Đang tải... (xem toàn văn)
MỤC LỤC PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU ............................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài..................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .............................................................................................. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................. 2 4. Giả thuyết khoa học ............................................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................................... 2 6. Cấu trúc của khóa luận .......................................................................................... 2 7. Kế hoạch nghiên cứu .............................................................................................. 3 PHẦN HAI: NỘI DUNG ........................................................................................... 4 Chương I: CƠ SỞ TOÁN HỌC ................................................................................ 4 1.1. Phương trình vi phân tuyến tính ....................................................................... 4 1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất .................................... 4 1.1.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai ....................................................... 4 1.1.2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi ...................................................................................................................................... 4 1.1.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất có hệ số không đổi ..................................................................................................................... 5 1.2. Chuỗi Fourier ....................................................................................................... 6 1.2.1. Khái niệm chuỗi Fourier.................................................................................. 6 1.2.2. Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier .................................................. 7 1.2.3. Hàm chẵn và hàm lẻ ......................................................................................... 9 1.2.4. Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier ......................................................... 10 1.2.4.1. Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác ................................................... 10 1.2.4.2. Biểu diễn Fourier dưới dạng mũ ............................................................... 13 1.3. Phương trình sóng một chiều ........................................................................... 13 1.3.1. Đại cương về phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình toán lý ................................................................................................................................ 13 1.3.2. Phân loại phương trình toán lý ..................................................................... 15 1.3.2.1. Phương trình Hyperbolic ........................................................................... 15 1.3.2.2. Phương trình Parabolic .............................................................................. 16 1.3.2.3. Phương trình Eliptic ................................................................................... 17 BẢNG PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY ..................................................................................................... 19 Chương II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA SỢI DÂY ..................................................................... 20 2.1. Thiết lập phương trình dao động của sợi dây ................................................ 20 2.1.1. Lập phương trình ........................................................................................... 20 2.1.2. Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên ..................................................... 23 2.2. Một số phương pháp giải bài tập phương trình Vật lý- Toán ...................... 24 2.2.1. Phương pháp D’Alambert ............................................................................. 24 2.2.1.1. Khái quát chung về phương pháp D’Alambert ....................................... 24 2.2.1.2. Dao động của sợi dây vô hạn (bài toán Cauchy) ...................................... 26 2.2.2. Phương pháp tách biến Fourier ................................................................... 29 2.2.2.1. Khái quát chung về phương pháp tách biến Fourier .............................. 29 2.2.2.2. Dao động của sợi dây hữu hạn có hai nút gắn chặt ................................. 31 2.2.3. Phương pháp đặt hàm phụ ............................................................................ 37 2.2.3.1. Khái quát chung về phương pháp đặt hàm phụ ...................................... 37 2.2.3.2. Dao động tự do của sợi dây có hai đầu dao động theo quy luật ............. 38 Chương III: MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU .................................................................. 42 3.1. Phương pháp D’Alembert ................................................................................ 42 3.2. Phương pháp tách biến Fourier ....................................................................... 45 3.3. Phương pháp đặt hàm phụ ............................................................................... 60 PHẦN BA: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ.................................................................. 69 1. Các kết quả đạt được ........................................................................................... 69 1.1. Trình bày chi tiết cơ sở khoa học ..................................................................... 69 1.2. Lập bảng phân loại các dạng bài tập về phương trình dao động của sợi dây………………………………………………………………………………….69 1.3. Phân tích 3 phương pháp kèm ví dụ minh họa .............................................. 69 1.4. Áp dụng kết quả thu được vào việc giải bài tập............................................. 69 2. Các vấn đề còn tồn tại và cần tìm hiểu tiếp theo............................................... 69 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................ 71 1 PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giữa vật lý và toán học luôn luôn có mối quan hệ hết sức mật thiết. Vật lý học sử dụng công cụ toán học và luôn luôn đặt ra những yêu cầu mới, làm nảy sinh nhiều ngành toán học mới. Ngược lại sự phát triển của vật lý học phụ thuộc đáng kể vào sự phát triển của toán học vì toán đã trở thành một công cụ hết sức mạnh mẽ của việc nghiên cứu vật lý lý thuyết. Trong bộ môn phương trình Vật lý- Toán có sự giao thoa giữa toán và vật lý, do đó nó đã và đang được giảng dạy trong các trường Đại học Khoa học Tự nhiên, khoa Vật lý của các trường Sư phạm, nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức toán cần thiết và các kỹ năng sử dụng toán như một công cụ để học cũng như để nghiên cứu vật lý. Thực tế, khi nghiên cứu và tiếp thu các kiến thức của các học phần thuộc lĩnh vực vật lý lý thuyết của sinh viên nói chung gặp rất nhiều khó khăn. Với kiến thức về toán cao cấp và kiến thức phổ thông đã không đủ đáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứu các môn học như: Cơ học lượng tử, Điện động lực học, Nhiệt động lực học, Vật lý thống kê… Vì vậy yêu cầu đặt ra cho mỗi sinh viên là phải nắm vững kiến thức đại số và giải tích toán học cùng kiến thức cần thiết của phương trình Vật lý- Toán mới có thể nghiên cứu sâu hơn các môn học này. Việc giải một bài tập đòi hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý và toán học, điều này thể hiện rất rõ ở phần bài toán dao động tự do của sợi dây. Là sinh viên Sư phạm Vật lý tôi nhận thấy bộ môn phương trình Vật lý - Toán là môn học tương đối khó, trong đó có các bài toán về dao động tự do của sợi dây. Trong khi đó, ở thời điểm hiện tại, các tài liệu tham khảo về các dạng bài tập này còn hạn chế, các phương pháp còn mang nặng tính khái quát, thiếu cụ thể. 2 Với lí do như trên, tôi đã chọn đề tài có tên “ Phương pháp giải bài tập phương trình vật lý toán phần dao động tự do của sợi dây” để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu - Xây dựng phương pháp giải các bài tập phần dao động tự do của sợi dây. - Cung cấp thêm tài liệu về phần dao động tự do của sợi dây cho sinh viên trong quá trình học tập học phần phương trình Vật lý- Toán. - Giúp mở rộng kiến thức của bản thân. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu và đưa ra cơ sở lý thuyết của các phương pháp để giải bài toán dao động tự do của sợi dây. - Đưa ra hệ thống bài tập giải mẫu, bài tập tự giải có hướng dẫn và đáp số về phần dao động tự do của sợi dây. 4. Giả thuyết khoa học Nếu áp dụng phương pháp giải phù hợp để giải, các bài tập trở nên đơn giản, dễ nhớ. Từ đó giúp việc học tập trở nên nhẹ nhàng và đạt hiệu quả cao hơn. 5. Phương pháp nghiên cứu - Sưu tầm tài liệu. - Nghiên cứu kỹ lý thuyết và từ đó đưa ra phương pháp giải ứng với từng bài tập cụ thể về phần dao động tự do của sợi dây. 6. Cấu trúc của khóa luận - Phần một: Mở đầu. - Phần hai: Nộidung. Chương I: Cơ sở toán học. Chương II: Một số phương pháp giải phương trình dao động tự do của sợi dây
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC KIỀU THỊ NGỌC ÁNH PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TỐN PHẦN DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA SỢI DÂY KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC KIỀU THỊ NGỌC ÁNH PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TỐN PHẦN DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA SỢI DÂY CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn: TS Khổng Cát Cương SƠN LA - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Khổng Cát Cương - Giảng viên môn Vật lý trường Đại học Tây Bắc - người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình thực khóa luận Em xin chân thành gửi lời cảm ơn tới Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Lý – Tin Các thầy giáo, cô giáo khoa Tốn – Lý – Tin, phịng KHCN HTQT, phịng Đào tạo Đại học, Thư viện trường Đại học Tây Bắc tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn tập thể lớp K50 ĐHSP Vật lý có ý kiến đóng góp động viên khích lệ tơi để hồn thành khóa luận Sự bảo, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ nhiều mặt thầy, cô bạn học quý báu niềm động viên to lớn giúp em hồn thành khóa luận Sơn La, tháng năm 2013 Sinh viên thực Kiều Thị Ngọc Ánh MỤC LỤC PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU .1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu .2 Giả thuyết khoa học .2 Phương pháp nghiên cứu .2 Cấu trúc khóa luận Kế hoạch nghiên cứu PHẦN HAI: NỘI DUNG Chương I: CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Phương trình vi phân tuyến tính .4 1.1.1 Phương trình vi phân tuyến tính khơng 1.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai .4 1.1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số khơng đổi .4 1.1.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng có hệ số không đổi .5 1.2 Chuỗi Fourier .6 1.2.1 Khái niệm chuỗi Fourier 1.2.2 Các tính chất chuỗi lượng giác Fourier 1.2.3 Hàm chẵn hàm lẻ 1.2.4 Các dạng biểu diễn chuỗi Fourier 10 1.2.4.1 Biểu diễn Fourier dạng lượng giác 10 1.2.4.2 Biểu diễn Fourier dạng mũ .13 1.3 Phương trình sóng chiều 13 1.3.1 Đại cương phương trình vi phân đạo hàm riêng phương trình toán lý 13 1.3.2 Phân loại phương trình tốn lý .15 1.3.2.1 Phương trình Hyperbolic 15 1.3.2.2 Phương trình Parabolic 16 1.3.2.3 Phương trình Eliptic 17 BẢNG PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY .19 Chương II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA SỢI DÂY .20 2.1 Thiết lập phương trình dao động sợi dây 20 2.1.1 Lập phương trình 20 2.1.2 Các điều kiện ban đầu điều kiện biên .23 2.2 Một số phương pháp giải tập phương trình Vật lý- Tốn 24 2.2.1 Phương pháp D’Alambert .24 2.2.1.1 Khái quát chung phương pháp D’Alambert .24 2.2.1.2 Dao động sợi dây vơ hạn (bài tốn Cauchy) 26 2.2.2 Phương pháp tách biến Fourier 29 2.2.2.1 Khái quát chung phương pháp tách biến Fourier 29 2.2.2.2 Dao động sợi dây hữu hạn có hai nút gắn chặt 31 2.2.3 Phương pháp đặt hàm phụ 37 2.2.3.1 Khái quát chung phương pháp đặt hàm phụ 37 2.2.3.2 Dao động tự sợi dây có hai đầu dao động theo quy luật .38 Chương III: MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU 42 3.1 Phương pháp D’Alembert 42 3.2 Phương pháp tách biến Fourier .45 3.3 Phương pháp đặt hàm phụ .60 PHẦN BA: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 69 Các kết đạt 69 1.1 Trình bày chi tiết sở khoa học 69 1.2 Lập bảng phân loại dạng tập phương trình dao động sợi dây………………………………………………………………………………….69 1.3 Phân tích phương pháp kèm ví dụ minh họa 69 1.4 Áp dụng kết thu vào việc giải tập 69 Các vấn đề tồn cần tìm hiểu .69 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giữa vật lý tốn học ln ln có mối quan hệ mật thiết Vật lý học sử dụng công cụ tốn học ln ln đặt u cầu mới, làm nảy sinh nhiều ngành toán học Ngược lại phát triển vật lý học phụ thuộc đáng kể vào phát triển tốn học tốn trở thành cơng cụ mạnh mẽ việc nghiên cứu vật lý lý thuyết Trong mơn phương trình Vật lý- Tốn có giao thoa tốn vật lý, giảng dạy trường Đại học Khoa học Tự nhiên, khoa Vật lý trường Sư phạm, nhằm trang bị cho sinh viên kiến thức toán cần thiết kỹ sử dụng tốn cơng cụ để học để nghiên cứu vật lý Thực tế, nghiên cứu tiếp thu kiến thức học phần thuộc lĩnh vực vật lý lý thuyết sinh viên nói chung gặp nhiều khó khăn Với kiến thức tốn cao cấp kiến thức phổ thơng khơng đủ đáp ứng nhu cầu học tập nghiên cứu môn học như: Cơ học lượng tử, Điện động lực học, Nhiệt động lực học, Vật lý thống kê… Vì yêu cầu đặt cho sinh viên phải nắm vững kiến thức đại số giải tích tốn học kiến thức cần thiết phương trình Vật lý- Tốn nghiên cứu sâu môn học Việc giải tập đòi hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý toán học, điều thể rõ phần toán dao động tự sợi dây Là sinh viên Sư phạm Vật lý nhận thấy mơn phương trình Vật lý - Tốn mơn học tương đối khó, có toán dao động tự sợi dây Trong đó, thời điểm tại, tài liệu tham khảo dạng tập hạn chế, phương pháp cịn mang nặng tính khái quát, thiếu cụ thể Với lí trên, tơi chọn đề tài có tên “ Phương pháp giải tập phương trình vật lý tốn phần dao động tự sợi dây” để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu - Xây dựng phương pháp giải tập phần dao động tự sợi dây - Cung cấp thêm tài liệu phần dao động tự sợi dây cho sinh viên trình học tập học phần phương trình Vật lý- Toán - Giúp mở rộng kiến thức thân Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu đưa sở lý thuyết phương pháp để giải toán dao động tự sợi dây - Đưa hệ thống tập giải mẫu, tập tự giải có hướng dẫn đáp số phần dao động tự sợi dây Giả thuyết khoa học Nếu áp dụng phương pháp giải phù hợp để giải, tập trở nên đơn giản, dễ nhớ Từ giúp việc học tập trở nên nhẹ nhàng đạt hiệu cao Phương pháp nghiên cứu - Sưu tầm tài liệu - Nghiên cứu kỹ lý thuyết từ đưa phương pháp giải ứng với tập cụ thể phần dao động tự sợi dây Cấu trúc khóa luận - Phần một: Mở đầu - Phần hai: Nộidung Chương I: Cơ sở toán học Chương II: Một số phương pháp giải phương trình dao động tự sợi dây Chương III: Một số tập mẫu - Phần ba: Kết luận đề nghị Kế hoạch nghiên cứu - Từ tháng 9/2012 đến tháng 10/2012: Sưu tầm tài liệu, hoàn thành đề cương chi tiết - Từ tháng 11/2012 đến tháng 1/2013: Nghiên cứu lý thuyết, phân loại tập, xây dựng phương án giải tập phần dao động tự sợi dây - Từ tháng 2/2013 đến tháng 3/2013: Viết khóa luận, xin ý kiến tham khảo - Từ tháng 3/2013 đến hết tháng 4/2013: Chỉnh sửa hồn thiện khóa luận - Tháng 5/2013: Bảo vệ khóa luận PHẦN HAI: NỘI DUNG Chương I: CƠ SỞ TỐN HỌC 1.1 Phương trình vi phân tuyến tính 1.1.1 Phương trình vi phân tuyến tính khơng Phương trình dạng: y+ p(x)y = C(x) (1.1) Sử dụng phương pháp biến thiên số Bước 1: Giải phương trình nhất: y+ p(x)y = Nếu y phương trình (1.2) trở thành (1.2) - p x dx dy = -p x dx nên y = C1e y Đây nghiệm tổng qt phương trình (1.2), ( y = nghiệm riêng ứng với C1 = ) Bước 2: Biến thiên hệ số, đặt C1 = C x thay y = C1 x e vào (1.1) ta có C1 = C(x)e dx + K - p x dx - p x dx Bước 3: Nghiệm phương trình là: y = Ke - p x dx +e - p x dx C x e p x dx dx 1.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 1.1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số khơng đổi Phương trình dạng: y + py + qy = (1.3) Bước 1: Giải phương trình đặc trưng k + pk + q=0 Trong tập số phức C phương trình có nghiệm k1 , k (1.4) Sử dụng điều kiện biên: u x = = u =0 x x=l X x=0 = X =0 x x=l C1 = λ -C1sinλl + C2cosλl = C = C 2cosλl = Để hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường C2 cosλl = λ = 2k+1 π 2l k Z (3.38) Thay C1 = (3.38) vào (3.37) ứng với giá trị k ta xác định tương ứng biểu thức Xk(x): Xk x = Dksin 2k+1 πx 2L (3.39) đó: Dk số tùy ý lấy dấu tùy ý, k số nguyên khác không, Xk(x) gọi hàm riêng tương ứng phương trình (2.31) Các hàm Xk(x) lập thành họ hàm trực giao khoảng 0, L , nghĩa là: L X x X x dx = k j k j Thay (3.38) vào (3.32) ứng với giá trị k ta xác định phương trình vi phân Tk(t) dạng: a 2k+1 π Tk t + Tk t = 4L2 Tk t = E k cos a 2k+1 πt a 2k+1 πt + Fksin 2L 2L (3.40) Ek, Fk hệ số tích phân nhìn chung phụ thuộc vào k Thay (3.39) (3.40) vào (3.30) ứng với cặp Xk x ;Tk t ta xác định tương ứng nghiệm riêng uk(x,t) dạng: 57 a 2k+1 πt a 2k+1 πt 2k+1 πx u k x,t = X k Tk A k cos + Bk sin sin 2L 2L 2L với Ak Bk số bất định tùy ý Nhờ tính chất tuyến tính đồng phương trình, hàm: a 2k+1 πt a 2k+1 πt 2k+1 πx u x,t = u k x,t = a k cos +b k sin sin 2L 2L 2L k=1 k = 1 (3.41) Cũng nghiệm phương trình này, chuỗi (3.41) hội tụ vi phân theo x theo t biểu thức tổng hai lần Ngoài hàm (3.41) hiển nhiên thỏa mãn điều kiện biên u k với giá trị A0, B0, ak bk Sử dụng điều kiện ban đầu: u t = = f x u = g x x t=0 2k+1 πx = f x a k sin 2L k = a 2k+1 π b sin 2k+1 πx = g x 1 2L k k = 2L Trong ta đặt ak ka bk hệ số khai triển Fourier hàm f(x) L F(x) khai triển chúng theo sin quãng 0, L Chú ý: điều kiện khai triển + f(x) hàm tuần hoàn chu kỳ 2L + f(x) hàm lẻ + f 0 f ' L L 2k+1 πxsin 2m+1 πx dx = sin 2L 2L 0 L 2 k m k = m 58 L 2k+1 πx dx a k = f x sin L0 2L L 2k+1 πx b = k g x sin 2L dx a 2k+1 π (3.42) Vậy nghiệm phương trình tường minh dạng: L 2k+1 πx dx cos a 2k+1 πt + u x,t = f x sin 2L 2L k = L L 2k+1 πx a 2k+1 πt 2k+1 πx + g x sin 2L dx sin 2L sin 2L a 2k+1 π Vận dụng phương pháp tách biến giải toán sau Bài toán 1: Tìm nghiệm u(x,t) phương trình 0xL 2u u -a = miền D: t x 0 t + u t=0 = f x với điều kiện ban đầu: u = g x t t=0 điều kiện biên: u x = = u x = L = Trong a số khác 0; hàm f(x) g(x) giải tích D Đáp số: L L kπx kπat kπx kπat kπx u x,t = g x sin dx sin + f x sin dx cos sin L L L L L L k = kπa Bài toán 2: Tìm nghiệm u(x,t) phương trình 0xL 2 u 2 u -a = miền D: 2 t x 0 t + 59 u t=0 = f x với điều kiện ban đầu: u = g x t t=0 điều kiện biên: u =0 x x=0 u x=L = Trong a số khác 0; hàm f(x) g(x) giải tích D L 2k+1 πx a 2k+1 πt g x cos 2L dx sin 2L a 2k+1 π Đáp số: u(x,t) = 2 L 2k+1 x dx cos a 2k+1 t cos 2k+1 x + f x cos 2L 2L 2L L 3.3 Phương pháp đặt hàm phụ Ví dụ 1: Tìm nghiệm u(x,t) phương trình 0 x L 2 u 2 u -a = miền D : 2 t x 0 t + u t = = f x với điều kiện ban đầu: u = g x t t=0 điều kiện biên: u x = = A u x = L = B Trong a, A, B số khác 0, hàm f(x); g(x) giải tích D Bài giải Ta tìm nghiệm u(x,t) phương trình dạng: u x,t = v x,t + w1 x + w x Thay (3.43) vào phương trình 2u 2u - a 2 = ta được: t x 60 (3.43) v v d w1 d w -a -a -a =0 t2 x2 dx dx Ta tìm hàm v(x,t); w1(x); w2(x) sau: Hàm v(x,t) nghiệm phương trình: 2v 2v - a2 = t x v t = = f x - w1 x - w x với điều kiện ban đầu: v = gx t t=0 điều kiện biên: v x = = v x = L = (3.44) (3.45) (3.46) d w1 Hàm w1(x) nghiệm phương trình: -a =0 dx 2 w1 x = = A w1 x = L = thỏa mãn điềukiện biên: (3.47) (3.48) d2 w Hàm w2(x) nghiệm phương trình: -a =0 dx 2 w2 x = = w x = L = B thỏa mãn điều kiện biên: (3.49) (3.50) Dạng nghiệm w1(x) phương trình (3.47) là: w1 x a1x + a a1 ; a2 số tích phân Sử dụng điều kiện biên: w1 x=0 = A a = A w1 x=L = a1 L + a = 61 (3.51) a = A A a1 = - L (3.52) Thay (3.52) vào (3.51) w1(x) tường minh: w1 x = - Ax x + A w1 x = A 1 - L L (3.53) Dạng nghiệm w2(x) phương trình (3.49) là: w x = b1x + b2 (3.54) b1 ; b2 số tích phân Sử dụng điều kiện biên: w x = = b = w x = L = B b1L + b2 = B b = B b1 = L (3.55) Thay (3.55) vào (3.54) w2(x) tường minh: w x = Bx L (3.56) Thay (3.53) và(3.56) vào (3.45) điều kiện ban đầu hàm v(x,t) hoàn toàn xác định: x Bx v t =0 = f x - A 1 - L - L v = gx t t = x v t = = f x - A - L B - A v = gx t t = (3.57) 62 Nghiệm v(x,t) phương trình (3.44) tìm dạng: v x,t = X x T t (3.58) Thay (3.58) vào (3.44) ta được: XT - a XT = X T = X a2 T (3.59) Từ đẳng thức (3.59) ta nhận thấy rằng: vế trái đẳng thức phụ thuộc vào biến x, vế phải đẳng thức phụ thuộc vào biến t nên đẳng thức xảy thì: X T = = const = C X a2 T X - CX = T - a CT = (3.60) (3.61) Trường hợp 1: Đặt C = λ > Thay vào (3.60) ta được: X - λ 2X = Phương trình (3.60) có nghiệm dạng: X x = A1eλx + A2e-λx (3.62) A1, A2 số tùy ý Sử dụng điều kiện biên: v x = = v x = L = A1 +A =0 λl -λl A1e +A 2e =0 X x =0 x=0 X x x=L = A = A = (3.63) Thay (3.63) vào (3.62) X x = u x, t = Bài toán cho nghiệm tầm thường 63 Trường hợp 2: Đặt C = Thay vào (3.60) ta X= Phương trình (3.60) có nghiệm dạng: X x = B1x + B2 (3.64) B1, B2 số tùy ý Từ điều kiện biên: v x = = v x = L = B = B1L+B2 = X x =0 x=0 X x x = L = B = B2 = (3.65) Thay (3.65) vào (3.64) X x = u x,t = Bài toán cho nghiệm tầm thường Trường hợp 3: Đặt C = -λ < Thay vào (3.60) ta được: X+λ X=0 Phương trình (3.60) có dạng: X x = C1cosλx + C2sinλx C1, C2 số tích phân Sử dụng điều kiện biên: v x = = v x = L = X x =0 x=0 X x x = L = C = C = C1cosλL + C2sinλL = C2sinλL = Để hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường C2 sinλL = λL = kπ k Z 64 (3.66) λ= kπ L (3.67) Thay C1 = (3.67) vào (3.66) ứng với giá trị k ta có hàm X k(x) tương ứng dạng: Xk x = Ck sin kπx L (3.68) Thay (3.67) vào phương trình (3.61) ứng với giá trị k ta có phương trình tương ứng Tk(t) dạng: Tk t + a 2k π2 Tk t = L2 Tk t = Dk cos kπat kπat + E k sin L L (3.69) Dk, Ek số tùy ý Thay (3.68) (3.69) vào (3.58) ứng với cặp Xk x ;Tk t ta xác định tương ứng nghiệm riêng vk(x,t) dạng: kπat kπat kπx vk x,t = X k x Tk t = a kcos + b ksin sin L L L (3.70) với a k = Dk Ck , bk = E k Ck Nghiệm v(x,t) thu chồng chập nghiệm riêng: kπat kπat kπx v x,t = v k x,t = a kcos + b ksin sin L L L k=1 k=1 Sử dụng điều kiện ban đầu (3.44): x v t=0 = f x - A- L B- A v = g x t t=0 65 (3.71) kπx x a k sin L = f x - A - L B - A = k kπa b sin kπx = g x k = L k L a k = b = k x kπx f x - A - L B - A sin L dx L0 L L kπx g x sin L dx kπa L kπx 2Bcoskπ 2A dx + a k = f x sin L0 L kπ kπ L b = g x sin kπx dx k kπa L L 2B - A kπx 2A dx + coskπ coskπ - 1 + a k = f x sin L0 L kπ kπ L b = g x sin kπx dx k kπa L (3.72) Thay (3.72) vào (3.71) v(x,t) hồn tồn tường minh: L kπx kπat v x, t = f x sin dx+ + Bcosk π - A cos L kπ L k=1 L L kπx kπat kπx + g x sin dx sin sin L L L kπa (3.73) Thay (3.53), (3.56) (3.72) vào (3.43) nghiệm u(x,t) hồn tồn tường minh: u x,t = B-A x L L kπat kπx 1 L f x sin L dx + kπ Bcoskπ - A cos L + k = +A+ L kπx kπat kπx g x sin dx cos sin L L L kπa 66 Vận dụng phương pháp đặt hàm phụ giải toán sau Bài toán 1: Tìm nghiệm u(x,t) phương trình 0xL 2 u 2 u -a = miền D : 2 t x 0 t + u t = = f x với điều kiện ban đầu: u = gx t t=0 điều kiện biên: u x =A x=0 u =B x=L Đáp số: u x,t = B - A x + A + L L kπat kπx 1 L f x sin L dx + kπ Bcoskπ - A cos L k = L kπx kπat kπx + g x sin L dx cos L sin L kπa Bài tốn 2: Tìm nghiệm u(x,t) phương trình 0 x L 2u 2u - a 2 = miền D : t x 0 t + u t=0 = f x với điều kiện ban đầu: u = gx t t=0 điều kiện biên: u = Acosαt x x=0 u = Bsinβt x x = l 67 βx acos αL αx aA αx a