SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán I. Đặt vấn đề: Trong việc dạy học Toán ở trường THPT: Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lý … ; thì việc giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THPT có thể coi việc giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán. Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy rằng sách giáo khoa được biên soạn khá công phu, sắp xếp hệ thống kiến thức khoa học. Hệ thống bài tập đa dạng, số lượng bài tập ở trong sách giáo khoa đã đủ với tất cả học sinh. Tuy nhiên chúng ta có thể hướng dẫn các em “khai thác phát triển” thành những bài toán hay hơn đa dạng hơn…Làm như vậy sẽ góp phần quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh, kích thích sự tìm tòi sáng tạo phát huy được khả năng tư duy cho học sinh. Đứng trước một bất cứ hệ thống kiến thức toán học nào, nếu người giáo viên biết khéo léo khai thác thì đều có thể rèn luyện tư duy cho học sinh một cách có hiệu quả. Tuy nhiên do thời gian hạn chế nên trong phạm vi SKKN này tôi chỉ đi sâu vào nghiên cứu việc: “ÔN TẬP HÌNH HỌC THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN QUEN THUỘC”. Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi phân loại theo các câu hỏi theo từng dạng chủ điểm của hình học không gian lớp 11 và lớp 12 với mục đích ôn tập. II. Giải quyết vấn đề: Đề bài: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. SA ⊥ (ABCD), SA= 3a . Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AD, BC, SC. B C A D S O H K I J N M P Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 1 Q c b a M H C B A SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ABC∆ vuông ở A ta có : Định lý Pitago : 2 2 2 BC AB AC= + AB. AC = BC. AH 2 2 . ; .BA BH BC CA CH CB= = 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + sin , , tan ,cot b c b c B c B B B a a c b = = = =os BC = 2AM b = a. sinB = a.cosC c = a. sinC = a.cosB b = c. tanB = c.cot C a = sin cos b b B C = 2.Hệ thức lượng trong tam giác thường * Định lý hàm số Côsin: .= + − 2 2 2 a b c 2bccosA * Định lý hàm số sin: 2 sin sin sin a b c R A B C = = = 3. Các công thức tính diện tích. a/ Công thức tính diện tích tam giác: 1 2 S = a.h a = 1 . . . sin 2 4 a b c a b C R = b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S = 1 2 (chéo dài x chéo ngắn) e/ Diện tích hình thang : 1 2 S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao f/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao g/ Diện tích hình tròn : 2 .R π =S * Các câu hỏi liên quan: Bài 1. Tính độ dài các cạnh: 1) SB, SC, SD, SO. 2) SH, SI, SK 3) AK, AH, AI, BJ, DJ. 4) AQ, OM, OQ, OJ. Giải Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 2 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán 1) 2 2 2 2 2 2 2 5 14 2 SD SB SA AB a SC SA AC a a SO SA AO = = + = = + = = + = 2) 2 2 3 3 . 2 2 a SH SB SA SH SK a a = ⇒ = = = 2 2 3 3 5 . 5 5 a SI SC SA SI a a = ⇒ = = 3) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 1 1 1 30 5 a AH AK AH SA AB a AI AI SA AC = + ⇒ = = = + ⇒ = 2 2 2 1 1 1 2 5 5 a DJ BJ BJ SB BC = + ⇒ = = AQ là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông SAC nên 5 2 2 SC a AQ = = 4) 2 a OM ON OP= = = OQ là đường trung bình tam giác SAC nên 3 2 2 SA a OQ = = Tam giác BJD cân tại J (∆SBC=∆SDC), JO là đường trung tuyến nên JO⊥BD. 2 2 30 10 a JO JB OB= − = Bài 2. Tính diện tích: 1) Các ∆ SAD, ∆ SAB, ∆ SBC, ∆ SCD, ∆ BJD. 2) Hình vuông ABCD 3) Hình chữ nhật ABPN 4) Hình thang AMOD, BDNM 5) Hình tròn ngoại tiếp và hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD Giải 1) 2 1 3 . 