MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ RỘNG VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP A ĐẶT VẤN ĐỀ: Bắt đầu từ năm 2009-2010 trường THPT Nguyễn Hữu Huân thức tuyển sinh lớp chuyên có lớp chun tốn Việc giảng dạy lớp chun địi hỏi người giáo viên phải tìm hiểu sâu vấn đề tốn học, sở chương trình chun áp dụng cho trường chuyên thành phố Hồ Chí Minh Mặc dù khơng phân cơng trực tiếp dạy lớp chuyên tình hình thiếu giáo viên hai năm đầu, phân công hỗ trợ chuyên đề cho lớp 11 Chuyên Toán, chuyên đề ĐẠI SỐ TỔ HỢP Hạn chế trường mở lớp chuyên tài liệu chuyên trường ít, hầu hết giáo viên không trang bị thêm kiến thức kĩ giảng dạy chun, đa số tự tìm tịi đọc sách, tra cứu qua mạng Các nguồn tài liệu chuyên nhiều khơng có hệ thống, mức độ khơng dành cho học sinh phổ thơng nên việc tìm tài liệu đáp ứng cho chuyên đề không đơn giản Nhằm mục đích tự trang bị thêm cho giúp tổ môn số tiết chuyên đề đại số tổ hợp cho lớp 11, chọn lọc số tài liệu, khái niệm mở rộng, ví dụ, tập ứng dụng cho khái niệm sách giáo khoa trường hợp đặc biệt khái niệm tổng quát hơn, xử lý nhiều dạng hơn, đánh giá vấn đề góc nhìn khác hơn, để viết nên chuyên đề Mặc dù cố gắng cịn hạn chế nhiều mặt nên chắn viết cịn nhiều sơ sót chủ quan, tơi mong đóng góp từ phía đồng nghiệp nhằm bổ sung, chỉnh sửa để viết hoàn thiện B NỘI DUNG: I) Các khái niệm nhắc lại II) Mở rộng phép toán tập hợp III) Số phần tử tập hợp hữu hạn IV) Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp V) Chỉnh hợp lặp VI) Hoán vị lặp VII) Tổ hợp lặp VIII) Áp dụng vào khai triển đa thức MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN NỘI DUNG: CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP I) Các khái niệm nhắc lại 1) Các phép toán tập hợp: A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B} A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B} A \ B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B} A ⊂ X ⇒ A = CX A = X \ A 2) Ánh xạ: đơn ánh toàn ánh song ánh ♦song ánh gọi ánh xạ 1–1 (hay tương ứng 1–1) ♦nếu có song ánh từ tập A đến tập B A, B có số phần tử (cịn gọi có lực lượng) 3) Phép chứng minh quy nạp: Cho mệnh đề P(n) với n ∈ N *  P(1) Nếu   vói k > 1, gia su P(k) mà P(k + 1) cung P(n) đúng, ∀n ∈ N * Lưu ý: mệnh đề P(n) từ n = p trở (với p số) 4) Kí hiệu: i = 1, n để số tự nhiên i chạy từ đến n T(A) để tập hợp gồm tất tập A II)Mở rộng phép toán tập hợp 1) Hợp n tập hợp n  { Ai = x / ∃i = 1, n : x ∈ Ai i =1 2) } Giao n tập hợp: A = { x / ∀i = 1, n : x ∈ A } n i i i =1 3) Tính chất phép hợp giao A ∩ (B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) 4) Tích Đềcác (Descartes): MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN ♦ Tích Đề hai tập hợp A B tập hợp kí hiệu gồm phần tử A ×B = (a, b ) / a ∈ ∧ ∈ } { A b B ♦ Tích Đề n tập hợp A1 , A2 , , An { } A ×A2 × ×An = (a1 , a2 , , an ) / ∈Ai , ∀ =1, n i ♦Đặc biệt tích Đề n tập hợp A { } An =  × A× × A = ( a1 , a2 , , an ) / ∈ A, ∀ =1, n A  i   n lan Ví dụ: cho A = {1;2;3} ; B = { a; b} A × B = { (1, a); (1, b ) ; ( 2, a); (2, b ) ; ( 3, a); (3, b )} Hãy nêu tập tích B × A; A2 ; B