Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi cuối kì Toán cao cấp 2 (có đáp án) Câu 1: Đa thức đặc trưng: 2 2 2 3 1 2 1 1 1 ( ) 0 2 0 (2 )( 1) (2 )( 2) 2 2 1 p A IA C âu 2: Xét phương trình đặc trưng của ma trận A: 3 3 2 3 1 1 | | 0 1 0 (1 )( 1) (1 )( 1) 0 1 0 0 1 a A I 1 1 • Với 1: 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 0 0 ( ) 0 1 1 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 a x x x ax A I x x x x x x x x x x x x Suy ra vector riêng: x ( ; ;0) ( 1;1;0) ( \ {0}) Chọn vector riêng: u1 ( 1;1;0) • Với 1(nghiệm kép):1 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 1 1 0 0 ( ) 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 a x x x ax A I x x x x x x x ax Nếu a 0: Suy ra vector riêng:x ( ; ;0) (1;1;0) ( \ {0}) Chọn vector riêng: u2 (1;1;0) Nếu a 0: Suy ra vector riêng:x ( ; ; ) (1;1;0) (0,0,1) ( 0) 2 2 Chọn vector riêng: u u 2 3 (1;1;0), (0;0;1)
ĐÁP ÁN ĐỀ 1C, 2A, 3A, 4A, 5D, 6C, 7C, 8C, 9A, 10A, 11B, 12A, 13B, 14D, 15D, 16B, 17C,18D, 19A, 20D Câu 1: Đa thức đặc trưng: pA ( ) A I3 2 (2 )( 1) 2 1 (2 )( Câu 2: Xét phương trình đặc trưng ma trận A: |A I3 | 0 a (1 )( 1)3 1 (1 )( 1) 1 • 1: Với (A I) x 1 a x1 1 x2 0 x3 x1 x3 • Với x2 Suy vector riêng: x ( Chọn vector riêng: u1 ( 1;1; 0) (nghiệm kép): ; ; 0) x1 0 x1 x2 x3 x2 ax x1 x 2x 0 0 ( 1;1; 0) ( \ {0}) 2) (A I) x a x1 x2 0 x3 1 0 0 x1 x2 x1 ax x2 0 x1 x ax 0 : Suy vector riêng: x Nếu a ( ; ; 0) Chọn vector riêng: u2 ( ; ; ) Chọn vector riêng: u2 Vậy với a \ {0}) (1;1; 0) : Suy vector riêng: x Nếu a (1;1; 0) ( (1;1; 0) (1;1; 0), u3 (0, 0,1) ( 2 0) (0; 0;1) ma trận A có vector riêng độc lập tuyến tính nên A chéo hóa Câu 3: Để vector u 2 2 x1 u ( x1 , x2 , x3 , x4 ) W (0,1,1, 2) (2, 2, 1, 1) ( 1,1,1,0) x2 có nghiệm x3 x4 Xét A ( A | B) 1 2 x1 x2 1 x3 x4 x2 x1 0 x3 0 x1 Để hpt có nghiệm r ( A) r ( A) x2 x1 x3 x4 x2 x1 0 x3 x2 x1 0 x4 3x2 x3 x2 x2 x2 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 Câu 4: f Ta có: Vậy: f F E 1 2 PF E Suy ra: f ( x, y ) f PF F (2 x E PE y, x y) F f PE F 1 1 2 1 F 2 1 Câu 5: Trình bày giống câu 1,2 Câu 7: Trình bày giống 1a đề tự luận Câu 8: Ta có: f (u ) B ' Vậy: f (u ) E f PE B' B u B 1 m 1 m 1 1 m B ' f (u ) B ' 1 m f (u ) (1,1 m) Câu 10: u u (2,3,6) B PE B u u E E 1 2 4 1 Câu 11: Gọi A ma trận dịng vector cho, ta có: A 1 1 2 10 3 15 17 24 1 7 0 0 1 7 0 0 0 r ( A) Vì hạng hệ vector S hạng ma trận A nên hạng S r = Câu 12: Đặt u1 = (1;2), u2 = (1;3) B = {u1 , u2 } 17 Ta có: f (u1 ) = (17;13) [f (u1 )]E = 13 26 f (u2 ) = (26;20) [f (u2 )]E = 20 17 26 Suy ra: [f ]EB = 13 20 E E −1 E →E Vậy: [f ] = P E B E B −1 E →B [f ] PB → E = [f ] P 17 26 1 = 13 20 −1 −1 = −1 Câu 15: Gọi A ma trận dịng vector cho, ta có: A 0 0 Vậy dimW 2 0 0 r ( A) 3 => Một sở W {u1 , u2 , u3 } r ( A) x y 3z CÂu 16: x y 3z 3x y 2 3 Xét: A hpt x 3 y 3z 3y 9z 0 3 x y 9 3z 3z 0 3 x y ,( z Suy nghiệm tổng quát hpt cho là: X ) (3 ; ; ) (3; 3;1) Vậy không gian nghiệm hpt là: W dimW (3; 3;1) sở W {(3;-3;1)} Câu 19: Để vector x không tổ hợp tuyến tính vector cho khơng tồn số thực , , cho: x 1u 2v 3w 2 2 Xét ( A | B) 3 m vô nghiệm 12 1 m 12 Để hpt vô nghiệm r ( A) 0 3 0m 3 0 r ( A) m m 3 m 0 m Câu 20: Đặt m m m m d3 m m m( m2 2m) d3 m m m d1 m m 0 m.( 1)3 m m m m2 (m 2) Để vector phụ thuộc tuyến tính m2 (m 2) m m ĐỀ 1C, 2A, 3A, 4B, 5A, 6A, 7D, 8C, 9D, 10C, 11C, 12C, 13A, 14A, 15C, 16A, 17D, 18D, 19C, 20C Hướng dẫn câu 16: Gọi không gian nghiệm là: w = a1 , a2 , a3 Lấy x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) Để x nghiệm hpt x W x tổ hợp tuyến tính a1 , a2 , a3 Xét 1 −1 A= −1 −3 −4 −15 1 x1 x2 → 0 x3 x4 −6 −18 1 x1 x1 + x2 → 0 x1 + x3 − x1 + x4 0 x1 x1 + x2 −18 − x1 − 3x2 + 2x3 0 2x1 + 3x2 + x4 Để r ( A) = r ( A) x1 + 3x2 + x4 = A ĐỀ 1B, 2C, 3A, 4B, 5D, 6C, 7B, 8D, 9A, 10C, 11C, 12D, 13A, 14B, 15C, 16B, 17A, 18A, 19C, 20B Chú ý câu số 7, đáp án B sửa lại là: B u ( ,5 ) với \{0}