2 2 SAD SAB a S S SA AB= = = 2 2 2 2 5SB BC a SC+ = = ⇒ ∆SBC vuông tại B. Chứng minh tương tự ta được ∆SCD vuông tại D Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 3 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán 2 1 . 2 SBC SCD S S SB BC a= = = 2 1 15 . 2 10 BJD a S OJ BD= = 2) 2 ABCD S a= 3) 2 2 ABPN a S = ( ) 2 1 3 2 4 AMOD S AD OM AM a= + = 2 2 2 3 2 8 8 BMND ABD AMN a a a S S S= − = − = 4) Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông: 2 2 1 2 a S R π π = = Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông: 2 2 2 4 a S r π π = = Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 4 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 A.QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Định nghĩa: Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung. / /( ) ( )a P a P⇔ ∩ = ∅ a (P) 2.Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P) ( ) / / / /( ) ( ) d P d a d P a P ⊄   ⇒   ⊂  d a (P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a. / /( ) ( ) / / ( ) ( ) a P a Q d a P Q d   ⊂ ⇒   ∩ =  d a (Q) (P) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó. ( ) ( ) ( ) / / / / ( ) / / P Q d P a d a Q a ∩ =   ⇒    a d Q P * Các câu hỏi liên quan: Bài 3. Chứng minh các đường thẳng song song: 1) PN//AB//CD 2)MO//AD//BC 3) QP // SB 4) MN//BD 5) KH//BD 6)OJ//AI. Bài 4. Chứng minh các đường thẳng song song với mặt phẳng: 1) PN//(SAB), PN//(SCD) 2) MO// (SAD), BC // (OQM)//AD, MO // (SBC) 3) CD// (QPN), CD//(SNP) 4) MN, KH//(SBD), MN, KH//(JBD), BD// (MNKH), (QMN), KH //(ABCD), BD//(AKH). Bài 5. Tìm giao tuyến của: 1) (SAB) và (SCD) 2) (SAD) và (SBC) Giải Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 5 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán Bài 3. Chứng minh các đường thẳng song song: 1) PN là đường trung bình của hình vuông ABCD nên PN//AB//CD 2) MO là đường trung bình của hình vuông ABCD nên MO//AD//BC 3) QP là đường trung bình của ∆SBC nên QP // SB 4) MN là đường trung bình của ∆ABD nên MN//BD 5) SH SK SB SD = ( 2 2 SA SH SK SB = = , SB=SD) suy ra HK//BD 6) OJ//AI (cùng vuông góc với SC, OJ vuông góc với SC bằng định lý Talet (tính độ dài các đoạn thẳng tỷ lệ bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông) hoặc sử dụng kiến thức ở phần ôn tập 3) Bài 4. Chứng minh các đường thẳng song song với mặt phẳng: 1) ( ) ( ) ( ) PN SCD PN CD PN SCD CD SCD ⊄   ⇒   ⊂  P P Chứng minh tương tự ta được PN//(SAB) (PN//AB), 2) MO// (SAD), MO // (SBC) BC // (OQM)//AD (vì MO//AD), 3) CD// (QPN) (CD//PN), CD//(SNP) (CD//PN), 4) Vì MN//BD//HK nên MN, KH//(SBD), MN, KH//(JBD), BD// (MNKH), (QMN), KH //(ABCD), BD//(AKH) Bài 5. Giao tuyến: (SAB) và (SCD), (SAD) và (SBC) 1) ( ) ( ) ( ) ( ) S SAB SCD SAB SCD Sx AB CD AB CD  ∈ ∩  ⇒ ∩ =    P P P 2) ( ) ( ) ( ) ( ) S SAD SBC SAD SBC Sy AD BC AD BC  ∈ ∩  ⇒ ∩ =    P P P Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 6 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung. ( ) ( ) ( ) ( )P Q P Q⇔ ∩ = ∅P Q P 2.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau. , ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) a b P a b I P Q a Q b Q ⊂   ∩ = ⇒    P P P I b a Q P ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia. ( ) ( ) ( ) ( ) P Q a Q a P  ⇒  ⊂  P P a Q P ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q R P a a b R Q b   ∩ = ⇒   ∩ =  P P b a R Q P * Các câu hỏi liên quan: Bài 6. Chứng minh hai mặt phẳng song song: 1) (OQM)//(SAD) 2) (QNP) // (SAB) 3)(AKH) // (JBD) Giải 1) (OQM)//(SAD) , ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) OQ OM OQM OQ OM O OQM SAD OQ SAD OM SAD ⊂   ∩ = ⇒    P P P 2) (QNP) // (SAB) , ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) OQ NP QNP OQ NP O QNP SAB OQ SAB NP SAB ⊂   ∩ = ⇒    P P P 3)(AKH) // (JBD) Ta chứng minh HI// BJ và DJ//IK bằng định lý