Đang tải... (xem toàn văn)
Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2 , Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2 ,Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2 ,Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2 Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2 Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2 Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2 Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2 Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2 , Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2 ,Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2 ,Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2 Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2 Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2 Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2 Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2 Giai tich 2 tich phan mat loai 1 2
BÀI TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I & II TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I Nhận xét: Tích phân mặt loại có tính chất tích phân đường loại TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I Chú ý: Nếu hình chiếu S xuống mp Oxy đường cong (trường hợp xảy S mặt trụ song song với Oz) phải chiếu S xuống mp khác, khơng chiếu xuống mp Oxy TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I Ta có: D S O xy : x y Vậy (x S y 2 z )ds 2(x D 2 y ) dxdy TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I Ta có: S : z D S R O xy : x x 2 y y 2 R Vậy (x S 2 y )ds (x D R y ) R x 2 y dxdy TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I Ta có: S : z x y D S O xy x : y x Vậy (x S y z )ds (x D y z ) d x d y TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.1 Định nghĩa 2.1.2 Định nghĩa tích phân mặt loại 2 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.2 Liên hệ với tích phân mặt loại Chú ý: n (co s , cos , cos ) pháp vector đơn vị mặt S TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.3 Phương pháp tính (Đưa tích phân kép) Giả sử cần tính tích phân R dxdy S R cos ds (3), S đó, S mặt cong có phương trình z = z(x,y) (trơn trơn khúc) với pháp vector định hướng n lên (tức phía mặt cong pháp vector n tạo với hướng dương trục Oz góc nhọn) Vế phải (3) giới hạn tổng tích phân mặt loại n R ( x i , y i , z ( x i , y i ) ) c o s S i Mặt khác, ta có (4) i cos S i Di (5 ), với D i S i O x y Chú ý: Do n tạo với Oz góc nhọn nên c o s Di lấy dấu + TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.3 Phương pháp tính (Đưa tích phân kép) Thế (5) vào (4) ta tổng tích phân kép, qua giới hạn ta R ( x , y , z ( x , y )) d x d y R ( x , y , z ( x , y )) d x d y S , D D S O xy Nếu đổi hướng mặt S (tức đổi phía S) lấy dấu - , tức R ( x, y, z )dxdy R ( x , y , z ( x , y )) d x d y S D Tương tự, ta có P dydz S P ( x ( y , z ), y , z ) d y d z , D yz Q dxdz S cos Q ( x , y ( x , z ), z ) d x d z D xz Di TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.3 Phương pháp tính (Đưa tích phân kép) Chú ý: Nếu hình chiếu S xuống mặt phẳng (ví dụ mặt phẳng Oxy) đường cong (trường hợp xảy S phần mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz) tích phân tương ứng với biến vi phân mặt phẳng (tức R dxdy S ) TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.3 Phương pháp tính (Đưa tích phân kép) Ví dụ: Tính I S - phía ngồi mặt giới hạn yzdxdy , S x y 2 R ,x 0, y 0, z h S2 Ta có: S4 I , S S1 S2 S3 S4 S3 S5 S5 hai mặt đáy; S , S hai mặt bên nằm Oxz, Oyz tương ứng; S mặt trụ cong Vì (xem ý 2.3) y z d x d y S1 , S S3 S4 yzdxdy S2 (vì z = 0) nên S1 S5 R I h ydxdy x x r y 0,y R h s in d r dr hR 3 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.3 Phương pháp tính (Đưa tích phân kép) TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.3 Phương pháp tính (Đưa tích phân kép) TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II * Dùng liên hệ với tích phân mặt loại TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.4 Định lý Stokes (liên hệ tích phân mặt tích phân đường) Cho mặt định hướng S trơn khúc với biên chu tuyến C trơn khúc không tự cắt (chu tuyến đơn giản) Cho hàm P, Q, R đạo hàm riêng cấp chúng liên tục miền mở chứa S Khi ta có công thức Stokes: S R Q y z dydz P R z x dxdz Q P x y dxdy Pdx Q dy Rdz (5 ), C đó, hướng chu tuyến C lấy theo hướng dương ứng với mặt định hướng S * Để dễ nhớ viết cơng thức Stokes dạng “hình thức” sau dydz dxdz dxdy Pdx S x y z P Q R C Q dy R dz TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.4 Định lý Stokes (liên hệ tích phân mặt tích phân đường) Lưu ý: Cơng thức Stokes thường dùng dạng liên hệ tích phân đường loại tích phân mặt loại Pdx Q dy Rdz C với S S n (co s , cos R Q y z , cos ) cos P R z x cos Q P x y C Q dy ds (6 ), vector pháp đơn vị ứng với phía mặt cong * Để dễ nhớ viết cơng thức Stokes dạng “hình thức” sau Pdx cos cos cos cos x y z P Q R Rdz d s S TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.4 Định lý Stokes (liên hệ tích phân mặt tích phân đường) Ví dụ: Tính tích phân I x y dx dy z d z , C đường trịn C x y R mặt phẳng z = lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương trục Oz Theo định lý Stokes, chuyển tích phân thành tích phân mặt S, với S hình trịn x y R mặt phẳng Oxy hướng lên (theo chiều dương trục Oz) Vậy 2 I x y dx dy zdz dydz C x y 2 s in d r dr R 2 x y dxdy 2 R cos 0dxdz s in 4 r 6 R R TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.4 Định lý Stokes (liên hệ tích phân mặt tích phân đường) ydx zdy x d z , với C đường tròn giao mặt Ví dụ: Tính tích phân I C cầu x y z R mặt phẳng x y z hướng tích phân C hướng dương nhìn từ tia Oz Gọi S hình trịn với biên đường trịn C Theo định lý Stokes ta có: I dydz dxdz dxdy (c o s S cos x , cos y z cos ) ds, S , cos cos cosin hướng vector pháp Mà ta có: n , I 3 ds S , , 3 R n mặt phẳng TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.5 Định lý Gauss – Ostrogratski (liên hệ tích phân mặt tích phân bội ba) Cho miền đóng, bị chặn khơng gian, với biên S trơn khúc (tức chia S thành hữu hạn mặt trơn) Cho hàm P, Q, R đạo hàm riêng cấp chúng liên tục miền mở chứa Khi ta có cơng thức: Pdydz Q dxdz R dxdy S P Q R x y z dxdydz , ( ) tích phân mặt lấy theo phía ngồi mặt S Chú ý: Nhờ công thức G – O, ta tính thể tích vật thể cách tính tích phân mặt lấy P = x, Q = y, R = z Khi ( ) trở thành: dxdydz xd y d z ydxdz zdxdy S V ( ) với S mặt biên xd y d z ydxdz S lấy theo phía ngồi zdxdy , TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.5 Định lý Gauss – Ostrogratski (liên hệ tích phân mặt tích phân bội ba) Ví dụ: Tính tích phân I x dydz y dxdz z d x d y , với S phía ngồi mặt R cầu x y z 2 2 3 S Theo công thức G – O ta có: I (x y 2 z ) d xd yd z Chuyển sang tọa độ cầu I R d s in d d 12 5 R