PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ: “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN” Thầy: Nguyễn Vũ Thanh Rèn luyện, bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh nhiệm vụ quan trọng nhà trường phổ thông, đặc biệt dạy học mơn tốn Luật giáo dục (2005) đặt nhiệm vụ phát triển tư sáng tạo cho học sinh: “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng cho người học lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên” Theo thang Bloom sáng tạo cấp độ tư cao cấp độ: ghi nhớ, hiểu, áp dụng, phân tích, đánh giá, sáng tạo Theo PGS.TS Tôn Thân tư sáng tạo dạng tư độc lập, tạo ý tưởng mới, độc đáo có hiệu giải vấn đề cao Tư sáng tạo tư độc lập khơng bị gị bó, phụ thuộc vào có Ý tưởng thể khả tạo mới, phát vấn đề mới, tìm hướng mới, tạo kết Tính độc đáo ý tưởng thể giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc Theo PGS.TSKH Phan Dũng tư sáng tạo trình suy nghĩ đưa người giải từ khơng biết cách đạt đến mục đích đến biết cách đạt đến mục đích từ khơng biết cách tối ưu đạt đến mục đích đến biết cách tối ưu đạt đến mục đích số cách biết Trong dạy học toán giáo viên học sinh thường quan tâm đến kết suy nghĩ, chẳng hạn đặt câu hỏi yêu cầu giải tập giáo viên thường quan tâm, đánh giá câu trả lời, lời giải đáp số mà vào hướng dẫn học sinh trình suy nghĩ để có kết Những biểu sáng tạo học toán biết nhìn tốn theo khía cạnh mới, nhìn tốn nhiều góc độ khác nhau, nhiều cách giải khác nhau, biết đặt giả thuyết phải lý giải vấn đề, biết đề xuất giải pháp khác phải xử lý tình huống; khơng hồn tồn lịng với lời giải có, khơng máy móc áp dụng quy tắc, phương pháp biết vào tình Trong luận án Tiến sĩ PGS.TS Tơn Thân trình bày ba yếu tố đặc trưng tư sáng tạo tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn tính độc đáo TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Tính mềm dẻo tư có đặc trưng: - Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa phương pháp suy luận quy nạp, suy diễn tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ gặp trở ngại… - Suy nghĩ không rập khuôn, khơng áp dụng cách máy móc kinh nghiệm, kiến thức kỹ có vào hồn cảnh mới, điều kiện có yếu tố thay đổi; có khả khỏi ảnh hưởng kìm hãm kinh nghiệm, phương pháp, cách nghĩ có từ trước - Nhận vấn đề điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức đối tượng quen biết Tính nhuần nhuyễn tư thể hai đặc trưng sau: - Tính đa dạng cách xử lý giải tốn; khả tìm nhiều giải pháp nhiều góc độ tình khác Đứng trước vấn đề phải giải quyết, người có tư nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm đề xuất nhiều phương án khác từ tìm phương án tối ưu - Khả xem xét đối tượng nhiều khía cạnh khác nhau; có nhìn sinh động từ nhiều phía vật tượng khơng phải nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc Tính độc đáo đặc trưng khả sau: - Khả tìm liên tưởng kết hợp mới; - Khả tìm mối liên hệ kiện bên ngồi tưởng khơng có liên hệ với nhau; - Khả tìm giải pháp lạ biết giải pháp khác Các yếu tố không tách rời mà trái lại, chúng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho Khả dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp nhiều góc độ tình khác (tính nhuần nhuyễn) nhờ đề xuất nhiều phương án khác mà tìm phương án lạ, đặc sắc(tính độc đáo) Các yếu tố lại có quan hệ khăng khít với yếu tố TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 khác như: tính xác, tính hồn thiện, tính nhạy cảm…Tất yếu tố đặc trưng nói góp phần tạo nên tư sáng tạo, đỉnh cao hoạt động trí tuệ người Nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn THPT cho tỉnh Tiền Giang nói chung cho trường THPT Chun Tiền Giang nói riêng chúng tơi tổ chức báo cáo chuyên đề trao đổi kinh