Talet (tính độ dài các đoạn thẳng tỷ lệ bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông) Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 7 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán , ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) HI IK AKH HI IK I AKH JBD HI BJD IK BJD ⊂   ∩ = ⇒    P P P (ta có thể chứng minh 2 mặt phẳng này song song do cùng vuông góc với SC ở phần ôn tập 3) Bài tập tổng hợp Bài 7. Tìm thiết diện của (α) và hình chóp, thiết diện là hình gì? Với (α) lần lượt là các mặt phẳng 1) (NPQ) 2) Mặt phẳng qua MN và song song với SA. Bài 8. a) T là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua QT và song song với BC. Tìm thiết diện của (P) và hình chóp. b) Xác định vị trí điểm T để thiết diện là hình bình hành. c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi T di động trên cạnh SA. Bài 9.Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm T di động trên đoạn OC. a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P). b) Tính diện tích thiết diện theo a và x = CT. Giải Bài 7. 1) (α) là (NPQ) B C A D S O J N M P R OQ//SA (đường trung bình) Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 8 Q SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán Từ N kẻ NR//SA (R thuộc SD) suy ra R là trung điểm SD ⇒QR//CD//NP. Thiết diện là hình thang NPQR 2 B C A D S O U J N M Q P R T Kẻ MT// SA (T∈SB) Kẻ NR// SA (R∈SD) MN∩AC=X, kẻ XU // SA (U∈SC) Thiết diện là ngũ giác MNRUT Bài 8. a) Dựng QR//BC (R∈SB) Dựng TV//AD (V∈SD) Thiết diện là hình thang QRTV b) Hình thang QRTV là hình bình hành ⇔ QR=TV 1 2 TV QR AD BC ⇒ = = ⇒ T là trung điểm SA c) ( ) ( ) ( ) ( ) AB CD SAB SCD Sx AB CD S SAB SCD   ⇒ ∩ =  ∈ ∩   P P P ( ) ( ) ( ) ( ) U RT SAB U RT QV U SAB SCD U Sx U QV SCD  ∈ ⊂  = ∩ ⇒ ⇒ ∈ ∩ ⇒ ∈  ∈ ⊂   Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 9 X SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán T A U AR DQ E T S U SR SQ S ≡ ⇒ = ∩ = ≡ ⇒ = ∩ = T là trung điểm SA thì RT//QV Vậy tập hợp điểm U là đường thẳng Sx//AB//CD bỏ đi đoạn SE. B C A D S O J N M Q P R T Bài 9. B C A D S O U V R T a) Q ua T dựng UV//BD (U∈BC, R∈CD) Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 10 V R U [...]... bài tốn được khai thác từ một đề bài quen thuộc cho từng nhóm kiến thức cơ bản của hình học lớp 9, 11, 12 Khi gặp lại một mơ hình gần gũi, quen thuộc, xun suốt q trình học, học sinh sẽ có một cái nhìn hệ thống và dễ tiếp cận từ đó thấy rằng mơn hình học khơng gian khơng phải là một mơn học q khó, khơng thể nắm bắt được Ở đây, tơi chỉ trình bày việc khai thác bài tốn với hình học thuần túy Đề tài này... Thị Hồng Vân Trang 22 SKKN: Ơn tập hình học thơng qua việc khai thác một bài tốn 2 2 S ∆ASB = S∆SBD cos 2 a 2 2 S ∆ASD = S∆SBD cos 2 b 2 2 2 2 Cộng các vế và do kết quả câu a) ta có b) S ∆SBD = S ∆ASB + S ∆ASD + S ∆ABD 2 2 S ∆ABD = S∆SBD cos 2 c Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 23 SKKN: Ơn tập hình học thơng qua việc khai thác một bài tốn ƠN TẬP 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A THỂ TÍCH KHỐI CHĨP... SKKN: Ơn tập hình học thơng qua việc khai thác một bài tốn Bài 23 S Q A D O B C 1) Ta có ∆SAC, ∆SBC, ∆SDC là các tam giác vng có cạnh huyền là SC ⇒ SQ=QC=QA=QB=QD ⇒ Q là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bán kính R = SC a 5 = 2 2 2  5 2 S = 4π  a ÷ = 5π a  2  3 4  5  5π a 3 5 V = π a ÷ = 3  2  6 Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 29 SKKN: Ơn tập hình học thơng qua việc khai thác một bài tốn... hướng đặt mơ hình vào trong một hệ trục tọa độ và qua đó có thể ơn tập được mảng hình học giải tích trong khơng gian mà học sinh được học trong học kỳ 2 của lớp 12 Ngồi ra, các bài tốn trên chắc