y = Û (x - 2).(y - 2) = Do tìm (x;y) = (3; 6);(6; 3);(1;- 2);(- 2; 1);(4; 4);(0; 0) Bài Tìm tất cặp số nguyên x, y cho 20x + 10y = 2010 HD Từ điều kiện đề suy 2x + y = 201 201 số lẻ 2x số chẵn, suy y số lẻ Khi y có dạng: y = 2k + (k ẻ Â) ị x = 100 - k Chẳng hạn, bốn cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: (x;y) = (100; 1); (99; 3); (101;- 1); (98; 5) Bài Tìm số nguyên x cho x – bội 15 x + ước số 1001 HD U ( 1001) = {1001;–1001; 143;–143; 91;–91; 77;–77; 13;–13; 11;–11; 7;–7; 1;–1} = 15k + 2( k ẻ  ) Ta có: x – bội 15 nên x = 15k ( k ẻ  ) suy x +1 Mà x + ước 1001 nên kiểm tra thấy x + = 77 hay x = 76 Vậy x = 76 Dạng TÌM SỐ NGUYÊN x THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ CHIA HẾT I Phương pháp giải Áp dụng tính chất: Nếu a + b chia hết cho c a chia hết cho c b chia hết cho c II Bài tốn 10M x- 1 Bài 1.Tìm số tự nhiên x cho Lời giải Ta có 10M x- 1  x- 1 ước 10 U  10  =  ±1; ± 2; ± 5; ± 10 Ta có bảng sau: Suy x   0; 2; 3; 6; 11 ( xƠ ) Bi 2.Tỡm x  cho : b) x + 2x – chia hết cho x + a) 3x + chia hết cho x – ; Lời giải a) Ta có: Ta có: 3x + = 3x – + =  x -1 +  x – 1 chia hết cho x – Do 3x + chia hết cho x – chia hết cho x – , tức x – ước Ước gồm số ±1, ± Ta có bảng sau: Suy x   -4; ; ; 6 b) x + 2x – = x(x + 2) - Ta có: x  x + 2 Do x  x + 2 - chia hết cho x + chia hết cho x + chia hết cho x + Do x + ước Ước gồm số ±1, ± Ta có bảng sau: Suy ra: x   -9; -3 ; - ; 5 Bài 3.Tìm số nguyên x thoả mãn: a)  x +  M x + 1 ; b)  4x +  M x –  Lời giải a) Ta có nên Vì x + =  x + 1 +  x +  :  x + 1 3:  x + 1 U  3 = {-1 ; ; -3 ; 3} , tức x + ước , ta có bảng sau: ĐS : x = -4 ; -2 ; ; b) HD: Ta có nên 4x + =  x –  + 11  4x + 3 :  x -  Đáp số: x   -9 ; ; ; 13 11:  x -  , tức  x - 2 ước 11 Bài 4.Tìm x  ¢ cho : a) x + x +1 chia hết cho x + Lời giải b) 3x - chia hết cho x - a) Ta có: Ta có: x + x +1= x  x + 1 + x  x +1 chia hết cho x + Do x + x +1 chia hết cho x + chia hết cho x + , tức x + ước x   ; -2  Ước gồm số ±1 Suy b) Ta có: Ta có: 3x – =  x -  + 3 x - 4 chia hết cho x - Do 3x - chia hết cho x - chia hết cho x - , tức x - ước x  ; ; ; ; ;  Ước gồm số ±1; ±2; ±4 Suy Bài 5.Tìm số tự nhiên x cho x + 20 bội x + Lời giải x + 20 bội x +   x + 20  M x +   x+ 20 =   x+  + 18  M x+2   x +  M x +  mà Do 18M x +   x +  Ö  18  Ö  18 =  ±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18 x +   2; 3; 6; 9; 18 Mà x +  (x  Z ) nên  x   0; 1; 4; 7; 16 Bài 6.Tìm số nguyên n biết n + chia hết cho n - Lời giải Ta có: n + chia hết cho n -  n + =  n - 2 + chia hết cho n - Mà n - chia hết cho n - ⇒ chia hết cho n - n - thuộc ước U   =  -7; -1; 1; 7 mà n - = -7  n = -5 n - = -1  n = n-2=1 n=3 n-2=7 n=9 Vậy n   -5; 1; 3; 9 Bài 7.Tìm số nguyên dương n cho 2n bội n -1 Lời giải  n - 1 2n bội n -1  2n M  2n =   n - 1 +  M n - 1 Mà  n - 1 M n - 1 Do 2M n - 1  n - 1U   U   =  1,  2 n -   1; 2 Mà n -  nên  n   2; 3 Bài Có hai số nguyên a , b khác mà chia hết cho b b chia hết cho a không ? Lời giải a chia hết cho b  a = bq1 (q1  ¢ , b 0) b chia hết cho a  b = aq (q1  ¢ , a 0)  a=bq1 =(aq )q1 =a(q q1 )  q 2q1 =1  q = q1 1 q = q1  Vì a b nên q = q1  Do đó: a = b(-1) = -b Vậy cặp số nguyên đối khác có tính chất a chia hết cho ( -a ) ( -a ) chia hết cho a cặp số Bài Cho hai tập hợp số: A =  ; ; ; ; 6 , B =  21 ; 22 ; 23 a) Có thể lập tổng dạng  a + b với a  A, b  B ? b) Trong tổng có tổng chia hết cho ? Lời giải Giải a) Ta lập bảng cộng sau : Từ bảng trên, ta thấy có 15 tổng tạo thành, có tổng khác nhau: 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 b) Có tổng chia hết cho : 24 , 24 , 26 , 26 , 26 , 28 , 28 (Có tổng khác chia hết cho : 24 , 26 , 28 ) Bài 10.Cho hai tập hợp số A=  ; ; ; ; 8 ; B =  13 ; 14 ; 15 a) Có thể lập tổng dạng  a + b với a  A, b  B ? b) Trong tổng có tổng chia hết cho 3? Lời giải Lập bảng ta thấy : a) Ta lập bảng cộng sau: Từ bảng trên, ta thấy có 15 tổng tạo thành, có tổng khác : 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 b) Trong có tổng chia hết cho : 18, 18, 21, 21, 21 Như có hai tổng khác chia hết cho 18 21