Môc Lôc Më ®Çu 2 Mở đầu Cuộc cách mạng khoa học và công nghệ đang diễn ra một cách sôi động cha từng thấy nh hiện nay trên toàn thế giới thúc đẩy loài ngời nhanh chóng bớc sang một kỷ nguyên mới. Đó là kỷ nguyên của nền văn minh dựa trên cơ sở công nghiệp trí tuệ. Mở đầu cho cho cuộc cách mạng khoa học và công nghệ lần này có thể đợc đánh dấu bằng sự ra đời và phát triển của máy tính cũng nh các phơng tiện xử lý thông tin khác, đặc biệt là các hệ thống sử lý song song với tốc độ ngày càng cao. Cùng với sự phát triển ngày càng nhanh chóng các công cụ sử lý tín hiệu số hiện đại. Đặc biệt các phơng pháp sử lý số này phải áp dụng có hiệu quả trong các lĩnh vực thông tin liên lạc,phát thanh truyền hình,tự động điều khiển và các nghành công nghệ khác. ở bất cứ nơi đâu bạn cũng sẽ gặp rất nhiều những vật dụng trong cuộc sống đợc áp dụng kỹ thuật số, từ những vật dụng rất đơn giản nh những món đồ chơi trẻ em đến các vật dụng loại Hi End đắt tiền trong gia đình, ứng dụng trong truyền thông, các thiết bị chuyên dùng trong truyền thông, phát thanh, truyền hình, các thiết bị của ngành khoa học, y tế, giáo dục đều đ ợc các nhà sản xuất tận dụng tối đa những u thế của công nghệ số đa vào trong sản phẩm của mình. Những chiếc máy ảnh kỹ thuật số, máy tính số với tốc độ phân giải cao nh ng kích thớc chỉ cỡ một bao thuốc lá, thậm chí là mỏng và nhỏ hơn, rất thời trang và rất nhẹ đang dần thay thế những chiếc máy ảnh vận hành bằng cơ khí cổ điển rất thịnh hành ở những năm cuối thế kỷ trớc mà có lẽ bây giờ khi đi du lịch, mang theo nó là một vấn đề cần phải cân nhắc, xem xét. Còn về các dịch vụ viễn thông đa phơng tiện, chắc chúng ta còn nhớ đến những chiếc máy điện thoại để bàn quay tay, muốn thực hiện cuộc gọi thì phải đăng ký với tổng đài, thì bây giờ tổng đài số đã đợc thay thế, các cuộc điện thoại dùng cách gọi trực tiếp 2 quay số IDD hết sức dễ dàng, tiện dụng. Sự phát triển bùng nổ của công nghệ thông tin làm cho các dịch vụ Internet trở nên gần gũi và giúp cho con ngời trên toàn thế giới có thể trao đổi và cập nhật thông tin trực tuyến. Đó chính là những thành quả thấy rất rõ của việc áp dụng kỹ thuật số mà trong đó phân tích và xử lý tín hiệu số là vấn đề cốt lõi, căn bản của hệ thống số. Đề tài: Nghiên cứu thuật toán FFT và xây dựng ứng dụng phân tích phổ của tín hiệu sẽ làm rõ hơn về vấn đề này. Trong phạm vi của đề tài, em đã giải quyết đợc một số vấn đề sau: Chơng I: Tổng quan về tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu số Chơng II: Biến đổi tín hiệu Fourier rời rạc Chơng III: Thuật toán biến đổi nhanh Fourier (FFT) và Cấu trúc file Wave. Chơng IV: Thiết kế và xây dựng chơng trình hiển thị phổ tín hiệu file Wave. Qua thời gian nghiên cứu, tìm hiểu ứng dụng. Đặc biệt đợc sự giúp đỡ tận tình của Thầy giáo Tiến sỹ Dơng Tử Cờng, đề tài của em đã đợc hoàn thành. Tuy vậy, không thể không có những thiếu sót vì đây là một vấn đề còn mới, ít tài liệu đề cập đến hoặc có đề cập thì cũng chỉ sơ sài chung chung, khó có thể