[...]... w1 y và I(w) = I(w1 ) nên à(y 1 ) = {{t ti |i I(w)}|w y 1 } = {{t ti |i I(w1 )}|w1 y} = {{t ti |i I(u)}|u y} = à(y) Do đó f (X; T, t) là một nhóm con mờ của F (X) Đặt mờ tự do của Định lí 2.3 f (X; T, t) X, T và t Nhóm con mờ Định nghĩa 2.4 F (X) ([17]) theo của F (X) được gọi là nhóm con Mọi nhóm con mờ đều là ảnh đồng cấu của một nhóm con mờ tự do Chứng minh Giả sử nhóm con mờ của G G... theo nhóm con mờ và được kí hiệu là của G theo nhóm con chuẩn tắc /N Ta có kết quả sau: Cho à N F(G) và N F(H), với H là một nhóm Giả sử f là một toàn cấu nhóm từ G lên H Khi đó 1) f (à) N F(H) 2) f 1 () N F(G) Mệnh đề 1.15 12 Trên đây là khái niệm nhóm con mờ chuẩn tắc của một nhóm Tiếp theo ta xây dựng nhóm con mờ chuẩn tắc của một nhóm con mờ à nhóm con mờ chuẩn tắc của nhóm con mờ , kí à(xyx1... kết quả sau: Cho G là một nhóm và xt , ys lần lượt là các điểm mờ của G Khi đó xt ys = (xy)ts và (xt )1 = (x1 )t Mệnh đề 2.1 Khái niệm, cách xây dựng và các tính chất của nhóm con mờ tự do có những đặc điểm tương tự nhóm tự do Vì vậy, trước khi trình bày khái niệm và xây dựng nhóm con mờ tự do chúng tôi trình bày lại một số ý tưởng cơ bản liên quan đến cấu trúc của một nhóm tự do I là một tập chỉ số,... nhất của ài F(G) con mờ G chứa à Nhóm con mờ chuẩn tắc Các khái niệm và kết quả trong mục này được trích dẫn từ [4] (Ch 1), [12], [13] và [14] Định nghĩa 1.11 Cho à F(G) Khi đó à được gọi là nhóm con mờ chuẩn tắc của G nếu à là tập con mờ Abel của G, nghĩa là à(xy) = à(yx), x, y G Tập hợp tất cả các nhóm con mờ chuẩn tắc của Nhận xét 1.3 Nếu G G kí hiệu là N F(G) là một nhóm nhân Abel thì mọi nhóm con. .. nhóm con mờ chuẩn tắc của à nên áp dụng Mệnh đề 1.10 suy ra (ài ) là các nhóm con chuẩn tắc của Theo Hệ quả 1.1, à Giả sử jI và x (àj ) iI\{j} (ài ) Khi đó x (àj ) Suy ra (àj iI\{j} ài )(x) >0 nên x = e 22 Vậy à = iI (ài ) iI\{j} (ài ) Chương 2 Nhóm con mờ tự do và sự thể hiện của nhóm con mờ Trong chương này, các khái niệm về nhóm con mờ tự do cùng với các khái niệm dẫn xuất và các kết... () Do đó à N F(G) 1) Với mọi Định nghĩa 1.13 con mờ chuẩn tắc Nhóm G/à được gọi là nhóm thương của G theo nhóm à Chứng minh của mệnh đề sau là đơn giản: Cho F(G) và N là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G Ta định nghĩa FP(G) như sau: (xN ) = {(z)|z xN }, x G Khi đó F(G/N ) Mệnh đề 1.14 Định nghĩa 1.14 Nhóm con mờ nhóm con mờ thương N của G xác định trong Mệnh đề 1.14 được gọi là theo nhóm con. .. F(G) và à Ă Khi đó à Ă và à Ă 13 Qua phép đồng cấu nhóm và phép lấy nghịch ảnh của đồng cấu nhóm, nhóm con mờ chuẩn tắc của một nhóm được bảo toàn Đối với nhóm con mờ chuẩn tắc của một nhóm con mờ ta cũng có điều tương tự Cho f : G H là một đồng cấu nhóm Khi đó 1) Nếu à, F(G), à Ă thì f (à) Ă f () 2) Nếu à, F(H), à Ă thì f 1 (à) Ă f 1 () Mệnh đề 1.18 1.4 Đồng cấu và đẳng cấu Tương tự mục... (x), x, y G Định nghĩa 1.15 Cho à, F(G) và à được à Ă , nếu Khi đó, hiệu gọi là một Nhận xét 1.4 1) Nếu G1 và G2 là các nhóm con của G thì G1 Ă G2 khi và chỉ khi 1G1 Ă 1G2 Do đó ta cũng có 1G Ă 1G và 1e Ă 1G 2) Nếu à N F(G), F(G) và à thì à Ă 3) Mỗi nhóm con mờ là một nhóm con mờ chuẩn tắc của chính nó 4) à FP(G) là nhóm con mờ chuẩn tắc của G khi và chỉ khi àĂ1G Thật 1 vậy, rõ ràng à ... duy Do đó ta có sự thể hiện: e1 , w1/2 , x1/3 , y1/3 , z1/4 |w = xy, z 4 = e, y 2 = e, x = z 2 , yz = z 3 y trong đó dấu gạch ngang trên các phần tử sinh được bỏ đi 2.3 Xây dựng nhóm con mờ tự do Định nghĩa 2.7 Cho X là một tập con mờ của X tập mờ Nếu G là một nhóm và à là một là một tập hợp và được gọi là một Khi đó cặp (X, ) nhóm con mờ của (G, à) được gọi là một nhóm mờ Cho (G, à) là một nhóm mờ, ... Trong nhóm con mờ 28 2.2 Sự thể hiện của nhóm con mờ Khái niệm thương là cần thiết để định nghĩa một sự thể hiện Vì vậy, trước hết chúng tôi nhắc lại khái niệm nhóm con mờ thương (xem Mệnh đề 1.14 và Định nghĩa 1.14) với sự thay đổi về kí hiệu để thuận tiện cho việc trình bày Trong mục này, chúng tôi luôn kí hiệu là một nhóm con mờ của G là một nhóm N là một nhóm con chuẩn tắc của G Ta định nghĩa tập con