Phương trình - bất phương trình chứa căn thức I. Phương pháp biến đổi tương đương 1. Kiến thức cần nhớ:         2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1. 2. 0 3. , 4. 0 5. , n n n n n n n n n n a a a b a b ab a b a b a b a b a b a b a b a b                      2. Các dạng cơ bản: * Dạng 1:           2 0g x f x g x f x g x          (Không cần đặt điều kiện   0 f x  ) * Dạng 2:     f x g x  xét 2 trường hợp: TH1:     0 0 g x f x        TH2:     2 ( ) 0g x f x g x        * Dạng 3:           2 ( ) 0 0 f x f x g x g x f x g x           Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x) là tam thức bậc hai (ax 2 +bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho   0 g x  rồi bình phương 2 vế đưa phương trìnhbất phương trình về dạng quen thuộc. + Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình 1 2 0 1 2 1 0 n n n n n a x a x a x a x a           có nghiệm x=  thì chia vế trái cho cho x–  ta được     1 2 0 1 2 1 0 n n n n x b x b x b x b             , tương tự cho bất phương trình. * Phương trìnhbất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng, nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm số không được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác. * Phương trìnhbất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì việc giải phương trình theo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trìnhbất phương trình bậc 3 và nếu không ta phải chuyển sang hướng khác. Ví dụ 1: Giải phương trình: 01312 2  xxx (ĐH Khối D – 2006) Biến đổi phương trình thành: 2 2 1 3 1 x x x      (*), đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế ta được: 028116 234  xxxx ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta được: (*) (x – 1) 2 (x 2 – 4x + 2) = 0. Ví dụ 2: Giải bất phương trình:       2 2 4 1 2 10 1 3 2 x x x      , ĐK: 2 3 x     2 2 1 5 2 3 2 ( 5) 3 2 9 5 pt x x x x x x x x              (1), Với 3 2 x   hai vế (1) đều không âm nên ta bình phương 2 vế: x 3 – x 2 – 5x – 3 0     2 3 1 0 x x     b) Tương tự với 2 dạng: *     f x g x  *     f x g x  Ví dụ 1: Giải bất phương trình   2 2 6 1 2 0 1 x x x     Giải   2 1 2 6 1 2 x x x      bất phương trình tương đương với hệ: 2 2 2 2 0 3 7 3 7 3 7 2 6 1 0 3 2 2 2 2 6 1 2 1 3 x x x x x x x x x x x                                    Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 2 2 1 2 x mx m     có nghiêm. Giải * Nếu m < 2  phương trình vô nghiệm. * Nếu m  2  phương trình  x 2 2mxm 2 +4m3=0. Phương trình này có =2m 2 4m+3>0 với mọi m. Vậy với m  2 thì phương trình đã cho có nghiêm. Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2 2 3 1 x mx x     có hai nghiệm phân biệt. Giải: Cách 1:   2 1 2 4 0,(*) x PT x m x             , phương trình (*) luôn có 2 nghiệm: 2 2 1 2 2 4 20 2 4 20 0, 0 2 2 m m m m m m x x             . Phương trình đã cho có 2 nghiệm  (*) có 2 nghiệm 1 x      2 22 2 4 1 4 4 20 1 4 4 20 m x m m m m m m m                      Chú ý: + x 1 > 0, x 2 < 0 vì x 1 > x 2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu. + Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm. + Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với 1 0 x t     . (*) trở thành:      2 1 2 1 4 0 t m t       (**). Để (*) có 2 nghiệm 1 x   thì (**) phải có 2 nghiệm 0  t . Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 2 2 2 1 x mx x     , (1) Giải:     2 2 1 0 3 4 1 0, 2 x pt x m x             để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 1 2  hay   2 4 12 0 1 9 0 2 2 1 2 2 m f m S                           . Chú ý : Cách 2: đặt 1 2 t x   , khi đó để (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 1 2  thì   2 1 1 3 4 1 0 2 2 t m t                   có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0. 3. Các kỹ năng: a. Để bình phương 2 vế phương trình – bất phương trình thì một là ta biến đổi cho 2 vế không âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm. Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5 1 1 2 4 x x x      (ĐH Khối A – 2005) Vế phải không âm, nhưng vế trái chưa nhận xét được do đó ta phải biến đổi thành: 5 1 1 2 4 x x x      khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ bản để giải. Ví dụ 2: Giải phương trình:       2 1 2 2 1 x x x x x    . Giải Điều kiện:   1 2 * 0 x x x                          2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 4 2 1 2 2 1 4 2 2 1 8 9 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0, 9 8 x  . (Hãy tìm thêm cách giải khác) Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2 2 2 4 0 x mx x     có nghiệm. HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm được 2 1,2 16 2 m m x    . Kết hợp với điều kiện ta tìm được |m|  4. b. Chuyển về phương trình – bất phương trình tích: - Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 7 7 x x    . HD:  Bình phương hai vế.  Dùng hằng đẳng thức a 2  b 2 =0.  Nghiệm 1 29 2, 2 x x    . Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a.   2 2 4 1 1 x x x     b.   2 2 3 2 3 2 0 x x x x     ĐS: a. 1x<8, b.     1 ; 2 3; 2            . Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:   2 2 8 2 x x m x     .(1) Giải: ĐK: 2  x , do m > 0.            )2(,326 2 242 23 mxx x xmxxpt . Để chứng minh 0   m , phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì chỉ cần chứng minh phương trình (2) có một nghiệm khác 2. Thật vậy: đặt   3 2 6 32, 2 f x x x x     , ta có f(2) = 0,     ' 2 lim , 3 12 0, 2 x f x f x x x x         nên f(x) là hàm liên tục trên   2;  và đồng biến trên khoảng đó suy ra 0   m phương trình (2) luôn có nghiệm x 0 mà 2 < x 0 <   . Một số dạng chuyển thành tích: - Dạng:     - - a c x b d ax b cx d m      Ta biến đổi thành:     ( ) m ax b cx d ax b cx d        Ví dụ: Giải phương trình: 3 4 1 3 2 5 x x x      . ĐS: x=2. - Dạng: u+v=1+uv  (u-1)(v-1)=0 Ví dụ: Giải phương trình: 3 2 3 3 1 2 1 3 2 x x x x        . ĐS: x=0, x=1. Ví dụ: Giải phương trình: 3 2 4 4 1 1 x x x x      . ĐS: x=0, x=1. - Dạng: au+bv=ab+uv  (ub)(va)=0 Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 3 2 1 2 4 3 x x x x x x        . ĐS: x=0, x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 2 2 2 3 3 2 3 2 2 x x x x x x x         . ĐS: x=0. - Dạng: a 3 b 3  (ab)(a 2 +ab+b 2 )=0  a=b Ví dụ: Giải phương trình:     2 2 3 3 2 3 9 2 2 3 3 2 x x x x x     . ĐS: x=1. c. Chuyển về dạng: A 1 + A 2 + + A n = 0 với ,0 1 i A i n    khi đó pt tương đương với: , , 1 2 0 0 0  n A A A    . Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 4 3 3 4 3 2 2 1 x x x x x       . HD: Phương trình tương đương     2 4 4 3 3 1 2 2 1 2 1 0 x x x x x x          . ĐS: x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 2 4 2 4 x y y x y      . Giải Bình phương hai vế ta được         2 2 2 1 2 1 2 2 2 4 0 , 2. 2 x y y x y x y            d. Sử dụng lập phương: Với dạng tổng quát 3 3 3 a b c   ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức     3 3 3 3 a b a b ab a b      khi đó phương trình tương đương với hệ 3 3 3 3 3 a b c a b abc c           . Giải hệ này ta có nghiệm của phương trình. Ví dụ: Giải bất phương trình 3 3 3 1 2 2 3 x x x      . ĐS: 3 1; 2; 2 x x x    . e. Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu: - TH1: Mẩu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu: Ví dụ 1: Giải bất phương trình:     2 2 16 7 3 1 3 3 x x x x x        (ĐH Khối A2004) Giải ĐK: 4  x .       2 2 1 2 16 3 7 2 16 10 2           x x x x x     2 2 4 5 10 2 0 10 2 0 10 34 5 2 16 10 2 x x x x x x x                               Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 10 34  x . - TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp: Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a.   2 2 3 4 9 x x x     b. 2 51 2 1 1 x x x     . HD: a. Xét ba trường hợp x=3, x>3 và x<3. ĐS: 5 3 6 x x     . b. Xét hai trừng hợp của x1. ĐS: 1 52 5 1 x x       . Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a.   2 2 1 1 0 x x x x x x        . HD: Bình phương 2 vế và biến đổi thành: 2 2 3 2 2 4 4 6 4 0 x x x x x x x x         . 2 2 ( 2)(2 2 2) 0 x x x x x        [...]... Bài 2: Giải bất phương trình sau: HD: Cách 1: Đặt HD: Nhân lượng liên hợp 1  2x  1  2x  2  x2 t  1  2 x  1  2 x  x2   t 4  4t 2 16 Cách 2: Bình phương rồi đưa về dạng:A1+A2 = 0, với A1, A2  0 Bài 3: Giải phương trình 4  3 10  3 x  x  2 (HD: Bình phương hai lần ra phương trình bậc 4 đầy đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức) Bài 4: Giải phương trình Bài 5: Giải phương trình 1 2 x... duy nhất Thấy x 1 2 x 1 2 , nên phương trình nếu có nghiệm thì đó là là nghiệm của phương trình Đối với phương trình chứa tham số ta thực hiện như sau: Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1) B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và đường thẳng d: y = g(m) B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m) B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm: min f  x, m  ... Giải phương trình HD: Đặt x  cos t , t   0;    sin t  cos t 1  sin t cos t   x3  2 3 1  x   x 2 1  x 2  dưa về phương trình lượng giác 2 sin t cos t Để gải phương trình này ta lại đặt u  sin t  cos t , u  2 ĐS: x 2 1 2  2  2 , x 2 2 Ví dụ 3: Giải phương trình 1  x 2  4 x3  3 x ĐS: x 1 2 2 2 4 , x Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình) * Khi gặp phương trình. .. hệ phương trình sau: Giải hệ này tìm u, v rồi ta lại tìm x Khi tìm x ta chỉ giải một trong hai phương trình u  n a  f  x Ví dụ 1: Giải phương trình: hoặc v  m b  f  x 3 x  6 x 3  3  x  6  x  ĐS: x  0, x  3 Ví dụ 2: Giải phương trình: x  24, x  88, x  3 3 24  x  12  x  6 ĐS: Ví dụ 3: Giải phương trình: x  4 17  x  3 4 ĐS: x  1, x  16 Ví dụ 4: Giải phương trình: ... đồng biến (nghịch biến) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra phương trình có nghiệm duy nhất Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu khi đó ta có: u = v Ví dụ: Giải phương trình: ĐK: x f '  x  1 2...  g  x  f  x   h  x   0 Đặt t f  x , khi đó phương trình trở thành at 2  g  x  t  h  x   0 Ví dụ: Giải phương trình 2 1  x  x2  2x  1  x 2  2 x  1 HD Đặt t  x 2  2 x  1   x  1  6 (Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình, bất phương trình lượng giác, mũ, logrit,… rất hay!) Bài tập Giải các phương trình sau: 1 2 x 2  5 x  2  4 2  x 3  21x  20  2... , đặt t f  x  g  x , bình phương hai vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua t Ví dụ 1: Cho phương trình 3 x  6 x m  3  x  6  x  a Giải phương trình khi m=3 b Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm Giải Đặt: t  3  x  6  x  t2  9  2 Cauchy 2  3  x  6  x  * Áp dụng bất đẳng thức  3  x  6  x   9 nên từ (*) ta có 3t 3 2 Phương trình đã cho trở thành t22t9=2m... Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi f  0  m  f  4  Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: Giải: Phương trình được viết lại dưới dạng: x 3 x2  1 x  3  m x2  1 m Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C): thẳng: y = m Lập BBT : x 1/3  y’ + y 0   10 1 1 y x3 x2  1 và đường KL: m  1  m  10 : phương trình vô nghiệm 1  m  1 hoặc m  10 1  m  10 : : phương. .. 3 x  2   3 x3  8 4 2x  x 1 1 1  1  3 x  x x x Đặt t  1 1 x , ĐS: x 1 5 2 Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác) Khi giải các phương trình, bất phương trình lượng giác chúng ta thường tìm mọi cách đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình, bất phương trình đại số Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp cách là ngược lại tỏ ra khá hiệu quả, bằng những tính chất của hàm lượng giác ta sẽ đưa các bài... Giải phương trình: thành: 3 x 1  3 x  3  3 2 , 3 1 1 x  x 1, 2 2 đặt u  3 x  1, v  3 x  3, pt trở u  v  3 2   3 3 u  v  2  Ví dụ 6: Giải phương trình: đặt u 3 1  x,v  2 1 x 2 Ví dụ 7: Với giá trị nào của a thì phương trình: 3 1  x  3 1  x  a có nghiệm Đặt u  3 1  x , v  3 1  x Phương trình trở thành: a  u 2  v 2  uv   2   u  v  a  TH1: a = 0 hệ phương trình . Phương trình - bất phương trình chứa căn thức I. Phương pháp biến đổi tương đương 1. Kiến thức cần nhớ:         2 2 2 1 2 1 2 2 2 1. Chuyển về phương trình – bất phương trình tích: - Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích Ví dụ 4: Giải phương trình: . với hàm lượng giác). Khi giải các phương trình, bất phương trình lượng giác chúng ta thường tìm mọi cách đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình, bất phương trình đại số. Tuy nhiên, trong nhiều