thuật toán hoá, chơng trình hoá. Em rất mong đợc sự đóng góp chân thành của các thầy cô giáo và những ngời quan tâm đến vấn đề này để đề tài của em đợc hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè, thầy cô giáo đặc biệt là Thầy giáo TS Dơng Tử Cờng đã hớng dẫn và quan sát quá trình thực hiện đề tài của em. 3 Chơng 1: Tổng quan về Tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu số 1.1. Tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu số. 1.1.1. Tín hiệu rời rạc theo thời gian: Định nghĩa tín hiệu: Tín hiệu là biểu diễn vật lý của thông tin. Về mặt toán học, tín hiệu đợc biểu diễn bởi hàm của một hoặc nhiều biến số độc lập. Nếu biến độc lập của sự biểu diễn toán học của một tín hiệu là liên tục thì tín hiệu đó đợc gọi là tín hiệu liên tục. Còn nếu tín hiệu đợc biểu diễn bởi hàm của các biến rời rạc, thì tín hiệu đó đợc gọi là tín hiệu rời rạc( rời rạc ở đây đợc hiểu là rời rạc theo biến số). Hàm của tín hiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu đó đợc gọi là tín hiệu số. Tín hiệu rời rạc theo thời gian là một chuỗi số có chỉ số( đợc định chỉ số) các số thực hoặc số phức. Nh vậy tín hiệu rời rạc theo thời gian là hàm của biến độc lập có kiểu số nguyên n( biến nguyên n), ta kí hiệu là x(n). Một điều quan trọng cần phải lu ý là tín hiệu rời rạc theo thời gian không đ- ợc định nghĩa ở các thời điểm nằm giữa hai mẫu liên tiếp nhau. Cũng sẽ không đúng nếu cho rằng x(n) sẽ có giá trị bằng 0 nếu giá trị của x(n) không phải là số nguyên. Rất đơn giản, tín hiệu x(n) chỉ đợc định nghĩa đối với các giá trị nguyên của n. Do vậy một tín hiệu có giá trị thực x(n) sẽ đợc biểu diễn bằng đồ thị ở dạng giản đồ lollipop nh đợc trình bày trong hình 1.1. 4 Trong nhiều bài toán cũng nh trong nhiều ứng dụng, để thuận lợi ta xem x(n) nh là một vector. Các giá trị từ x(0) đến x(N-1) của chuỗi thờng đ- ợc khảo sát nh là các phần tử của một vector cột nh sau: x= [x(0), x(1), , x(N-1)] T . Trong khi nghiên cứu, chúng ta giả sử rằng tín hiệu rời rạc theo thời gian đợc định nghĩa đối với giá trị nguyên của n thuộc khoảng - < n < + . Theo qui ớc chúng ta cũng sẽ xem x(n) nh là mẫu thứ n của tín hiệu, thậm chí nếu tín hiệu này vốn đã là tín hiệu rời rạc( không phải là kết quả của quá trình lấy mẫu tín hiệu rời rạc). Nếu cho rằng x(n) là tín hiệu nhận đợc do quá trình lấy mẫu của tín hiệu tơng tự x a (t) thì x(n) = x(nT), trong đó T là chu kỳ lấy mẫu( thời gian giữa hai lần lấy mẫu liên tiếp nhau). Chú ý: Chúng ta sẽ sử dụng x(n) nh là cách viết đơn giản của x(nT) hoặc hiểu là với T = 1. Thông thờng ta nhận đợc các tín hiệu rời rạc theo thời gian từ việc lấy mẫu một tín hiệu thời gian liên tục( continuous-time signal) kết hợp với bộ biến đổi tơng tự số ADC( analog to digital converter). Thí dụ nh tín hiệu liên tục x a (t) đợc lấy mẫu với tần số lấy mẫu là f s = 1/T s ( nghĩa là trong 1 Hình 1.1. Biểu diễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời gian n 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 1.3 1.8 2.5 1.8 - 1.3 - 1.8 3 0.5 2 5 giây ta có f s mẫu) để tạo ra tín hiệu đợc lấy mẫu ( rời rạc theo thời gian ) x(n), x(n) quan hệ với x a (t) nh sau: x(n) = x a (nT s ). Tuy nhiên không phải tất cả các tín hiệu rời rạc theo thời gian đều có đợc theo cách trên. Một số tín hiệu đợc khảo sát là các chuỗi xuất hiện một cách tự nhiên rời rạc theo thời gian mà không cần đến bộ biến đổi tơng tự - số để biến đổi tín hiệu tơng tự thành tín hiệu rời rạc theo thời gian. Ví dụ cho tín hiệu loại này nh giá cả hàng ngày trên thị trờng cổ phiếu, thống kê dân số, kiểm kê kho hàng và các số vệt đen ở bề mặt của mặt trời.v.v Ngoài phơng pháp sử dụng đồ thị nh mô tả trên hình 1.1 còn có một số phơng pháp khác tơng đối thuận tiện đợc dùng để biểu diễn tín hiệu( hoặc dãy) rời rạc theo thời gian. Các phơng pháp này bao gồm: a. Biểu diễn bằng hàm Ví dụ: b. Biểu diễn bằng bảng Ví dụ: n -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x(n) 0 0 0 1 3 0 1 0 0 c. Biểu diễn qua dãy số Ví dụ: Tín hiệu hoặc dãy vô hạn đợc mô tả qua ví dụ dới đây: x(n) = { 0, 0, 0, 1, 3, 0, 1, 0, 0, } (1.1.2) x(n) = 1, với n = 1, 4 3, với n = 2 (1.1.1) 0, với các giá trị n khác 6 Trong đó kí hiệu dùng để chỉ thời điểm gốc( n = 0). Dãy x(n) có giá trị bằng 0 với n < 0 đợc biểu diễn bằng cách sau: x(n) = {0, 1, 3, 0, 1, 0, 0, } (1.1.3) ở đây thời điểm gốc đối với dãy x(n) với giá trị bằng 0 nếu n < 0 đợc hiểu nh là điểm bên trái nhất của dãy. Dãy hữu hạn có thể đợc biểu diễn bằng cách: x(n) = {3, -1, -2, 5, 0, 1, 0, 9} (1.1.4) Nếu dãy hữu hạn thoả mãn điều kiện x(n) = 0 với n < 0 thì dãy có thể đợc biểu diễn theo cách nh sau: x(n) = {0, 1, 3, 0, 1} (1.1.5) Tín hiệu trong (1.1.4) có chứa 8 giá trị mẫu hoặc tám điểm (theo thời gian) và đợc gọi là dãy có tám điểm. Cũng tơng tự nh vậy, dãy biểu diễn bởi (1.1.5) là dãy 5 điểm. 1. Tín hiệu phức Một cách tổng quát, tín hiệu rời rạc theo thời gian có thể có giá trị phức. Thật vậy, trong một số ứng dụng quan trong nh thông tin số, các tín hiệu phức phát sinh một cách tự nhiên. Tín hiệu phức có thể đợc biểu diễn bằng các phần thực ( real part ) và phần ảo( imaginary part). z(n) = a(n) + jb(n) = Re{z(n)} + jIm{z(n)} hoặc đợc biểu diễn ở dạng cực( polar form) theo biên độ( amplitude) và pha( phase) z(n) = z(n)exp[jarg{z(n)}] Biên độ có thể đợc suy ra từ các phần thực và phần ảo nh sau: z(n) 2 = Re 2 {z(n)} + Im 2 {z(n)} Trong khi đó pha đợc tính theo công thức arg{z(n)} = tan -1 Im{z(n)}/Re{z(n)} Nếu z(n) là một chuỗi phức, liên hợp phức( complex conjugate) ký hiệu là z * (n) đợc thành lập bằng cách thay đổi dấu trong phần ảo của z(n) 7 z * (n) = Re{z(n)} - jIm{z(n)} = z(n)exp[- jarg{z(n)}] 2. Một vài tín hiệu rời rạc cơ bản. Mặc dù hầu hết các tín hiệu mang thông tin trong thực tế là các hàm phức tạp theo thời gian( complicated functions of time ), nhng dới đây là một số tín hiệu rời rạc theo thời gian tuy đơn gian nhng rất quan trọng. Nó rất hay xuất hiện và thờng đợc sử dụng trong lý thuyết về tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian để biểu diễn và mô tả các tín hiệu phức tạp hơn. Các tín hiệu cơ bản này là: xung đơn vị( unit sample), nấc đơn vị( unit step), tín hiệu dốc đơn vị và hàm mũ( exponential) a. Dãy mẫu đơn vị Tín hiệu này còn đợc gọi là dãy xung đơn vị và đợc định nghĩa nh sau: Nh vậy, dãy mẫu đơn vị là tín hiệu chỉ có một giá trị duy nhất bằng 1 đơn vị tại thời điểm n = 0 trong khi tất cả các giá trị còn lại đều bằng 0. Khác với xung đơn vị (n) của tín hiệu tơng tự, dãy mẫu đơn vị về mặt toán học không vớng và phức tạp nh tín hiệu này. Tín hiệu dãy xung đơn vị đóng một vai trò hết sức quan trọng và đợc mô tả bằng đồ thị nh trên hình 1.2. b. Dãy nhảy bậc đơn vị (n) = 0 1 2 3 -1 -2 -3 1 . n 8 Hình 1.2. Biểu diễn đồ thị của tín hiệu mẫu đơn vị (n) 1, với n = 0 0, với n 0 (1.1.6) Dãy này còn đợc gọi là tín hiệu nhảy bậc đơn vị hay hàm bậc thang và đợc định nghĩa qua hàm sau: Giữa tín hiệu nhẩy bậc đơn vị và tín hiệu xung đơn vị có mối quan hệ: = = n k knnu 0 )()( Tơng tự, một xung đơn vị có thể đợc viết thành sai biệt của hai tín hiệu nấc đơn vị: (n) = u(n) u(n - 1) Tín hiệu nhảy bậc đơn vị đợc mô tả trên hình 1.3. c. Tín hiệu dốc đơn vị Tín hiệu này đợc ký hiệu bằng u r (n) và đợc định nghĩa qua công thức: Tín hiệu này đợc mô tả trên hình 1.4. (n) = 0 1 2 3 -1 -2 -3 1 Hình 1.3. Biểu diễn bằng đồ thị tín hiệu nhẩy bậc đơn vị u(n) n 9 1, với n 0 0, với n < 0 n, với n 0 0, với n < 0 (1.1.8) (1.1.7) u r (n) = d. Hàm mũ Chuỗi hàm mũ đợc định nghĩa bởi x(n) = a n trong đó a là số thực hoặc số phức. Chuỗi hàm mũ có tầm quan trọng đặc biệt khi 0 j ea = với 0 là một số thực. Trong trờng hợp này, x(n) là một hàm mũ phức: )sin()cos( 00 0 njne j += . Nghiên cứu các hàm mũ phức rất hữu ích trong việc phân rã Fourier( Fourier decomposition) các tín hiệu. 3. Phân loại tín hiệu rời rạc Các phơng pháp toán học đợc dùng trong việc phân tích tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian hoàn toàn phụ thuộc vào đặc thù của tín hiệu. Dới đây chúng ta sẽ phân loại các tín hiệu rời rạc theo thời gian tuỳ theo các đặc thù này. a. Tín hiệu năng lợng và tín hiệu công suất Năng lợng E của tín hiệu x(n) đợc định nghĩa bằng công thức: = = n nxE 2 |)(| (1.1.9) Trong đó |x(n)| là modul của tín hiệu. Với cách định nghĩa này thì công thức (1.1.9) có thể đợc sử dụng để tính năng lợng của tín hiệu phức cũng nh tín hiệu thực. 0 1 2 3 -1 -2 -3 Hình 1.4. Biểu diễn bằng đồ thị tín hiệu dốc đơn vị u r (n) n 10 [...]... hoặc phép ánh xạ biến đổi một tín hiệu( ngõ vào) thành một tín hiệu khác( ngõ ra) dựa vào một tập cố định các quy luật và các phép toán Các tính chất vào ra của một hệ thống có thể đợc chỉ ra theo một trong nhiều cách khác nhau Quan hệ vào/ra này có thể đợc biểu diễn nhờ vào một quy luật toán học hoặc bằng biểu thức toán học: y(n) T[x(n)] trong đó T là ký hiệu của phép biến đổi hoặc toán tử Hoặc... các tính chất này có thể đợc sử dụng để đơn giản hóa việc tính toán tổng chập a Các tính chất của phép chập Phép chập