SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: ĐỊNH LÍ EULER VÀ TÍNH ỨNG DỤNG THỰC TIỄN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Tác giả: Phan Phương Đức Tổ mơn: Tốn - Tin Năm học: 2022-2023 Mục lục Chương ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Phạm vi nghiên cứu 1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1.5 Phương pháp nghiên cứu Chương NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Phi hàm Euler 2.1.2 Định lí Euler 2.1.3 Các tính chất hệ 10 2.2 Phân loại số toán liên quan đến định lí Euler 13 2.2.1 Các tốn nghiệm phương trình, hệ phương trình đồng dư 13 2.2.2 Các toán chứng minh tồn tại, không tồn 15 2.2.3 Các toán phi hàm Euler 19 2.2.4 Các toán khác 23 2.3 Ứng dụng vào hệ mã hóa RSA 26 2.3.1 Nguyên lí hệ mã hóa RSA 27 2.3.2 Ví dụ thực tế 28 2.4 Bài tập tự luyện 30 2.5 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 32 Chương KẾT LUẬN 34 3.1 Kết luận 34 3.2 Kiến nghị đề xuất 34 Tài liệu tham khảo 36 Phụ lục 37 Các kí hiệu sử dụng sáng kiến kinh nghiệm đồng dư gcd a b jj A Õ v p(a) ước chung lớn a chia hết b (hoặc b chia hết cho a) lực lượng (số phần tử) tập hợp A tích sigma số mũ a theo ước p nguyên tố a b kí hiệu Legendre thặng dư bình phương å tổng sigma AnB hiệu tập A trừ tập B bxc phần nguyên x Chương ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài Ngay từ lớp 6, học lũy thừa, học sinh giỏi tiếp cận dạng tốn: tìm số dư chia lũy thừa lớn cho số tự nhiên A đó, có tốn tìm chữ số tận cùng, nhiều chữ số tận lũy thừa Cách làm thời điểm xét tuần hoàn số dư lũy thừa tăng dần theo số chia cho A Sau học thêm số nguyên tố, học sinh giỏi cấp THCS theo định hướng chun tốn học thêm định lí Fermat nhỏ, định lí tốt để khơng dùng cho việc xác định số dư đề cập trên, mà để giải toán Số học số nguyên tố Trong viết này, tơi xin trình bày Định lí Euler, định lí tổng quát cho định lí Fermat nhỏ, cơng cụ sắc bén giải nhiều tốn Số học, hay khó kì thi Olympic tồn giới Do khn khổ viết bị giới hạn số trang, nên tơi trình bày vấn đề lí thuyết cách (với mục đích phổ biến rộng rãi đến bạn đọc) số ví dụ áp dụng minh họa đề thi Olympic, để thấy sắc bén vấn đề Ngồi ra, tơi cịn trình bày tính ứng dụng thực tiễn định lí Euler, hệ mã hóa RSA, hệ mã hóa có tính bảo mật ứng dụng cao 1.2 Mục đích nghiên cứu Trên sở nghiên cứu vấn đề định lí Euler tính chất hệ quả, sáng kiến xác định biện pháp bồi dưỡng lực học Số học cho học sinh nhằm phát triển tư nghiên cứu chuyên sâu cho học sinh chuyên Toán Rèn luyện kĩ vận dụng định lí Euler hệ vào giải tốn thơng qua thi học sinh giỏi kì thi Olympic Hướng cho học sinh đến việc hiểu tính ứng dụng thực tiễn định lí nói riêng, Tốn học nói chung dịng chảy sống đại, giúp cho em có định hướng tốt cho môn học 1.3 Phạm vi nghiên cứu Dựa liệu đề thi học sinh giỏi, kì thi Olympic nước nước ngồi, đề tài tập trung nghiên cứu đề xuất toán rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh chuyên Toán học sinh tham gia đội tuyển thi học sinh giỏi cấp 1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài tập trung làm rõ số vấn đề sau: • Khái niệm phi hàm Euler phát biểu định lí Euler • Các tính chất hệ định lí • Các tốn áp dụng • Ứng dụng vào hệ mã hóa RSA • Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 1.5 Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu nước Số học để biên soạn sở lí thuyết định lí Euler Phân loại số dạng đề thi Olympic toán giải định lí Euler Nếu học sinh học chuyên sâu theo chuyên đề phát triển lực tư Toán học, đặc biệt có phương pháp để giải lớp toán số học liên quan đến định lí Euler Đây phần khó với học sinh lớp chuyên toán Tham khảo nguồn tài liệu, sách báo nước để biên soạn tính ứng dụng định lí vào hệ mã hóa RSA Chương NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Phi hàm Euler Trước hết, ta định nghĩa phi hàm Euler số nguyên dương n Định nghĩa 2.1.1 Với số nguyên dương n, kí hiệu j(n) số số nguyên dương nhỏ n nguyên tố với n Ta gọi j(n) phi hàm Euler n Quy ước j(1) = Ví dụ • j(3) = 2, có số ngun dương nhỏ nguyên tố với (là số 1, 2) • j(12) = 4, có số ngun dương nhỏ 12 nguyên tố với 12 (là số 1, 5, 7, 11) Nhận xét Rõ ràng p số nguyên tố j(p) = p 2.1.2 Định lí Euler Với số ngun dương n, có số j(n) tương ứng Vậy số có ứng dụng gì? Ta có nội dung định lí Euler, phát biểu sở lí thuyết sau: Định lí 2.1.2 (Định lí Euler) Cho n số ngun dương Khi đó, a số nguyên dương nguyên tố với n, ta ln có a j(n) (mod n) Chứng minh Gọi a1, a2, , aj(n) số nguyên dương nhỏ n nguyên tố với n Theo định nghĩa hệ thặng dư thu gọn (HTDTG) số lập thành HTDTG modn + Với a Z , (a, n) = bất kì, theo tính chất HTDTG aa1, aa2, , aaj(n) lập thành HTDTG modn Khi ta thu a1a2 aj(n) aa1 aa2 aaj(n) = a j(n) a1a2 aj(n) (mod n) Vì a1, a2, , aj(n) số nguyên dương nhỏ n nguyên tố với n nên từ suy a j(n) (mod n) Hệ 2.1.3 (Định lí Fermat nhỏ) Với p nguyên tố a p 1 + (mod p), 8a Z , gcd(a, p) = Chứng minh Với p nguyên tố tất số nguyên dương nhỏ p nguyên tố với p Do j(p) = p Áp dụng định lí Euler ta có điều cần chứng minh Ví dụ Tìm số dư chia 29 112021 cho 12 Phân tích Như nói đầu, dạng toán mà ta phải tìm a số a cho 29 đồng dư theo mod 12 Định lí Euler cho ta số a thỏa mãn điều kiện Chứng minh Ta có j(12) = Hơn nữa, (29, 12) = nên áp dụng định lí Euler, ta có 29 (mod 12)