nghiệm chuyên môn: “ Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh qua dạy học mơn Tốn’’ Rất mong tham gia đóng góp ý kiến quý thầy cô đồng nghiệp để buổi báo cáo đạt kết tốt TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THƠNG QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC BÀI TỐN Thầy: Nguyễn Vũ Thanh Trong dạy học nói chung dạy học tốn nói riêng cần bồi dưỡng, rèn luyện, phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh Theo nhà tâm lý học, người tư tích cực đứng trước khó khăn nhận thức cần phải khắc phục, tình gợi vấn đề Do dạy học tốn cần rèn luyện khả phát vấn đề, khơi dậy ý tưởng mới, tạo tình có vấn đề cho học sinh tìm tịi, sáng tạo Một biện pháp rèn luyện khả tư sáng tạo cho học sinh “ Tập cho học sinh giải vấn đề nhiều phương pháp khác lựa chọn cách giải tối ưu” Bài viết xuất phát từ toán bất đẳng thức (BĐT) đơn giản phát triển tư sáng tạo cho học sinh (HS) nhiều cách giải khác nhau, nhìn nhiều khía cạnh khác khai thác toán với nhiều áp dụng giải tốn phổ thơng Bài tốn xuất phát: Chứng minh rằng: với x  [1;3] x    x  (1) Chứng minh (1) nhiều phương pháp khác nhìn từ nhiều khía cạnh khác giải tập toán để rèn luyện tư sáng tạo cho HS Cách 1:(phương pháp biến đổi tương đương) (1)  ( x  1)(3  x )   ( x  2)2  (luôn đúng) Dấu xảy x = Cách 2:(phương pháp đánh giá) Đặt A = x    x , ta có A2    ( x  2)2   A  Dấu xảy x = Cách 3:(Áp dụng BĐT bản) * BĐT Côsi: - Hướng 1: ( x  1).1  x 4 x sau cộng lại ; (3  x ).1  2 TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 - Hướng 2: A2   ( x  1)(3  x )   ( x  1)  (3  x )   A  Dấu xảy x = * BĐT Bunhiacopxki: A2  (1 x    x )2  (12  12 )( x    x )   A  Dấu xảy x =      Cách 4:(Phương pháp vectơ) Đặt a  (1;1) ; b  ( x  1;  x ) Từ BĐT a.b  a b suy A  Cách 5:(Phương pháp hình học) Vẽ đường trịn đường kính AB = 2, tâm O Với x  [1;3] , AB lấy điểm H cho AH = x – 1, BH = – x Từ H, O kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt nửa (O) C D C D Ta có CH = A B O H ( x  1)(3  x )  OD    x 1   x  4 x    x  Dấu xảy x = Cách 6:(Sử dụng tập giá trị hàm số) Xét hàm số y = x    x với x  [1;3] - Hướng 1:(Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình (PT)) Gọi T tập giá trị hàm số y0  T  y0  x    x có nghiệm x  [1;3]  y0    có nghiệm x  [1;3]  y0   ( x  1)(3  x )   y0    có nghiệm x  [1;3] 2  x  x   ( y0  2)   y      y0  /    - Hướng 2:(Sử dụng điều kiện có nghiệm hệ PT đối xứng) Ta tìm y0 để phương trình y0  x    x có nghiệm Đặt u  x  1; v   x ( u  0, v  0) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012  u  v  y0  u  v  y0  Ta có hệ PT   Hệ phương trình có nghiệm khơng âm 2 u  v  u.v  ( y0  2)  2 PT: X  y0 X  ( y0  2)  có hai nghiệm khơng âm 2    y0  2( y0  2)   Điều tương đương với:  y0    y0  y    - Hướng 3:(Sử dụng điều kiện có nghiệm hệ PT đối xứng v đồ thị) Thực lý luận hướng ta tìm y0 để hệ sau có 2 A H O u  u  v  y0  nghiệm phương pháp đồ thị: u  v  u  0; v   Hệ PT có nghiệm khoảng cách d(O, d) từ tâm O đường tròn u  v  đến đường thẳng d: u + v = y0 thỏa OH  d (O,d )  OA   y0    y0  Cách 7:(Phương pháp lượng giác) Từ điều kiện  x   1  x   Đặt x   cos  ;  [0; ] Ta có: A   cos    cos   2(cos      sin )  2sin(  )  Dấu xảy 2          x  2 2 Cách 8:(Phương pháp giải tích) Tập xác định: D = [1; 3] y'  1  2x   x 1 3 x ( x  1)(3  x )( x    x ) y '   x  Bảng biến thiên: x + y/ Từ suy 2 y2 - y TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Cách 9:(Phương pháp phản chứng) Giả sử x0  [1;3]: x0    x0  Ta có: x0    x0   ( x0  1)(3  x0 )   ( x0  2)  Vô lý Khai thác toán (1) để áp dụng giải tốn có nội dung tương tự, linh hoạt chuyển hướng tư để phát triển tốn có nội dung khó hơn: Áp dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A  x    x Trong cách giải ta tìm tập giá trị hàm số y  x    x T  [ 2;2] nên A  max A  Áp dụng 2: Xác định m để PT x    x  m có nghiệm Áp dụng 3: Giải biện luận PT: x 1   x  m Áp dụng 4: Xác định giá trị nhỏ m để bất PT Áp dụng 5: - Xác định m để bất PT x    x  m thỏa với x  [1;3] x    x  m có nghiệm ? - Xác định m để bất PT x    x  m thỏa với x  [1;3] ? - Xác định m để bất PT x    x  m có nghiệm? - Xác định m để bất PT x    x  m thỏa với x  [1;3] ? Áp dụng 6: Giải PT x    x  x2  4x  Áp dụng 7: Xác định m để PT x    x  ( x  1)(3  x )  m có nghiệm? Bài tốn áp dụng giải cách sau: Cách 1: Với điều kiện x  [1;3] đặt t  x    x với t  [ 2;2] từ suy ( x  1)(3  x )  t2  Bài tốn đưa đến việc tìm m để PT: t  2t   2m có nghiệm t  [ 2;2] , đến ta sử dụng đại số dùng bảng biến thiên để tìm kết TỔ TỐN TRƯỜNG THPT CHUN TIỀN GIANG  m  trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 u  v  uv  m  2 u  v  Cách (Đưa hệ) Đặt u  x  1; v   x Ta có hệ PT:  u  v   Đây hệ PT đối xứng loại việc tìm m để hệ có nghiệm phức tạp cách tính tốn Mở rộng tốn 1: Tìm giá trị lớn hàm số y  x   3  x u  v  y u  v  y  Cách (Đại số) Đặt u  x  1; v   x Ta có hệ  3  y3  u  v  u.v  y  3 y3  u, v nghiệm PT: X  yX   3y Điều kiện để hệ có nghiệm   x - + y/ + +  -  y3    y  Vậy maxy = x = 3y Cách (Giải tích) Ta có y’ =  x  Bảng biến thiên: - Tập giá trị hàm số T = (0; 2] Vậy maxy = x = 2 y 0 Cách 3(BĐT Bunhiacơpxki mở rộng): Nếu tìm maxy [1; 3] ta áp dụng BĐT Bunhiacơpxki mở rộng y  ( x   3  x )3  (13  13 )(13  13 )( x    x )   y  Vậy maxy = x = Tổng quát: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn hàm số y  n x   n  x [1;3] Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng BĐT n a  n b  n a  b với a  0, b  ta có n 2 y2 với x  [1;3] Phát triển toán theo hướng khác: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn hàm số y  x    x [1;3] Để tìm giá trị nhỏ hàm số ta viết y  3( x    x )   x  Dấu xảy x = TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Để tìm giá trị lớn hàm số ta có cách giải sau: Cách 1:(BĐT Bunhiacơpxki) Ta có y  (3 x    x )2  (32  42 )( x    x )  50  y  Dấu xảy x 1 3 x 43  x 25 Cách 2:(Lượng giác) Cách 3:(Bảng biến thiên) Cách 4:(Phương pháp tọa độ vectơ) Cách 5:(Sử dụng tập giá trị hàm số hệ phương trình) Bài tốn tổng qt: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn hàm số y  a n x   b n  x ( a  b  0) [1;3] Kết luận: Qua phần trình bày ta thấy để bồi dưỡng, phát triển khả tư sáng tạo cho học sinh, giáo viên cần hướng dẫn cho HS biết hệ thống hóa kiến thức, vận dụng kỹ kỹ xảo giải tốn, khơng chấp nhận cách giải quen thuộc mà ln tìm cách giải mới, từ có nhiều cách giải tìm cách giải tối ưu, độc đáo gây hứng thú niềm say mê học tập mơn tốn.Thơng qua hệ thống tập nhìn tốn nhiều khía cạnh khác GV rèn luyện cho HS khả vận dụng linh hoạt hoạt động trí tuệ phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa,…chuyển từ hoạt động tư sang hoạt động tư khác, khơng suy nghĩ rập khn máy móc Từ tạo hứng thú học tập, tìm tịi, khám phá, phát vấn đề giải khác góp phần bồi dưỡng, rèn luyện phát triển khả tư sáng tạo dạy học mơn Tốn Tài liệu tham khảo: Tơn Thân (1995) Xây dựng hệ thống câu hỏi tập nhằm bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh giỏi toán trường THCS Việt Nam, Luận án Tiến Sĩ Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học Sư phạm Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học mơn tốn trường phổ thơng, NXB Đại học Sư phạm TỔ TỐN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 VẬN DỤNG NGUN TẮC “TÁCH KHỎI” CỦA ALTSHULLER VÀO DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TỐN Ở PHỔ THƠNG Thầy: Nguyễn Vũ Thanh (Bài đăng Tạp chí Giáo dục số tháng 10/ 2011) Trong dạy học giải tập toán, nguyên tắc (NT) “tách khỏi” nghĩa tách phần khó, phần phức tạp xét riêng tách phần thuận lợi, cần thiết khỏi đối tượng để biến đổi; từ đó, áp dụng vào giải toán cho Khi giải toán cần nghĩ đến việc tách phần cần thiết để biến đổi, lập luận riêng, đưa vấn đề cần giải trở nên đơn giản Bài viết trình bày việc vận dụng NT “tách khỏi” (NT thứ hai 40 NT sáng tạo Altshuller) vào dạy học giải số dạng tập toán nhằm rèn luyện, bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh (HS) phổ thông Dạy học phần Số học Ta xét tốn sau: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Tổng lũy thừa chẵn ba số nguyên liên tiếp khơng thể số phương Ở tốn này, phần cần tách để xét “ba số nguyên liên tiếp” Như ta biết, ba số nguyên liên tiếp chia cho có đủ ba số dư 0, Như vậy, ba số nguyên liên tiếp có số chia hết cho 3, hai số cịn lại có dạng 3k  với k  Z ; đó, tổng lũy thừa chẵn ba số chia cho dư Đến đây, giáo viên (GV) hướng dẫn HS xét xem số phương chia cho có số dư nào? Giả sử số phương có dạng n2, với n số tự nhiên; đó, n thuộc dạng: n = 3k, n = 3k  , k  Z n2 chia dư Vì số phương chia cho khơng thể dư nên tổng lũy thừa chẵn ba số nguyên liên tiếp khơng phải số phương Vậy, phần tách để xét riêng ví dụ tìm số dư chia cho ba số nguyên liên tiếp số dư phép chia số phương cho Với cách giải tương tự, HS giải tốn sau: Ví dụ 2: Chứng minh tổng bình phương số ngun liên tiếp khơng thể số phương TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 10 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Hướng dẫn: Biến đổi thành PT: (2 x )3  (4 x  1)  x  (4 x  1) đến PT: x  x  , lý luận để đặt x  cos t , t  [0; ] Ví dụ 10: Giải PT x  x  x3 (1) Hướng dẫn: (1)  ( x  1)2   x 1  Đặt y   x3 Bài tập tương tự: Bài 4: Giải PT: x  x  x  Bài 5: Giải PT: x  x   x  Bài 6: Giải PT: x  x  1000  8000 x  1000 Bài 7: Giải PT: x  13 x   x x (1  x  x ) Bài 8: Giải PT: x  11x  10  ( x  1) x x  Bài 9: Giải PT: x  13 x   (1  ) 3 x  x Dạng 3: Phương trình dạng as ax  b  u log s (ux  v )  av  bu ( Với a khác 0)  s ay  b  ux  v  Đặt ay  b  log s (ux  v ) Ta có hệ  ax  b  uy  v s  Ví dụ 10: Giải phương trình: x 1   2log7 (6 x  5)3 (1) Hướng dẫn: (1)  x 1  6log7 [6( x  1)  1]  Đặt y   log (6 x  5) 7 y 1  x   Ta có hệ:  x 1  6y    Lấy PT thứ trừ PT thứ hai theo vế ta được: x 1  x  y 1  y  x  y (Vì hàm số f (t )  7t 1  6t đồng biến ) Ta có PT: x 1  x  xét hàm số TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 18 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN g (t )  7t 1  6t  5, g / (t )  7t 1 ln   t  log NĂM HỌC 2011-2012  Vì g’(x) = có nghiệm nên g(x) = có ln không nghiệm (định lý Roole), mà g(1) = g(2) = nên hệ có hai nghiệm (1; 1) (2; 2)  x  f ( y)  III Hệ lặp ba ẩn có dạng:  y  f ( z ) (I)  z  f ( x)  Nhận xét 1: Nếu (x0; y0; z0) nghiệm hệ hốn vị vịng quanh (y0; z0; x0), (z0; x0; y0) nghiệm Nhận xét 2: Gọi T tập giá trị hàm số f Nếu f tăng (hoặc giảm) T x = y = z Thật giả sử x  min{x, y, z} i/ x  y  z  f ( x )  f ( y )  f ( z )  z  x  y  x  y  z ii/ x  z  y  f ( x )  f ( z )  f ( y )  z  y  x  x  y  z  x  3x   ln( x  x  1)  y  Ví dụ 11: Giải hệ PT:  y  y   ln( y  y  1)  z (HSG QG 1994)   z  3z   ln( z  z  1)  x Hướng dẫn: Xét hàm số f (t )  t  3t   ln(t  t  1) có tập giá trị  hàm số đồng biến  nên x = y = z Xét hàm số g (t )  t  2t   ln(t  t  1) đồng biến R nên PT: t  2t   ln(t  t  1)  có nghiệm t = 1.Vậy hệ có nghiệm (1; 1; 1)  x  y  27 y  27   Ví dụ 12: Giải hệ PT:  y  z  27 z  27    z  x  27 x  27   x  y  27 y  27   Hướng dẫn: Hệ tương đương với  y  z  27 z  27   z  x  27 x  27  TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 19 