chắn còn có nhiều hướng khai thác khác, rất mong q thầy cơ tiếp tục phát triển xem Tốn học vốn đa dạng, phong phú, tùy theo từng chủ để giáo viên có thể khai thác theo nhiều hướng khác nhau Việc khai thác triệt... tâm hình vng ABCD) (2) (1) và (2) ⇒ O là tâm mặt cầu đi qua bảy điểm A, B, C, D, H, I, K Bán kính R = OA = a 2 2 2 a 2 2 S = 4π  ÷ = 2π a  2  3 4  a 2  π a3 2 V = π ÷ = 3  2  3 Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 30 SKKN: Ơn tập hình học thơng qua việc khai thác một bài tốn III Kết luận – Hướng phát triển thêm Trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm này tơi đã trình bày một số bài tốn được khai thác. .. Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 21 SKKN: Ơn tập hình học thơng qua việc khai thác một bài tốn Bài 19 Các câu hỏi mang tính tổng hợp 1)Trong bài 10 từ câu 1),2) 3),4) cho ta kết luận SC ⊥ AH, SC ⊥ AK nên SC ⊥ (AHK ) • Từ giả thiết ta cũng có SC ⊥ AK, SC ⊥ AI ⇒ SC ⊥ (AKI), qua A chỉ có một mặt phẳng duy nhất vng góc với SC vậy (AKH ) ≡ (AKI) ⇒ AH,AK,AI cùng nằm trêm mặt phẳng qua A và vng góc với SC · 2) Ta đã... Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 11 SKKN: Ơn tập hình học thơng qua việc khai thác một bài tốn Bài 11 Chứng minh hai đường thẳng vng góc 1) BC ⊥ SB 2) CD ⊥ SD 3) BD ⊥ SO 4) BD ⊥ SC 5) AH ⊥ SC 6) AK ⊥ SC 7) AI ⊥ HK 8) DJ ⊥ SC Giải Bài 10 Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 1) BC ⊥ AB (g/t hình vng), BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD),BC ⊂ (ABCD)) ⇒ BC ⊥ (SAB) 2) CD ⊥ AD (g/t hình vng), CD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD),CD ⊂... (P),(P’) A ϕ C B * Các câu hỏi liên quan: Bài 16 Tính góc giữa 2 đường thẳng Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 18 SKKN: Ơn tập hình học thơng qua việc khai thác một bài tốn ( · 1 SA, BC ) ( · 2 SD, BC ) Bài 17 Tính góc giữa 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng 1) SB; (ABCD) 2) SC; (ABCD) 3) SD; (ABCD) 4) SO; (ABCD) 5) SC; (SAB) 6) SC;(SAD) 7)SO;(SAB) 8)SO;(SAD) 9) SA;(SCD) 10)SA;(SBC) Bài 18 Tính góc giữa 2 mặt phẳng... SA, AD = SDA · tan SDA = SA a 3 · = = 3 ⇒ SDA = 600 AD a Bài 17 Tính góc giữa 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng 1) SA ⊥ (ABCD) (gt) ⇒ AB là hình chiếu của SB trên (ABCD) SA · · · · = 3 ⇒ SBA = 600 ⇒ ( SB,( ABCD )) = SBA ⇒ tan SBA = AB Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 19 SKKN: Ơn tập hình học thơng qua việc khai thác một bài tốn 2) SA ⊥ (ABCD) (gt) ⇒ AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) SA 6 · · · ⇒ ( SC ,( ABCD... (ABCD) Bài 14 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng 1) A; SC 2) O; SC 3)O;SB 4)O;SD Bài 15 Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng 1) AD; SC 2) AB; SC 3) BC; SA 4) CD; SA 5) AB; SO 6) CD; SO 7) BC; SD 8) AD; SB Giải Bài 13 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng 1) CB ⊥ (SAB) (câu 10.1) ⇒ d(C,(SAB) = CB = a Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 15 SKKN: Ơn tập hình học thơng qua việc khai thác một bài tốn . SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán I. Đặt vấn đề: Trong việc dạy học Toán ở trường THPT: Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc. 2 5SB BC a SC+ = = ⇒ ∆SBC vuông tại B. Chứng minh tương tự ta được ∆SCD vuông tại D Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 3 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán 2 1 . 2 SBC SCD S S. tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông: 2 2 1 2 a S R π π = = Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông: 2 2 2 4 a S r π π = = Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 4 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai