C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Chương 3. MÔ HÌNH HOÁ CÁC THỰC THỂ HÌNH HỌC 3.1. MÔ HÌNH ĐƯỜNG CONG Về mặt lý thuyết có thể sử dụng phương trình toán học bất kỳ để định nghĩa đường cong. Tuy nhiên, mô hình toán học dưới dạng phương trình đa thức được sử dụng phổ biến nhất do có đặc tính dễ dàng xử lý, đủ linh hoạt để mô tả phần lớn các loại đường cong sử dụng trong kỹ thuật. 3.1.1. PHÂN LOẠI ĐƯỜNG CONG ĐA THỨC. Mô hình toán học bi ểu diễn đường cong có thể dưới dạng phương trình ẩn, phương trình tường minh hoặc phương trình tham số. Phương trình ẩn và phương trình tường minh chỉ được sử dụng cho đường cong 2D. Đường cong đa thức tương ứng với các dạng phương trình toán học được trình bày dưới dạng tổng quát sau: Phương trình đa thức ẩn. 0),( 00 == ∑∑ == m i n j ji ij yxcyxg Phương trình đa thức tường minh. )( 2 + + + == cxbxaxfy (theo toạ độ Đề các) )( 2 + + + == γθ βθ α θ hr (theo toạ độ cực) Phương trình đa thức tham số. ))(),(),(()( 2 + + + = ≡ ctbtatztytxtr Các dạng đường cong đa thức tham số được sử dụng phổ biến nhất bao gồm: 1, Đường cong đa thức chuẩn tắc, 2, Đường cong Ferguson, 3, Đường cong Bezier, 4, Đường cong B-spline đều, 5, Đường cong B-spline không đều. 3.1.2. ĐƯỜNG CONG 2D. Đường cong 2D được sử dụng như các đối tượng hình học cơ sở trên các bản vẽ kỹ thuật truyền thống để mô tả hình thể 3D. 1. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức ẩn. Phương trình ẩn g(x,y) = 0 biểu diễn đường cong trên mặt phẳng x-y, ví dụ như đường tròn và đường thẳng được biểu diễn bởi phương trình: C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 2 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 0)()( 222 = − −+− rbyax ; 0 = + + cb y ax Mô hình này có ưu điểm: - Dễ dàng xác định vectơ tiếp tuyến và pháp tuyến, - Dễ dàng xác định vị trí tương đối giữa điểm với đường cong. Phương trình đa thức bậc 2 g(x,y) = 0 biểu diễn họ đường cong conic là giao tuyến giữa mặt cắt phẳng và mặt nón trụ. Tuỳ theo vị trí tương đối giữa mặt phẳng cắt và mặt nón, đường cong conic có th ể là: 1, Elip : 01 2 2 2 2 =−+ b y a x 2, Parabôn : 04 2 = − axy 3, Hyperbôn : 01 2 2 2 2 =−− b y a x Nhược điểm chính của mô hình đường cong dưới dạng phương trình ẩn là khó thực hiện đồ hình tuần tự, đây là chức năng quan trọng trong đồ hoạ điện toán. Do vậy trong mô hình hoá hình học, đường cong conic dưới dạng phương trình tham số được sử dụng phổ biến hơn cả. Thực tế mô hình dạng phương trình đa thức ẩn có bậc cao hơn 2 rất ít được s ử dụng. 2. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức tường minh. Phương trình tường minh dạng : y = f(x) = a + bx + cx 2 + mô tả đường cong trên mặt phẳng x-y. Nếu f(x) là đa thức bậc 2, đường cong là Parabol. Đặc tính tiêu biểu của đa thức tường minh là có thể chuyển đổi thành phương trình ẩn hoặc phương trình tham số. Nếu y = f(x), trong đó f(x) là đa thức của x, tức là: 0)(),( = −≡ x f yy x g hoặc x(t) = t ; y(t) = f(t) (3.1) Do vậy phương trình đa thức tường minh có ưu điểm của phương trình ẩn và phương trình tham số, đó là: - Dễ dàng xác định vectơ tiếp tuyến và pháp tuyến. - Dễ dàng xác định vị trí tương quan giữa điểm với đường cong. - Dễ dàng thực hiện đồ hình tuần tự. Nhược điểm chính của dạng phương trình tường minh là không thể đ iều khiển đường cong khép kín hoặc đường thẳng đứng. Dạng phương trình (3.1) còn được gọi là dạng phi tham số. C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 3 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 3.1.3. ĐƯỜNG CONG ĐA THỨC THAM SỐ. Khảo sát việc thiết lập đường cong với điều kiện biên cho trước bao gồm toạ độ và tiếp tuyến tại 2 điểm đầu và cuối: P 0 , P 1 , t 0 , t 1 . Vì rằng đường cong được định nghĩa bởi 2 vectơ vị trí và 2 vectơ tiếp tuyến có thể biểu diễn chúng dưới dạng phương trình đa thức vectơ bậc 3. Đa thức bậc 3 được sử dụng rất phổ biến, bởi vì đó là bậc tối thiểu, đủ để dựng các loại đường cong trong không gian 3D. 1. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức chuẩn tắc. Đặc tính của mô hình đa thức chuẩn tắc là dễ dàng xác định. Xét phương trình đa thức vectơ bậc 3: r(u) = (x(u), y(u), z(u)) = a + bu + cu 2 + du 3 Có thể biểu diễn phương trình đa thức này dưới dạng ma trận theo vectơ cơ sở U và vectơ hệ số A như sau: [] UA d c b a uuuur = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 32 1)( với 10 ≤ ≤ u (3.2) Phương trình đa thức bậc 3 (3.2) không thể hiện được ý nghĩa hình học, nhưng có thể được sử dụng để thiết lập đường cong trơn láng đi qua 4 điểm dữ liệu { P i : i = 1, ,4} theo phương pháp sau: Đặt d i là chiều dài cát tuyến giữa điểm P i và P i+1 : iii PPd − = +1 với i = 0, 1, 2 Từ đó giá trị tham số u i tại các điểm P i được xác định như sau: 0 0 =u ; ∑ = i ddu / 01 ; ∑ + = i dddu /)( 102 ; 1 3 = u Đường cong bậc 3 (3.2) đi qua các điểm dữ liệu phải thoả điều kiện: ii Pur =)( ; với i = 1, ,4 Tổng quát, đường cong đa thức bậc n đi qua (n+1) điểm dữ liệu được biểu diễn bởi phương trình đa thức: ∑ = = n i i i uaur 0 )( 2. Đường cong Ferguson. Ferguson giới thiệu một phương pháp khác sử dụng phương trình (3.2). Theo đó đường cong được thiết lập bởi (Hình 3.1): a. Hai điểm đầu cuối P 0 và P 1. b. Tiếp tuyến đầu cuối t 0 và t 1 . r(u) t 0 t 1 P 0 P 1 Hình 3.1 - Đường cong Ferguson C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 4 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Đường cong bậc 3 (3.2) thoả điều kiện biên P 0 , P 1 , t 0 , t 1 chúng phải đảm bảo: dcbrt brt dcbarP arP 32)1( )0( )1( )0( 1 0 1 0 ++== == +++== == & & (3.3) Sau các phép biến đổi, hệ số PT đa thức được xác định theo biểu thức: CS t t P P d c b a A ≡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −−− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 1 0 1122 1233 0100 0001 (3.4) Kết hợp biểu thức (3.2) và (3.4), đường cong Ferguson r(u) theo điều kiện biên như trên được biểu diễn bởi ma trận hệ số Ferguson C và vectơ điều kiện biên Ferguson S như sau: S)( UCUAu r == , với 10 ≤ ≤ u (3.5) Thực tế dễ dàng xác định được độ lớn của vectơ tiếp tuyến, do đó độ lớn của vectơ được chọn bằng chiều dài cát tuyến 0110 PPtt − = = . Sự lựa chọn này thoả yêu cầu về hình dáng. Phương trình (3.2) và (3.5) đều được biểu diễn dưới dạng ma trận cơ sở. Có thể biểu diễn (3.5) dưới dạng khác: r(u) = (U C) S = (1- 3u 2 +2u 3 )P 0 + (3u 2 - 2u 3 )P 1 + (u - 2u 2 + u 3 )t 0 + (-u 2 + u 3 )t 1 (3.6) = 1 3 31 3 20 3 10 3 0 )()()()()()( PuHutuHutuHPuH + + + trong đó: )231()( 323 0 uuuH + −= ; )2()( 323 1 uuuuH + − = )()( 323 2 uuuH + −= ; )23()( 323 3 uuuH − = )( 3 uH i là hàm kết nối Hermite bậc 3 thoả điều kiện biên tại u = 0, 1 như sau: 0)0()1()0()1( 1)1()0()1()0( 3 2 3 1 3 3 3 0 3 2 3 1 3 3 3 0 ==== ==== HHHH HHHH && && 0)()()()( 3 2 3 1 3 2 3 1 = = == jHjHjHjH && với mọi j = 0,1 Dễ dàng xác nhận rằng phương trình (3.6) thoả điều kiện biên (3.3). Phương trình (3.6) là định nghĩa chuẩn về đường cong kết nối Hermite. C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 5 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 3. Đường cong Bezier Đường cong Bezier được định nghĩa bằng nhiều phương pháp. Hãy xét phương pháp xây dựng đường cong Bezier bậc 3 từ phương trình đường cong Ferguson (3.5). Bốn đỉnh điều khiển Bezier V 0 , V 1 , V 2 , V 3 (hình 3.2a) thoả điều kiện: V 0 là điểm đầu của đường cong, V 1 là vị trí 1/3 chiều dài trên vectơ tiếp tuyến đầu, V 2 là vị trí 2/3 chiều dài trên vectơ tiếp tuyến cuối, V 3 là điểm cuối của đường cong. Đỉnh điều khiển Bezier được biểu diễn theo điều kiện Ferguson như sau: V 0 = P 0 ; V 1 = (V 0 + t 0 /3) ; V 2 = (V 3 - t 1 /3) ; V 3 = P 1 Ngược lại, điều kiện biên Ferguson được biểu diễn theo đỉnh điều khiển Bezier V i là: P 0 = V 0 ; P 1 = V 3 ; t 0 = 3(V 1 -V 0 ) ; t 1 = 3(V 3 -V 2 ) hay dưới dạng ma trận: LR V V V V t t P P S ≡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≡ 3 2 1 0 1 0 1 0 3300 0033 1000 0001 (3.7) Cuối cùng ta thay thế kết quả (3.7) vào phương trình đường cong Ferguson (3.5) để đạt được phương trình đường cong Bezier bậc 3 biểu diễn bởi ma trận hệ số Bezier M và vectơ đỉnh điều khiển R: r(u) = U C S = U C (L R) = U (C L) R = U M R , với 10 ≤ ≤ u (3.8) trong đó: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − = 1331 0363 0133 0001 M ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 2 1 0 V V V V R Đặc tính tiêu biểu của đường cong Bezier là hình dáng của đường cong phụ thuộc vào đa tuyến lồi giới hạn bởi các đỉnh điều khiển ( Hình 3.2) . Tương tự như V 0 =P 0 V 3 =P 1 V 2 V 1 t 1 t 0 a, V 3 V 0 V 1 V 2 r(u) r(u) b, V 0 V 1 V 2 V 3 r(u) c, Hình 3.2 - Đường cong Bezier bậc 3 C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 6 GVC NGUYỄN THẾ TRANH đường cong Ferguson có thể biểu diễn đường cong Bezier (3.8) dưới dạng phương trình đa thức: ∑ = = +++= = 3 0 3 3 3 32 3 21 3 10 3 0 )( )()()()( )()( i ii VuB VuBVuBVuBVuB R UMu r (3.9) trong đó: 33 0 )1()( uuB −= ; 23 1 )1(3)( uuuB − = )1(3)( 23 2 uuuB − = ; 33 3 )( uuB = là đa thức Bernstein bậc 3. Đa thức Bernstein bậc n có dạng : inin i uu in n uB − − − = )1( !)!1( ! )( (3.10a) Đa thức Bernstein được gọi là hàm cơ sở Bezier sử dụng để định nghĩa đường cong Bezier bậc n bằng cách kết nối (n+1) đỉnh điều khiển: ∑ = = n i i n i VuBur 0 )()( , với 10 ≤ ≤ u (3.10b) Đường cong Bezier bậc n thoả điều kiện biên sau: r(0) = V 0 ; r(1) = V 1 ; )()0( 01 VVnr −= & ; )()1( 1− − = nn VVnr & (3.11) Định nghĩa chuẩn về đường cong Bezier theo hàm cơ sở Bezier (3.10b) thể hiện tính chất hình học của đường cong tốt hơn so với biểu diễn dưới dạng ma trận (3.8), ví dụ như có thể chia nhỏ hoặc tăng bậc cho đường cong. Ngược mại dạng ma trận có ưu điểm là dễ dàng xử lý dữ liệu. 4. Đường cong B-spline đều. Mô hình toán học của đường cong B-spline là phương trình đại số. Ta sẽ nghiên cứu phép dựng hình để hiểu rõ tính chất hình học của dạng mô hình này. Xét 4 đỉnh điều khiển V 0 , ,V 3 và các điểm M 0 , M 1 , P 0 , P 1 với tính chất như sau: (Hình 3.3). M 0 là điểm giữa của đoạn thẳng V 0 V 2 : M 0 = (V 0 +V 2 )/2 M 1 là điểm giữa của đoạn thẳng V 1 V 3 : M 1 = (V 1 +V 3 )/2 P 0 là điểm 1/3 của đoạn thẳng V 1 M 0 : P 0 = (2V 1 +M 0 )/3 P 1 là điểm 1/3 của đoạn thẳng V 2 M 1 : P 1 = (2V 2 +M 1 )/3 Cần thiết lập đường cong bậc 3 r(u) thoả điều kiện: 1. Đường cong bắt đầu từ điểm P 0 và kết thúc tại điểm P 1 , 2. Vectơ tiếp tuyến tại điểm P 0 có giá trị bằng (M 0 -V 0 ), 3. Vectơ tiếp tuyến tại điểm P 1 có giá trị bằng (M 1 -V 1 ). Như vậy ta có thể biểu diễn điểm biên P 0 , P 1 và tiếp tuyến t 0 , t 1 theo đỉnh điều khiển như sau: C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 7 GVC NGUYỄN THẾ TRANH P 0 ≡ r(0) = [4V 1 +(V 0 +V 2 ) ]/6 (3.12a) P 1 ≡r(1) = [4V 2 +(V 1 +V 3 ) ]/6 (3.12b) t 0 ≡ r & (0) = (V 2 - V 0 ) /2 (3.12c) t 1 ≡ r & (0) = (V 3 - V 1 ) /2 (3.12d) hay dưới dạng ma trận: KR V V V V t t P P S ≡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≡ 3 2 1 0 1 0 1 0 3030 0303 1410 0141 6 1 Thay kết quả trên vào phương trình đường cong Ferguson (3.5) để đạt được phương trình đường cong B-spline đều bậc 3 biểu diễn bởi ma trận hệ số B-spline đều N và vectơ đỉnh điều khiển R: r(u) = U C S = U C (K R) = U (C K) R = U N R với 10 ≤ ≤ u trong đó: C là ma trận Ferguson ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − = 1331 0363 0303 0141 6 1 N Tương tự như đường cong Bezier ta có thể biểu diễn đường cong B-spline đều bậc 3 bởi hàm kết nối B-spline đều )( 3 uN i : ∑ = == 3 0 3 )()()( i ii VuNRUNur (3.14) trong đó: 6/)331()( 323 0 uuuuN − + −= ; 6/)364()( 323 1 uuuN + − = 6/)3331()( 323 2 uuuuN − + += ; 6/)( 33 3 uuN = 3.1.4. ĐƯỜNG CONG B-SPLINE KHÔNG ĐỀU (NURBS) NURBS – Non-Uniform Rational B-Spline Phần này sẽ cung cấp định nghĩa toán học về đường cong B-spline không đều và chỉ ra rằng đường cong Bezier và B-spline đều là trường hợp đặc biệt của NURBS. V 1 V 2 V 3 V 0 M 1 M 0 P 0 P 1 r(u) t 1 t 0 Hình 3.3 - Đường cong B-spline đều bậc 3 C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 8 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 1. Hàm cơ sở B-spline. Xét hàm vô hướng đệ qui )(tL n i được định nghĩa theo chuỗi điểm không giảm {t i }: )( )( )( )( )( )( )( 1 1 1 1 1 1 tL tt tt tL tt tt tL n i ini i n i ini i n i − + ++ + − −+ − − + − − = (3.15) trong đó: khác t các ],,[ ,0 ,1 )( 1 1 + ∈ ⎩ ⎨ ⎧ = ii i ttt tL 1+ < ii t t Hàm đệ qui (3.15) được gọi là hàm đệ qui Cox-deBoor là phương pháp chuẩn định nghĩa hàm cơ sở B-spline (bậc n-1). Ta sẽ khảo sát hàm này để hiểu rõ tính chất hình học của chúng. Xét n = 2: )( )( )( )( )( )( )( 1 1 12 1 1 1 2 tL tt tt tL tt tt tL i ii i i ii i i + ++ + + − − + − − = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ∈ −− − − = ++ + +++ + khác t các ],[ ],[ ,0 ),/()( ),/()( 21 1 122 1 ii ii iii iii ttt ttt tttt tttt Để đơn giản các phép tính đại số ta sử dụng toán tử vi phân ∇ để biểu diễn khoảng cách giữa các điểm nút: )( 1 iii tt −=∇ + (3.16a) )( 1 ikikii k i tt − + ∇ + +∇=∇ +−+ (3.16b) Sử dụng toán tử vi phân ∇ , hàm Cox-deBoor với n = 2 có giá trị: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ∈ ∇− ∇ − == ++ + ++ khác t các ],[ ],[ ,0 ,/)( ,/)( )( 21 1 12 2 ii ii ii ii i ttt ttt tt tt tL Với n = 3, ta có: )( )( )( )( )( 2 1 2 3 2 2 3 tL tt tL tt tL i i i i i i i + + ∇ − + ∇ − = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∇∇− ∇∇∇−∇−∇∇− ∇∇− = +++ +++ 0 ),/()( ),/()()/()( ),/()( 2 2 1 2 3 1 2 1 2 1 322 22 iii iiiiiiii iii tt tttt tt ],[ ],[ ],[ 32 21 1 ++ ++ + ∈ ∈ ∈ ii ii ii ttt ttt t t t (3.17) C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 9 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Biểu thức (3.17) là hàm cơ sở B-spline bậc 2. Hình dáng chức năng của hàm cơ sở B-spline bậc nhỏ hơn 4 được thể hiện trên hình 3.4. Vì hàm cơ sở B-spline có hình dạng khác biệt trên từng miền tham số, hàm cơ sở trong khoảng thứ k được phân biệt bởi chỉ số thứ hai [k]: )()( ][ tLtL n i n ki ≡ với nkttt kiki , ,2,1:],[ 1 = ∈ +−+ (3.18) Theo qui ước trên thì hàm cơ sở B-spline (3.17) trên miền tham số đầu tiên ],[ 1+ ∈ ii ttt được trình bày lại như sau: )()( 33 ]1[ tLtL ii ≡ với )/()(],[ 22 1 iiikiki ttttt ∇∇ − = ∈ +−+ Hãy định nghĩa phép chuyển đổi tuyến tính giữa tham số u và t như sau: u = (t - t i )/(t i+1 - t i ) = (t - t i )/∇ i (3.19) Như được minh họa trên hình 3.5 chỉ có 3 hàm cơ sở B-spline bậc 2 có giá trị khác không trên miền ],[ 1+ ∈ ii ttt , bao gồm )( 3 ]3[2 tL i− , )( 3 ]2[1 tL i− , )( 3 ]1[ tL i− . )./()()( 2 1 2 1 3 ]3[2 iiiii tttL ∇ ∇ −= −+− )/()/2()/( 2 1 22 1 2 1 −−− ∇ ∇ + ∇ ∇ − + ∇∇= iiiiii uu (3.20a) )( 2 0 uN≡ với 10 ≤ ≤ u t t t t )( 1 tL i )( 2 tL i )( 3 tL i )( 4 tL i t i t i+1 t i+2 t i+3 t i+4 Hình 3.4 - Hàm cơ sở B-s p line khôn g đều C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 10 GVC NGUYỄN THẾ TRANH )/()()./()()( 1 223 11 2 1 2 1 3 ]2[1 −−−−−− ∇ ∇ ∇ − ∇ − ∇ ∇ −= iiiiiiiii tttttL ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∇ ∇ − ∇ ∇ ∇ ∇ +∇∇+∇∇= − −− −−− 2 3 1 2 11 22 1 2 11 )/()/( i i i i i i iiii uu (3.20b) )( 2 1 uN≡ với 10 ≤ ≤ u )./()()( 223 ]1[ iiii tttL ∇ ∇ − = − )./()( 22 iii u ∇ ∇ ∇= (3.20c) )( 2 2 uN≡ với 10 ≤ ≤ u 2. Đường cong B-spline không đều. Với chuỗi điểm 3D cho trước {P j } và hàm cơ sở B-spline (bậc 2) )( 3 tL j (3.17) trên miền tham số ],[ 1+ ∈ ii ttt , ta thiết lập hàm vectơ: ∑ −= + ∈= i ij iijj ttttLPtr 2 1 3 ],[:)()( (3.21) Như đã minh hoạ trên hình 3.5, hàm kết nối (3.21) có giá trị khác 0 chỉ khi j=i- 2, i-1, i. Ta đặt: V 0 = P i-2 ; V 1 = P i-1 ; V 2 = P i từ (3.17) và (3.20) hàm vectơ (3.21) được biểu diễn bởi: ∑ −= = i ij jj tLPtr 2 3 )()( với ],[ 1+ ∈ ii ttt )()()( 33 11 3 22 tLPtLPtLP iiiiii + += −−−− với ],[ 1+ ∈ ii ttt (3.22) )()()( 3 ]1[2 3 ]2[11 3 ]3[20 tLVtLVtLV iii + += −− )()()( 2 22 2 11 2 00 uNVuNVuNV + += )(urRUN q ≡= với ]1,0[ ∈ u trong đó: [] 2 1 uuU = ; [ ] T VVVR 210 = t i-2 t i+1 t i-1 t i t i+2 3 1+i L t i+3 3 ]2[1−i L 3 ]1[i L 3 ]3−i L 3 ]3[2−i L Hình 3.5 - Hàm cơ sở B-spline bậc 2 khác 0 trên miền [t i , t i+1 ][2] t [...]... Trong đó mô hình Bezier thích hợp nhất vì có thể chuyển đổi các dạng khác sang dạng Bezier Mặt quét hìnhlà dạng mô hình hình học được sử dụng phổ biến nhất trong kỹ thuật Ví dụ như có thể mô tả mặt tạo hình các loại ống dẫn, vỏ tàu, cánh quạt và các chi tiết khuôn mẫu bởi phương pháp quét hình Mặt quét hình được định nghĩa như phép chuyển đổi toạ độ Đây chính là lý do chính để phương pháp tạo hình này... tạo hình của các loại hình thể có cấu trúc đa hợp hình thành bởi sự liên kết các mặt tạo hình cơ sở Mỗi dạng mặt cơ sở được thiết lập theo qui luật riêng nhưng có cùng đặc điểm chung là có cấu trúc phức hợp từ các phần tử hình học dạng ô lưới mà ta gọi qui ước là mặt lưới C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 25 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 3.3.1 MÔ HÌNH MẶT LƯỚI ĐA THỨC THAM SỐ Mô hình này được sử dụng chủ yếu trong mô hình. .. tuyến tính với các ẩn số là hệ số của phương trình đường cong Do vậy, để dựng đường cong phức hợp cần thiết phải có các điều kiện liên tục thích hợp và giải được hệ phương trình tuyến tính Ở đây ta sẽ khảo sát phương pháp dựng hình theo các dạng mô hình sau: a Mô hình cấu hình dữ liệu điểm cách đều: - Đường cong bậc 3, - Đường cong B-spline đều b Mô hình cấu hình dữ liệu điểm không cách đều: - Đường... cập đến 4 dạng mô hình mặt lưới và đã sử dụng các dạng hàm kết nối bậc 3 để thiết lập mặt lưới nội suy chữ nhật Thông thường mô hình mặt lưới dưới dạng ma trận rất thích hợp cho xử lý dữ liệu Tuy nhiên đối với hình học Bezier, ta thấy rằng dạng ma trận ít ổn định về số so với dạng đa thức Bernstein Trong số mô hình mặt lưới chữ nhật (vô tỷ) được nêu, mô hình NURBS là dạng tổng quát nhất, các dạng khác... LƯỚI ĐA THỨC THAM SỐ Mô hình này được sử dụng chủ yếu trong mô hình hoá mặt cong phức hợp từ ma trận điểm, trong