Bsinβt Đáp số: u x,t = sin + cotg cos cosαt βL a a a α βsin a L 1 L + G x dx t + F x dx + L0 L l 2 L kπx kπat kπx kπat kπx + G x cos dx sin + F x cos dx cos cos L L L L L k = kπa L 68 PHẦN BA: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ Các kết đạt Nhằm đạt mục đích đề “nghiên cứu nội dung số phương pháp thường giải phương trình vật lý toán phần dao động tự sợi dây” Chúng tơi làm việc sau 1.1 Trình bày chi tiết sở khoa học Đó kiến thức thường gặp Vật lý như: phương trình vi phân tuyến tính cấp một, phương trình tuyến tính cấp hai nhất, khơng nhất; chuỗi Fourier, khai triển Fourier dạng lượng giác dạng phức 1.2 Lập bảng phân loại dạng tập phương trình dao động sợi dây Với dạng phương trình chúng tơi giới thiệu khái qt đặc điểm phân tích, đánh giá từ đưa dẫn phương pháp giải 1.3 Phân tích phương pháp kèm ví dụ minh họa - Phương pháp D’Alembert - Phương pháp tách biến Fourier - Phương pháp đặt hàm phụ Trên mặt sau: đưa trình tự bước cụ thể, phạm vi áp dụng, thuận lợi khó khăn áp dụng chúng Những phân tích, dẫn minh họa ví dụ cụ thể 1.4 Áp dụng kết thu vào việc giải tập Giải số tốn cụ thể có ứng dụng phương pháp phân tích dạng tốn Các vấn đề cịn tồn cần tìm hiểu Do thời gian tìm hiểu, lực thân tài liệu tham khảo cịn có hạn Vì 69 khóa luận chúng tơi xem xét vận dụng ba phương pháp giải tập cho toán dao động tự sợi dây Chúng tơi biết tập phương trình Vật lý- Toán phần dao động tự sợi dây đa dạng Trong thời gian tới tiếp tục tìm hiểu sâu phương pháp giải tốn loại Khóa luận hồn thành nhờ giúp đỡ tận tình thầy giáo, cô giáo tất bạn, riêng thân em cố gắng Tuy nhiên, thời gian nghiên cứu cịn chưa nhiều, kiến thức hạn chế, chưa phong phú, đa dạng nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu xót Em mong nhận bảo thầy ý kiến đóng góp tất bạn để khóa luận đầy đủ hồn thiện 70 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Chính Cương (2011), Bài tập phương pháp tốn lý, NXB ĐHSP, Hà Nội Đặng Đức Dũng- Lê Đức Thông (2007), Phương pháp toán dùng cho vật lý tập1, NXBĐHQG TPHCM, TP.Hồ Chí Minh Nguyễn Thị Hạnh (2011), Phương pháp giải tập phương trình tốn lý, Khóa luận tốt nghiệp Đại Học, trường ĐHSP Thái Nguyên, Thái Nguyên Đồng Thị Kiên (2011), Sử dụng chuỗi tích phân Fourier giải toán dao động sợi dây hữu hạn, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường, trường Đại Học Tây Bắc, Sơn La Nguyễn Công Tâm (2002), Phương trình Vật lý – Tốn nâng cao, NXBĐHQG TPHCM, TP.HCM Đỗ Đình Thanh- Vũ Văn Hùng (2007), Phương pháp toán lý, NXBGD, Hà Nội Phan Huy Thiện (2010), Phương trình tốn lý, NXBGD, Hà Nội Phan Huy Thiện (2010), Tuyển tập tập phương trình tốn lý, NXBGD, Hà Nội Nguyễn Đình Trí - Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh (2008), Toán học cao cấp tập 3, NXBGD, Hà Nội 71 ... cứu phần dao động tự sợi dây 19 Chương II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA SỢI DÂY 2.1 Thiết lập phương trình dao động sợi dây 2.1.1 Lập phương trình Xét dây căng,... sở lý thuyết phương pháp để giải toán dao động tự sợi dây - Đưa hệ thống tập giải mẫu, tập tự giải có hướng dẫn đáp số phần dao động tự sợi dây Giả thuyết khoa học Nếu áp dụng phương pháp giải. .. TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC KIỀU THỊ NGỌC ÁNH PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TỐN PHẦN DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA SỢI DÂY CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn: TS Khổng