nhận xét khác phần tử tập hợp Ví dụ: Có tương ứng 1–1 từ tập R = { ( x; y ) / x, y ∈ R} đến tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ Oxy nên ta gọi tập hợp R Nhận xét: Tích Đềcác phép tốn có thứ tự Các phần tử (a;b) A× B gọi cặp thứ tự, phần tử ( a1 , a2 , , an ) A1 × A2 × × An gọi n–sắp thứ tự III) Số phần tử tập hợp hũu hạn Xét tập hợp A có hữu hạn phần tử Kí hiệu A số phần tử A 1) Số phần tử hợp n tập hợp hữu hạn: • Cho n tập Ai , i = 1, n không giao Số phần tử hợp n tập tổng số phần tử tập n  i =1 n Ai = ∑ Ai , i = 1, n i =1 Ai ∩ A j = φ , ∀i, j ∈ {1;2; ; n} (thử chứng minh cơng thức trên) • Với A ⊂ X : A = CX A = X − A • Cho tập hợp A, B Số phần tử A ∪ B tổng số phần tử A B trừ số phần tử A ∩ B A ∪B = A + B − A ∩B • Cho tập hợp A, B, C A ∪B ∪ = A + B + C − A ∩ − B ∩ − C ∩A + A ∩ ∩ C B C B C (thử chứng minh công thức tự mở rộng cho n tập bất kỳ) Vi dụ: tập số tự nhiên từ đến 280 có số chia hết cho số 2, 3, 7? Bao nhiêu số không chia hết cho ba? MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN  280  = 140 Giải: số số chia hết cho      280  = 93 số số chia hết cho      280  = 56 số số chia hết cho      280  = 46 số số chia hết cho      280  = 28 số số chia hết cho   10    280  = 18 số số chia hết cho   15    280  =9 số số chia hết cho ba   30   Suy cố số chia hết cho ba số 140 + 93 + 56 − 46 − 28 − 18 + = 206 số Suy số số không chia hết cho ba số 280 – 206 = 74 2) Số phần tử tập tích Đềcác:  Tích B với A = n , B = k : Với i = 1, n , ghép với k phần tử B Vậy với n phần tử A có n × k cách ghép thành phần tử B Ta có: A ×B = A B  Tích A1 × A2 × × An với Ai = ki , phép quy nạp ta chứng minh A1 × A2 × × An =k1.k k n (thử chứng minh công thức trên)  Đặc biệt An = A n 3) Bài tốn tìm số ánh xạ từ tập hữu hạn đến tập hữu hạn Cho A có k phần tử, B có m phần tử Từ A đến B thiết lập ánh xạ? Với ánh xạ f từ A tới B, ta cho ứng với ảnh k phần tử ( a1 , a2 , , ak ) MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP ( f (a1 ), f (a2 ), , f (ak ) ) LÝ THỊ THÚY LAN k–sắp thứ tự B phần tử tích Đềcác B k k k k Tương ứng 1–1 nên số ánh xạ f từ A vào B B = B = m 4) Bài toán số tập tập hợp hữu hạn: Chứng minh số tất tập tập hợp gồm n phần tử n Giải: dùng quy nạp, gọi T(A) tập chứa tất tập A với n = 1, A có tập rỗng nó, T(A) = giả sử tập hợp A gốm k phần tử a1 , a2 , , ak có 2k tập Nếu ghép vào A phần tử ak +1 ta tập A’ có k + phần tử T(A’) chia thành phần, phần gồm tất tập có chứa ak +1 phần gồm tập không chứa ak +1 Kí hiệu A* tập A’ chứa ak +1 , A* ∈ T ( A' ) \ T ( A) Khi với tập A* A’, ta đặt tương ứng với tập phần bù A’, tức A’\A*, tập không chứa ak +1 nên A Tương ứng 1–1 nên số tập A* A’ với số tập A 2k Ngoài T ( A' ) = T ( A) + { A *} nên T ( A' ) = T ( A) = 2.2 k = k +1 n Vậy A có n phần tử T ( A) = Cách giải khác: cho A có n phần tử, xét tập Y = { 0,1} Với tập B A ta lập ánh xạ f : A → Y cho x ∈ B f(x) = 1, x ∉ B f(x) = Tương ứng từ T(A) đến tập ánh xạ 1–1 nên T ( A) số ánh xạ từ A tới Y k 5) Chứng minh quy tắc cộng quy tắc nhân phép đếm Quy tắc cộng: Một tốn chọn cho khả A1 , A2 , , Ak xảy chia thành k trường