đó mô hình Ferguson, Bezier và B-spline được sử dụng phổ biến nhất Một cách tổng quát có 5 dạng mô hình mặt lưới đa thức tham số bậc 3 sử dụng phổ biến trong mô hình hoá mặt cong từ dữ liệu điểm 3D tương ứng với các mô hình đường cong đã khảo sát: a Đường cong đa thức chuẩn tắc : b Đường... Mô hình đường cong hữu tỷ có bậc tự do cao hơn dùng để định nghĩa hình dáng Sử dụng các giá trị trọng số khác nhau có thể điều khiển hình dáng đường cong hữu tỷ trong miền giới hạn bởi đa tuyến đặc tính Nhưng quá nhiều bậc tự do thường không phải là tốt, thực tế rất ít khi sử dụng bậc cao hơn 2 3.2 ĐƯỜNG CONG PHỨC HỢP Trong các bài toán dựng hình, phần lớn dữ liệu cho trước ở dạng dữ liệu điểm Dữ liệu. .. LƯỚI QUÉT HÌNH Mặt quét hình được định nghĩa bởi quĩ đạo quét hình đường mặt cắt (đường tạo hình) dọc theo đường định hình (đường dẫn hướng) Ta có các loại mặt lưới quét hình sau: 1 Mặt lưới quét hình song song Xét đường cong tham số g(u) và d(v) (Hình 3.19) Nếu coi 2 đường cong 3D này là sợi dây cứng ta có thể tưởng tượng mặt cong quét hình song song như mặt cong xác định bởi quĩ đạo quét hình đường... cubicoit Thực tế chỉ có mặt cong bậc 2 được sử dụng phổ biến để thể hiện các loại hình thể 1 Mặt cong bậc 2 Trong trường hợp tổng quát, phương trình đa thức ẩn bậc 2 biểu diễn mặt cong bậc 2 trong không gian 3D: 2 2 2 g ( x, y, z ) = ∑∑∑ cij x i y j z k = 0 (3.88) i =0 j =0 k =0 Phương trình (3.88) gồm 27 số hạng, nên mô hình giải tích này không có nghĩa hình học Thực tế mặt cong bậc 2 chuẩn tác (Hình. .. dữ liệu cho trước ở dạng dữ liệu điểm Dữ liệu điểm có thể là dữ liệu thực nghiệm từ các phép đo bằng dụng cụ thông thường hay bằng máy quét toạ độ Vấn đề cần giải quyết trong các bài toán này là thiết lập đường cong tham số trơn láng r(t) từ chuỗi điểm {Pi: i = 0, ,n} Với cấu hình dữ liệu điểm này, ta thường sử dụng mô hình đường cong phức hợp từ các đoạn cong liên kết theo chuỗi C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH... P01 + P21 − P11 P31 − P21 } Ta có thể tăng bậc của mặt lưới đến giá trị (mxn) sao cho mặt lưới nội suy qua (m+1) x (n+1) điểm Mô hình này nói chung khó duy trì tính liên tục trên các đường biên khi mặt lưới có dạng phức tạp và mặt lưới có xu hướng dao động khi bậc của đa thức tăng 2 Mô hình mặt lưới Ferguson Ta có thể sử dụng mặt lưới trên một cách tiện dụng hơn bằng cách thiết lập mặt lưới nội suy qua . Chương 3. MÔ HÌNH HOÁ CÁC THỰC THỂ HÌNH HỌC 3.1. MÔ HÌNH ĐƯỜNG CONG Về mặt lý thuyết có thể sử dụng phương trình toán học bất kỳ để định nghĩa đường cong. Tuy nhiên, mô hình toán học dưới. phương pháp dựng hình theo các dạng mô hình sau: a. Mô hình cấu hình dữ liệu điểm cách đều: - Đường cong bậc 3, - Đường cong B-spline đều. b. Mô hình cấu hình dữ liệu điểm không cách đều: -. điểm chính của mô hình đường cong dưới dạng phương trình ẩn là khó thực hiện đồ hình tuần tự, đây là chức năng quan trọng trong đồ hoạ điện toán. Do vậy trong mô hình hoá hình học, đường cong