Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 1: (3,0 điểm)1. Chứng minh chia hết cho 18 với mọi số nguyên dương .2. Phân tích đa thức thành nhân tử.Câu 2: (3,0 điểm). Cho biểu thức với , 1. Rút gọn biểu thức 2. Tính giá trị của khi , thỏa mãn .Câu 3: (3,0 điểm) 1. Giải phương trình .2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn phương trình .Câu 4: (3,0 điểm) 1. Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho là số chính phương.2. Cho 2021 số không âm thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:i) ;ii) ; iii) .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .Câu 5: (6,0 điểm) Cho hình vuông . Gọi là một điểm tùy ý trên cạnh ( khác và ). Kẻ tia vuông góc với tia và cắt tại . Gọi là trung điểm của , tia cắt tại . Qua điểm kẻ đường thẳng song song với , cắt ở .1. Chứng minh và tứ giác là hình thoi. 2. Chứng minh .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC THÁNG LỚP THCS TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC: 2020 – 2021 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 23/3/3021 Câu 1: (3,0 điểm) n 1 n 3 n n Chứng minh 4.5 2.5 chia hết cho 18 với số nguyên dương n 2 Phân tích đa thức 3x 13 x y 13xy y thành nhân tử Câu 2: (3,0 điểm) A Cho biểu thức x y y2 x2 y x2 : xy x y x y x y x y x y với xy 0 , x y Rút gọn biểu thức A x3 y xy x y Tính giá trị A x , y thỏa mãn Câu 3: (3,0 điểm) x2 x 1 x 5x 1 2 x 1 x 1 Giải phương trình Tìm tất cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn phương trình xy xy 27 y x 0 Câu 4: (3,0 điểm) Tìm tất số tự nhiên n cho n 3n số phương Cho 2021 số khơng âm x1 , x2 , , x2021 thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau: i) x1 x2 x2021 ; ii) x1 x2 2021 ; iii) x3 x4 x2021 2021 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P x1 x2 x2021 Câu 5: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi M điểm tùy ý cạnh BC ( M khác B C ) Kẻ tia Ax vng góc với tia AM cắt CD N Gọi H trung điểm MN , tia AH cắt CD K Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AK E Chứng minh AM AN tứ giác EMKN hình thoi 2 Chứng minh NA NC.NK Khi điểm M thay đổi cạnh BC , chứng minh chu vi tam giác MKC không đổi Câu 6: (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC BD Vẽ CE vng góc với AB E CF vng góc với AD F Cho biết đường chéo AC a , tính AB AE AD AF theo a = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC THÁNG LỚP THCS TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU Năm học: 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: (3,0 điểm) n 1 n 3 n n Chứng minh 4.5 2.5 chia hết cho 18 với số nguyên dương n 2 Phân tích đa thức 3x 13 x y 13xy y thành nhân tử Lời giải 1) Với số nguyên dương n ta có: n 1 n n n 3 4.5n 1 2n 3 2.5n n 4.5 2.5 5n 4.5 2n 24 5n.18 2n 1.18 n n 5n.18 2n 1.18 18 hay 4.5n1 2n3 2.5n 2n chia hết cho 18 Vì 1818 1818 nên 2 x y 13 x y 13 xy x 13 x y 13 xy y 2) Ta có: 3 x y 13xy x y 3 x y x xy y 13xy x y 3 x y x xy y 13xy 3 x y x 12 xy y Câu 2: (3,0 điểm) A Cho biểu thức x y y2 x2 y x2 : xy x y x y x y x y x y với xy 0 , x y Rút gọn biểu thức A x3 y xy x y Tính giá trị A x , y thỏa mãn Lời giải 1) Với xy 0 , x y , ta có: A x y y2 2x y x2 : xy x y x y x y x y x y A x y y2 2x2 y x2 : 2 2 xy x y x y x y x y x y x y Trang y2 x y x2 x y x y 2x2 y A : xy x y x y x y x y x y x y A x y xy y x y x x y : 2 xy x y x y