3.3. Đi ể m b ấ t đ ộ ng 3.3.1. Định nghĩa điểm bất động Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Hệ VL bất biến đối với phép biến đổi đối xứng  các đặc trưng quan trọng • Tại điểm tới hạn: trạng thái hệ có bất biến đối với R s ? • Định nghĩa điểm bất động (fixed point) μ * * * R s      (1) μ* thỏa (1) với một giá trị nào đó của s  với mọi s, ngay cả s  VCL • Phương trình (1) có nghiệm hay không?  Chưa có gì bảo đảm đối với những giá trị λ s = s a bất kỳ. • Ở đây, ta chỉ trình bày hình thức luận của phương pháp RG dưới dạng tổng quát, chưa đi vào chi tiết về số nghiệm và những tính chất nghiệm của (1). • Giả sử (1) có ít nhất một nghiệm và ta sẽ chỉ xét một điểm bất động μ* trong số đó với giá trị a xác định. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.3. Đi ể m b ấ t đ ộ ng 3.3.2. Mặt tới hạn Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Định nghĩa mặt tới hạn: mặt tới hạn (critical surface) của điểm bất động μ* là một không gian con trong không gian tham số bao gồm các điểm μ thỏa * lim R s s       (2) • μ không thuộc mặt tới hạn: R s μ = μ’ μ thuộc mặt tới hạn:  s chưa phải là vô cùng lớn nhưng đủ lớn (s >> 1): R s μ nằm gần điểm bất động μ * (hình 3.1)  s  ∞: R s μ = μ* KG tham số   '   R s   *     R s   Mặt tới hạn Hình 3.1 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.3. Đi ể m b ấ t đ ộ ng 3.3.3. Tuyến tính hóa R s Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Đối với μ gần điểm bất động μ * : *         (3) δμ: “khoảng cách” từ μ đến μ * và nhỏ. • Thay (3) vào phương trình R s μ = μ’ cho những điểm μ gần μ * * * * * R ( ) R R R R s s s s s                                    (4) • δμ nhỏ nên có thể viết 2 R (( ) ) L s O          (5)  R s L là toán tử tuyến tính. Từ (4) sang (5) ta đã tuyến tính hóa R s Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.3. Đi ể m b ấ t đ ộ ng 3.3.3. Tuyến tính hóa R s (tt) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Định nghĩa một không gian tham số mới có số thành phần bất kỳ 1 2 ( , , , , )          (6) • Khi đó, toán tử R s L được mô tả bởi ma trận R s L với các phần tử ma trận được tính như sau • Phương trình (5) có thể viết dưới dạng ma trận (8)  ở dạng này, R s L là một phép biến đổi tuyến tính.   * R L s                       (7) 2 R (( ) ) L s O          *                               Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.3. Đi ể m b ấ t đ ộ ng 3.3.4. Trị riêng và vector riêng của toán tử R s L Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Nhắc lại: trong VL nguyên tử, vector riệng của toán tử mô tả phép quay một góc α tùy ý quanh trục n [U n (α) = exp(i/ħ αnL)] là các hàm cầu Y lm (θ,φ) – hệ vector cơ sở. • Gọi: ρ j (s) là trị riêng, e j là vector riêng của R s L , • Vì (11) R ( ) L s j j j s   e e (9) j đánh số các trị riêng và vector riêng R R R s s j ss j    e e  ( ) ( ) ( ) j j j s s ss       (10)  ρ j phụ thuộc s dưới dạng y j không phụ thuộc vào s (12) ( ) j y j s s   Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.3. Đi ể m b ấ t đ ộ ng 3.3.4. Trị riêng và vector riêng của toán tử R s L (tt) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Dùng tập hợp vector riêng {e j } của R s L làm hệ vector cơ sở, viết δμ dưới dạng tổ hợp tuyến tính • Thay δμ vào phương trình (5) (14) (15) j j j t    e  (13) 2 R (( ) ) L s O           2 R (( ) ) ( ) j j L s j j j j j j j y j j j t t O t s t s            e e e     • Đặt j y j j t t s    j j j t    e  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.3. Đi ể m b ấ t đ ộ ng 3.3.4. Trị riêng và vector riêng của toán tử R s L (tt) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Nhận xét:  (15) rất giống (13)  Theo (14): y j > 0  t’ j tăng khi s tăng y j < 0  t’ j giảm y j = 0  t’ j = t j (δμ’ = δμ) j j j t    e  • Nếu có một hoặc vài y j bằng không thì sẽ có một tập hợp liên tục các điểm bất động; ta chỉ xét một tập hợp các giá trị t j ứng với y j = 0 (một trong số các điểm bất động). j y j j t t s   j j j t    e   Phép biến đổi R s L chuyển các “hình chiếu” t j của δμ thành các “hình chiếu” (14) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.4. M ố i liên h ệ gi ữ a nh ó m RG v à c á c ch ỉ s ố t ớ i h ạ n Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Các khái niệm của hiện tượng tới hạn được phản ánh qua nhóm TCH ra sao? • RG như một công cụ toán học liên quan như thế nào đến vật lý của các hiện tượng tới hạn? Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.4. M ố i liên h ệ gi ữ a nh ó m RG v à c á c ch ỉ s ố t ớ i h ạ n Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Xét hệ sắt từ nhiệt độ T trong từ trường h xác định. • Cấu hình spin được mô tả bởi hàm phân bố [ ]/ ( , ) T P T h e     H (1) H[σ] là Hamiltonian cụm (không nhất thiết phải có dạng Ginzburg Landau). • Mỗi hàm phân bố một điểm của không gian tham số được mô tả bởi μ = μ(T,h) • Tại điểm tới hạn hệ sắt từ: T = T c , h=0  P được mô tả bởi μ(T c ,0) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.4. M ố i liên h ệ gi ữ a nh ó m RG v à c á c ch ỉ s ố t ớ i h ạ n Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Giả thiết quan trọng:  μ(T c ,0) nằm trên mặt tới hạn của điểm bất động μ * * lim R ( , 0) s C s T      h   (2)  Nếu T ≠ T C hoặc h ≠ 0 thì * lim R ( , ) s s T     h   (3)  Giả thiết mô tả mối liên hệ giữa nhóm RG và các hiện tượng tới hạn được gợi ý bởi giả thuyết scaling. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. [...]... )) (33 )  • • Thay (29) vào (32 )  Từ (33 ) có thể suy ra hai định luật scaling: định luật (3) và (4)  R s  (T , h)       *  ( s /  )1/ e1  hs y eh  O( s y ) h 2   (T , h ) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn (29) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3. 4 Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3. 4.2 Trường hợp h ≠ 0 (tt). .. ν là chỉ số tới hạn của ξ 1/    *  s  y2 2a d G (k , (T ))  s G  sk ,    e1  O( s )        Lý thuyết các hiện tượng tới hạn ( 13) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3. 4 Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3. 4.1 Trường hợp h = 0 (tt)  Xét T = TC (ξ  ∞) và k ≠ 0 (k nhỏ) Đặt s = 1/k Thay vào ( 13)  G (k ,...  Lý thuyết các hiện tượng tới hạn ( 13) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3. 4 Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3. 4.2 Trường hợp h ≠ 0 Mở rộng lập luận 3. 4.1 cho trường hợp có từ trường ngoài  lập công thức tương tự (11) cho trường hợp h ≠ 0 • Số hạng mô tả tương tác giữa các spin cụm và từ trường ngoài  hb d   x ( 23) ... ta giảm độ khuếch đại k của kính hiển vi một cách đáng kể (từ k1 xuống k2 với k2/k1 0  s tăng thì h’ tăng • Khai triển δμ theo các vector cơ sở của RsL:      t j e j , t j  t... η (19) 1/    *  s  y2 2a d G (k , (T ))  s G  sk ,    e1  O( s )        Lý thuyết các hiện tượng tới hạn ( 13) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 3. 4 Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3. 4.1 Trường hợp h = 0 (tt)  Xét T - TC đủ nhỏ và k = 0 Từ (14)  * 2a d G (k , (T ))   G  k ,  e1  O ( y2 ) . v à c á c ch ỉ s ố t ớ i h ạ n Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Các khái niệm của hiện tượng tới hạn được phản ánh qua nhóm TCH ra sao? • RG như một công cụ toán học liên quan như thế nào đến vật lý của các hiện tượng tới. evaluation only. 3. 3. Đi ể m b ấ t đ ộ ng 3. 3 .3. Tuyến tính hóa R s Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Đối với μ gần điểm bất động μ * : *         (3) δμ: “khoảng cách” từ μ đến μ *. Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3. 3. Đi ể m b ấ t đ ộ ng 3. 3.2. Mặt tới hạn Lý thuyết các hiện tượng tới hạn • Định nghĩa mặt tới hạn: mặt tới hạn (critical surface) của điểm bất động