Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu gồm 140 trang, bao gồm lý thuyết, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa, các dạng bài tập tự luận và hệ thống bài tập trắc nghiệm chuyên đề quan hệ vuông góc trong không gian trong chương trình SGK Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo (viết tắt: Toán 11 CTST), có đáp án và lời giải chi tiết. BÀI 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. I. LÝ THUYẾT. II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. III. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. + Dạng 1. Xác định góc giữa hai đường thẳng. + Dạng 2. Hai đường thẳng vuông góc. BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG. I. LÝ THUYẾT. II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. + Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. + Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. + Dạng 3. Thiết diện. III. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. + Dạng 1. Câu hỏi lí thuyết. + Dạng 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. + Dạng 3. Đường thẳng vuông góc với đường thẳng. + Dạng 4. Xác định thiết diện. BÀI 3. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC. I. LÝ THUYẾT. II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. + Dạng 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách dùng định nghĩa. + Dạng 2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng dựa trên giao tuyến. + Dạng 3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách dùng định lý hình chiếu. + Dạng 4. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc. + Dạng 5. Dùng mối quan hệ vuông góc giải bài toán thiết diện. III. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. + Dạng 1. Câu hỏi lí thuyết. + Dạng 2. Xác định quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng, mặt phẳng và đường thẳng. + Dạng 3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng. + Dạng 4. Dựng mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước. Thiết diện, diện tích thiết diện. BÀI 4. KHOẢNG CÁCH. I. LÝ THUYẾT. II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. + Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng. + Dạng 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. + Dạng 3. Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy. + Dạng 4. Thể tích khối chóp có hình chiếu của đỉnh là các điểm đặc biệt trên mặt đáy (không trùng với các đỉnh của đa giác đáy). + Dạng 5. Thể tích khối chóp đều. + Dạng 6. Thể tích khối lăng trụ đứng – đều. + Dạng 7. Thể tích khối lăng trụ xiên. III. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. BÀI 5. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. GÓC NHỊ DIỆN. I. LÝ THUYẾT. II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. + Dạng. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. III. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. + Dạng. Góc của đường thẳng với mặt phẳng.
CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN VIII QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG: Định nghĩa Góc hai đường thẳng a, b khơng gian, kí hiệu ( a, b ) , góc hai đường thẳng a′ b′ qua điểm song song trùng với a b Nhận xét a) Để xác định góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại b) Với hai đường thẳng a b bất kì: 0° ≤ ( a, b ) ≤ 90° HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN: Định nghĩa: Hai đường thẳng a b gọi vng góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b , góc chúng 90° Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN PHƯƠNG PHÁP Để tính số đo góc hai đường thẳng ( d1 ) ( d ) ta thực tính thơng qua góc hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng cho Bước Sử dụng tính chất sau: ( d1 , d ) = α ⇒ ( d1 , d ) = ( d1 , d3 ) = α d / / d3 Bước Áp dụng định lí cơsin tam giác để xác định góc Câu 1: Câu 2: BÀI TẬP Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cân, AB = AC = a, BAC = 120° cạnh bên AA′ = a Tính góc hai đường thẳng AB′ BC Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ Tính góc đường thẳng a) AB B′C ′ b) AC B′C ′ c) A′C ′ B′C Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a; SA vng góc với đáy Câu 5: Câu 6: Câu 7: a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc ( MN , SC ) bằng: SA = a Khi đó, cosin góc SB AC Cho tứ diện ABCD có cạnh a, M trung điểm cạnh BC Gọi α góc hai đường thẳng AB DM, cos α ′BA= B ′BC= 60° Cho hình hộp thoi ABCD A′B′C ′D′ có tất cạnh a ABC= B Chứng minh tứ giác A′B′CD hình vng Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có độ dài tất cạnh a góc BAD, DAA′, A′AB 60° Gọi M, N trung điểm AA′, CD Gọi α góc tạo hai đường Câu 8: thẳng MN B′C , tính giá trị cos α Cho tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm cạnh BC Tính góc hai đường thẳng AB DM Câu 9: Cho tứ diện ABCD có CD = AB Gọi G, E , F trung điểm BC , AC , DB , biết EF = AB Tính góc CD AB Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a ; SA vng góc với đáy SA = a Tính cơsin góc SB AC Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu 11: Cho hình chóp S ABC có BC = a , cạnh cịn lại a Góc hai đường thẳng SB AC bằng: Câu 12: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a , độ dài cạnh bên a Gọi M , N trung điểm cạnh SA BC Góc MN SC Câu 13: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ , gọi I trung điểm cạnh AB Tính cơsin góc hai đường thẳng A′D B′I kết = CD = a Gọi M , N trung điểm AD BC Xác định độ Câu 14: Cho tứ diện ABCD có AB dài đoạn thẳng MN để góc hai đường thẳng AB MN 30° = =° =° BAD 60 , CAD 90 Gọi M trung điểm = AD = a BAC Câu 15: Cho tứ diện ABCD có AB cạnh CD Tính độ dài cạnh AC để cơsin góc hai đường thẳng AC BM Page Sưu tầm biên soạn CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN VIII QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG: Định nghĩa Góc hai đường thẳng a, b khơng gian, kí hiệu ( a, b ) , góc hai đường thẳng a′ b′ qua điểm song song trùng với a b Nhận xét a) Để xác định góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại b) Với hai đường thẳng a b bất kì: 0° ≤ ( a, b ) ≤ 90° HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN: Định nghĩa: Hai đường thẳng a b gọi vng góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b , góc chúng 90° Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN PHƯƠNG PHÁP Để tính số đo góc hai đường thẳng ( d1 ) ( d ) ta thực tính thơng qua góc hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng cho Bước Sử dụng tính chất sau: ( d1 , d ) = α ⇒ ( d1 , d ) = ( d1 , d3 ) = α d / / d3 Bước Áp dụng định lí cơsin tam giác để xác định góc Câu 1: BÀI TẬP Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cân, AB = AC = a, BAC = 120° cạnh bên AA′ = a Tính góc hai đường thẳng AB′ BC Lời giải AB′, BC ) = AB′, B′C ′ ) Ta có BC / / B′C ′ ⇒ ( ( Xét ∆AB′C ′ có AB′ =AC ′ = AB + BB′2 =a Áp dụng định lý cosin cho ∆ABC , ta có BC = AB + AC − AB AC.cos BAC = a + a − 2.a.a.cos120°= 3a ⇒ BC = B′C ′ = a Suy ∆AB′C ′ đều, AB′, BC= AB′, B′C ′= ( ) ( ) Câu 2: AB′C=′ 60° Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ Tính góc đường thẳng a) AB B′C ′ b) AC B′C ′ c) A′C ′ B′C Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN A′B′, B′C ′= AB, B′C ′= a) Ta có AB / / A′B′ mà ( ) 90° nên ( ) 90° AC , BC= b) Vì tứ giác ABCD hình vng nên ( ) 45° AC , B′C ′= Ta có BC / / B′C ′ nên ( ) 45° c) Ta có AC / / A′C ′ ∆ACB′ tam giác có cạnh đường chéo hình A′C ′, B′C= AC , B′C= vng Do ( ) ( ) 60° Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc ( MN , SC ) bằng: Lời giải Ta có: MN / / SA ⇒ ( MN , SC ) = ( SA, SC ) Ta lại có: AC = a Xét ∆SAC , nhận thấy: AC = SA2 + SC Theo định lí Pitago đảo, ∆SAC vng S Suy ra: ∠ASC = 900 hay = , SC ) (= SA, SC ) ( MN Câu 4: 900 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a; SA vng góc với đáy SA = a Khi đó, cosin góc SB AC Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Gọi I trung điểm SD ⇒ OI đường trung bình ∆SBD OI / / SB ⇒ SB = = OI SA2 + AB = 3a + a = a SB, AC ) = ( OI , AC ) = AOI Vì OI / / SB ⇒ ( AI Ta có: = SD = SA2 + AD = 3a + a = a ⇒ AI= OI ⇒ ∆AOI cân I Gọi H trung điểm OA ⇒ IH ⊥ OA Và OH = OA AC a = = 4 a OH = = = Xét ∆OHI , ta có: cos HOI OI a Vậy cos ( SB = , AC ) cos = HOI Câu 5: Cho tứ diện ABCD có cạnh a, M trung điểm cạnh BC Gọi α góc hai đường thẳng AB DM, cos α Lời giải: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Gọi N trung điểm AC ⇒ MN đường trung bình ∆ABC MN / / AB ⇒ MN = AB Vì ∆BCD ∆ACD tam giác cạnh a ⇒ MD = ND = a AB= , DM ) ( MN , DM ) = ⇒ α ( Vì MN / / AB Xét ∆MND , ta có: MN + MD − ND cos NMD = MN MD 2 a a 3 a 3 − + 2 = = = a a 3 2 >0 < 90° ⇒ ( ⇒ NMD MN , DM ) = NMD Vậy cos α cos NMD = = Câu 6: ′BA= B ′BC= 60° Cho hình hộp thoi ABCD A′B′C ′D′ có tất cạnh a ABC= B Chứng minh tứ giác A′B′CD hình vng Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Ta có tứ giác A′B′CD hình bình hành ′BC= 60° nên ∆BB′C Suy B′C = a Do B ′C a nên A′B′CD hình thoi Do CD = B= a2 a2 Ta có CB′.CD = CB + BB′ BA = CB.BA + BB′.BA = − + = 2 Suy CB′ ⊥ CD Vậy tứ giác A′B′CD hình vng ( Câu 7: ) Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có độ dài tất cạnh a góc BAD, DAA′, A′AB 60° Gọi M, N trung điểm AA′, CD Gọi α góc tạo hai đường thẳng MN B′C , tính giá trị cos α Lời giải A′D / / B′C Ta có với P trung điểm DC ′ MN / / A′P ′P = MN , B′C ) ( = A′P, A′D ) DA Suy ( =′ Vì BA A′AB= 60° cạnh hình hộp a D= DAA ′D a, C= ′D C= ′A′ a Do A= A′D + A′C ′2 DC ′2 5a − = ⇒ A′P Áp dụng định lý cosin cho tam giác A′DP , ta có Suy= A′P A′D + A′P − DP = cos α = A′D A′P 10 Câu 8: Cho tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm cạnh BC Tính góc hai đường thẳng AB DM Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Gọi N trung điểm AC MN / / AB Suy ( AB, DM ) = ( MN , DM ) = Ta có cos DMN MN + DM − DN 2.MN DM 2 a a 3 a 3 − + 2 = a a 2 = arccos Suy DMN AB, DM ) = arccos Vậy ( Câu 9: Cho tứ diện ABCD có CD = AB Gọi G, E , F trung điểm BC , AC , DB , biết EF = AB Tính góc CD AB Lời giải Gọi G trung điểm BC Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Lời giải Ta có BC ⊥ AB SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC Nên BC ⊥ ( SAB ) BC ⊥ SB Suy SC hình chiếu SB lên mặt phẳng ( SAB ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( SAB ) góc SC SB hay góc CSB Trong tam giác SAB vng A có: SB= SA2 + AB 2= Trong tam giác SBC vng B có: tan CSB = 2a + a 2= a BC a = = SB a 3 = ⇒ CSB 30° Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng ( SAB ) 30° Câu 36: Cho hình chóp S ABC , có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC vuông cân B, AC = a 2, SA = a Gọi α góc SC mặt phẳng ( SAB ) Khi tan α A B C Lời giải D Ta có: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC (1) , tam giác ABC vuông cân B ⇒ BC ⊥ BA ( ) ; AC = a ⇒ BA = BC = a SB = a Page 24 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN = α Từ (1) , ( ) ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ SC , ( SAB ) = SC , SB = BSC BC a = Tam giác SBC vuông B ⇒ tan α = = SB a 2 Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông cân A, BC = AA =′ a Tính tang góc đường thẳng BC ′ mặt phẳng ( ABB′A′ ) A C B A′ C′ B′ A B C D Lời giải ∆ABC vng cân A có BC = a ⇒ AB = AC = a a ∆ABA′ vuông A ⇒ A′B = C ′A′ ⊥ A′B′ ⇒ C ′A′ ⊥ ( ABB′A′ ) Ta có C ′A′ ⊥ AA′ ⇒ BA′ hình chiếu BC ′ lên mặt phẳng ( ABB′A′ ) ⇒ ( BC ′; ( ABB′A′ ) ) = ( BC ′; BA′) a A′C ′ ′BC ′ = ∆A′BC ′ vuông A′ ⇒ tan A = = A′B a Câu 38: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SD = a SD vng góc với mặt phẳng đáy S D A C B Góc đường thẳng SA mặt phẳng ( SBD ) là: Page 25 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN A 450 B 900 C 300 Lời giải D 600 S C D O A B Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD hình vng ABCD SD ⊥ ( ABCD ) Vì ⇒ SD ⊥ AO AO ⊂ ( ABCD ) AO ⊥ BD Ta có ⇒ AO ⊥ ( SBD ) nên SO hình chiếu vng góc AS lên mặt phẳng AO ⊥ SD ASO ( SBD ) suy ( SA, ( SBD ) ) = Tam giác AOS vuông O có: AO = AC a = , SA = SD + DA2 =a 2 a OA ⇒ sin ASO = =2 =⇒ ASO =° 30 SA a 2 Câu 39: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , tâm O Gọi M N trung điểm SA BC Biết góc MN ( ABCD ) 600 , cosin góc MN mặt phẳng ( SBD ) bằng: A 41 41 B C Lời giải D 41 41 Page 26 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN ( SF , ( ABCD )=) Ta có AN ∩ CD = F ⇒ MN / / SF ; ( MN , ( ABCD )= ) = 60° SFO Với OC = 1 a ; CF = CD = a ⇒ OF = AC = AB + BC = 2 Khi = SF a2 + a2 a a 10 cos135° = − 2a 2 OF a 10 = = a 10 : cos 60° 2 Ta có OC ⊥ BD, OC ⊥ SO ⇒ OC ⊥ ( SBD ) , lại có OC / / BF ⇒ BF ⊥ ( SBD ) , = , ( SBD ) ) (= SF , ( SBD ) ) ( MN FSB = BF 2= OC a ( OC đường trung bình tam giác BDF ), SB = = Vậy cos BSF SF − BF = 2a SB = SF Câu 40: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = a , tam giác ABC cạnh có độ dài a Gọi α = ( AB, ( SBC ) ) , sin α A B 15 C Lời giải D 15 Page 27 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Gọi M trung điểm BC Kẻ đường cao AK tam giác SAM Tam giác ABC ⇒ AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ AK ⊥ ( SBC ) Suy α = , ( SBC ) ) (= AB, KB ) ( AB= ABK Xét tam giác ABM vng A có 1 1 = + = 2 AK SA AM a ( ) + a 3 = a 15 ⇔ AK = 3a ABK = α sin Vì AK ⊥ ( SBC ) ⇒ AK ⊥ BK Xét tam giác ABK vuông K có sin= AK = AB 15 Câu 41: Cho hình lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại= A, AB a= 3, AC AA' = a Giá trị sin góc đường thẳng AC' mặt phẳng ( BCC'B' ) A 10 B C Lời giải D Hạ AH ⊥ BC , ta có AH ⊥ ( BCC'B' ) Do đó, ( AC' ; ( BCC'B' ) ) = AC'H Page 28 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Trong tam giác ABC , ta có AC'H = Vậy sin 1 a = + = ⇒ AH = 2 3a AH AB AC AH a = = AC' 2a Câu 42: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , O giao điểm AC BD , ABC= 60° ; SO vng góc với ( ABCD ) SO = a Góc đường thẳng SB mặt phẳng ( SAC ) nằm khoảng sau đây? A ( 53° ;61° ) B ( 62° ;66° ) C ( 27° ;33° ) D ( 25° ; 27° ) Lời giải Ta có: BD ⊥ AC BD ⊥ SO nên BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBD ) ⊥ ( SAC ) ( ) ( ) SO ⇒ SB , ( SAC ) = SB , SO = BSO Mà ( SBD ) ∩ ( SAC ) = a OB 1 = = Ta có: tan BSO =2 =⇒ BSO arctan ≈ 26,56° SO a 2 Câu 43: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ; SA = a SA vng góc với mặt đáy ( ABCD ) Gọi M ; N hình chiếu vng góc đỉnh A lên cạnh SB SD Khi góc đường thẳng SB mặt phẳng ( AMN ) A 45o B 60o C 30o Lời giải D 90o Page 29 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Cách 1: Gọi AC ∩ BD= O, SO ∩ MN= I , AI ∩ SC= P AN ⊥ ( SCD ) ⇒ AN ⊥ SC AM ⊥ ( SBC ) ⇒ AM ⊥ SC , đó: SC ⊥ ( AMN ) hay SC ⊥ ( AMPN ) Suy ra:= ( SB, ( AMN ) ) = Ta có: SM SA2 = SB SM , ( AMPN ) ) (= 2a = 2a + a SMP 2a SA2 ;= SP = SC 2a = a 2a + 2a =SP = ⇒ SMP =60o Nên sin SMP SM Câu 44: Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) SA = a , đáy tam giác vuông A với AB = a , AC = 2a Gọi α góc đường thẳng SA mặt phẳng ( SBC ) Giá trị tan α A B C Lời giải D Page 30 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Dựng AK vng góc BC , AH vng góc SK BC ⊥ AK Ta có ⇒ BC ⊥ AH BC ⊥ SA Mà AH ⊥ SK nên AH ⊥ ( SBC ) Do SK hình chiếu vng góc SA mặt phẳng ( SBC ) nên ( SBC )) (= SA, SK ) ASK α ( SA,= = Ta= có AK AB ⋅ AC = BC AB ⋅ AC 2a = AB + AC 2a AK 5= Khi đó, tan= α = AS a Câu 45: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD , SA ⊥ ( ABCD) SA = AB Gọi E , F trung điểm BC , SC Góc E F mặt phẳng (S AD) A 450 B 30o C 600 Lời giải D 900 Ta có: AB ⊥ AD , ( SAD)) = ( BS , ( SAD)) = ( BS , AS) = BS A ⇒ AB ⊥ ( SAD) ⇒ ( EF ⊥ AB SA Xét tam giác SAB vng A có SA = AB suy BS A = 450 Vậy góc E F mặt phẳng (S AD) 450 Câu 46: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh 4a , SO ⊥ ( ABC ) Gọi I trung điểm cạnh CD , H hình chiếu vng góc điểm O SI Biết OH = a Khi số đo góc đường thẳng SO ( SCD ) A 30° B 60° C 45° Lời giải D 90° Page 31 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ CD, OI ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SOI ) CD ⊂ ( ABCD ) OH ⊂ ( SOI ) ⇒ OH ⊥ CD , OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ ( SIO ) ⇒ ( SO, ( SCD ) ) = OSI =° = 45 ⇒ OSI 45° = OI 2a, OH = a ⇒ ∆OHI vuông cân H ⇒ HIO SD = a2 a2 =° + = a ⇒ SD = SC = CD = a ⇒ ∆SCD ⇒ SDC 60 2 SO + OD = Suy ( AB, SD= ) ( CD, SD=) = 60° SDC Câu 47: Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy 2a , SA = 3a Tính sin góc BC mặt phẳng ( SAB ) ? A 46 23 B C Lời giải 46 D 23 Gọi H hình chiếu S xuống đáy = AH 2 3 = = h∆ABC a a 3 Chiều cao SH = 2 a = ( 3a ) − 2 SA − AH = = Diện tích tam giác ABC : S ∆ABC = S ABC Thể tích khối chóp canh = SH.S ∆ABC = 69 a 3a 23 a Page 32 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Diện tích tam giác SAB : S ∆SAB = p ( p − SA )( p − SB )( p − AB ) = 2a = Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB ) là: d C ; ( SAB ) Sin góc BC mặt phẳng= ( SAB ) : sin d C ; ( SAB ) = BC 3VS ABC = S ∆ABC 46 a 46 Câu 48: Cho hình chóp S ABC , đáy ABC tam giác vuông B với AB = , BC = , SC ⊥ ( ABC ) , d ( C ; SA ) = Gọi E hình chiếu B lên SA Tính cơsin góc tạo BE ( SAC ) A 34 34 B 17 17 C Lời giải 34 17 D 34 34 Ta có SC ⊥ ( ABCD ) Kẻ BH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ BH ⊥ ( SAC ) Ta có: BE ⊥ SA Suy góc tạo hai mặt phẳng BE ( SAC ) góc BEH Xét tam giác ABC vng B có BH ⊥ AC ( H ∈ AC ) = Suy BH BA.BC 12 = BA2 + BC Page 33 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN AH AC =AB ⇒ d ( H ; SA ) AH AB HE 36 = 2= ⇒ = ⇒ = ⇒ HE = AC AC 25 d ( C ; SA ) 25 25 25 Xét tam giác BHE vuông H có BH 34 =1 = = ⇒ cos BEH = tan BEH HE 34 + tan BEH Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết rằng= AB a= , SD a Góc đường thẳng AC mặt phẳng ( SCD ) thuộc khoảng đây? B ( 20° ; 40° ) A ( 0° ; 20° ) C ( 40° ;60° ) D ( 60° ;80° ) Lời giải Kẻ AH ⊥ SD H Ta có AH ⊥ CD Suy AH ⊥ ( SCD ) Khi HC hình chiếu vng góc AC lên mặt phẳng ( SCD ) , ( SCD ) ) ( = AC , HC ) ACH Suy ( AC= Tam giác SAD vuông A AH đường cao nên SA = SD − AD = 2a 1 = + = 2 AH AS AD ( 2a ) + 5 a = ⇒ AH = 2 4a a Tam giác AHC vuông H nên Page 34 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN AH sin C= = AC a = 2a 10 = 39, 23° ⇒C Câu 50: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh a, AA ' = a Góc A′B mặt phẳng ( BCC ′B′) A 600 B 300 C 900 Lời giải D 450 Gọi I trung điểm B ' C ' A ' I ⊥ B 'C ' Ta có: ⇒ A ' I ⊥ ( BCC ' B ') A ' I ⊥ BB ' Suy ra: IB hình chiếu vng góc A ' B mặt phẳng ( BCC ' B ') = ' B ') ) Khi đó: ( A ' B; ( BCC A ' B; IB ) (= Xét tam giác vng A ' BI có: sin A= ' BI A ' BI A' I a = = A ' B 2.a Suy ra: A ' BI = 300 Câu 51: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi H , K hình chiều vng góc A SB, SD tan góc tạo đường thẳng SD mặt phẳng ( AHK ) A B C D Lời giải Page 35 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Gọi G = SO ∩ HK , I = AG ∩ SC BC ⊥ SA Ta có: ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH BC ⊥ AB Từ đó: AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC AH ⊥ SB Hoàn toàn tương tự: AK ⊥ ( SCD ) ⇒ AK ⊥ SC Từ,: SC ⊥ AH ⇒ SC ⊥ ( AHK ) SC ⊥ AK ⇒ SI ⊥ ( AHK ) ⇒ I hình chiếu vng góc S ( AHK ) ⇒ IK hình chiếu vng góc SD ( AHK ) SKI ⇒ ( SD, ( AHK ) ) = ( SK , IK ) = ( SK , ( AHK ) ) = SA a= ; AC a 2; AI ⊥ SC Xét ∆ vng SAC có:= 1 1 = 2+ =2+ = 2 AI SA AC a 2a 2a a ⇒ AI = a 6 a SI = SA − AI = a − = 2 Xét ∆SAD : SD = SA2 + AD = a Page 36 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Do SAD vng cân A ⇒ KS = KD = a 2 Xét ∆SIK vng I có: IK= 2 SK − SI = a 2 a 3 a − = a SI = == ⇒ tan SKI IK a 6 Câu 52: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ; SA = a SA vng góc với mặt đáy ( ABCD ) Gọi M , N hình chiếu vng góc đỉnh A lên cạnh SB SD Khi giá trị tan góc đường thẳng SB mặt phẳng ( AMN ) bằng: A B C D Lời giải Gọi P = SC ( AMN ) ; O = AC BD ⇒ MN ; AP ; SO đồng quy I SA ⊥ BC Ta có: ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AM AB ⊥ BC Mà AM ⊥ SB nên AM ⊥ ( SBC ) ⇒ AM ⊥ SC SA ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AN AD ⊥ CD Mà AN ⊥ SD nên AN ⊥ ( SCD ) ⇒ AN ⊥ SC Do SC ⊥ ( AMN ) ⇒ AP ⊥ SC PM hình chiếu SM mặt phẳng ( AMN ) hay PM hình chiếu SB mặt phẳng ( AMN ) = SB ; PM ) SMP ⇒ ( SB ;= ( AMN ) ) ( Page 37 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Ta có: SP SA2 3 = = ⇒ SP = a SC SC 5 SM SA2 3 = = ⇒ SM = a SB SB = tan SMB SP 3a = a : = PM 5 Page 38 Sưu tầm biên soạn