A x y xy y x y x : 2 xy x y x y x y x y y x A : xy x y x y 2 x y x y x y A xy x y y x A x y xy 2) Ta có: x3 y xy x y x y x y xy 0 x y xy y x y xy 0 x y xy y x y xy 0 x y x xy y y x y xy x y 0 x y x xy y 0 11 x y x y y 0 x 2 y Thay x 2 y vào biểu thức A x y xy A ta 2y y 2y 2 1 Câu 3: (3,0 điểm) x2 x 1 x 5x 1 2 x 1 x 1 Giải phương trình Tìm tất cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn phương trình xy xy 27 y x 0 Lời giải 1) ĐKXĐ x 1; x Khi đó: Trang x2 x 1 x2 5x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 3x3 x 0 3x 3x x 0 3x x 1 x 1 x 1 0 x 1 x x 0 x 1 3x x 0 x 1 x 2 x (tmđk) 2 S 1; 2; 3 Vậy tập nghiệm phương trình 2) Từ xy xy 27 y x 0 x 27 y 27 y y y 1 y 1 2 (*) y 1 4 Vì y 1 nên 0 Khi 27 y y 1 27 hay 0x 27 x 1; 2;3; 4;5;6 Mà x nguyên dương nên Thay x vào (*) x 6 tìm y 2 thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 4: (3,0 điểm) Tìm tất số tự nhiên n cho n 3n số phương Cho 2021 số không âm x1 , x2 , , x2021 thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau: i) x1 x2 x2021 ; ii) x1 x2 2021 ; iii) x3 x4 x2021 2021 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P x1 x2 x2021 Lời giải 1) Xét A n 3n , A số phương 4A số phương aN Khi giả sử 4A a * 2 suy 4n 12n 32 a 2n 2.2n.3 32 23 a Trang 2n 3 23 a 2 a 2n 3 23 a 2n 3 a 2n 3 23 23.1 * Vì n N , a N nên a 2n a 2n a 2n a 2n 23 a n Do a 12 n 4 (thỏa) Thử lại thấy n 4 A 4 3.4 36 số phương Vậy n 4 thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 5: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi M điểm tùy ý cạnh BC ( M khác B C ) Kẻ tia Ax vng góc với tia AM cắt CD N Gọi H trung điểm MN , tia AH cắt CD K Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AK E Chứng minh AM AN tứ giác EMKN hình thoi 2 Chứng minh NA NC.NK Khi điểm M thay đổi cạnh BC , chứng minh chu vi tam giác MKC không đổi Lời giải Chứng minh AM AN tứ giác EMKN hình thoi Xét ABM ADN có: DAN AB AD ; ABM ADN 90 ; BAM (cùng phụ với DAM ) Nên ABM ADN (cạnh huyền – góc nhọn) suy AM AN (cạnh tương ứng) Ta có: HEM HKN (góc – cạnh – góc) nên ME NK (cạnh tương ứng) (1) Mà ME // AB ME // DC ME // NK (2) Từ (1) (2) suy EMKN hình bình hành (3) Lại có AM AN nên AMN cân A , mà H trung đểm MN nên AH đường trung tuyến đồng thời đường cao Suy AH MN hay EK MN (4) Trang Từ (3) (4) suy EMKN hình thoi 2) Chứng minh NA NC.NK NK NH Ta có HNK ∽ CNM (g.g) nên MN NC NK NC MN NH (*) AN NH ∽ ANH ∽ MNA (g.g) nên MN NA NA2 MN NH (**) Từ (*) (**) suy NA2 NC.NK Khi điểm M thay đổi cạnh BC , chứng minh chu vi tam giác MKC khơng đổi Ta có: Chu vi tam giác MKC MK MC KC Vì ABM ADN (theo phần 1) nên MB ND Mặt khác EMKN hình thoi nên MK NK Khi MK MC KC NK MC KC ND DK KC MC MB DK KC MC MB MC DK KC BC DC 2BC (khơng đổi) Vì B, C cố định nên BC khơng đổi Do M di chuyển BC chu vi tam giác MKC khơng đổi Câu 6: (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC BD Vẽ CE vng góc với AB E CF vng góc với AD F Cho biết đường chéo AC a , tính AB AE AD AF theo a Lời giải Kẻ BH AC H AC AB AH AB AE AH AC Ta có AEC đồng dạng với ABH (góc nhọn) nên: AC AE (1) Xét hai tam giác vuông AFC CHB có CAF BCH (so le trong) AF AC AF BC AC CH nên AFC ∽ CHB (góc nhọn) suy CH BC Mà BC AD nên AF AD AC.CH (2) Trang Từ (1) (2) suy AB AE AF AD AC AH AC.CH AC AH CH AC a Vậy điều phải chứng minh = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang