Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 79 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG TIÊU BIỂU - Tài liệu để ôn thi đại học cao đẳng - Tài liệu dùng cho HS học theo chương trình chuẩn - Tài liệu gồm 79 tập chọn lọc kĩ giải chi tiết BT1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A ( 1;0 ) , B ( −2; ) , C ( −1;4 ) , D ( 3;5 ) đường thẳng d : x − y − = Tìm điểm M d cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích Giải M thuộc d M ( a;3a − ) uu ur AB = ( −3;4 ) ⇒ AB = Mặt khác : x −1 y AB : = ⇔ 4x + 3y − = −3 uu ur CD = ( 4;1) ⇒ CD = 17 x +1 y − = ⇔ x − y − 17 = 4a + ( 3a − ) − 13a − 19 a − ( 3a − ) − 17 − 11a Tính : h1 = ( M , AB ) = = , h2 = = 5 17 17 Nếu diện tich tam giác : 11  13a − 19 17 − 11a 13a − 19 = − 11a 1  a = 12 AB.h1 = CD.h2 ⇔ = ⇔ ⇔  2 17 13a − 19 = 11a − a = CD :  11 27  Vậy d có điểm : M  ; − ÷, M ( 8;19 )  12 12  BT2 Cho hình tam giác ABC có diện tích Biết A ( 1;0 ) , B ( 0;2 ) trung điểm I AC nằm đường thẳng d : y = x Tìm toạ độ đỉnh C Giải Nếu C nằm d : y = x A ( a;a ) suy C ( 2a − 1;2a ) 0−2 = Ta có : d ( B, d ) = 2 = ( a − ) + ( 2a − ) Theo giả thiết : S = AC.d ( B, d ) = ⇒ AC = 2  1− a = ⇔ = a − 8a + ⇔ a − a − = ⇔   1+ a =  1− 1−  1+ 1+  ; ; Vậy ta có điểm C : C1  ÷, C2  ÷  BT3 Trong mặt phẳng tọa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC víi A ( 1;1) , B ( 2;5 ) v đỉnh C nằm ®Daukhacha.toan@gmail.com - Trang - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN êng th¼ng x − = , trọng tâm G tam giác nằm đờng thẳng x y + = TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC Giải  AB = uu ur Tọa độ C có dạng : C ( 4;a ) , AB = ( −3;4 ) ⇒  ( AB ) : x − = y − ⇔ x + y − = −3  x A + xB + xC 1− +   =1  xG =  xG =   3 ⇔ Theo tính chất trọng tâm ;  y A + yB + yC y =  y = 1+ + a = a + G  G  3   a+6 Do G nằm x − y + = , : ⇒ 2.1 −  ÷+ = ⇔ a =   4.4 + 3.2 − 1 15 = ⇒ S ABC = AB.d ( C , AB ) = 5.3 = Vậy M ( 4;2 ) d ( C , AB ) = (đvdt) 2 16 + BT4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;1) , B(1; 2) , trọng tâm G tam giác nằm đờng thẳng d : x + y = Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tÝch tam gi¸c ABC 27 b»ng Giải 3 1 Ta có : M trung điểm AB M  ; − ÷ Gọi C ( a;b ) , theo tính chất trọng tam tam 2 2 a+3  xG =   giác :  y = b −3  G  a +3 b−3 + − = ⇔ a + b = ( 1) Do G nằm d : 3 uu ur 3a − b − x − y −1 = ⇔ x − y − = ⇔ h ( C , AB ) = Ta có : AB = ( 1;3) ⇒ ( AB ) : 10 Daukhacha.toan@gmail.com - Trang - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 2a − b − 2a − b − 27 1 AB.h ( C , AB ) = 10 = = 2 2 10  2a − b − = 27  2a − b = 32 ⇔ 2a − b − = 27 ⇔  ⇔  2a − b − = −27  2a − b = −22 Kết hợp với (1) ta có hệ :  20  b = −  a + b =  a + b =     38  2a − b = 32 3a = 38  38 20  ⇔ ⇔ ⇔  a = ⇒ C1  ; − ÷, C2 ( −6;12 )   a + b =  a + b =        b = 12  2a − b = −22  3a = −18    a = −6  Từ giả thiết : S ABC = BT5 Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có A ( 2;1) Đường cao qua đỉnh B có phương trình x − y − = Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y + = Xác định tọa độ B C Tính diện tích ∆ABC Giải Đường thẳng AC qua A ( 2;1) vng góc với đường cao kẻ qua B, nên có véc tơ phương r x = + t n = ( 1; −3) ⇒ ( AC ) :  ( t ∈ R)  y = − 3t x = + t  Tọa độ C giao (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C : ⇒  y = − 3t x + y +1 =  Giải ta : t = C ( 4; −5 ) Vì B nằm đường cao kẻ qua B suy B ( 3a + 7; a )  3a + a +  ; M trung điểm AB ⇒ M  ÷   3a + a + + + = ⇔ a = −3 Mặt khác M nằm đường trung tuyến kẻ qua C : ⇒ B ( 1; −2 ) Daukhacha.toan@gmail.com - Trang - Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN uu ur AB = ( −1; −3) ⇒ AB = 10 x − y −1 = ⇔ 3x − y − = 12 h ( C ; AB ) = 10 1 12 10 = (đvdt) Vậy : S ABC = AB.h ( C , AB ) = 2 10 ( AB ) : Ta có : BT6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A ( 5;2 ) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ x + y – = 2x – y + = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Giải a+5 b+2 ; Gọi B ( a;b ) suy M  ÷ M nằm trung tuyến nên : 2a − b + 14 = (1)   x = a + t ( t ∈ R) B, B đối xứng qua đường trung trực ( BC ) :  y = b + t  6−a −b t = x = a + t  3a − b −   ⇒ x = Từ suy tọa độ N :  y = b + t x + y − =   6+b−a  y =   3a − b − 6 + b − a  ⇔ N ; ÷ Cho nên ta có tọa độ C ( 2a − b − 6;6 − a ) 2   Do C nằm đường trung tuyến 5a − 2b − = (2) 2a − b + 14 = a = 37 ⇔ ⇒ B ( 37;88 ) , C ( −20; −31) Từ (1) (2) : ⇒  5a − 2b − = b = 88 BT7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ∆ : x + y + = , ∆ ' :3 x − y + 10 = điểm A ( −2;1) Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng ∆ , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’ Daukhacha.toan@gmail.com - Trang - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN Giải  x = −2 + 3t ⇒ I ( −2 + 3t ; −2 − t ) Gọi tâm đường tròn I, I thuộc ∆ :   y = −2 − t ( 3t ) + ( + t ) = R (1) ( −2 + 3t ) − ( −t − ) + 10 A thuộc đường tròn ⇒ IA = Đường tròn tiếp xúc với ∆ ' ⇒ =R⇔ 13t + 12 = R (2) 13t + 12 2 ⇔ 25 ( 3t ) + ( + t )  = ( 13t + 12 )   BT8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x + y – x – y + = 0, (C ') : x + y + x – = qua M ( 1;0 ) Viết phương trình Từ (1) (2) : ( 3t ) + ( 3+ t) = đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA = 2MB Giải * Cách r  x = + at Gọi d đường thẳng qua M có véc tơ phương u = ( a; b ) ⇒ d :   y = bt Đường tròn ( C1 ) : I1 ( 1;1) , R1 = ( C2 ) : I ( −2;0 ) , R2 = , suy : ( C1 ) : ( x − 1) + ( y − 1) = 1, ( C2 ) : ( x + ) + y = 2 t = → M  2ab 2b  ⇒ A 1 + ; Nếu d cắt ( C1 ) A : ⇒ ( a + b ) t − 2bt = ⇔  2 ÷ t = 2b  a +b a +b   a +b t = → M  6a 6ab  2  ;− Nếu d cắt ( C2 ) B : ⇒ ( a + b ) t + 6at = ⇔ 6a ⇒ B 1 − ÷ t = − a + b2   a +b a +b  2 Theo giả thiết : MA = 2MB ⇔ MA = 4MB ( *) 2 2 2  6a 2  6ab    2ab   2b  + =  +  Ta có :  2 ÷ ÷ ÷ ÷  a +b   a +b   a + b   a + b     2 b = −6a → d : x + y − = 4b 36a ⇔ = ⇔ b = 36a ⇔  a + b2 a + b2 b = a → d : x − y − = * Cách - Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k = − (Học sinh tự làm) BT9 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình cạnh tam giác ABC biết trực tâm H ( 1;0 ) , chân đường cao hạ từ đỉnh B K ( 0;2 ) , trung điểm cạnh AB M ( 3; 1) Giải Daukhacha.toan@gmail.com - Trang - Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN Theo tính chất đường cao : HK vng góc với AC (AC) qua K ( 0;2 ) có véc tơ pháp uu ur tuyến KH = ( 1; −2 ) ⇒ ( AC ) : x − ( y − ) = ⇔ x − y + = uu ur H ( 1;0 ) có véc tơ phương KH = ( 1; −2 ) ⇒ B ( + t ; −2t ) B nằm (BH) qua M ( 3;1) trung điểm AB A ( − t;2 + 2t ) Mặt khác A thuộc (AC) : − t − ( + 2t ) + = , suy t = Do A ( 4;4 ) , B ( 2; −2 ) Vì C thuộc (AC) suy C ( 2t ;2 + t ) , uu ur uu ur BC = ( 2t − 2;4 + t ) , HA = ( 3;4 ) Theo tính chất đường cao kẻ từ A: uu uu ur ur ⇒ HA.BC = ⇒ ( 2t − ) + ( + t ) = → t = −1 Vậy: C ( −2;1) uu u r r x−4 y−4 A ( 4;4 ) có véc tơ phương BA = ( 2;6 ) Pu = ( 1;3) ⇒ ( AB ) : = (AB) qua ⇔ 3x − y − = uu ur B ( 2; −2 ) có véc tơ pháp tuyến HA = ( 3;4 ) ⇒ ( BC ) : ( x − ) + ( y + ) = (BC) qua ⇔ 3x + y + = 2 BT10 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường trịn có phương trình ( C1 ) : x + y − y − = ( C2 ) : x + y − x + y + 16 = Lập phương trình tiếp tuyến chung ( C1 ) ( C2 ) Giải ( C1 ) : x + ( y − ) = ⇒ I1 ( 0;2 ) , R1 = 3, Ta có: 2 ( C2 ) : ( x − 3) + ( y + ) = ⇒ I ( 3; −4 ) , R2 = Nhận xét : I1I = + = 13 < + = ⇒ ( C1 ) không cắt ( C2 ) Gọi d : ax + by + c = ( a + b ≠ ) tiếp tuyến chung, : d ( I1 , d ) = R1; d ( I , d ) = R2  2b + c = ( 1)  2b + c 3a − 4b + c  a + b2 ⇔ ⇒ = a2 + b2 a2 + b2  3a − 4b + c = ( )  a2 + b2  3a − 4b + c = 2b + c ⇔ 2b + c = 3a − 4b + c ⇔  3a − 4b + c = −2b − c Daukhacha.toan@gmail.com - Trang - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN  a = 2b 2 ⇔ Mặt khác từ (1) : ( 2b + c ) = ( a + b ) ⇔ 3a − 2b + 2c =  Trường hợp : a = 2b thay vào (1) :  2b − 5c b = ( 2b + c ) = ( 4b + b ) ⇔ 41b − 4bc − c = 0.∆ 'b = 4c + 41c = 45c ⇔   2+3 c b =   Do ta có hai đường thẳng cần tìm : ( ) ( − ) x + ( − ) y +1 = ⇔ 2 − x + − y + = ( ) ( ) ( + ) x + ( + ) y +1 = ⇔ 2 + x + + y + = d : ( ) ( ) d1 : 2b − 3a 2b + 2b − 3a Trường hợp : c = , thay vào (1) : = ⇔ 2b − a = a + b 2 2 a +b a  b = 0, a = −2c b = → c = − 2 2 ⇔ ( 2b − a ) = a + b ⇔ 3b − 4ab = ⇔  ⇒ b = 4a , a = −6c b = a → c = − a    Vậy có đường thẳng : d : x − = , d : x + y − = BT11 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB : x – y + = , phương trình đường thẳng BD : x – y + 14 = , đường thẳng AC qua M ( 2;1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật Giải Dễ nhận thấy B giao BD với AB tọa dộ B nghiệm hệ: x − y +1 =  21 13  ⇒ B ; ÷   5  x − y + 14 = Đường thẳng (BC) qua B ( 7;3) vng góc với (AB) có véc tơ phương: Daukhacha.toan@gmail.com - Trang - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 21  x = +t r   u = ( 1; −2 ) ⇒ ( BC ) :   y = 13 − 2t   · · Ta có : (·AC , BD ) = BIC = ABD = 2ϕ = 2(·AB, BD ) uu r u r u u r u r n1.n2 + 14 15 = = r u r (AB) có n1 = ( 1; −2 ) , (BD) có n2 = ( 1; −7 ) ⇒ cos ϕ = u u = 50 10 10 n1 n2 r n = ( a, b ) ⇒ cos ( AC , BD ) = cos 2ϕ = Gọi (AC) có a − 7b  9 = 2cos ϕ − =  ÷− =  10  50 a + b Do : a − 7b = 50 a + b ⇔ ( a − 7b ) = 32 ( a + b ) ⇔ 31a + 14ab − 17b = 17 17  a = − b ⇒ ( AC ) : − ( x − ) + ( y − 1) = ⇔ 17 x − 31 y − = 31 31 Suy :    a = b ⇒ ( AC ) : x − + y − = ⇔ x + y − =  21  x = + t  13   14  (AC) cắt (BC) C ⇒  y = − 2t ⇔ t = ⇒ C  ; ÷ 15  3  x − y − =   x − y +1 = x = ⇔ ⇔ A ( 7;4 ) (AC) cắt (AB) A :  x − y − = y = x = + t (AD) vng góc với (AB) đồng thời qua A ( 7;4 ) suy (AD) :   y = − 2t x = + t   98 46  ⇒ t = ⇒ D ; ÷ (AD) cắt (BD) D :  y = − 2t 15  15 15   x − y + 14 =  Trường hợp AC :17 x − 31 y − = em làm tương tự BT12 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A ( 2;3) , trọng tâm G ( 2;0 ) Hai đỉnh B C nằm hai đường thẳng d1 : x + y + = d : x + y – = Viết phương trình đường trịn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG Giải Daukhacha.toan@gmail.com - Trang - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN x = t  x = − 2m B thuộc d suy B :  , C thuộc d' C:   y = −5 − t y = m Theo tính chất trọng tâm : ( t − 2m + ) = 2, y = m − t − = ⇒ xG = G 3 m − t = m = ⇔ Ta có hệ :  t − 2m = −3 t = −1 r Vậy : B ( −1; −4 ) C ( 5;1) Đường thẳng (BG) qua G ( 2;0 ) có véc tơ phương u = ( 3;4 ) , 20 − 15 − 13 x−2 y = ⇔ x − y − = ⇒ d ( C ; BG ) = = =R 5 13 169 2 Vậy đường tròn có tâm C ( 5;1) có bán kính R = ⇒ ( C ) : ( x − ) + ( y − 1) = 25 BT13 Tam giác cân ABC có đáy BC nằm đường thẳng x – y + = , cạnh bên AB nằm đường thẳng 12 x – y – 23 = Viết phương trình AC biết qua điểm M ( 3;1) BG : Giải 2 x − y + = Đường (AB) cắt (BC) B  12 x − y − 23 = Suy : B ( 2; −1) (AB) có hệ số góc k = 12 , đường thẳng (BC) có hệ số góc k ' = Daukhacha.toan@gmail.com - Trang - , ta có Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 2 −m − 5m =2 tan B = = Gọi (AC) có hệ số góc m ta có : tan C = Vì tam 2m + 2m + 12 1+ 5 giác ABC cân A tan B = tan C , hay ta có :   − 5m = 4m + 10 − 5m m = − = ⇔ − 5m = 2 m + ⇔  ⇔  + 2m  − 5m = −4m − 10  m = 12 9 Trường hợp : m = − ⇒ ( AC ) : y = − ( x − 3) + ⇔ x + y − 35 = 8 Trường hợp : m = 12 suy ( AC ) : y = 12 ( x − 3) + hay ( AC ) : 12 x − y − 25 = (loại //AB ) Vậy ( AC ) : x + y − 35 = 12 − BT14 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn : 2 2 ( C1 ) : ( x − 5) + ( y + 12 ) = 225 ( C2 ) : ( x – 1) + ( y – ) = 25 Giải : Ta có (C) với tâm I ( 5; −12 ) , R = 15 (C') có J ( 1;2 ) R ' = Gọi d tiếp tuyến chung có phương trình : ax + by + c = ( a + b ≠ ) 5a − 12b + c a + 2b + c = 15 ( 1) , h ( J , d ) = = ( 2) Khi ta có : h ( I , d ) = a + b2 a + b2 5a − 12b + c = 3a + 6b + 3c Từ (1) (2) suy : 5a − 12b + c = a + 2b + c ⇔  5a − 12b + c = −3a − 6b − 3c  a − 9b = c ⇔ Thay vào (1) : a + 2b + c = a + b ta có hai trường hợp :  −2a + b = c  2 2 Trường hợp : c = a − 9b thay vào (1) : ( 2a − 7b ) = 25 ( a + b ) ⇔ 21a + 28ab − 24b =   14 − 10  14 − 10 175 + 10 → d : =0 a = ÷x + y − 21 21 21    Suy :   a = 14 + 10 → d :  14 + 10  x + y − 175 − 10 =  ÷  21 21 21    Trường hợp : c = −2a + b ⇒ ( 1) : ( 7b − 2a ) = 100 ( a + b ) ⇔ 96a + 28ab + 51b = Vô nghiệm (Phù hợp : IJ = 16 + 196 = 212 < R + R ' = + 15 = 20 = 400 Hai đường tròn cắt nhau) BT15 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x + y + x − y − = Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d : x + y − = cắt đường trịn theo dây cung có độ dài Giải Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 10 - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 10  13   10  D  ; − ÷và C  − ; ÷  3  3 Trường hợp AB cạnh hình bình hành Chọn C ( t ; −t − 3) thuộc d1 D ( 5m + 16; m ) thuộc d  AC = BD Để ABCD hình bình hành :   AB P CD Ta có  ( − t ) + ( t + ) = ( 5m + 17 ) + ( m + 3) ( − t ) + ( t + ) = ( 5m + 17 ) + ( m + 3)   ⇔ : ⇔  5m − t + 16 m + t + 17 m − 7t + 55 =  =   t + 2t = 13m + 88m + 89 =  ⇔  17 m + 55 Giải hệ ta tìm m t, thay vào tọa độ C D t=   Suy t = − BT47 Trong mặt phẳng tọa độ độ Oxy, cho tam giác ABC có C ( 1;2 ) , hai đường cao xuất phát từ A B có phương trình x + y = x – y + = Tính diện tích tam giác ABC Giải (AC) qua C ( 1;2 ) vng góc với đường cao BK có : r x −1 y − u = ( 2; −1) ⇒ ( AC ) : = ⇔ x + 2y − = −1  x=  2 x − y + =   11  ⇔ ⇔ A  ; ÷ ⇒ AC = (AC) cắt (AH) A :  5  x + y − =  y = 11   uu ur x = + t (BC) qua vng góc với (AH) suy u BC = ( 1;1) ⇒ ( BC ) :  y = + t x = 1+ t   1 (BC) cắt đường cao (AH) B ⇔  y = + t → t = − ⇔ B  − ; ÷  2 x + y =  − +1− 9 Khoảng cách từ B đến AC : = ⇒S= = 5 20 5 2 BT48 Trong mp Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y – x + y + = điểm P ( 1;3) a) Viết phương trình tiếp tuyến PE, PF đường tròn (C), với E, F tiếp điểm b) Tính diện tích tam giác PEF Giải 2 (C): ( x − 3) + ( y + 1) = ⇒ I ( 3; −1) , R = r Giả sử đường thẳng qua P có véc tơ pháp tuyến n = ( a; b ) ⇒ d : a ( x − 1) + b ( y − 3) = Hay : ax + by − ( a + 3b ) = (*) Để d tiếp tuyến (C) khoảng cách từ tâm I đến d bán kính : Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 31 - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN ⇔ 3a − b − a − 3b =2⇔ 2a − 4b =2 a2 + b2 a2 + b2 ⇔ ( a − 2b ) = a + b ⇔ 4ab − 3b = b = → a ( x − 1) = ↔ x − = ⇔ b ( 4a − 3b ) = ⇒  b = a → a ( x − 1) + a ( y − 3) = ↔ 3x + y − =  3  Ta có : PI = , PE = PF = PI − R = 20 − = Tam giác IEP đồng dạng với IHF suy : IF EP IP IF EP = = = = ⇒ IH = = , EH = = IH EH IE 5 5 1 8 32 ⇒ PH = PI − IH = − = ⇔ S EPF = EF.PH= = 2 5 5 BT49 Trong mpOxy, cho đường thẳng d1 : x + y − = 0, d : x − y + = Viết phương trình đường trịn (C) có tâm nằm trục Ox đồng thời tiếp xúc với d1 d2 Giải  h ( I , d1 ) = h ( I , d )  Gọi I ( a;0 ) thuộc Ox Nếu (C) tiếp xúc với đường thẳng :   h ( I , d1 ) = R   2a − 2a + = ( 1)   5 1  ⇔ ⇒ a = , thay vào (2) : R = ⇔ ( C ) :  x − ÷ + y2 = Từ (1) 10 4 100   R = 2a − ( )   BT50 Trong mp Oxy , cho đường thẳng d1 : x − y + = 0, d : x + y − = Gọi A giao điểm d1 d2 Tìm điểm B d1 điểm C d2 cho ∆ABC có trọng tâm G ( 3;5 ) Giải 2 x − y + = ⇒ Tọa độ A nghiệm hệ :  4 x + y − = Daukhacha.toan@gmail.com 7 3 A ; ÷ 8 2 - Trang 32 - Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN B ∈ d1 ⇒ B ( + 2t ;1 − 3t ) , C ∈ d ⇒ C ( m;5 − 4m ) 57   + 2t + m + = 2t + m =     8 ⇔ Tam giác ABC nhận G ( 3;5 ) làm trọng tâm : ⇔  1 − 3t + − 4m + = 15 3t + 4m = − 15   2    31  67 88  t = → B  ; − ÷    Giải hệ suy :  m = − 207 → C  − 207 ; 257   ÷  40  40 10   2 BT51 Cho đường tròn ( C ) : x + y − x − y + = Lập pt đường tròn (C’) đối xứng với (C) qua đường thẳng ∆ : x − = Giải 2 Ta có ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = ↔ I ( 1;2 ) , R = Gọi J tâm (C') I J đối xứng qua d : x = suy J ( 3;2 ) (C) có bán kính R Vậy ( C ') : ( x − 3) + ( y − ) = đối xứng với (C) qua d 2  13 13  BT52 Trong mpOxy, cho ∆ABC có trực tâm H  ; ÷, phương trình đường thẳng AB 5 5 AC x − y − = 0, x + y − = Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC Giải: 4 x − y − = Tọa độ A nghiệm hệ :  x + y − = u u  12  r ur r Suy : A ( 2;5 ) ⇒ HA =  − ; ÷Pu = ( 1; −4 ) Suy (AH) có véc tơ phương u = ( 1; −4 )  5 r r (BC) vng góc với (AH) (BC) có n = u = ( 1; −4 ) suy (BC): x − y + m = (*) u u  13 ur ur uu ur 22  u u C thuộc (AC) suy C ( t;7 − t ) CH =  − t ; t − ÷ ⇒ u AB = ( 1;4 ) ⊥ CH Cho nên ta có :  5 13  22  − t +  t − ÷ = → t = ⇔ C ( 5;2 ) 5   Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 33 - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN r Vậy (BC) qua C ( 5; ) có véc tơ pháp tuyến n = ( 1; −4 ) ⇒ ( BC ) : ( x − ) − ( y − ) = (BC): ⇔ x − y + = BT53 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x + y − = điểm A ( 1;1) , B(−3;4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB Giải M thuộc d suy M ( t ;3 − t ) Đường thẳng (AB) qua A ( 1;1) có véc tơ phương r x −1 y −1 u = ( 4; −3) ⇒ ( AB ) : = ⇔ 3x + y − = −3 3t + ( − t ) − Theo đầu : = ⇔ −t + = 5 t = → M ( 3;0 ) ⇔ t = 13 → M ( 13; −10 )  * Chú ý : Đường thẳng d' song song với (AB) có dạng : x + y + m = Nếu d' cách (AB) khoảng 3+ 4+ m h ( A, d ') = ⇔ =1  m = −2 → d ' : x + y − = ⇒ Tìm giao d' với d ta tìm M  m = −12 → d ' : x + y − 12 = BT54 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC có đỉnh A ( 4;3) , đường cao BH trung tuyến CM có pt là: x − y + 11 = 0, x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B, C Giải  x = + 3t Đường thẳng (AC) qua A ( 4;3) vng góc với (BH) suy (AC) :  y = 3−t Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 34 - Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN  x = + 3t  → 2t + = → t = −3 ⇔ C ( −5;6 ) (AC) cắt trung tuyến (CM) C :  y = − t x + y −1 =  B thuộc (BH) suy B ( t ;3t + 11) Do (CM) trung tuyến M trung điểm AB ,  t + 3t + 14  ; đồng thời M thuộc (CM) ⇒ M  ÷   t + 3t + 14 M ∈ ( CM ) ⇒ + − = ⇒ t = −4 2 Do tọa độ B ( −4; −1) M ( 0;1) 2 BT55 Trong hệ trục 0xy, cho đường tròn ( C ) : x + y − x + 12 = điểm E ( 4;1) Tìm toạ độ điểm M trục tung cho từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C), với A, B tiếp điểm cho E thuộc đường thẳng AB Giải Đường tròn (C) : ( x − ) + y = ⇒ I ( 4;0 ) , R = 2 Gọi M ( 0;a ) thuộc Oy Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) ∈ ( C ) Tiếp tuyến A B có phương trình : ( x1 − ) ( x − ) + y1 y = , ( x2 − ) ( x − ) + y2 y = Để thỏa mãn tiếp tuyến qua M(0;a) ⇔ ( x1 − ) ( − ) + y1a = , ( x2 − ) ( − ) + y1a = Chứng tỏ (AB) có phương trình : −4 ( x − ) + ay = Nếu (AB) qua E(4;1) : −4 ( ) + a.1 = suy : a = Vậy Oy có M ( 0;4 ) thỏa mãn , hai đỉnh A ( 2; −3) , B ( 3; −2 ) trọng tâm G tam giác thuộc đt x − y − = Tìm tọa độ đỉnh C Giải BT56 Cho tam giác ABC có diện tích S = Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 35 - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN uu ur GA = ( − t ;5 − 3t )  uu Vì G thuộc d suy G ( t ;3t − ) ⇒  u ur Theo tính chất trọng tâm tam GM = ( x0 − t ; y0 + − 3t )   uu ur u ur 2 − t = −2 x0 + 2t uu 2 x0 = 3t − ⇔ giác : GA = −2GM ⇒  Theo tính chất trung điểm ta có 5 − 3t = −2 y0 − 16 + 6t 2 y0 = 9t − 21 tọa độ C ( 3t − 5;9t − 19 ) r x−2 y+2 A ( 2; −3) có véc tơ phương u = ( 1;1) ⇒ ( AB ) : = ⇔ x − y − = (AB) qua 1 3t − − 9t + 19 − 10 − 6t = Đồng thời : AB = Khoảng cách từ C đến (AB) : = 2 Theo giả thiết :  13  11  t = → C  ; ÷ 10 − 6t 10 − 6t = −3 1   S = AB.h = = − 3t = ⇔  ⇔ 2   7 10 − 6t = t = → C  − ; − ÷  2  BT57 Viết phương trình đường tròn (C) có bán kính R = tiếp xúc với trục hoành có tâm I nằm đường thẳng ( d ) : x + y – = Giải Tâm I nằm d suy I ( t;3 − t ) Nếu (C) tiếp xúc với Ox khoảng cách từ I đến Ox t = → I1 = ( 5; −2 ) 3 − t = −2 ⇔ bán kính R = − t = ⇔  3 − t = t = → I = ( 1;2 )  Như có đường tròn : ( C1 ) : ( x − ) + ( y + ) = , ( C2 ) : ( x − 1) + ( y − ) = 2 2 2 BT58 Trong Oxy cho đường tròn (C) có phương trình : x + y – x – y + = a) Viết phương trình đường thẳng qua M ( 2;4 ) cắt đường tròn (C) điểm A, B cho M trung điểm đoạn AB b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) cho tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình: x + y – = 2 c) Chứng tỏ đường tròn (C) đường tròn ( C’) : x + y – x – y + = tiếp xúc Viết phương trình tiếp tuyến chung chúng tiếp điểm Giải 2 (C) : ( x − 1) + ( y − 3) = ⇒ I ( 1;3) , R = 2 a Gọi A ( x; y ) thuộc (C) suy ( x − 1) + ( y − 3) = (1), B đối xứng với A qua M suy B ( − x;8 − y ) Để đảm bảo u cầu tốn B thuộc (C) : ( − x ) + ( − y ) = (2) ( x − 1) + ( y − 3) =    x + y − x − y + = ( 3) ⇔ Từ (1) (2) ta có hệ :  2 − x) + ( − y) =  x + y − x − 10 y + 30 = ( ) (   Lấy (3) – (4) ta có phương trình : x + y − 24 = , hay : x + y − = Đó đường thẳng cần tìm Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 36 - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN b Gọi d' đường thẳng song song với d nên có dạng : x + y + m = (*) Để d' tiếp m = − 2+6+m = ⇔ m+8 = ⇒  tuyến (C) : ⇒ h ( I , d ') =  m = −4 −  2 c (C'): ( x − ) + ( y − 3) = ⇒ I ' ( 2;3) , R ' = Ta có : II ' = , R '− R = Chứng tỏ hai đường tròn tiếp xúc với Tìm tọa độ tiếp điểm : ( x − 1) + ( y − 3) =   x + y − 2x − y + = ⇔ ⇒ x + = ⇔ x = −1 Thay vào  2 x + y − 4x − y + = x − ) + ( y − 3) = (   phương trình đầu hệ : y − y + = ⇔ ( y − 3) = → y = ⇔ M ( 1;3) Tiếp tuyến chung qua M vng góc với IJ suy d ' :1( x − 1) = hay x − = BT59 Lập phương trình cạnh ∆ ABC, biết đỉnh A ( 1;3) hai đường trung tuyến xuất phát từ B C có phương trình x – y + = vaø y –1 = Giải x − y +1 = ⇒ G ( 1;1) Gọi G trọng tâm tam giác tọ độ G nghiệm hệ  y −1 =  E ( x; y ) thuộc (BC), theo tính chất trọng tâm ta có : uu ur uu ur uu ur uu ur GA = ( 0;2 ) , GE = ( x − 1; y − 1) ⇒ GA = −2GE ⇔ 0 = −2 ( x − 1)  ⇒ E ( 1;0 ) C thuộc (CN) C ( t;1) , B thuộc (BM) B ( 2m − 1; m )  = −2 ( y − 1)   Do B, C đối xứng qua E ta có hệ phương trình :  2m + t − = t = ⇔ ⇒ B ( 5;1) , C ( −3; −1) Vậy (BC) qua E ( 1;0 ) có véc tơ phương  m + = m = −1 uu ur r x −1 y BC ( −8; −2 ) Pu = ( 4;1) ⇒ ( BC ) : = ⇔ x − y − = Tương tự : uu ur r x −1 y − = ⇔ x + 2y − = (AB) qua A(1;3) có AB = ( 4; −2 ) Pu = ( 2; −1) ⇒ ( AB ) : −1 Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 37 - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN uu ur r x −1 y − AC = ( −4; −4 ) Pu = ( 1;1) ⇒ ( AC ) : = ⇔ x− y+2=0 (AC) qua A(1;3) có 1 * Chý ý: Hoặc gọi A' đối xứng với A qua G suy A ' ( 1; −1) BGCA' hình bình hành, từ ta tìm tọa độ đỉnh B, C cách lập cạnh BT60 Cho ∆ABC có đỉnh A ( 2; –1) hai đường phân giác góc B, góc C có phương trình laø ( d B ) : x – y + = vaø ( dC ) : x + y + = Lập phương trình BC Giải Gọi A' đối xứng với A qua d B A'' đối xứng với A qua d C A' A'' nằm BC uu r ur 2 ( x − ) + 1( y + 1) = AA'u = 2 x + y =   ⇔ x+ ⇔ ⇒ A ' ( 0;3) Tìm tọa độ A' (x;y): ⇔   y −1  − 2 +1 = I ∈ dB  x − y = −6 ÷      u urr uu ( x − ) − 1( y + 1) = AA''u = x − y =   ⇔  x +  y −1  ⇔ ⇒ A '' ( −2; −5 ) Tìm tọa độ A'' (x;y) : ⇔  x + y = −7 + +3= I ∈ dB  ÷      uuu u ur r x y −3 A ' A '' = ( −2; −8 ) Pu = ( 1;4 ) ⇒ ( BC ) : = (BC) qua A'(0;3) có véc tơ phương BT61 Cho tam giác ABC có trung điểm AB I ( 1;3) , trung điểm AC J ( −3;1) Điểm A thuộc Oy đường thẳng BC qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm A, phương trình đường thẳng BC đường cao vẽ từ B? Giải Do A thuộc Oy A ( 0; m ) (BC) qua gốc tọa độ O ( BC ) : ax + by = (1) Vì IJ trung điểm (AB) (AC) IJ P BC suy (BC) có véc tơ phương : u r r ⇔ IJ = ( −4; −2 ) Pu = ( 2;1) ⇒ ( BC ) : x − y = B thuộc (BC) suy B ( 2t; t ) A ( − 2t;6 − t ) Nhưng A thuộc Oy − 2t = ⇒ t = A ( 0;5 ) Tương tự C ( −6; −3) , B ( 0;1) Đường cao BH qua B ( 0;1) vuông góc với AC có uu ur r x y −1 AC = ( −6; −8 ) Pu = ( 3;4 ) ⇒ ( BH ) : = ⇔ 4x − 3y + = BT62 Cho hai điểm A ( 1;1) , B ( 4; −3) đường thẳng d : x − y − = Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 38 - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN a Tìm tọa độ điểm C d cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB = ( ĐHKB-04) b Tìm tọa độ trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB? ( ĐHKA-2004) Giải r uu ur x −1 y −1 A ( 1;1) có u = AB = ( 3; −4 ) ⇒ ( AB ) : = ⇔ 4x + 3y − = a/ (AB) qua −4 ( 2t + 1) + 3t − C thuộc x − y − = suy C ( 2t + 1; t ) : = ⇔ 11t − = 30 t = → C1 ( 7;3)  ⇔ 27  43 27  t=− → C2  − ; − ÷  11  11 11   b/ Đường thẳng qua O vng góc với AB có phương trình 3x − 4y = Đường thẳng qua B vng góc với OA có phương trình ( x − ) + ( y + 3) = Đường thẳng qua A vng góc với OB có phương trình ( x − 1) − ( y − 1) = hay 4x − 3y − = Vậy tọa độ trực tâm H nghiệm :  3 x − ( − x ) = 3 x − y = x=     4 3 ⇔ x + y −1 = ⇔  y = 1− x ⇔ ⇒H ; ÷ 7 7 4 x − y − = 4 x − y − = y =     2 Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ( C ) : x + y − 2ax − 2by + c = (C) qua O ( 0;0 ) suy c = (1) (C) qua A ( 1;1) suy : − 2a − 2b = , hay : a + b = (2) (C) qua B ( 4; −3) suy : 25 − 8a + 6b = , hay : 8a − 6b = 25 (3) 31 17   b = − 14 b = − 14 a + b = b = − a   ⇔ ⇔ ⇔ Từ (2) (3) ta có hệ :  8a − 6b = 25 8a − 6(1 − a) = 25 a = 31 a = 31    14  14 31 17 Vậy (C) : x + y − x + y = BT63 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x + y − = hai điểm uu uu ur ur A ( 1;0 ) , B ( 3; −4 ) Hãy tìm d điểm M cho : MA + 3MB nhỏ Giải uu ur uu ur uu ur Trên d có M ( − 2t; t ) suy : MA = ( − 2t ; t ) , MB = ( −2t; t + ) ⇒ 3MB = ( −6t + 3t + 12 ) uu uu ur ur uu uu ur ur 2 Do : MA + 3MB = ( − 8t ;4t + 12 ) ⇒ MA + 3MB = ( − 8t ) + ( 4t + 12 ) uu uu ur ur 676 26 Hay : f ( t ) = MA + 3MB = 80t + 64t + 148 = 80  t +  + Dấu đẳng thức xảy ≥  ÷ 5  5 26  19  t = − ⇒ M  ; − ÷ Khi f ( t ) = 5  5 Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 39 - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 2 BT64 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M ( 2; −1) đường tròn ( C1 ) : x + y = (1) Hãy viết phương trình đường trịn ( C2 ) có bán kính cắt đường tròn ( C1 ) theo dây cung qua M có độ dài nhỏ Giải Gọi ( C2 ) có tâm I ' ( a;b ) suy : ( C2 ) : ( x − a ) + ( y − b ) = 16 ⇔ x + y − 2ax − 2by + a + b − 16 = ( 1) 2 Lấy (1) -(2) ta : 2ax + 2by − ( a + b ) + = ( đường thẳng trục đẳng phương ) Dây cung hai đường tròn nằm đường thẳng 2 2 Ví dây cung qua M ( 2; −1) lên ta có : 4a − 2b − ( a + b ) + = ⇔ ( a − ) + ( b + 1) = 12 BT65 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A ( 2;5 ) , B ( 5;1) Viết phương trình đường thẳng d qua A cho khoảng cách từ B đến d Giải r Đường thẳng d qua A ( 2;5 ) có n = ( a; b ) ⇒ d : a ( x − ) + b ( y − ) = ( 1) Theo giả thiết : h ( B, d ) = a ( − ) + b ( − 5) = ⇔ ( 3a − 4b ) = ( a + b ) a +b b = → d : a ( x − ) = ↔ x − = ⇔ 7b − 24ab = ⇒  b = 24a → ( x − ) + 24 ( y − ) = ↔ x + 24 y − 114 =  7  2 BT66 Trong (Oxy) cho A ( 2;5 ) đường thẳng d : x + y + = Viết phương trình tổng quát đường thẳng d' qua A tạo với d góc 450 Giải r Đường thẳng d' qua A ( 2;5 ) có n = ( a; b ) ⇒ d : a ( x − ) + b ( y − ) = ( 1) u r Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n ' = ( 2;3) Theo giả thiết : 2a + 3b cos450 = = ⇔ ( 2a + 3b ) = 13 ( a + b ) ⇔ 5b + 24ab − 5a = 13 a + b b = −5a → d ' : ( x − ) − ( y − ) = ↔ x − y + 23 = Ta có : ∆ 'b = 169a ⇒  b = a ↔ a = 5b → d ' : ( x − ) + ( y − ) = ↔ x + y − 15 =   BT67 Trong (Oxy) cho hình chữ nhật ABCD, biết phương trình chứa đường chéo d1 : x + y − = d : x − y + = Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật, biết đường thẳng qua điểm M ( −3;5 ) Giải 7 x + y − = 1 9 ⇒ I ; ÷ Tâm hình chữ nhật có tọa độ nghiệm hệ :  4 4 x − y + = r Gọi d đường