là một toán tử tuyến tính và do vậy có một số tính chất quan trọng bao gồm giao hoán, kết hợp và phân phối +) Tính giao hoán của tổng chập Tính giao hoán phát biểu rằng trật tự mà hai chuỗi chập với nhau không quan trọng Về mặt toán học, tính giao hoán đợc định nghĩa: x(n)*h(n) = h(n)*x(n)... hệ vào/ra có thể đợc biểu diễn bằng công thức dới dạng phơng trình vi phân: N M k =1 k =0 y ( n ) = a k y ( n k ) + bk x ( n k ) (1.3.1) ở đây ak và bk là các hằng số xác định hệ thống và phụ thuộc vào x(n) và y(n) Phơng pháp thứ hai đợc sử dụng để phân tích đáp ứng của hệ thống tuyến tính đối với một tín hiệu đầu vào cho trớc đợc tiến hành thông qua hai bớc cơ bản: + Phân tích tín hiệu đầu vào... n có thể 1.3.2 Xử lý tín hiệu trong miền tần số Chúng ta sẽ tiếp tục nghiên cứu một công cụ toán học khác, đó là biến đổi Fourier, để chuyển biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập n sang miền tần số liên tục Biến đổi Fourier là một trong các công cụ toán học sử dụng rất nhiều trong việc thiết kế và phân tích các hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI) * Định nghĩa:... dùng nhất là cộng, nhân và lập tỷ lệ Việc thực hiện các phép toán này không phức tạp và chỉ bao gồm các phép toán trên từng điểm của tín hiệu 1 Cộng: Tổng của hai tín hiệu x1(n) và x2(n) là một tín hiệu y(n) với giá trị ở mỗi thời điểm bằng tổng các giá trị của x1(n) và x2(n) tơng ứng ở các thời điểm đó Và nh vậy: y(n) = x1(n) + x2(n), - < n < 2 Nhân: Tích của hai tín hiệu x1(n) và x2(n) là một tín hiệu... tính toán giá trị của tổng chập theo phơng pháp giải tích vẫn tơng đối phức tạp Khi thực hiện phép chập bằng phơng pháp giải tích, thông thờng điều cần thiết để tính toán các tổng hữu hạn hoặc vô hạn sẽ kéo theo các số hạng có dạng n hoặc nn +) Phơng pháp đồ thị Cùng với phơng pháp giải tích vừa nêu trên, phép chập cũng có thể đợc thực hiện bằng đồ thị Các bớc cần thực hiện khi sử dụng phơng pháp đồ. .. khứ mà còn phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong tơng lai e Hệ ổn định và không ổn định Trong nhiều ứng dụng, đáp ứng y(n) của hệ thống đợc giới hạn mỗi khi biên độ tín hiệu đầu vào bị giới hạn Một hệ thống có tính chất này đợc gọi là hệ thống có tính ổn định theo nghĩa đầu vào giới hạn và đầu ra giới hạn là BIBO( bounded input bounded output) nghĩa là tồn tại hai số hữu hạn Mx và My để: x(n) Mx . của việc áp dụng kỹ thuật số mà trong đó phân tích và xử lý tín hiệu số là vấn đề cốt lõi, căn bản của hệ thống số. Đề tài: Nghiên cứu thuật toán FFT và xây dựng ứng dụng phân tích phổ của tín. tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu số Chơng II: Biến đổi tín hiệu Fourier rời rạc Chơng III: Thuật toán biến đổi nhanh Fourier (FFT) và Cấu trúc file Wave. Chơng IV: Thiết kế và xây dựng chơng. phức: )sin()cos( 00 0 njne j += . Nghiên cứu các hàm mũ phức rất hữu ích trong việc phân rã Fourier( Fourier decomposition) các tín hiệu. 3. Phân loại tín hiệu rời rạc Các phơng pháp toán học đợc dùng trong việc phân tích