Đang tải... (xem toàn văn)
Ở phần này, việc tìm hiểu sự hội tụ của phép lặp của ánh xạ tựa không giãn, thường thực hiện theo giả thuyết là tập các điểm bất động được biết là không rỗng. Cho X là không gian Banach thực với chuẩn || . ||. Nếu A và B là hai tập thuộc X, khoảng các giữa A và B cho bởi
Mục lục LỜI MỞI ĐẦU 1 NỘI DUNG 3 Chương 1. Sự hội tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn 3 1.1. Định lý 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Ví dụ 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Định nghĩa 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4. Định lý 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5. Ví dụ 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6. Định lý 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.7. Hê quả 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.8. Ví dụ 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.9. Định lý 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.10. Định lý 1.1’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn 11 2.1. Hệ quả 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Hệ quả 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3. Định nghĩa 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4. Hệ quả 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5. Định lý 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 3. Sự hội tụ yếu của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn 19 3.1. Định lý 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2. Hệ quả 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3. Hệ quả 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 i 3.4. Định lý 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.5. Định lý 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.6. Hệ quả 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.7. Hệ quả 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.8. Định lý 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.9. Định lý 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.10. Hệ quả 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.11. Định lý 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.12. Hệ quả 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 ii LỜI MỞ ĐẦU Cho X là không gian Banach thực, D là tập con đóng của X và T là ánh xạ liên tục từ D vào X. Giả thiết rằng với x 0 ∈ D và λ ∈ (0, 1), ta có dãy lặp {x n } xác định bởi phương pháp lặp liên tiếp: (i) x n = T (x n−1 ) = T n (x 0 ), n = 1, 2, 3, , hoặc bởi phương pháp lặp: (ii) x n = T λ (x n−1 ) = T n λ (x 0 ), T λ = λI + (1 − λ)T, n = 1, 2, , mục đích của bài viết này là để có được điều kiện chung nhất có thể của T , D và X mà sẽ đảm bảo sự hội tụ (hội tụ mạnh) và dưới các điều kiện yếu hơn trên T thì phép lặp {x n } hội tụ yếu đến điểm bất động của T trên D. Điều này, sẽ được thấy rõ qua phân tích dưới đây là kết quả của chúng tôi, thống nhất và mở rộng cho lớp ánh xạ rộng hơn các kết quả trước đó. Kết quả cơ bản đầu tiên là Định lý Picard-Banach-Caccioppoli, nếu T là ánh xạ co ngặt từ D vào D (tức là T (x) − T (y) q x − y vợi mọi x, y thuộc D và q < 