Đang tải... (xem toàn văn)
TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 45_ĐTK2022 Cho hàm số ( ) ( ) 4 3 2 f x x ax bx cx d a b c d = + + + + 3 , , , có ba điểm cực trị là −2,−1,1 . Gọi y g x = ( ) là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x = ( ) . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y f x = ( ) và y g x = ( ) bằng A. 500 81 . B. 36 5 . C. 2932 405 . D. 2948 405 Lời giải Chọn D Ta có ( ) ( ) 4 3 2 3 2 f x x ax bx cx d f x x ax bx c = + + + + = + + + 3 12 3 2 . Do f x( ) có ba điểm cực trị là −2,−1,1 nên: ( ) ( ) ( ) 1 0 3 2 12 8 1 0 3 2 12 6 2 0 12 4 96 24 f a b c a f a b c b f a b c c − = − + = = − = + + = − = − = + + = − = ( ) 4 3 2 = − − + + f x x x x x d 3 8 6 24 . Khi đó đồ thị hàm số f x( ) có ba điểm cực trị là A d (− − + 1; 19 ) , B d (1;13+ ) và C d (2;8 + ) . Gọi ( ) 2 1 g x mx nx k = + + là parabol đi qua các điểm A 1; 19 (− − ) , B 1;13 ( ) và C 2;8 ( ) , khi đó: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 19 19 7 1 13 13 16 2 8 4 2 8 4 g m n k m g m n k n g m n k k − = − − + = − = − = + + = = = + + = = . ( ) 2 1 = − + + g x x x 7 16 4 ( ) 2 = − + + + g x x x d 7 16 4 . Ta có phương trình hoành độ giao điểm: 4 3 2 2 4 3 2 1 2 3 8 6 24 7 16 4 3 8 8 4 0 3 1 2 x x x x x x d x x d x x x x x x = − = − − + + = − + + + − + + − = = = . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi f x( ) và g x( ) là: ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 2 1 1 2948 d 3 8 8 4 d 405 S f x g x x x x x x x dvdt − − = − = − + + − = .
CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VỀ TỈ SỐ DIỆN TÍCH TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 45_ĐTK2022 Cho hàm số f ( x ) = 3x + ax3 + bx + cx + d ( a, b, c, d ) có ba điểm cực trị −2 , −1 , Gọi y = g ( x ) hàm số bậc hai có đồ thị qua ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = f ( x ) y = g ( x ) A 500 81 B 36 C 2932 405 D 2948 405 Lời giải Chọn D 3 Ta có f ( x ) = 3x + ax + bx + cx + d f ( x ) = 12 x + 3ax + 2bx + c Do f ( x ) có ba điểm cực trị −2 , −1 , nên: f ( −1) = 3a − 2b + c = 12 a = −8 f (1) = 3a + 2b + c = −12 b = −6 f ( 2) = 12a + 4b + c = −96 c = 24 f ( x ) = 3x − x − x + 24 x + d Khi đồ thị hàm số f ( x ) có ba điểm cực trị A ( −1; −19 + d ) , B (1;13 + d ) C ( 2;8 + d ) Gọi g1 ( x ) = mx + nx + k parabol qua điểm A ' ( −1; −19 ) , B ' (1;13 ) C ' ( 2;8 ) , đó: g1 ( −1) = −19 m − n + k = −19 m = −7 g1 (1) = 13 m + n + k = 13 n = 16 g ( 2) = 4m + 2n + k = k =4 g1 ( x ) = −7 x + 16 x + g ( x ) = −7 x + 16 x + + d Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: x = −1 x=2 2 3x − x − x + 24 x + d = −7 x + 16 x + + d x − x + x + x − = x =1 x = Khi diện tích hình phẳng giới hạn f ( x ) g ( x ) là: S= f ( x ) − g ( x ) dx = −1 Câu 1: 3x − x + x + x − dx = −1 2948 ( dvdt ) 405 3 Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + 3x g ( x ) = mx + nx − x, với a, b, c, m, n Biết hàm số y = f ( x ) − g ( x ) có ba điểm cực trị −1, Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = f ( x ) y = g ( x ) A 32 B 71 C Lời giải 71 D 64 Chọn B 2 Ta có : f ( x ) = 4ax + 3bx + 2cx + g ( x ) = 3mx + 2nx − Suy ra: h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) = có nghiệm phân biệt −1, Nên f ( x ) − g ( x ) = 4a ( x + 1)( x − )( x − 3) () Thay x = vào hai vế (*) ta được: f ( ) − g ( ) = a = 71 ( x + 1)( x − )( x − 3) dx = Vậy diện tích hình phẳng giới hạn: S = −1 Câu 2: 3 Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + x g ( x ) = mx + nx − 2x với a, b, c, m, n Biết hàm số y = f ( x ) − g ( x ) có ba điểm cực trị −1, 2,3 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = f ' ( x ) y = g ( x ) A Vì 32 B hàm 16 C D 71 Lời giải y = f ( x) − g ( x) số 71 12 có ba điểm cực trị −1, 2,3 nên hàm số y = f ( x ) − g ( x ) = 4ax + ( b − m ) x + ( c − n ) x + có ba nghiệm −1, 2,3 Suy ra, tồn số thực k để y = k ( x + 1)( x − )( x − 3) Ta có f ( ) = nên k = Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = f ( x ) y = g ( x ) bằng: 3 −1 Câu 3: 71 ( x + 1)( x − )( x − 3) dx = 12 y ( x ) dx = −1 ax [Mức độ 3] Cho hai hàm số f x Biết hàm số y a, b, c, m, n A 32 B cx f ' x y 71 mx3 x g x g x có ba điểm cực trị f x phẳng giới hạn hai đường y bx3 nx 1, Diện tích hình g ' x C 71 D 64 Lời giải Chọn B Ta có: y y' f x f' x Vì hàm số y y' f' x g x g' x f x g' x ax 4ax g' x c n x2 b m x2 4ax x 3 b m x2 24a x 4x c n x g x có ba điểm cực trị Đồng hệ số, ta suy ra: Do đó: f ' x b m x3 a x Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y 1, nên c n x 4a x x x f ' x y x với g ' x là: S f' x g ' x dx Câu 4: Cho hai hàm số x x x dx 71 f ( x) = ax4 + bx3 + cx2 + 2x g ( x) = mx3 + nx2 − x ; với a, b, c, m, n Biết hàm số y = f ( x) − g ( x) có điểm cực trị – 1, 2, Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = f ( x) y = g ( x) A 71 B 32 C 16 D 71 12 Lời giải Chọn D Xét hàm số h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) = ax + ( b − m ) x + ( c − n ) x + 3x h ( x ) = 4ax + ( b − m ) x + ( c − n ) x + (1) Vì hàm số h ( x ) có điểm cực trị – 1, 2, nên phương trình h ( x ) = có nghiệm phân biệt – 1, 2, Suy h ( x ) có dạng h ( x ) = A ( x + 1)( x − )( x − 3) ( ) Từ (1) ta có x = h ( ) = 1 Thế vào ( ) h ( ) = A (1)( −2 )( −3) = A = h ( x ) = ( x + 1)( x − )( x − 3) 2 Diện tích hình phẳng giới hạn f ( x ) g ( x ) S= f ( x ) − g ( x ) dx = −1 Câu 5: Cho hàm số h ( x ) dx = −1 71 ( x + 1)( x − )( x − 3) dx = −1 12 f ( x ) = x3 + ax + bx + c với a, b, c số thực Biết hàm số g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) có hai giá trị cực trị −5 Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y = f ( x) y = g ( x) + A ln B 3ln C ln10 Lời giải D ln Chọn B Ta có g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) = x + ( a + 3) x + ( 2a + b + ) x + ( 2a + b + c ) g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) = 3x2 + 2ax + b + x + 2a + = x + ( 2a + ) x + ( 2a + b + ) Vì y = g ( x ) có hai giá trị cực trị −5 nên g ( x ) = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với g ( x1 ) = −5, g ( x2 ) = Phương trình hồnh độ giao điểm f ( x) f ( x) − g ( x) − x + ( 2a + ) x + ( 2a + b + ) g( x) =1 =0 =0 =0 g ( x) + g ( x) + g ( x) + g ( x) + Phương trình có hai nghệm phân biệt x1 , x2 Như diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y = S= x2 g ( x) g ( x ) + = ln g ( x ) + x1 Câu 6: Cho hàm số x2 x1 f ( x) y = g ( x) + = ln + − ln −5 + = 3ln f ( x ) = x + ax + bx + c với a , b , c số thực Biết hàm số g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) có hai giá trị cực trị −5 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) y = g ( x) + A 2ln3 B ln C ln15 Lời giải D 3ln Chọn A f ( x ) = x + ax + bx + c f ( x ) = 3x + 2ax + b , f ( x ) = x + 2a , f ( x ) = g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + x = x1 Do g ( x ) có hai cực trị −5 nên g ( x ) = với g ( x1 ) = −5 , g ( x2 ) = x = x2 f ( x) − f ( x ) − f ( x ) − x = x1 Ta có: =1 =0 g ( x) + g ( x) + x = x2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) S = − 1 dx = g ( x) + x1 x2 f ( x) y = g ( x) + − f ( x ) − f ( x ) − dx = x g x + ( ) x2 x2 x1 ( d ( g ( x ) + ) = ln g ( x ) + g ( x) + ) x2 x1 = ln g ( x2 ) + − ln g ( x1 ) + = ln1 − ln = 2ln Câu 7: Cho hàm số f ( x ) = x + ax + bx + c với a, b, c số thực Biết hàm số g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) có hai giá trị cực trị là −3 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) y = g ( x) + A 2ln3 B ln3 C ln18 Lời giải D 2ln Chọn D Ta có f ( x ) = 3x + 2ax + b ; f ( x ) = x + 2a ; f ( x ) = ; g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + Vì g ( x ) có hai giá trị cực trị là −3 nên không giảm tổng quát, g ( x ) có hai điểm cực trị x1, x2 g ( x1 ) = −3 , g ( x1 ) = Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường y = f ( x) f ( x) y = =1 g ( x) + g ( x) + f ( x) = g ( x) + f ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + = x = x1 g ( x ) = x = x2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) S = − 1dx = g ( x) + x1 x2 = Câu 8: − g ( x ) x g ( x ) + dx = 1 x2 Cho hàm số f ( x) y = là: g ( x) + f ( x) − g ( x) − x g ( x ) + dx = 1 − f ( x ) − f ( x ) − dx g ( x) + x1 x2 x2 g ( x ) x1 g ( x ) + dx = ln g ( x ) + f ( x ) = x + ax + bx + c với x2 x2 x1 = ln12 − ln = 2ln a, b, c số thực Biết hàm số g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) có hai giá trị cực trị −4 Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y = A 2ln f ( x) y = g ( x) + B ln C 3ln D ln Lời giải Chọn A Ta có: g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) = x + ( a + 3) x + ( 2a + b + ) x + ( 2a + b + c ) g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) = 3x2 + 2ax + b + x + 2a + = x + ( 2a + ) x + ( 2a + b + ) x = x1 Do g ( x ) có hai cực trị −5 nên g ( x ) = với g ( x1 ) = −4 , g ( x2 ) = x = x2 Phương trình hồnh độ giao điểm f ( x) f ( x) − g ( x) − x + ( 2a + ) x + ( 2a + b + ) g( x) =1 =0 =0 =0 g ( x) + g ( x) + g ( x) + g ( x) + Phương trình có hai nghệm phân biệt x1 , x2 Như diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y = S= x2 g ( x) g ( x ) + = ln g ( x ) + x1 x2 x1 f ( x) y = g ( x) + = ln + − ln −4 + = 2ln Câu 9: (ĐTK2021) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên Biết hàm số f ( x ) đạt cực trị hai điểm x1 , x2 thỏa mãn x2 = x1 + f ( x1 ) + f ( x2 ) = Gọi S1 S diện tích hai hình phẳng gạch hình bên Tỉ số A B S1 bằng: S2 C D Lời giải Chọn D Tịnh tiến điểm uốn gốc tọa độ, ta hình vẽ bên Khi đó, f ( x ) hàm bậc ba, nhận gốc tọa độ tâm đối xứng nên Chọn f ( x ) = x − f ( x ) = x − 3x Nên S2 = (x −1 S − 3x ) dx = ; S1 + S2 = S1 = = 4 S2 x1 = −1; x2 = Câu 10: x parabol y = x + a ( a tham số thực dương) Gọi S1 , S diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi S1 = S (Mã 104 - 2019) Cho đường thẳng y = a thuộc khoảng đây? 2 5 1 16 A 0; 2 20 B ; C ; 1 ; 20 2 D Lời giải Chọn C Giải toán: x x − x + 2a = a a Để phương trình có nghiệm dương a 16 Phương trình hồnh độ giao điểm: x + a = Gọi hai nghiệm x1 x2 x2 = Để S1 = S x2 x +a− + − 16a x dx = x2 x23 + ax2 − x22 = Ta có: x + a − x dx = + − 16a + − 16a + − 16a +a − = 4 2 20 Giải nhanh máy tính cho kết x = 0, 421875 thuộc khoảng ; Câu 11: x parabol y = x + a , ( a tham số thực dương) Gọi S1 , S diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi S1 = S2 (Mã 102 - 2019) Cho đường thẳng y = a thuộc khoảng đây? 1 A ; 32 1 B ; 32 3 D 0; 16 C ; 16 32 Lời giải Chọn C x − x + a = x2 − 3x + 4a = (*) x1 + x2 = Theo đề phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1 x2 = 2a (**) Ta có phương trình hồnh độ giao điểm x1 S1 − S2 = 3 x − x + ax Từ (*) x1 = (***) ⎯⎯⎯ →a = x 2 3 x − x + a dx + x − x + a dx = 4 x1 x2 =0 x2 2x x 3x 3 x2 − x2 + ax2 = a = − + 8 − x + a dx = (***) x 3x x 3x 3 − x2 , thay vào (**) − x2 x2 = − + − = x2 = 4 2 27 Vậy a ; 128 16 32 Câu 12: Cho parabol ( P1 ) : y = − x + x + cắt trục hoành hai điểm A, B đường thẳng d : y = a ( a ) Xét parabol ( P2 ) qua A, B có đỉnh thuộc đường thẳng y = a Gọi S1 tích hình phẳng giới hạn ( P1 ) d Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn ( P2 ) hoành Biết S1 = S2 , tính T = a3 − 8a2 + 48a A T = 99 B T = 64 C T = 32 D T = 72 Lời giải Để việc tính tốn trở nên đơn giản, ta tịnh tiến hai parabol sang trái đơn vị a Khi đó, phương trình parabol ( P1 ) : y = − x + , ( P2 ) : y = − x + a Gọi A, B giao điểm ( P1 ) trục Ox A ( −2;0 ) , B ( 2;0 ) AB = ( ) ( Gọi A, B giao điểm ( P1 ) đường thẳng d M − − a ; a , N ) − a; a diện trục Ta có S1 = 2 a 4 − y dy = − ( − y ) = ( − a ) − a 3 a ax3 8a a S2 = 2 − x + a dx = − + ax = 12 0 a Theo giả thiết S1 = S2 8a ( − a ) − a = ( − a ) = 4a a3 − 8a + 48a = 64 3 Vậy T = 64 Câu 13: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường my = x , mx = y ( m ) Tìm giá trị m để S = A m = B m = C m = Lời giải D m = Chọn C my = x Tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số nghiệm hệ phương trình: mx = y (1) ( 2) x2 x = Thế (1) vào (2) ta được: mx = m3 x − x = x = m m Vì y = x2 y 0 → y = mx nên mx = y ⎯⎯ m m Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: S = m x2 x2 mx − dx = mx − dx m m 0 m m 32 x3 2 = x − = m = m 3m 3 m0 →m = Yêu cầu toán S = m2 = m2 = ⎯⎯ Câu 14: Cho hình thang cong ( H ) giới hạn đường y = e x , y = , x = , x = ln Đường thẳng x=k ( k ln ) chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 S hình vẽ bên Tìm k để S1 = 2S2 A k = ln B k = ln C k = ln D k = ln Lời giải Diện tích hình thang cong ( H ) giới hạn đường y = e x , y = , x = , x = ln ln S= e dx = e x x ln = eln − e0 = −1 = (đvdt) 2S 2.3 Ta có S = S1 + S2 = S1 + S1 = S1 Suy S1 = = = (đvdt) 2 3 Vì S1 phần diện tích giới hạn đường y = e x , y = , x = , x = k nên k = S1 = e x dx = e x = ek − e0 = ek − k 0 Do ek = k = ln Câu 15: Hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hai hàm số đa thức bậc bốn y = f ( x ) y = g ( x ) Biết đồ thị cảu hai hàm số cắt ba điểm phân biệt có hoành độ −3; − 1; Diện tích hình phẳng ( H ) ( phần gạch sọc hình vẽ bên ) gần với kết đây? A 3,11 B 2,45 C 3,21 Lời giải D 2,95 Chọn A f ( x ) − g ( x ) = a ( x + 3)( x + 1)( x − 2) = ( ax + 3a ) ( x − x − ) = ax3 − ax2 − 2ax + 3ax2 − 3ax − 6a = ax3 + 2ax2 − 5ax − 6a 3 f ( ) − g ( ) = −6a , quan sát hình vẽ ta có f ( ) − g ( ) = − + = 10 −3 253 −3 S = f ( x ) − g ( x ) dx = = 3.1625 Nên −6a = a = ( x + 3)( x + 1)( x − ) dx = 20 80 10 20 −3 −3 2 Câu 16: Cho hàm số y = x4 − 6x2 + m có đồ thị ( Cm ) Giả sử ( Cm ) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt cho hình phẳng giới hạn ( Cm ) trục hồnh có phần phía trục hồnh phần phía trục hồnh có diện tích Khi m = a a (với a , b số nguyên, b , b b phân số tối giản) Giá trị biểu thức S = a + b là: A B C Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x4 − x2 + m = (1) Đặt t = x2 ( t ) (1) trở thành t − 6t + m = ( ) D ( Cm ) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt hay = ( − ) − m P=m0 phương trình ( ) có hai nghiệm dương phân biệt m ( *) S =60 Gọi t1 , t2 ( t1 t2 ) hai nghiệm phương trình ( ) Lúc phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là: x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 Do tính đối xứng đồ thị ( Cm ) x3 nên có (x x4 − x + m ) dx = ( − x + x − m ) dx x3 x − x43 + mx4 = x54 − 10 x34 + 5mx4 = x44 − x42 + m = ( 3) Từ có x4 nghiệm hệ phương trình: x4 − 10 x4 + 5m = ( ) Lấy ( 3) − ( ) x42 = m , thay x42 = m vào ( 3) có: m2 − 5m = m = m = Đối chiếu điều kiện (*) ta có m = a = b = Vậy S = Câu 17: Cho số p, q thỏa mãn điều kiện: p , q , 1 + = số dương a, b Xét hàm p q số: y = x p −1 ( x ) có đồ thị ( C ) Gọi ( S1 ) diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) , trục hoành, đường thẳng x = a , Gọi ( S ) diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) , trục tung, đường thẳng y = b , Gọi ( S ) diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, trục tung hai đường thẳng x = a , y = b Khi so sánh S1 + S S ta nhận bất đẳng thức bất đẳng thức đây? a p bq A + ab p q a p −1 b q −1 a p +1 b q +1 a p bq B + ab C + ab D + ab p −1 q −1 p +1 q +1 p q Lời giải Ta có: S S1 + S2 a S1 = ( x p −1 Vì: xp d x = ) p a +1 b p − p y a ; S2 = y p −1 dy = = p 0 p −1 +1 b yq = q b = bq q p 1 a p bq +1 = = = = q Vậy + ab p q p −1 p −1 − 1 p q Câu 18: Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng d thay đổi cắt ( P ) hai điểm A , B cho AB = 2018 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) đường thẳng d Tìm giá trị lớn Smax S A S max = 20183 + B Smax = 20183 C S max = 20183 − D Smax = 20183 Lời giải Giả sử A(a; a ) ; B(b; b )(b a) cho AB = 2018 2 Phương trình đường thẳng d là: y = (a + b) x − ab Khi b b S = (a + b) x − ab − x dx = ( ( a + b ) x − ab − x ) dx = a a ( 2 Vì AB = 2018 ( b − a ) + b − a ) (b − a ) ( ) = 20182 ( b − a ) + ( b + a ) = 20182 2 ( b − a ) 20182 b − a = b − a 2018 S 20183 20183 Vậy Smax = a = −1009 6 b = 1009 Câu 19: Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) : y = x hai đường thẳng y = a , y = b ( a b ) (hình vẽ) Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) đường thẳng y = a (phần tô đen); ( S ) diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) đường thẳng y = b (phần gạch chéo) Với điều kiện sau A b = 4a B b = 2a a b S1 = S2 ? C b = Lời giải 3a D b = 6a Phương trình hoành độ giao điểm parabol ( P ) : y = x với đường thẳng y = b x2 = b x = b Phương trình hồnh độ giao điểm parabol ( P ) : y = x với đường thẳng y = a x2 = a x = a Diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) : y = x đường thẳng y = b b b 4b b x3 = b b − = bx − = S = (b − x ) d x 3 0 b b 2 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) : y = x đường thẳng y = a (phần tô màu đen) a a 4a a x3 S1 = ( a − x ) d x = ax − = a a − = 3 0 a a Do S = 2S1 4b b 4a a = 3 ( b) =2 ( a) b=32 a b = 4a Câu 20: Một khuôn viên dạng nửa hình trịn, người thiết kế phần để trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm có trục đối xứng vng góc với đường kính nửa hình trịn, hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường trịn (phần tơ màu) cách khoảng ( m ) Phần cịn lại khn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết kích thước cho hình vẽ, chi phí để trồng hoa cỏ Nhật Bản tương ứng 150.000 đồng/m2 100.000 đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng hoa trồng cỏ Nhật Bản khn viên đó? (Số tiền làm trịn đến hàng đơn vị) 4m 4m A 3.738.574 (đồng) 4m B 1.948.000 (đồng) C 3.926.990 (đồng) D 4.115.408 (đồng) Lời giải 2 Chọn hệ trục Oxy hình vẽ, ta có bán kính đường trịn R = + = Phương trình nửa đường tròn ( C ) là: x + y = 20, y y = 20 − x Parabol ( P ) có đỉnh O ( 0; ) qua điểm ( 2;4 ) nên có phương trình: y = x2 Diện tích phần tơ màu là: S1 = 20 − x − x dx 11,94 ( m ) −2 ( Diện tích phần khơng tơ màu là: S2 = ) ( ) − S1 10 − 11,94 m Số tiền để trồng hoa trồng cỏ Nhật Bản khuôn viên là: 150000.11,94 + 100000 (10 − 11,94 ) 3.738.593 Câu 21: Người ta cần trồng vườn hoa Cẩm Tú Cầu ( phần gạch chéo hình vẽ) Biết y = x2 −1 nửa đường trịn có phần gạch chéo hình phẳng giới hạn parabol tâm gốc tọa độ bán kính ( m ) Tính số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu biết để trồng m2 hoa cần 250000 đồng A 3π − 250000 B 3π + 10 250000 C 3π + 10 250000 D 3π + 250000 6 Lời giải Chọn B Ta có phương trình đường trịn tâm gốc tọa độ bán kính (m) x + y = 2 y = − x x = −1, y = Tọa độ giao điểm Parabol đường tròn nghiệm hệ x = 1, y = y = x − ( Diện tích vườn hoa S = −1 ) − x − x + dx = 3 + 10 số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu 3π + 10 250000 Câu 22: Nhà trường dự định làm vườn hoa dạng elip chia làm bốn phần hai đường parabol có chung đỉnh, đối xứng với qua trục elip hình vẽ bên Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ elip m m , F1 , F2 hai tiêu điểm elip Phần A , B dùng để trồng hoa, phần C , D dùng để trồng cỏ Kinh phí để trồng mét vuông hoa cỏ 250.000 đ 150.000 đ Tính tổng tiền để hồn thành vườn hoa (làm trịn đến hàng nghìn) A 5.676.000 đ B 4.766.000 đ C 4.656.000 đ D 5.455.000 đ Lời giải Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ Do elip có độ dài trục lớn 2a = a = , độ dài trục nhỏ 2b = b = Diện tích ( E ) là: S( E ) = ab = 8 x2 y + = Suy y = 16 − x Phương trình tắc ( E ) là: 16 2 Ta có c = a − b = F2 ( 3; ) Do N có hồnh độ F2 N (2 ) 3; Gọi ( P ) : y = kx parabol nằm phía trục Ox ( Do N ( P ) ta có = k ) k= Suy ( P ) : y = x 12 12 2 1 2 1 16 − x − x d x = 16 − x − x dx 2 12 12 −2 3 Diện tích phần A S A = = 16 − x dx − * Xét I1 = x dx 16 − x dx Đặt x = 4sin t dx = 4costdt Đổi cận: 3 16 − 16sin t 4costdt = 16 cos 2tdt = 8 (1 + cos2t ) dt = t + sin 2t 0 0 3 Khi I1 = 3 = + 3 * Ta có I = 3 x dx = Suy ra: S A = I1 − I = x 18 = 8 + 16 + S A + S B = 2S A = 3 Tổng diện tích phần C , D là: SC + S D = S( E ) − ( S A + S B ) = Khi tổng số tiền để hoàn thành vườn hoa là: 16 + 8 − 250000 + 150000 5676000 đ 3 8 −