C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN III = = =I NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN III BÀI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRÍCH TỪ ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC CỦA BỘ GIÁO DỤC TỪ NĂM 2017 ĐẾN NAY Câu 1: Câu 40 (101-2023) Cho hàm số bậc hai y  f  x có đồ thị  P P đường thẳng d cắt   hai điểm hình vẽ bên Biết hình phẳng giới hạn 125 S Tích phân 830 A  P d có diện tích  x  5 f  x dx 178 B 340 C 925 D 18 Lời giải Ta có S hthang   3 55   2 55 125 245   18 f  x  dx  Page 352 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN  u 2 x   du 2dx  dv  f  x  dx  v  f  x  Đặt  6  x  5 f  x dx  x  5 f  x   2f  x dx 7 f    f  1  1 7.8  3.3  Câu 2: 245 18 245 340  18 Câu 39 (102-2023) Cho hàm số bậc hai hai điểm hình bên y  f  x có đồ thị  P  P  đường thẳng d cắt 32 S P  Tích phân Biết hình phẳng giới hạn d có diện tích bằng: 104 A 76 B 22 C  x  5 f '  x dx 188 D Lời giải Đặt u 2 x    dv  f  x  dx du 2dx  v  f  x  Ta có: 5  x  5 f  x  dx   x   f  x    2f  x  dx 1     32  76 5 f    f  1     3  Page 353 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 3: Câu 40 (103-2023) Cho hàm số bậc hai y  f  x có đồ thị  P hai điểm hình vẽ bên Biết hình phẳng giới hạn  P  đường thẳng d cắt  P d có diện tích S Tích phân  x  3 f  x  dx B 51 A 33 D 27 C 39 Lời giải  P  : f  x  ax  bx  c Giả sử d : y mx  n , Tư đồ thị ta có: 3m  n 2   A  3;  , B  6;5  m  n   d Đường thẳng qua nên có  m 1  n   d : y x  9a  3b  c 2  P  qua A  3;  , B  6;5  nên có 36a  6b  c 5 Đồ thị 6  x2  ax bx 9   cx   S  x   ax  bx  c  dx     x  2  3 Và  63a  27 b  3c 6 Page 354 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN  9a  3b  c 2  36a  6b  c 5   27 63a  b  3c 6 Do ta có hệ phương trình   f  x   x  x  17  f  x  2 x  Suy 6  x  22 x  24  dx  x  3 f  x  dx  x  3  x  8 dx a 1  b   c 17 3  x3    11x  24 x  27  3 Câu 4: Câu 40 (104-2023) Cho hàm số bậc hai y  f  x có đồ thị điểm hình bên Biết hình phẳng giới hạn  P  P đường thẳng d cắt hai 125 S d có diện tích Tích phân  x  3 f  x dx 215 A 265 B 245 C 415 D Lời giải Cách 1: Đặt Ta có: u 2 x    dv  f  x  dx du 2dx  v  f  x  7  x  3 f  x  dx   x  3 f  x    2f  x  dx 2    10  125  215 11 f    f         Page 355 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN B 7;10  P  thuộc đường thẳng d Parabol   Cách 2:  AB  5;5  Suy đường thẳng d có vectơ phương d : y x  Phương trình đường thẳng Dựa vào đồ thị ta có điểm  P Gọi A  2;5  có phương trình: y ax  bx  c, ( a  0) 4a  2b  c 5   A, B   P   49 a  b  c  10  Hệ phương trình: c  4a  2b  c 3  14a   b 1  9a b 1  9a P Hình phẳng giới hạn    x    ax 2 c  4a  2b   49a  7b   4a  2b 10 125 S d có diện tích 125  bx  c  dx   125 x    ax    9a  x    14a   dx  2 7  ax3 9ax  125 125      ax  9ax  14a  dx      14ax   6  2 125 125  a  a 1  b  8; c 17 6  P  có phương trình: y  f  x   x  x  17  f  x  2 x    x  3 f  x dx  Câu 5: (MĐ 101-2022) Biết 215 F  x G  x hai nguyên hàm hàm số f  x ¡ f  x dx F  3  G    a,  a   Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y F  x  , y G  x  , x 0, x 3 Khi S 15 a B 12  C 18  Lời giải A 15 D  Chọn D F  x G  x f  x Do hai nguyên hàm hàm số  nên G  x  F  x   C , x   , với C số Mặt khác f  x dx F  3  F   Page 356 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lại có Do f  x dx F  3  G  0  a, G   F    a suy a C  G  x  F  x   a, x   Diện tích hình phẳng giới hạn đường 3 y F  x  , y G  x  , x 0, x 3 a 0 S G  x   F  x  dx  15 a dx  15 3a  a 5 Câu 6: (MĐ 102-2022) Biết F  x G  x hai nguyên hàm hàm số f  x ¡ f  x  dx F  5  G    a  a   Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y F  x  , y G  x  , x 0 x 5 Khi S 20 a B 15 C 25 A D 20 Lời giải Chọn A F  x G  x f  x Vì hai nguyên hàm hàm số  nên  F   G    a   f x d x  F  F  G  G  F  G  a                 F   G    a F  x  G  x   a  F  x   G  x   a Do S diện tích hình phẳng giới hạn đường y F  x  , y G  x  , x 0 x 5 nên 5 5 5 S F  x   G  x  dx  a dx a dx adx ax 5a 0 0  a  0 Mà S 20 nên 5a 20  a 4 Câu 7: (MĐ 103-2022) Biết F  x G  x hai nguyên hàm hàm số f  x ¡ f  x  dx F    G    a  a   Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  F  x  , y G  x  , x 0 x 4 Khi S 8 a B C 12 Lời giải A D Chọn D F  x nguyên hàm f  x  nên f  x  dx F    F   Mà f  x  dx F    G    a  a   nên Page 357 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN F    F   F    G    a  G   F    a Lại có G  x nguyên hàm f  x G x F  x   a x    nên   Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y F  x  , y G  x  , x 0 x 4 S F  x   G  x  dx a dx 4a 8  a 2 Câu 8: (MĐ 104-2022) Biết F  x G  x hai nguyên hàm hàm số f  x ¡ f  x  dx F  2  G    a  a   Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y F  x  , y G  x  , x 0 x 2 Khi S 6 a B C Lời giải A D Chọn C F  x G  x f  x F  x   G  x  C Do hai nguyên hàm hàm số  nên với C số Ta có 2 S F  x   G  x  dx C dx  C 1dx 2 C 6  C 3 0  * F    G   C  F   G    C Ta lại có: Theo đề bài: f  x  dx F    F   F     G    C  F    G    C F    G    a  2 Suy ra: a  C mà a  nên C   1   suy ra: C   a  C 3 Từ Vậy: a 3 Câu 9: (MĐ 101-2022) Cho hàm số bậc bốn biến thiên hình sau y  f  x Diện tích hình phẳng giới hạn đường đây? Biết hàm số y  f  x  y g  x  g  x  ln f  x  có bảng thuộc khoảng Page 358 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A  5;6  B  4;5  2;3 C Lời giải D  3;  Chọn D Từ bảng biến thiên hàm số g  x  ln f  x   g  x   g  x  ln f  x  , ta có: ln f  x  ln  f  x  2 f  x  f  x Phương trình hồnh độ giao điểm hàm đồ thị hàm số f  x  g  x   f  x   y  f  x  y g  x  là: f  x  f  x   f  x  0 hay f  x  1 (vô nghiệm f  x  2 )  x  x1  g  x  0   x  x2  x  x3 x3 Do đó, ta có diện tích cần tìm là: x2 x3 x1 x2 S   f  x   g  x  dx x1 x3 x2 S   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx   f  x   g  x   dx    f  x   g  x   x2 x1 x1   f  x   g  x    f  x   g  x   dx x2 x3 x2  f  x2   g  x2   f  x1   g  x1   f  x3   g  x3   f  x2   g  x2    ln   Câu 10: 43 43 43  ln   ln   ln   ln  ln    ln 43   ln 8 48 48 37 43  ln 3, 416 144 (MĐ 102-2022) Cho hàm số bậc bốn biến thiên sau: y  f  x Biết hàm số g  x  ln f  x  có bảng Page 359 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Diện tích hình phẳng giới hạn đường đây? A  38;39  B  25; 26  y  f  x  y  g  x  thuộc khoảng  28; 29  C Lời giải D  35;36  Chọn D g  x  ln f  x   g  x   f  x  f  x g  x  0  f  x  0 Ta có: Nên: g  x1   g  x2   g  x3  0  f  x1   f  x2   f  x3  0 Mà  x1  x  x2 g  x    f  x     f  x   0x  x  x3 Theo giả thiết tốn nên:   f  x1  10, f  x2  42, f  x3  37  g  x   f  x   f  x        f  x  Và:  x2  x  x3 x x  Vậy: x3 x3 x2 S  g  x   f  x  dx   f  x   g  x   dx   g  x   f  x   dx x1 x1 x2 x2 x3      f  x    dx  f  x     dx   f  x  x1 x2   f  x  x2 x3         1 d  f  x    d  f  x     f  x  f  x  x1  x2    f  x   ln f  x   x2 x1   ln f  x   f  x   x3 x2 37  ln10  ln 37 35, 69 Câu 11: (MĐ 103-2022) Cho hàm số bậc bốn biến thiên sau: y  f  x Biết hàm số g  x  ln f  x  có bảng Page 360 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Diện tích hình phẳng giới hạn đường đây? A  33;35 B  37; 40  y  f  x  C  Lời giải 29;32  y g  x  thuộc khoảng D  24; 26  Chọn A Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy Ta có: g  x   ln 3, x    f  x   3, x   f  x  g  x   ln f  x      f  x   g  x  f  x  f  x Nên  x x1 f  x   g  x   g  x  f  x  g  x   g  x   f  x   1 0  g  x  0   x  x2  x x3 Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn đường x2 f  x  S  f  x   dx  f  x x1 Đặt x3 y  f  x  y g  x  f  x  f  x   f  x  dx x2 t  f  x   dt  f  x  dx Đổi cận: x  x1  t 30 , x  x2  t 35 , x x3  t 3 35  S    30  Khi đó, 1 dt  t  1   t dt   t  ln t  35 35 30   ln t  t  35   35  ln 35    30  ln 30    35  ln 35     ln  5  ln 35  ln 30  32  ln 35  ln 37  ln Câu 12: (MĐ 104-2022) Cho hàm số bậc bốn thiên sau: 90 34,39 1225 y f  x  Biết hàm số g  x  ln f  x  có bảng biến Page 361 Sưu tầm biên soạn