1) cho bởi (i) hội tụ đến điểm bất động duy nhất. Người ta biết rằng (Ví dụ: Một vòng xoay của đĩa đơn vị) nếu T là không giãn trên D (có nghĩa là: T (x) − T (y) x − y , ∀x, y ∈ D), khi đó T n (x 0 ) không nhất thiết hội tụ, nói chung T không nhất thiết có điểm bất động (Xem [6]). Tuy nhiên, như được chỉ ra bởi Krasnoselsky [17] rằng nếu X là lồi đều, D là tập con lồi, đóng, bị chặn của X và T là ánh xạ compact (T liên tục và T(D) compact tương đối) từ D vào D, khi đó {T n 1 2 (x 0 )} hội tụ đến điểm bất động của T . Schaefer [30] đã mở rộng kết quả của [17] với trường hợp {x n } cho bởi (ii), trong khi đó Edelstein [11] mở rộng nó với trường hợp X là lồi ngặt. Trong trường hợp X là không 1 gian Hilbert và D là cầu đóng B(0, 1), Petryshyn [24] đã mở rộng kết quả của [17, 30] cho ánh xạ không giãn, nửa compact từ B vào X mà thỏa mãn điều kiện Leray-Schauder trên biên ∂B của B. Phương pháp sử dụng trong [24] gọi là phương pháp lặp co rút, theo kết quả của [7], chỉ có thể thực hiện được trong các không gian Hilbert. Browder và Petryshyn [8, 9] đã đưa ra thêm các kết quả [17, 30, 24], nghiên cứu sự hội tụ {x n } cho bởi (i) và/hoặc (ii) cho ánh xạ không giãn từ X vào X mà T là chính quy tiệm cận (xem phần 2) và cho ánh xạ I − T từ tập đóng, bị chặn vào tập đóng. Xem [25] mà kết quả tương tự thu được từ tập lồi, đóng, bị chặn D của X vào D. Mở rộng hơn, liên quan đến hội tụ của (i) và (ii) thu được bởi Diaz và Metcalf [8, 9] và bởi Dotson [10] cho ánh xạ tựa không giãn (T sao cho T (x) − p x − p với x thuộc D và p thuộc F(T ), F (T ) là tập điểm bất động của T) và bởi Outlaw [23] cho ánh xạ không giãn đã biết. Petryshyn và Tucker [28] xem xét trường hợp ánh xạ không giãn và P 1 -compact, không khi Petryshyn [26] nghiên cứu sự hội tụ của (ii) khi T là không giãn và nén (xem phần 2). Thật thú vi khi nhận thấy rằng, để thiết lập sự hội tụ của {T n (x 0 )} hoặc {T n λ (x 0 )} cho điểm bất động của T , mỗi tác giả trên đã phải áp đặt điều kiện bổ sung nhất định trên ánh xạ không giãn hoặc tựa không giãn T với F(T ) khác rỗng. J.Lindenstrauss thông báo cho tác giả thứ nhất rằng ông ấy đã xây dựng được một ví dụ về ánh xạ không giãn T của hình cầu đơn vị B(0, 1) trong không gian Hilbert vào B(0, 1) mà {T n 1 2 (x 0 )} không hội tụ về điểm bất động của T mặc dù F(T 1 2 ) = F (T ) = ∅ và T 1 2 là chính quy tiệm cận trên B. Do đó, với ánh xạ không giãn T từ B vào B, F (T ) = ∅ và T λ là chính quy tiệm cận trên B, một số điều kiện bổ sung phải được áp đặt trên T với dãy {x n } cho bởi (ii) để hội tụ đến điểm bất động của T. Sự hội tụ của phép lặp của ánh xạ tựa không giãn được xây dựng dựa trên 3 chương: Chương 1: Sự hội tụ mạnh của phép lặp. Chương 2: Anh xạ nén. Chương 3: Sự hội tụ yếu của phép lặp. 2 Chương 1. Sự hội tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn Ở phần này, việc tìm hiểu sự hội tụ của phép lặp của ánh xạ tựa không giãn, thường thực hiện theo giả thuyết là tập các điểm bất động được biết là không rỗng. Cho X là không gian Banach thực với chuẩn || . ||. Nếu A và B là hai tập thuộc X, khoảng các giữa A và B cho bởi d(A, B) ≡ inf{ a − b : a ∈ A, b ∈ B} và khoảng cách giữa điểm p và tập A là d(p, A). Nếu ánh xạ T từ D ⊂ X vào X, thì tập các điểm bất động của T trong D được kí hiệu là F D (T ), đơn giản ta viết F (T) khi mà tập ban đầu là rõ ràng. Kết quả cơ bản đầu tiên của phần này là định lý sau đây, đặc trưng cho sự hội tụ của phép lặp. 1.1. Định lý 1.1. Cho D là tập con đóng của không gian Banach X và ánh xạ liên tục từ D vào X sao cho (1.1) F (T ) = ∅ (1.2) Với mỗi x ∈ D và mọi p ∈ F (T ) T x − p x − p . (1.3) Tồn tại x 0 ∈ D sao cho x n = T n (x 0 ) ∈ D với mỗi n ≥ 1. Thì { x n } hội tụ đến một điểm bất động của T thuộc D khi và chỉ khi lim n d(x n , F (T )) = 0. Chứng minh. Rõ ràng điều kiện lim n→∞ d(x n , F (T )) = 0 là cần thiết. Đầy đủ hơn, giả sử lim n→∞ d(x n , F (T )) = 0. Ta cần chỉ ra { x n } là một 3 dãy Cauchy. Cho > 0, thì tồn tại một n 1 ∈ N sao cho mọi n ≥ n 1 , d(x n , F (T )) < /2. Từ đó, với mọi l, k ≥ n 1 ta có x l − x k x l − p + x k − p , khi p ∈ F(T ). Từ (1.2) ta có x l − p = T l (x 0 ) − p T n 1 (x 0 ) − p và x l − p = T k (x 0 ) − p T n 1 (x 0 ) − p Do đó, x l − x k 2d(x n 1 , F (T )) < . Cho nên { x n } là dãy Cauchy và do đó hội tụ đến x ∗ nào đó ∈ D, do D là đóng. Hơn nữa, do T là liên tục, F (T ) là đóng nên lim n→∞ d(x n , F (T )) = 0 nghĩa là x ∗ ∈ F (T ). Điều kiện (1.2) được gọi là "tựa không giãn", được đưa ra bởi Tricomi [31] cho hàm số thực, và sau đó được nghiên cứu bởi Diaz và Metcalf [8, 9] và bởi Dotson [10] cho ánh xạ trong không gian Banach. Ví dụ sau [10] chỉ ra một ánh xạ tựa không giãn nhưng không phải là không giãn. 1.2. Ví dụ 1.1. Cho X là đường thẳng thực và T được xác định: T (0) = 0 T x = x 2 sin 1 x , với x = 0. Điểm bất động duy nhất của T là 0, vì nếu x = 0 và T x = x, thì x = x 2 sin 1 x , hoặc 2 = sin 1 x điều đó là không thể. T là tựa không giãn, vì nếu y ∈ X, p = 0, thì T y − p = T y − 0 = y 2 sin 1 y |y| 2 < |y| = y − p . 4 Tuy nhiên T không là ánh xạ không giãn. Điều này được thấy bằng cách chọn x = 2/π và y = 2/3π. Ta có T x − Ty = 2 π sin π 2 − 2 3π sin 3π 2 = 2 π . 4 3 = 8 3π trong khi đó x − y = 4 3π 1.3. Định nghĩa 1.1 (Browder và Petryshyn [3]). Nếu T là ánh xạ từ D ⊆ X vào D sao cho với mọi x ∈ D, lim n→∞ T n (x) − T n+1 (x) = 0 thì T được gọi là chính quy tiệm cận trên D. T : D → X là chính quy tiệm cận tại x 0 ∈ D nếu T n (x 0 ) − T n+1 (x 0 ) → 0 với n → ∞ khi T n (x 0 ) được xác định với mọi n. 1.4. Định lý 1.2 Cho D là tập con đóng trong không gian Banach X, và T là ánh xạ liên tục từ D vào X. Giả sử (1.1) F (T ) = ∅. (1.2) T là tựa không giãn. (1.3) Tồn tại x 0 thuộc D sao cho x n = T n (x 0 ) ∈ D với mọi n ≥ 1. (1.4) T là chính quy tiệm cận tại x 0 . (1.5) Nếu {y n } ⊆ D, n ≥ 1 và (I − T )y n → 0 với n → ∞, thì lim n→∞ inf d(y n , F (T )) = 0. Khi đó { x n } hội tụ đến một điểm bất động của T thuộc D Chứng minh. Do T n (x 0 ) ∈ D với n ≥ 1, T là chính quy tiệm cận tại x 0 , và (I −T )T n (x 0 ) = T n (x 0 )−T n+1 (x 0 ), ta thấy rằng lim n→∞ (I−T )x n = 0. Từ (1.5) ta có lim n→∞ inf d(x n , F (T )) = 0. Do (1.2) nên dãy {d(x n , F (T ))} n≥1 là đơn điệu giảm, do đó lim n→∞ d(x n , F (T )) = 0. Vì vậy, theo Định lý 