hợp A1 , A2 , , Ak , trường hợp Ai , i = 1, k có cách chọn, giả sử khơng có cách chọn Ai có phần chung với cách chọn A j Kết có k ∑a i =1 i cách chọn Để giải tốn chọn ta xét k tập hợp A1 , A2 , , Ak Ai ∩ A j = φ , ∀i, j = 1, k , k cách chọn phần tử Ai , u cầu tốn tìm số phần tử  i =1 Ai , MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP k số cách chọn  i =1 LÝ THỊ THÚY LAN k Ai = ∑ Ai i =1 Hệ quả: Số cách chọn toán A X, (tức thỏa A khơng chọn) A= X − A Có thể mở rộng quy tắc cộng cho k trường hợp tùy ý ( có giao) MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN Quy tắc nhân: Bài toán chọn đồng thời A1 , A2 , , Ak , cơng đoạn Ai , i = 1, k có cách chọn có kết a1.a2 ak cách chọn Ta xét cách chọn ( A1 , A2 , , Ak ) phần tử tích đề A1 × A2 × × Ak , số cách chọn theo yêu cầu toán số phần tử tập tích Đềcác tức a1.a2 ak IV) Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp: 1) Hốn vị: VD1: Tìm số song ánh lập từ tập A có n phần tử lên VD2: có cách xếp thứ tự tập hợp {1;2; ;2n} cho số chẵn vị trí chẵn 2) Chỉnh hợp: •Tìm số đơn ánh lập từ tập A có k phần tử đến tập B có n phần tử, với ≤ k ≤ n •Trong mặt phẳng cho n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Hỏi có đường gấp khúc hở, đường gấp khúc khép kín gồm k cạnh tao thành 3) Tổ hợp: Trong tập hợp A gồm n phần tử { a1 , a2 , an } chứng minh số tập chứa phần tử số tập không chứa Ta gọi X tập tất tập chứa , Y tập tất tập không chứa lập ánh xạ f từ X vào Y cho ứng với tập B chứa , f(B) tập phần bù B A, f đơn ánh Ngược lại tập B’ Y ảnh A\B’ nên f toàn ánh Suy f song ánh nên X = Y k n−k k −1 k k Bằng ngôn ngữ tập hợp, chứng minh tính chất Cn = Cn Cn −1 + Cn −1 = Cn V) Chỉnh hợp lặp: 1) Định nghĩa Cho tập hợp X = { a1 , a2 , , an } , từ X ta lấy phần tử, sau bỏ phần tử trở lai X, tiếp tục lấy phần tử thứ hai,… đến lấy phần tử thứ k, ta k–sắp thứ tự gọi chỉnh hợp có lặp chập k n phần tử (vì phần tử lấy lần sau lặp lại phần tử lấy trước đó) k Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: An = n k chứng minh: cách MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN ta chia làm k giai đoạn: giai đoạn có n cách chọn phần tử để lấy nên có n k cách lập chỉnh hợp lặp chập k n phần tử cách 2: chỉnh hợp lăp chập k n phần tử xem phần tử tích Đề X k , số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử số phần tử tích n k 2) Bài tập: 1/ Có cách chọn để cất 10 đồ vào hộp, biết hộp đựng 10 món? 2/ Có số điện thoại bàn tạo biết số phải bắt đầu 38, 39, 24 25 số điện thoại bàn có chữ số? 3/ Trong máy tính kí tự xem byte mã hóa chuỗi nhị phân có chữ số Với cách mã hóa biểu diễn kí tự? 4/ Một người vào nhà sách mua số sách Trong nhà sách có n tựa sách, tựa sách có p Hỏi người có định chọn mua sách mà không tay không? 5/ Trên loại vải có màu khác nhau, nhà thiết kế cho phép xướng ngôn viên đài truyền hình chọn số kiểu áo khác chọn màu để may cho họ dẫn chương trình Hỏi họ có lựa chọn? HD: có 35 màu kiểu để người chọn, nên có 353 lựa chọn 6/ Có kết khác từ việc tung đồng xu n lần? 7/ Có kết khác từ việc gieo xúc xắc n lần? 9/ Một hình chữ nhật chia thành n.p vng (n cột, p dịng) Có cách đặt n vật vào vng đó, chứa vật, cho khơng có vật thuộc cột (có thể dịng) biết: a) n vật giống hệt b) vật khác đơi HD: a) chọn p dịng cho cột chỉnh hợp có lặp chập p n phần tử b) chọn cột cho n vật khác có n! cách, cột lại chọn p dịng, nên có … VI) Hốn vị lặp: 1) Định nghĩa: Hốn vị có lặp cấp n kiểu k1 , k , , k m chỉnh hợp có lặp chập n m phần tử quan tâm đến số lần lặp lại phần tử thứ i ki Như k1 + k2 + + km = n Số hoán vị lặp cấp n kiểu k1 , k , , k m m phần tử Cn ( k1 , k , , km ) = n! k1!k2 ! k m ! MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN Chứng minh: Nếu thay ki phần tử thứ i phần tử khác ta hốn vị khơng lặp với n phần tử Cn (k1 , k , , k m )k1!k ! k m != n! 2) Số phân hoạch tập hợp hữu hạn: Cho tập hợp X có n phần tử, phân chia tập X thành m tập rời rạc X i , i = 1, m có số phần tử theo thứ tự ki Số cách phân chia (gọi số phân hoạch X theo kiểu ki ) Cn (k1 , k , , k m ) = n! k1!k ! k m ! 3) Ví dụ: • có cách gieo xúc xắc 21 lần với lần xuất số 1, lần xuất số 2,…, lần xuất số 6? • có cách gieo đồng xu n lần có k lần xuất mặt sấp? 4) Nhận xét: Cn ( k , n − k ) = n! k = Cn k!( n − k )! 5) Bài tập 1/ Có cách đặt đèn xanh đèn đỏ thành hàng 2/ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số biết chữ số có mặt ba lần, chữ số có mặt hai lần, chữ số khác có mặt lần 3/ Có cách chia 10 người thành ba nhóm cho số người nhóm theo thứ tự 2, 3, 4/ Có số hốn vị từ số 19001289 5/ Có cách chia tập hợp gồm m+n phần tử thành hai nhóm chứa m n phần tử? Ví dụ: chia { a, b, c, d } thành hai nhóm nhóm phần tử 6/ Có cách chia tập hợp gồm 2m phần tử thành hai nhóm, nhóm m phần tử? 7/ Có cách chia tập hợp gồm m+n+p phần tử thành ba nhóm chứa m, n p phần tử? 8/ Có cách chia tập hợp gồm 3m phần tử thành ba nhóm, nhóm m phần tử? 9/ Có chữ số 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, Có số khác gồm chữ số rút từ số đó? VII) Tổ hợp lặp: 1) Định nghĩa: Cho n phần tử Một tổ hợp lặp chập k n phần tử nhóm gồm k phần tử phần tử trùng lặp lại lấy từ n phần tử cho MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN Lưu ý: gọi nhóm, khơng gọi tập hợp tập hợp phần tử viết lần 2) Ví dụ: a) Tổ hợp lặp chập phần tử { a; b} aaa, aab, abb, bbb b) Tổ hợp lặp chập phần tử { a; b; c} aa, ab, ac, bc, bb, cc −1 3) Số tổ hợp lặp chập k n phần tử Cnk = Cnk+ k −1 = Cnn+ k −1 Chứng minh: Cách 1:Cho tập hợp X có n phần tử, tổ hợp lặp chập k xem đơn thức có k k k dạng a1 a2 an n a1; a2 ; ; an n phần tử X, k1; k2 ; ; kn số tự nhiên thỏa k i ≥ k1 + k + + k n = k Đặt ki +1 = li , ta có li > l1 + l2 + + ln = k + n (1) Số đơn thức tạo thành số nghiệm nguyên dương phương trình (1) Trong PT (1) ta cần xác định n–1 nghiệm l1 + l2 + + ln −1 Ta dùng thước thẳng đầu mút AB dài n + k cm Ứng với nghiệm li ta lấy điểm M i cho AM1 = l1 , M 1M = l2 ,…, M n − M n −1 = ln −1 (khi đương nhiên M n −1B = ln ) Số nghiệm nguyên dương PT(1) số cách chọn n–1 n −1 điểm vạch cm thước (có n+k–1 vạch thế) nên có Cn + k −1 cách chọn Cách 2: Ta lập tương ứng tổ hợp lặp chập k n phần tử với dãy nhị phân xếp sau: k1 chữ số 1, số 0, k chữ số 1, số 0,…, k n chữ số Tương ứng 1–1 Trong dãy nhị phân có k chữ số n –1 chữ số 0, tức hoán vị lặp cấp n+k–1, kiểu k, n −1 n–1 nên có Cn + k −1 dãy nhị phân 4) Bài tập: 1/ Có cách chọn ly nước uống loại nước uống? 2/ Có số gồm chữ số lấy từ số 1, 2, chữ số số xếp theo thứ tự khơng giảm? 3/ Có cách chọn tờ giấy bạc loại giấy 20.000, 50.000, 100.000, 500.000 ? 4/ Tìm số nghiệm tự nhiên phương trình x1 + x2 + xm = n 5/ Có đơn thức bậc theo biến a, b, c ? VIII) Áp dụng vào khai triển đa thức: 1) Nhị thức Newton Xem ( a + b ) n = (a  b ).(  b ) ( a+b ) + a+    n lân 10 MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN Mỗi số hạng tích phần tử chỉnh hợp chập n phần tử a b Các số hạng đồng dạng dạng a k b i số hoán vị cấp n , kiểu (k, i) với k + i = n Số hạng tổng quát khai triển n n k i k k n −k Cn (k , i )a b ta có cơng thức ( a + b ) = ≤∑Cn ( k , i ) a b = ∑Cn a b k , i ≤n k =0 k i k +i = n Nhận xét : khai triển số hạng đơn thức có dạng a k b i , nên số số hạng số tổ −1 hợp lặp chập n phần tử a b, tức Cn + −1 = n + số hạng 2) Đa thức: Bằng cách lý luận tương tự, ta chứng minh công thức khai triển đa thức bậc n đa thức ( a1 + a2 + + am ) n = gồm m hạng tử sau: ∑C ( k , k n ≤k i ≤n k1 +k + +k m =n , , km ) a1 a2 am k k km Số số hạng số tổ hợp lặp chập n m phần tử, m −1 suy có Cn + m −1 số hạng 3) Ví dụ: 3! i j k ab c −1 , có C3 + 3−1 = 10 số hạng ≤ i , j , k ≤ i! j!k! ( a + b + c)3 = ∑ Khai triển i + j + k =3 ( a + b + c) = 3! 0 3! 3! 0 abc + abc + abc + 3!0!0! 0!3!0! 0!0!3! + 3! 3! 3! 3! a bc + abc + abc + ab c + 2!1!0! 2!0!1! 0!2!1! 1!2!0! + 3! 3! 3! 1 ab c + a bc + abc 1!0!2! 0!1!2! 1!1!1! = a + b3 + c + 3a 2b + 3a 2c + 3ab + 3b 2c + 3ac + 3bc + 6abc C LỜI KẾT Đại số tổ hợp có nhiều ứng dụng, lĩnh vực liên quan đến khoa học tự nhiên lẫn khoa học xã hội Giúp học sinh lớp chun tốn tìm hiểu sâu khái niệm theo tơi có lợi, mặt giúp phát triển tư duy, mặt thêm cơng cụ để em tự phát triển nghiên cứu Mặc dù viết tơi cịn có nhiều bất cập tình hình học tập nặng nề nay, em khơng có đủ thời gian công sức để theo đuổi vấn đề chun mơn mà u thích, tơi tin tương lai chương trình giáo dục 11 MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN phải tiến tới người học hơn, việc thả sức theo đuổi đam mê đề tài mà học sinh u thích có thể, chắn đại số tổ hợp mơn mà khơng học sinh u tốn hướng đến Nhiệm vụ người Thầy khơng khác ươm mầm vun đắp cho học sinh có đầy đủ tảng lực đội ngũ học sinh yêu toán trường 12 ...MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN NỘI DUNG: CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP I) Các khái niệm nhắc lại 1) Các phép toán tập hợp: A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x... minh công thức tự mở rộng cho n tập bất kỳ) Vi dụ: tập số tự nhiên từ đến 280 có số chia hết cho số 2, 3, 7? Bao nhiêu số không chia hết cho ba? MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY... rút từ số đó? VII) Tổ hợp lặp: 1) Định nghĩa: Cho n phần tử Một tổ hợp lặp chập k n phần tử nhóm gồm k phần tử phần tử trùng lặp lại lấy từ n phần tử cho MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP