C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH CẤP SỐ CỘNG – NHÂN TỔ HỢP – XÁC SUẤT GÓC – KHOẢNG CÁCH GĨC – KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN DẠNG GĨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG Để tính góc hai đường thẳng d1 , d không gian ta thực theo hai cách d1 d'1 O d'2 d2 Cách Tìm góc hai đường thẳng d1 , d cách chọn điểm O thích hợp ( O thường nằm hai đường thẳng) ' ' d ,d Từ O dựng đường thẳng song song ( trịng O nằm hai d ', d ' đường thẳng) với d1 d Góc hai đường thẳng góc hai đường thẳng d1 , d Lưu ý 1: Để tính góc ta thường sử dụng định lí cơsin tam giác cos A  b2  c  a 2bc   u Cách Tìm hai vec tơ phương , u2 hai đường thẳng d1 , d   u1.u2 cos  d1 , d     u1 u2 Khi góc hai đường thẳng d1 , d xác định      uu ,u ,u Lưu ý 2: Để tính 2 ta chọn ba vec tơ a, b, c không đồng phẳng mà tính độ    u , u a dài góc chúng,sau biểu thị vec tơ qua vec tơ , b, c thực tính tốn DẠNG GĨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG Góc đường thẳng d mặt phẳng (P) góc d hình chiếu mặt phẳng (P) Gọi  góc d mặt phẳng (P) 0  90 Page 676 CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH Đầu tiên tìm giao điểm d (P) gọi điểm A Trên d chọn điểm B khác A, dựng BH vng góc với (P) H Suy AH hình chiếu vng góc d mặt phẳng (P)  Vậy góc d (P) góc BAH Nếu xác định góc d (P) khó q ( khơng chọn điểm B để dựng BH vng góc với (P)), ta sử dụng cơng thức sau Gọi  góc d (P) suy ra: sin   d  M , P  AM Ta phải chọn điểm M d, mà tính khoảng cách đến mặt phẳng (P) Còn A giao điểm d mặt phẳng (P) DẠNG GÓC CỦA MẶT VỚI MẶT Q d A P d' Để tìm góc hai mặt phẳng, tìm giao tuyến hai mặt phẳng Sau tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vừa tìm Những trường hợp đặc biệt đề hay ra: B A C H D Trường hợp 1: Hai tam giác cân ACD BCD có chung cạnh đáy CD Gọi H trung điểm CD, góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) góc AHB A B D H C Page 677 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH Trường hợp 2: Hai tam giác ACD BCD có chung cạnh CD Dựng AH  CD  BH  CD Vậy góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) góc AHB Trường hợp 3: Khi xác định góc hai mặt phẳng q khó, ta nên sử dụng cơng thức sau: sin   d  A,  Q   d  A, a  Với  góc hai mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) A điểm thuộc mặt phẳng (P) a giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) Trường hợp 4: Có thể tìm góc hai mặt phẳng công thức S ' S cos  Trường hợp 5: Tìm hai đường thẳng d d' vng góc với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) Góc hai mặt phẳng góc d d' Trường hợp 6: CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA MẶT PHẲNG BÊN VÀ MẶT PHẲNG ĐÁY Bước 1: xác dịnh giao tuyến d mặt bên mặt đáy Bước 2: từ hình chiếu vng góc đỉnh, dựng AH  d  Bước 3: góc cần tìm góc SHA Với S đỉnh, A hình chiếu vng góc đỉnh mặt đáy Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy (ABC).Hãy xác định góc mặt bên (SBC) mặt đáy (ABC) S C A H B Ta có BC giao tuyến mp (SBC) (ABC) Từ hình chiếu đỉnh điểm A, dựng AH  BC  BC  SA  BC   SAH   BC  SH  BC  AH  Vì  Kết luận góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) góc SHA Câu 1: Câu 38 (101-2023) Cho hình chóp S ABCD có đáy a chiều cao mặt phẳng A 45 3a Góc  SCD  mặt phẳng đáy B 90 C 60 D 30 Lời giải Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page 678 CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH S A D a H O B C Gọi O tâm mặt đáy, H trung điểm cạnh CD SOH   CD  SHO   SCD  ,  ABCD   Suy  Câu 2: 3a 3a a SO SO  ; OH   tan  SHO     a OH  Suy SHO 30 SCD  ABCD  30 Vậy góc mặt phẳng   Câu 31 (102-2023) Cho hình chóp S ABCD có độ dài tất cạnh a Góc hai đường thẳng SB CD A 30 Ta có CD // AB nên B 45 C 60 Lời giải D 90  , CD  SB   SB    , AB  SBA  Vì tam giác SAB tam giác có tất cách cạnh a nên SBA 60 Vậy góc hai đưởng thẳng SB CD 60 Câu 3: Câu 30 (103-2023) Cho hình chóp S ABCD có độ dài tất cạnh a Góc hai đường thẳng SB CD Page 679 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH A 60 B 90 C 30 Lời giải D 45 Ta có AB ∥ CD  , CD  SB  , AB SB Do      Mà SAB suy SBA 60  , CD  SB  , AB SBA  SB 60 Vậy  Câu 4:    a Câu 30 (104-2023) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a chiều cao Góc mặt phẳng A 60  SCD  mặt phẳng đáy B 45 C 30 Lời giải Gọi O tâm đáy ABCD  SO   ABCD   SO  D 90 a OM  CD      SCD  ,  ABCD  SMO SM  CD  Gọi M trung điểm CD   Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page 680 CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH a SO SO   tan SMO      SMO 30 a OM CD 2 Trong tam giác SOM vng O ta có Câu 5: (MĐ 101-2022) Cho lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vng B , AC 2, AB  AA 1 (tham khảo hình vẽ bên dưới)  ABC ' mặt phẳng  ABC  Góc hai mặt phẳng o o o A 30 B 45 C 90 Lời giải Chọn B o D 60  AB  BC  AB  BC '  AB  C ' C  Ta có Hai mặt phẳng  ABC '  ABC  cắt theo giao tuyến AB  BC '   ABC ' , BC '  AB     ', BC C  ' BC  ABC ' ,  ABC   BC  BC   ABC  , BC  AB     BC  AC  AB  22  Xét tam giác C ' BC vuông C có CC ' 1 o  tam giác C ' BC vuông cân C suy C ' BC 45 Vậy góc hai mặt phẳng Câu 6:  ABC '  ABC   3 1 Do o 45 (MĐ 102-2022) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác vng B , AC 2, AB  AA 1 ( tham khảo hình bên) Góc hai mặt phẳng  ABC   ABC  Page 681 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH A' C' B' A C B A 90 B 60 C 30 Lời giải D 45 Chọn D Ta có  ABC    ABC   AB  BCC B vuông góc với AB Mặt phẳng  ABC    BCC B BC;  ABC    BCC B BC ;   ABC  ,  ABC    BC , BC  Suy Ta có BC 1 nên tứ giác BCC B hình vng  ABC  ,  ABC    BC , BC  45 Suy  Câu 7: (MĐ 103-2022) Cho hình lập phương ABCD ABC D (tham khảo hình bên) Giá trị sin ABCD  góc đường thẳng AC  mặt phẳng  A B C Lời giải D Chọn A   AC  AC ,  ABCD   AC , AC C Ta có a Giả sử hình lập phương có cạnh    Trong tam giác AAC ta có  sin   CC  a   2 AC  2a  a Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page 682 CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 8: (MĐ 104-2022) Cho hình lập phương ABCD ABC D (tham khảo hình bên) Giá trị sin  ABCD  góc đường thẳng AC ' mặt phẳng A B C Lời giải D Chọn A - Ta có AC ' đường chéo hình lập phương ABCD ABC D  AC '  AB  CC '  ( ABCD)  ' AC sin C  ' AC  CC '     AC ', ( ABCD) C  AC '  AC ' ( ABCD)  A ,  Câu 9:  (MĐ 101 BGD&ĐT NĂM 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có tất cạnh (tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng A 30 AA BC  B 90 C 45 Lời giải D 60 Page 683 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GĨC – KHOẢNG CÁCH Ta có: AA // BB nên góc hai đường thẳng AA BC  góc hai đường thẳng BB   BC  góc BBC  (do BBC  nhọn) Câu 10: Tam giác BBC  vuông cân B nên B BC  45 Vậy góc hai đường thẳng AA BC  45 (MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có tất cạnh (tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng AA ' B ' C A 90 B 45 C 30 D 60 Lời giải ABC A ' B ' C ' hình lăng trụ đứng nên suy tam giác BB ' C vuông cân B  ' C 450  AA ', B ' C   BB ', B ' C  BB Câu 11: (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có tất cạnh (tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng AB CC  o A 45 o B 30 o C 90 Lời giải o D 60 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page 684 CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH · CC '/ / BB ' nên  A ' B, CC '  A ' B, BB '  A ' BB ' Theo giả thiết lăng trụ ABC.A ' B ' C ' lăng trụ đứng có tất cạnh nên tam giác A ' B ' B vuông cân B ' Suy ·A ' BB ' 450 Câu 12: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2020-2021) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  AD 2 AA ' 2 (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng CA ' mặt phẳng  ABCD   A 30  B 45 C 60 Lời giải   D 90 Góc cần tìm A¢CA = a Vì đáy hình vng nên AC = AB = 2 v AAÂ tan a = = ị a = 45° AC Câu 13: Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh (tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng SC AB A 90 B 60 C 30 D 45 Page 685 Sưu tầm biên soạn