1.1, {x n } hội tụ mạnh đến một điểm bất động của T thuộc D. 5 Toán tử campact không giãn sau đây, xác định trên một hình cầu đơn vị B thuộc không gian Hilbert, cho ta một ví dụ về ánh xạ là chính quy tiệm cận tại một số điểm thuộc B nhưng không phải tại vị trí khác. 1.5. Ví dụ 1.2 Cho B = B(0, 1) là hình cầu đơn vị thuộc R 2 với chuẩn thông thường. Định nghĩa T : B → B bởi T : (x, y) → − x 2 , −y trong đó (x, y) là tọa độ thông thường trong R 2 . (a) T là không giãn. Nếu (x 1 , y 1 ) và (x 2 , y 2 ) ∈ B, thì T (x 1 , y 1 ) − T (x 2 , y 2 ) 2 = − x 1 2 , −y 1 − − x 2 2 , −y 2 2 = 1 4 (x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 (x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 = (x 1 , y 1 ) − (x 2 , y 2 ) 2 . Vì T là ánh xạ không giãn từ B vào B, và B là conpact, nên T cũng là ánh xạ conpact. (b) F (T) = ∅, thực tế (x, y) = (0, 0) là điểm bất động duy nhất của T thuộc B. (c) Nếu (x, y) ∈ B, thì ta có một phép toán đơn giản, T n (x, y) − T n+1 (x, y) 2 = 3x 2 n+1 2 + (2y) 2 , với mọi n Do đó, tại mọi điểm z thuộc B, nằm trên đường y = 0, T là chính quy tiệm cận tại z và T không là chính quy tiệm cận tại những điểm khác cũng thuộc B. Như là một hệ quả khác của Định lý 1.1, định lý sau đây cung cấp một điều kiện tổng quát đủ cho sự hội tụ của phép lặp. 1.6. Định lý 1.3 Cho D là tập con đóng thuộc không gian Banach X. T là ánh xạ liên tục từ D vào X sao cho (1.1) F (T ) = ∅. (1.2) T là tựa không giãn. (1.6) Với mọi x ∈ D − F, thì tồn tại p x ∈ F (T ) sao cho T x − p x < x − p x . 6 (1.7) Tồn tại x 0 ∈ D sao cho T n (x 0 ) ∈ D, với mọi n ≥ 1, và {x n } ≡ {T n (x 0 )} n≥0 chứa một dãy con hội tụ {x n j } j≥1 hội tụ đến x ∗ nào đó thuộc D. Khi đó x ∗ ∈ F (T ) và {x n } hội tụ đến x ∗ . Chứng minh. Từ điều kiện (1.2) ta thấy tồn tại lim n→∞ d(x n , F (T )) = d ≥ 0. Ta cần chỉ ra rằng d = 0, thì Định lý 1.1 có thể được áp dụng. Nếu x ∗ ∈ F(T ), thì d = 0. Nếu x /∈ F(T ), thì theo điều kiện (1.6), tồn tại p = p x ∗ ∈ F (T) sao cho T x ∗ − p < x ∗ − p . Nhưng bởi tính liên tục của T và điều kiện (1.7), chúng ta có quan hệ T x ∗ − p = T ( lim j→∞ x n j ) − p = lim j→∞ T n j +1 (x 0 ) − p = lim n→∞ T n (x 0 ) − p = lim j→∞ T n j (x 0 ) − p = lim j→∞ x n j − p = x ∗ − p dấu bằng xảy ra, do từ (1.2) lim n→∞ T n (x 0 ) − p tồn tại. Điều này mâu thuẫn với (1.6), do đó x ∗ ∈ F (T ) và định lý được chứng minh. Ta có thể thay điều kiện (1.2), (1.6) bởi điều kiện (1.8) Với mọi x ∈ D, x /∈ F(T ), d(T x, F (T)) < d(x, F (T )). Hệ quả sau đây của Định lý 1.3 là do Diaz và Metcalf [8] đưa ra. 1.7. Hê quả 1.1 Cho D là tập con đóng của không gian Banach X và T là ánh xạ liên tục từ D vào D sao cho (1.1) F (T ) = ∅. (1.9) Với mọi x ∈ D, x /∈ F (T ) và mọi p ∈ F (T ), T x − p < x − p . Cho x 0 là một phần tử tùy ý thuộc D, ta định nghĩa x n ≡ T n x 0 , n ≥ 1. Nếu {x n } chứa một dãy con hội tụ, thì toàn bộ dãy đó hội tụ đến một điểm bất động của T thuộc D. Dễ dàng chứng minh hệ quả trên, do (1.9) bao gồm (1.2) và (1.6). Hệ quả trên được chứng minh tương tự Định lý 1.3. Ví dụ sau thỏa mãn các giả thiết của Định lý 1.3 nhưng không thỏa mãn Hệ quả 1.1.Như vậy Định lý 1.3 là trường hợp tổng quát của Hệ quả 1.1. 7 1.8. Ví dụ 1.3. Cho H là không gian Hilbert thực tách được với cơ sở trực chuẩn {α i } i≥0 . Nếu x ∈ H , ta định nghĩa x = (x 0 , x 1 , ), trong đó x i là hệ số thứ i của phép biểu diễn x thuộc cơ sở {α i }. Cho H + ≡ { x ∈ H|x 1 ≥ 0} và cho a = (4, 0, 0, ). Khi đó, ta lấy D = H ∩ B( a, 1), trong đó B( a, 1) là hình cầu tâm a, bán kính 1. Chú ý rằng nếu x ∈ D, thì x 0 ≥ 0 và x 1 ≥ 0. Với mỗi x ∈ D và x = (x 0 , x 1 , x 2 , ), ta định nghĩa ánh xạ T : D → H như sau: T ( x) ≡ ((x 2 0 + x 2 1 ) 1/2 , 0, x 2 , x 3 , ). (a) T là không giãn, nếu x, y ∈ D, mà x = (x 0 , x 1 , ) và y = (y 0 , y 1 , , khi đó ta có x − y 2 = i≥0 |x i − y i | 2 và T x − T y 2 = [(x 2 0 + x 2 1 ) 1/2 − (y 2 0 + y 2 1 ) 1/2 ] 2 + i≥2 |x i − y i | 2 . Từ đó ta có [(x 2 0 + x 2 1 ) 1/2 − (y 2 0 + y 2 1 ) 1/2 ] (x 0 − y 0 ) 2 + (x 1 − y 1 ) 2 , tương đương ta có (x 2 0 + x 2 1 ) 1/2 (y 2 0 + y 2 1 ) 1/2 ≥ x 0 y 0 + x 1 y 1 . Do x 1 , y 1 , x 0 , y 0 đều không âm, khi đó bình phương hai vế ta được 2x 0 y 0 x 1 y 1 x 2 1 y 2 0 + x 2 0 y 2 1 . điều này luôn luôn đúng do (x 1 y 0 − y 1 x 0 ) 2 ≥ 0. (b) T (D) ⊆ D. Thật vậy, theo T ta có T(D) ⊆ H + . Do a là điểm bất động của T và T là không giãn, nên T (D) ⊆ B( a, 1). Vì vậy T (D) ⊆ H + ∩ B( a, 1) ≡ D. (c) F (T ) = { x ∈ D|x 1 = 0, điều này là rõ ràng, chú ý T(D) = F(T ). (d) Điều kiện (1.6) được thỏa mãn. Với x ∈ D − F (T ), khi đó cho p x = T x ∈ F (T ). Ta có 0 = T x − p x < x − p x . 8 [...]... đến sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu, Qua đồ án, em đã hiểu được phần nào về sự hội tụ, các điều kiện để một phép lặp hội tụ mạnh hoặc hội tụ yếu, hiểu được các khái niệm về ánh xạ không giãn, ánh xạ tựa không giãn, ánh xạ co, các khái niện liên quan đến không gian Banach, tập hợp, Tuy nhiên do thời gian không nhiều, nên đồ án của em có thể còn những chỗ thiếu sót và hạn chế Em rất mong nhận được sự đóng... như chứng minh của Hệ quả 2.1 Nhận xét 2.4 Nếu D trong Hệ quả 2.1 và 2.3 là bao đóng của một tập con mở, lồi, bị chặn thuộc X , thì rễ ràng thấy Hệ quả 2.1 và 2.3 là trường hợp đặc biệt của Định lý 2.1 18 Chương 3 Sự hội tụ yếu của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn Trong phần 2 (Nhận xét 2.1), T là ánh xạ không giãn từ quả cầu đơn vị B (0,1)trong không gian Hilberl X vào B (0,1) , dãy lặp {xn } thu... 2X∗ được gọi là ánh xạ đối ngẫu từ X vào X ∗ với phiến hàm độ đo µ nếu J(x) = {w ∈ X ∗ |(w, x) = w x và w = µ( x )} Ta nói rằng J là liên tục yếu tại x nếu tồn tại một phép chọn của J mà liên tục yếu tại x Nếu J là liên tục yếu tại mọi x thuộc X thì ta có thể gọi J là liên tục yếu Theo đã chứng minh trong [15], nếu J là ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu từ X vào X ∗ , thì J là đơn trị và không gian X có... liên tục yếu và T : D → D là chính quy tiệm cận và không giãn với F (T ) = ∅ 3.10 Hệ quả 3.6 Cho D là tập con lồi đóng thuộc không gian Banach lồi đều có ánh xạ đối ngẫu J, liên tục yếu tại x = 0 Nếu T là ánh xạ liên tục chính quy tiệm cận từ D vào D sao cho F (T ) = ∅, T là tựa không giãn, và T thỏa mãn điều kiện (3.3) với x0 bất kì thuộc D Vậy với x0 bất kì thuộc D thì dãy T n (x0 ) hội tụ yếu đến... (3.0a) không nhất thiết hội tụ (mạnh) đến điểm bất động của T Tuy nhiên, Định lý 1.1 chỉ ra rằng {xn } hội tụ đến một điểm bất động của T khi và chỉ khi điều kiện bổ xung (3.0b) sau là đúng: d(xn , F (T )) → 0 với n → ∞ (3.0b) Ở phần 1 đến phần 2, chúng tôi nghiên cứu phép lặp của các lớp ánh xạ không giãn và tựa không giãn khác nhau khi điều kiện (3.0b) là đúng Khái quát kết quả chính của Browder và. .. Browder và Petryshyn [3] 3.4 Định lý 3.2 Cho X là không gian Banach phản xạ, D là tập con lồi, đóng của X, và T là ánh xạ liên tục từ D vào X sao cho (3.5) F (T ) = ∅ (3.6) T là tựa không dãn (3.7) Tồn tại x0 thuộc D sao cho xn = T n (x0 ) ∈ D với n ≥ 1 Nếu T thỏa mãn điều kiện (3.2) và (3.3) của Định lý 3.1, thì {xn } chứa một dãy con hội tụ yếu với giới hạn thuộc F(T), hơn thế nữa, mọi dãy con hội tụ yếu. .. của Định lý 3.4 3.9 Định lý 3.5 Cho D là tập con lồi, đóng thuộc không gian Banach lồi chặt phản xạ có một ánh xạ đối ngẫu, liên tục yếu Nếu T là một ánh xạ liên tục chính quy tiệm cận từ D và D sao cho F (T ) = ∅, T là tựa không giãn, và T thỏa mãn điều kiện (3.3) với x0 bất kỳ thuộc D, vì vậy x0 bất kì thuộc D thì dãy {T n (x0 )} là hội tụ yếu đến điểm bất động của T Theo [15] nói rằng nếu J là ánh. .. compact của T tại 0 Nhận xét 2.1 Joran Lindenstrauss đã thông báo cho tác giả thứ nhất rằng ông ấy đã xây dựng được ví dụ về ánh xạ không giãn T cho quả cầu đơn vị B(0,1) từ không gian Hilbert vào chính nó, với F (T ) = ∅ mà n dãy {T 1 (x0 )} không hội tụ đến điểm bất động của T Do đó, với các dãy 2 n {xn } của phép lặp được xây dựng theo phương pháp xn = Tλ (x0 ), để có sự hội tụ đến điểm bất động của ánh. .. theo của Định lý 1.1, chúng ta cần tổng quát qua Định lý 5 của Browder và Petryshyn [3].Ta phát biểu và chứng minh của Bổ đề 2.1 dựa theo lý luận của [3] Bổ đề 2.1 Cho X là không gian Banach lồi đều, D là tập con của X , và T là ánh xạ từ D vào X sao cho F (T ) = ∅ và T là tựa không giãn Nếu tồn n tại x0 thuộc D và λ thuộc (0,1) sao cho Tλ (x0 ) được xác định và nằm trong n+1 n D với mỗi n ≥ 1 và Tλ... rằng T − λ cũng là tựa không giãn Theo giả thiết, tồn tại n x0 thuộc D sao cho Tλ ∈ D với mỗi n ≥ 1 Do đó, Định lý 1.1’ kế thừa từ Định lý 1.1, nghĩa là, nó trình bày lại Định lý 1.1 cho ánh xạ Tλ 10 Chương 2 Ánh xạ nén và tựa không giãn Ở phần này, chúng ta sẽ sử dụng Định lý 1.1 và hệ quả của nó, Định lý 1.2 và 1.3, để có được những kết quả mới liên quan đến sự hội tụ của n phép lặp Tλ (x0 ), cho . bộ dãy đó hội tụ đến một điểm bất động của T thuộc D. Dễ dàng chứng minh hệ quả trên, do (1.9) bao gồm (1.2) và (1.6). Hệ quả trên được chứng minh tương tự Định lý 1.3. Ví dụ sau thỏa mãn các giả. {y n } ⊆ D, n ≥ 1 và (I − T λ )y n → 0 khi n → ∞. Giả thiết đầu tiên là (2.1) đúng và cho G là bao đóng mạnh của tập {y n }. G là tập con của D, do (2.1) và (I − T λ )G = (1 − λ)(I − T)(G) ta. và Q là tập con bị chặn của X, γ(D) = 0 khi và chỉ khi D là compact; hơn thế nữa, nếu co(D) là bao lồi đóng của D và D + Q = {x + y|x ∈ D, y ∈ Q}, thì như được chỉ ra bởi Darbo [5]: γ(D) = γ(co(D))