thẳng qua M ( −3;5 ) có véc tơ pháp tuyến : n = ( a; b ) Khi Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 40 - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN ⇒ d : a ( x + 3) ru r nn1 r nhật : r u = n n1 + b ( y − ) = ( 1) Gọi cạnh hình vng (AB) qua M theo tính chất hình chữ ru u r nn2 7a + b a −b  a = −3b = ⇔ 7a + b = a − b ⇔  r u ⇔ u r n n2 50 a + b 2 a + b2 b = 3a  a = −3b → d : −3 ( x + 3) + ( y − ) = ↔ x − y + 14 = Do :  b = 3a ↔ ( x + 3) + ( y − ) = ↔ x + y − 12 = BT68 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(1;1) , B( −2;5) , đỉnh C nằm đờng thẳng x = , trọng tâm G tam giác nằm đờng thẳng x y + = TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC HD 1− + + + yC y Ta cã C ( 4; yC ) Khi ®ã tọa độ G xG = = 1, yG = = + C Điểm G nằm 3 đờng thẳng x y + = nªn − − yC + = , vËy yC = , tøc lµ: C ( 4; ) uu ur uu ur uuuu ur ur Ta cã AB = ( −3;4 ) , AC = ( 3;1) , vËy AB = , AC = 10 , AB AC = −5 uu uu ur ur 15 DiÖn tÝch tam giác ABC S = AB AC − AB AC = 25.10 − 25 = 2 BT69 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A ( 2;−1) , B ( 1; ) , trọng tâm G tam giác nằm đờng thẳng x + y = Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam gi¸c ABC b»ng 27 HD uu ur Vì G nằm đờng thẳng x + y = nên G có tọa độ G (t ; − t ) Khi ®ã AG = ( t − 2;3 − t ) , uu ur AB = ( −1; −1) VËy diÖn tÝch tam giác ABG uu uu ur ur 2t − 2 S= AG AB − AG AB = ( t − ) + ( − t )  − =  2  ( ( ) ) 27 2t − th× diƯn tÝch tam gi¸c ABG b»ng VËy = , suy 2 2 t = hc t = −3 VËy cã hai ®iĨm G : G1 ( 6; −4 ) , G2 ( −3; −1) V× G trọng tâm tam giác ABC nên xC = xG − ( xa + xB ) vµ yC = yG − ( ya + yB ) Víi G1 ( 6; −4 ) ta cã C1 ( 15; −9 ) , víi G2 ( −3; −1) ta cã C2 ( −12;18 ) NÕu diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng BT70 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ∆ : x + y + = , ∆ ' : x − y + 10 = điểm A ( −2;1) Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng ∆ , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’ HD Tâm I đường tròn thuộc ∆ nên I ( −3t – 8; t ) Theo yêu cầu khoảng từ I đến ∆ ’ khoảng cách IA nên ta có 3(−3t − 8) − 4t + 10 = (−3t − + 2) + (t − 1) 2 +4 Giải tiếp t = −3 Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 41 - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 2 Khi I ( 1; −3) , R = phương trình cần tìm: ( x – 1) + ( y + 3) = 25 BT71 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x + y – x – y + = 0, (C ') : x + y + x – = qua M ( 1;0 ) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường trịn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB HD Gọi tâm bán kính (C), (C’) I ( 1;1) , I ’ ( −2;0 ) R = 1, R ' = , đường thẳng (d) 2 qua M có phương trình a ( x − 1) + b ( y − ) = ⇔ ax + by − a = 0, (a + b ≠ 0)(*) Gọi H, H’ trung điểm AM, BM Khi ta có: MA = 2MB ⇔ IA2 − IH = I ' A2 − I ' H '2 2 ⇔ −  d ( I , d )  = 9 − ( d ( I ', d ) )  ,     IA > IH 9a b2 36a − b ⇔  d ( I ', d )  −  d ( I , d )  = 35 ⇔ − = 35 ⇔ = 35 ⇔ a = 36b     a + b2 a + b2 a + b2  a = −6 Dễ thấy b ≠ nên chọn b = ⇒   a=6 Kiểm tra điều kiện IA > IH thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn BT72 Tam giác cân ABC có đáy BC nằm đường thẳng x – y + = , cạnh bên AB nằm đường thẳng 12 x – y – 23 = Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm (3;1) HD Đường thẳng AC qua điểm ( 3;1) nên có phương trình : a ( x – 3) + b ( y – 1) = 2 ( a + b2 ≠ ) Góc tạo với BC góc AB tạo với BC nên : 2a − 5b 2.12 + 5.1 = 2 + 52 a + b 22 + 52 122 + 12  a = −12b ⇔ ⇔ ( 2a − 5b ) = 29 ( a + b ) ⇔ 9a2 + 100ab – 96b2 = ⇒  a = b  Nghiệm a = −12b cho ta đường thẳng song song với AB (vì điểm ( 3;1) không thuộc AB) nên cạnh tam giác Vậy lại : 9a = 8b hay a = b = Phương trình cần tìm x + y – 33 = 2a − 5b 29 = 2 a +b 2 BT73 Trong mp (Oxy) cho đường thẳng ∆ có phương trình x – y – = hai điểm A ( −1;2 ) ; B ( 3;4 ) Tìm điểm M ∈ (∆) cho 2MA2 + MB có giá trị nhỏ HD u ur uu uu uu r M ∈ ∆ ⇒ M ( 2t + 2; t ) , AM = ( 2t + 3; t − ) , BM = ( 2t − 1; t − ) AM + BM = 15t + 4t + 43 = f (t ) Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 42 - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN  2  26  f ( t ) = f  − ÷ ⇒ M  ; − ÷  15   15 15  2 BT74 Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y − x − 2my + m − 24 = có tâm I đường thẳng ∆ : mx + y = Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường trịn (C) hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 HD Đường trịn (C) có tâm I ( 1; m ) , bán kính R = Gọi H trung điểm dây cung AB Ta có IH đường cao tam giác IAB | m + 4m | | 5m | IH = d ( I , ∆ ) = = m + 16 m + 16 AH = IA − IH = 25 − 2 ( 5m ) = 20 m + 16 m + 16 Diện tích tam giác IAB S ∆IAB = 12 ⇔ 2S∆IAH = 12 ⇔ d ( I , ∆ ) AH = 12  m = ±3 ⇔ 25 m = ( m + 16 ) ⇔   m = ± 16  2 BT75 Cho đường tròn ( C ) : x + y – x + y + = Viết phương trình đường tròn (C') tâm M ( 5,1) biết (C') cắt (C) điểm A, B cho AB = HD 2 Phương trình đường trịn ( C ) : x + y – x + y + = có tâm I ( 1, –2 ) , R = Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB ⊥ IM trung điểm H đoạn AB AB Ta có AH = BH = Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I = 2 Gọi A'B' vị trí thứ AB, Gọi H' trung điểm A'B'  3 Ta có: IH ' = IH = IA − AH = −  ÷ = , MI =   2 ( − 1) + ( + 2) = Vậy có đường trịn (C') thỏa ycbt là: ( x – ) + ( y – 1) = 13 2 hay ( x – ) + ( y − 1) = 43 2 BT76 Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng d1 : x + y − = 0, d : x − y + = 0, d : x − y + = Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD, biết hình thoi ABCD có diện tích 15, đỉnh A, C thuộc d , B thuộc d1 D thuộc d HD Đường chéo (BD) vng góc với (AC) BD có dạng : x + y + m = x + y + m =  m + 4m +  ⇒ B ;− (BD) cắt d1 B có tọa độ nghiệm hệ :  ÷   4 x + y − = x + y + m =  m + −2m +  ⇒ D− ; (BD) cắt d D có tọa độ nghiệm hệ :  ÷ 3   2 x − y + = Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 43 - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN  2m +  Trung điểm I BD tâm hình thoi có tọa độ : I  ; − ÷  2 2m + + = ⇒ m = −3 ⇔ ( BD ) : x + y − = tọa độ Theo giả thiết I thuộc AC : + 2 1 5 điểm B ( 2;1) , D ( −1;4 ) I  ; ÷ Gọi A ( t; t + ) thuộc (AC) 2 2 t +t + 2−3 Suy : h ( A,( AC ) ) = t = → A ( 3;5 ) ↔ C ( −2;0 ) 2t − 2t − 1 = ⇔ S = BD.h ( A, AC ) = = 15 ⇔  2 t = −2 → A ( −2;0 ) ↔ C ( 3;5 )  BT77 Trong (Oxy) cho tam giác ABC, biết ba chân đường cao tương ứng với đỉnh A, B, C A ' ( 1;1) , B' ( −2;3 ) , C' ( 2;4 ) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh (BC) Giải Do đường cao tứ giác AC'IB' từ giác nội tiếp đường trịn có đường kính AI, C'B' dây cung AA' vng góc với C'B' Vậy (BC) qua A ' ( 1;1) có véc tơ u uu uu r r pháp tuyến C ' B ' = ( −4; −1) Pn = ( 4;1) ⇒ ( BC ) : ( x − 1) + y − = ⇔ 4x + y − = Tương tự lập luận ta tìm phương trình cạnh tam giác ABC : ( AB ) : 3x − y + = ( ) ( BT78 Trong (Oxy) cho hai điểm A 3; , B 3; −2 ) a) Chứng tỏ tam giác OAB tam giác b) Chứng minh tập hợp điểm M cho: MO + MA2 + MB = 32 đường tròn (C) c) Chứng tỏ (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Giải a/ Ta có : OA = ( 3) + 22 = 4, OB = 4, AB = Chứng tỏ OAB tam giác b/ Gọi M ( x; y ) đẳng thức giả thiết cho tương đương với biểu thức : Ta có : MO = x + y , MA2 = x + y − 3x − y + 16, MB = x + y − 3x + y + 16 ⇒ MO + MA2 + MB = 32 ⇔ 3x + y − x + 32 = 32 ⇔ x + y − Daukhacha.toan@gmail.com x=0 - Trang 44 - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 2 4   4 3 4 3 ;0 ÷, R = ⇔x− ÷ + y = ÷ Chứng tỏ đường trịn (C) có tâm I  3       c/ Thay tọa độ O, A, B vào (1) ta thấy thỏa mãn, chứng tỏ (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB BT79 Viết phương trình cạnh hình vng ABCD biết AB, CD qua điểm P ( 2;1) Q ( 3;5 ) , BC AD qua điểm R ( 0;1) S ( −3; −1) Giải Gọi (AB) có dạng y = kx + b ( AD ) : y = − x + b ' k Cho AB AD qua điểm tương ứng ta có : 2k + b = (1) Ta có : h ( Q, AB ) = 3k − + b ; h ( R , AD ) = + b ' = −1 k + k − kb ' ( 2) Theo tính chất hình vng : k +1 k2 +1 3k − + b + k − kb ' h ( Q, AB ) = h ( R, AD ) ⇔ = ⇔ 3k − + b = k − kb ' k2 +1 k +1  2k + b = 1 4     ⇒  k = , b = , b ' = −10 ÷,  k = −7, b = 15, b ' = − ÷ Từ ta có hệ : k + kb ' = −3 3 7     3k − + b = k − kb '  AB : x − y + = 0, AD : x + y + 10 = 0, CD : x − y + 12 = 0, BC : x + y − = Do : Hoặc : AB : x + y − 15 = 0, AD : x − y − = 0, CD : x + y − 26 = 0, BC : x − y + = Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 45 - ... đường thẳng ∆ : x + y + = Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng ∆ cho đường thẳng AB ∆ hợp với góc 450 Giải Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 13 - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN... đường tròn ( C ) : x + y − x − y − = đường thẳng d : x + y + = Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho từ điểm M kẻ Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 12 - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG... Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng ∆ , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’ Daukhacha.toan@gmail.com - Trang - Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Giải  x =