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN Xét hàm số f (t )  9t  27t  27 có tập giá trị T  [ NĂM HỌC 2011-2012 33 ; ) f tăng T nên x = y = z Hệ có nghiệm (3; 3; 3)  x  3x  x   y  Ví dụ 13: Giải hệ PT:  y  y  y   z (HSG QG 2006 Bảng B)   z  3z  z   x  x  3x  3x   x  y  Hướng dẫn: Hệ tương đương với  y  y  y   y  z Hàm số f (t )  t  3t  3t  đồng   z  3z  3z   z  x biến  Lập luận để có x = y = z PT x  x  x   có nghiệm x = Vậy hệ có nghiệm (1; 1; 1) Ví dụ 14: Giải hệ PT: x  y  y  z  z  x     y  (x  2)  1 1  Hướng dẫn: Hệ tương đương với  x  ( z  ) Hàm số f (t )  (t  ) có tập giá trị 2 2   z  ( y  2)  1 T  [ ; ) f tăng T nên x = y = z PT: x  x    ( x  1)2  2( x  )2 2  x  x  log y   Ví dụ 15: Giải hệ PT:  y  y  log z    z  z  log x   y  x3  x 4   y3  y2 Hướng dẫn: Hệ tương đương với  z     z3  z x     TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 20 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN Hàm số f (t )    t t NĂM HỌC 2011-2012 có tập giá trị T  (0; ) f giảm T nên x = y = z PT x  x  log x  có nghiệm x  cos x  log (8cos z  cos x  5)  Ví dụ 16: Giải hệ PT: cos y  log (8cos x  cos y  5) cos z  log (8cos y  cos z  5)  Hướng dẫn:Đặt X  cos x, Y  cos y , Z  cos z ( X  1, Y  1, Z  1) Y   X  (2  2Y  4)  1  Ta có hệ Y  (2 Z  Z  4) Từ hệ suy X , Y , Z  ( ;1]  X   Z  (2  X  4)  Hàm số f (t )  (2t  2t  4) tăng tập giá trị nên x = y = z PT: 2t  2t  8t   có nghiệm t = Bài tập tương tự: ( x  y )3  z  Bài 10: Giải hệ PT: ( y  z )3  x (Chọn ĐT Tiền Giang 2009)  ( z  x )  y  x  y3  y2  y   Bài 11: Giải hệ PT :  y  z  z  z   z  x  x  x  x  y    Bài 12: Giải hệ PT :  y  z   z  x   TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 21 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012  x  sin y  Bài 13: Giải hệ PT :  y  sin z  z  sin x   f ( x1 )  g ( x2 )  f (x )  g(x )  IV Hệ PT dạng hốn vị vịng quanh:  (II)   f ( xn )  g ( x1 )  Nhận xét 1: Nếu (x1, x2,…, xn) nghiệm hệ hốn vị vịng quanh (x1, x2,…, xn) nghiệm hệ Nhận xét 2: Hệ lặp ba ẩn (I) trường hợp đặc biệt (II) với n = g(t) = t Nhận xét 3: Nếu f g tăng giảm tập D (x1, x2,…, xn) nghiệm (II) với x1 , x2 , , xn  D x1  x2   xn Thật giả sử x1  min{x1 , x2 , , xn } Khi đó: x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  g ( x2 )  g ( x3 )  f ( x2 )  f ( x3 )  g ( x3 )  g ( x4 )  x3  x4   f ( xn1 )  f ( xn )  g ( xn )  g ( x1 )  xn  x1  x1  x2   xn Nhận xét 4: Giả sử f giảm D, g tăng D (x1, x2,…, xn) nghiệm (II) với x1 , x2 , , xn  D Khi đó: i/ Nếu n lẻ x1  x2   xn  x  x3   xn1  f ( x1 )  g ( x2 ) ii/ Nếu n chẵn  ; hệ trở thành hệ đối xứng loại   f ( x2 )  g ( x1 )  x2  x4   xn Chứng minh: Giả sử x1  min{x1 , x2 , , xn } i/ Với n lẻ: x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  g ( x2 )  g ( x3 )  x2  x3  f ( x2 )  f ( x3 )  g ( x3 )  g ( x4 )  x3  x4   x2 k 1  x2 k   xn 2  xn 1  f ( xn 2 )  f ( xn 1 )  g ( xn )  g ( x1 )  xn  x1  f ( xn )  f ( x1 )  g ( x1 )  g ( x2 )  x1  x2  x1  x2 Tương tự đến x1  x2   xn ii/ Với n chẵn: x1  x3  f ( x1 )  f ( x3 )  g ( x2 )  g ( x4 )  x2  x4  f ( x2 )  f ( x4 )  g ( x3 )  g ( x5 ) TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 22 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012  x3  x5   x2 k 1  x2 k 1   xn 2  xn  f ( xn 2 )  f ( xn )  g ( xn 1 )  g ( x1 )  xn1  x1  f ( xn 1 )  f ( x1 )  g ( xn )  g ( x2 )  xn  x2 Vậy x1  x3   xn 1  x1 x2  x4   xn  x2 Suy x1  x3   xn 1 x2  x4   xn 2 x   y3  y  y  Ví dụ 17: Giải hệ PT:  y   z  z  z (Chọn ĐT Tiền Giang 2007)  2z   x  x  x Hướng dẫn: f (t )  2t  g (t )  t  t  t hai hàm số đồng biến  Hệ có nghiệm (1; 1; 1) (–1; –1; –1)  x  x  6.log (6  y )  x   Ví dụ 18: Giải hệ PT:  y  y  6.log (6  z )  y (HSG QG 2006)   z  z  6.log (6  x )  x  Hướng dẫn: Điều kiện x, y, z < Hàm số f (t )  log (6  t ) giảm ( ;6) hàm số g (t )  t t  2t  tăng ( ;6) Hệ có nghiệm (3; 3; 3) Ví dụ 19: (Mở rộng ví dụ 1).Cho n số nguyên lớn Tìm a để hệ sau có nghiệm nhất:  x1  x2  x2  ax2   x2  x3  x3  ax3    x  x  x  ax  n 1 Hướng dẫn:  Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm ( x1 , x2 , , xn ) suy x1  x2   xn PT: x  x  x  ax  x( x  5x  a )  có nghiệm x = x  x  a  vơ nghiệm a 25 TỔ TỐN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 23 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN  Điều kiện đủ: Giả sử a   với a  NĂM HỌC 2011-2012 25 Xét hàm số f (t )  t g (t )  t  4t  at , g hàm đồng biến 25 Từ g tăng g(x1) = xn  = g(0)  x1  , tương tự xi  0, i Trên [0; ) f g tăng nên x1  x2   xn  t t nghiệm PT: t (t  5t  a )   t  Vậy hệ có nghiệm (0, 0,…, 0) a  25 Ví dụ 20: (Mở rộng ví dụ 3).Cho n số nguyên lớn a khác CMR hệ sau có nghiệm  a2 x1  x2   x2   a2  x  x3  nhất:  x3    a2 xn  x1   x1  Hướng dẫn: Ta giả sử a > Xét hàm số f (t )  t  a2 g (t )  2t t Từ hệ suy xi > theo BĐT Côsi xi  a , i Lập bảng biến thiên hàm số f Ta xét trường hợp sau: i/ Với  a  a  a f, g tăng ( a ; ) nên x1  x2   xn ii/ Với a  a  a Giả sử x1  min{x1 , x2 , , xn } có Nếu x1 > a xi > a với i f, g tăng ( a; ) nên x1  x2   xn Nếu a  x1  a từ xn  x1  a2  f ( x1 )  f ( a )  a  a a  2a  xn  a , tương tự ta x1 a  xi  a , i TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 24 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Trên đoạn [ a ; a ] hàm số f giảm g tăng nên x1  x2   xn n lẻ, với n chẵn x1  x3   xn 1 x2  x4   xn hệ tương đương với hệ đối xứng loại hai ví dụ x1 = x2 , tức x1  x2   xn Tóm lại tất trường hợp hệ có nghiệm x1  x2   xn = t với t nghiệm PT: x  x  a  , sau lập luận ví dụ Bài tập tương tự: Bài 14: CMR với số thực a khơng dương hệ sau có nghiệm nhất:  x2  y3  y2  y  a  y  z  z  z  a  z  x  x  x  a  x1  x2    x  x3  Bài 15: Giải hệ PT:    x2  x   n   x1     x2   Bài 16: Giải hệ PT:  x    x    cos  x2 cos  x3 Hãy tổng quát toán cos  x4 cos  x1  x1  3x1   x2   x  3x2   x3 Bài 17: Giải hệ PT:    x  3x   x  n n  2 x1  cos  x2   2 x2  cos  x3 Bài 18: Giải hệ PT:    2 x  cos  x  n TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 25 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012  x1  x2  x2    x  x  x3  Bài 19: Giải hệ PT:    x  x2  x   n 1 Bài 20: Giải hệ PT Hãy mở rộng ví dụ 14 Kết luận: Qua viết ta thấy hệ thống hóa tập dạng với hoạt động phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa,…đã tạo cho HS thói quen cần thiết trình học tập, giúp HS rèn luyện kiến thức, kỹ phát huy yếu tố TDST, nhìn tốn nhiều khía cạnh khác nhau, từ tổng quát hóa xét vấn đề tương tự theo nhiều góc độ khác nhau, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Tốn TỔ TỐN TRƯỜNG THPT CHUN TIỀN GIANG trang 26 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 VẬN DỤNG NGUYÊN TẮC PHÂN NHỎ CỦA ALTSHULLER VÀO DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN NHẰM RÈN LUYỆN, BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH PHỔ THÔNG Thầy: Nguyễn Vũ Thanh (Bài viết đăng Tạp Chí Giáo Dục tháng năm 2012) Tóm tắt: Vận dụng nguyên tắc phân nhỏ Altshuller vào dạy học giải tập toán nhằm giúp HS rèn luyện, bồi dưỡng tư sáng tạo (thông qua hoạt động như: phân tích, tổng hợp, cụ thể hóa, khái qt hóa, ), biết tích cực suy nghĩ, hứng thú học tập, say mê khám phá, tìm tịi để phát giải vấn đề, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn phổ thơng Theo Tơn Thân (1), tư sáng tạo (TDST) dạng tư độc lập người nhằm tạo ý tưởng mới, độc giải vấn đề TDST tư độc lập khơng phụ thuộc vào có Ý tưởng thể khả tạo để giải vấn đề Một biểu sáng tạo dạy học tốn biết nhìn tốn theo khía cạnh mới, nhiều góc độ khác nhau, biết đặt giả thuyết phải lí giải vấn đề đề xuất giải pháp khác xử lí tình huống; khơng áp dụng cách máy móc quy tắc, phương pháp biết vào tình Genrich Saulovich Altshuller người khai sinh phương pháp luận sáng tạo TRIZ (lí thuyết giải tốn sáng chế) Trong 40 nguyên tắc sáng tạo Altshuller, có số nguyên tắc vận dụng để giải tập toán như: nguyên tắc phân nhỏ, nguyên tắc tách khỏi, nguyên tắc kết hợp, nguyên tắc chứa trong, nguyên tắc đảo ngược, nguyên tắc linh động, nguyên tắc sử dụng trung gian, nguyên tắc chép,… Có thể hiểu, nội dung nguyên tắc phân nhỏ dạy học tốn là: - Phân chia tốn khó, phức tạp, thành toán nhỏ đơn giản, vừa sức để dễ giải hơn; - Biến đổi toán cho để toán dễ chia nhỏ vấn đề hơn; - Tăng dần mức độ khó chia nhỏ tốn Trong viết này, chúng tơi vận dụng nguyên tắc phân nhỏ (nguyên tắc 40 nguyên tắc sáng tạo Altshuller) vào dạy học giải số tập toán nhằm rèn luyện, bồi dưỡng TDST cho HS phổ thông Dạy học phần số học Ví dụ 1: Chứng minh tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Gợi ý: Để chứng minh số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên n, GV hướng dẫn HS phân tích số n thành tích thừa số đơi nguyên tố nhau, sau chứng minh a chia hết cho thừa số n Ở đây, HS áp dụng tính chất: Cho k, m nguyên tố nhau, a chia hết cho k m a chia hết cho k.m Thay chứng minh a chia hết cho n, ta chia thành toán nhỏ chứng minh a chia hết cho k a chia hết cho m với ƯCLN (k, m) = Áp dụng vào để giải ví dụ 1, ta phân tích 120 = 3.5.8 Khi đó, HS chứng minh tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 3, TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 27 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Ví dụ 2: Tìm tất số tự nhiên n để 32n + 3n + chia hết cho 13 Gợi ý: Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho p, ta xét tất trường hợp n phép chia cho p, nghĩa xét p trường hợp n = k.p + r với r 0, 1, 2,…, p – Nhận xét: 33  27  1(mod 13) nên ta xét tất trường hợp n phép chia cho là: n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + Dựa vào tính chất đồng dư, ta chứng minh được: với n = 3k + 1; n = 3k + 32n + 3n + chia hết cho 13, cịn với n = 3k 32n + 3n + không chia hết cho 13 Vậy 32n + 3n +1 chia hết cho 13 n khơng chia hết cho Để giải tốn này, ta phân chia n thành trường hợp cụ thể Dạy học phần đại số 1) Để chứng minh bất đẳng thức (BĐT), đó, có vế tổng nhiều số hạng, GV hướng dẫn HS xét riêng số hạng đại diện để thực phép biến đổi, sử dụng phép tương tự, sau kết hợp lại để BĐT cần chứng minh, nghĩa chia BĐT ban đầu thành nhiều BĐT dễ chứng minh Dưới ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho ba số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: a b c    2 1 b 1 c 1 a Nhận xét: HS không quy đồng mẫu số vế trái quy đồng, thu biểu thức phức tạp Cũng không áp dụng BĐT Côsi cho mẫu số cho BĐT trái chiều Do tính ì tâm lí mà HS thường mắc phải sai lầm sau: Áp dụng BĐT Cơsi, ta có: a b c a b c 33 a b c        2 1 b 1 c 1 a b 2c a b c a a vế trái biến đổi cho  b2 áp dụng BĐT Côsi cho mẫu số để BĐT chiều HS biến đổi sau: a ab2 ab b bc c ca   a  a  a  a   a  , tương tự: b , c 2 2 1 c 1 a 1 b 1 b 1 b  Để khắc phục sai lầm này, GV hướng dẫn HS lấy số hạng Cộng BĐT lại áp dụng BĐT thông dụng: ab  bc  ca  ( a  b  c )2  , ta BĐT cần chứng minh Có thể mở rộng ví dụ thành tốn sau: Ví dụ 2: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng: a3 b3 c3    (a  b  c) 2 2 a b b c c a TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 28 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 a3 a3 ab2 b Biến đổi: a aa  a  , tương tự cho hai số hạng lại 2 a b a b a b cộng BĐT, ta thu kết Để phát huy tính sáng tạo HS, GV mở rộng tốn theo nhiều hướng khác nhau: Hướng 1: Mở rộng BĐT cho n số dương a1, a2,…, an, ta BĐT: a1 a3 a3  2   n  ( a1  a2   an ) 2 a1  a2 a2  a3 an  a1 Hướng 2: Mở rộng số mũ: cho k số nguyên dương a, b, c số dương: a 3k b3k c 3k  2k  2k  ( a k  bk  c k ) 2k 2k 2k 2k a b b c c a Hướng 3: Mở rộng BĐT: Cho n số dương a1, a2,…, an k số nguyên dương, ta có BĐT: 3k 3 an k a a2 k k k  2k   k  ( a1k  a2   an ) 2k 2k 2k 2k a1  a2 a2  a3 an  a1 Với ý tưởng phân nhỏ tốn theo hướng trên, tạo nhiều toán phức tạp, đa dạng Với mức độ khó tăng dần, GV hướng dẫn HS biến đổi đưa toán ban đầu thành toán nhỏ đơn giản hơn; chẳng hạn, số BĐT, trước phân nhỏ ta biến đổi BĐT cần chứng minh cách tách biến, sau xét số hạng đại diện để giải tốn Ví dụ 3: Cho x, y, z dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x  y  z  P  x    y    z    zx   xy   yz  x2 y2 z2 x2  y  z2 Biến đổi: P  Để tách x, y, z theo biến, GV hướng dẫn HS áp    2 xyz x2 y z2 1 dụng BĐT thông dụng: x  y  z  xy  yz  zx thu được: P       Dấu 2 x y z xảy x = y = z  x2   y2   z2  Ta xét biểu thức:            Bằng cách sử dụng nguyên tắc phân nhỏ,  x  y  z HS cần tìm giá trị nhỏ biểu thức f (t )  t2  , với t > GV hướng dẫn HS giải t toán theo cách: t2 1  1 Cách (sử dụng BĐT Cơsi): Phân tích    t     , dấu xảy t = t 2 t t TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 29 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Cách 2: Lập bảng biến thiên hàm số f khoảng  0;  , ta f (t )  f (1)  Từ , x = y = z = HS đưa tốn tìm giá trị nhỏ P tốn tìm giá trị nhỏ hàm f(t) với t > 2) Giải phương trình bậc cao quy phương trình bậc hai phương trình tích cách sử dụng ngun tắc phân nhỏ Ta biến đổi phương trình bậc cao dạng tích f(x).g(x) = 0, sau giải phương trình f(x) = g(x) = Tập nghiệm phương trình tích hợp nghiệm hai phương trình sau Ví dụ 4: Giải phương trình: x  x   Hướng dẫn: Áp dụng đẳng thức: A2 – B2 = (A – B)(A + B) để phân tích vế trái thành nhân 1 tử: x  x   x  x   2( x  x  )  ( x  1)  2( x  )2      x   2( x  )   x   2( x  )     1 Sau đó, giải phương trình bậc hai: x   2( x  )  x   2( x  )  , 2 ta tập nghiệm phương trình 3) Giải phương trình, bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối phương pháp chia khoảng Trước hết, ta xét dấu biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối bảng, sau chia thành khoảng trục số để xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối Giải phương trình, bất phương trình khơng dấu trị tuyệt đối khoảng xét chọn nghiệm thích hợp Chẳng hạn, giải tốn sau: 1) Giải phương trình: x  x  x   tìm minP = 2) Giải bất phương trình: x2  4x  x2  x   3) Xác định m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x  ( x  2)  m  Dạy học phần lượng giác Từ việc sử dụng nguyên tắc phân nhỏ, HS xây dựng nhiều tốn khó từ tốn ban đầu Chẳng hạn: Ví dụ: Cho tam giác ABC, kí hiệu a = BC, b = CA, c = AB la , lb , lc độ dài đường phân giác tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A, B, C Gọi AD đường phân giác tam giác ABC kẻ từ A, từ cơng thức tính diện tích tam giác S ABC  S ABD  S ACD , HS A 2bc cos (*) Bằng cách áp dụng định lí cơsin tam giác, HS chứng minh cơng thức: la  bc tính la  pbc( p  a ) (**), đó, p nửa chu vi tam giác ABC Tương tự bc cơng thức tính lb , lc Từ (*) công thức tương tự lb , lc , ta có kết sau: TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 30 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN  Hướng 1: Từ (*) suy ra: NĂM HỌC 2011-2012 A     , tương tự với hệ thức l , l , cộng lại ta   b c la 2b c cos A B C cos cos      (1) có: la lb lc a b c A B C 1 1 1  Hướng 2: Từ (1)  cos  ;  cos  ;  cos  , suy ra:      (2) 2 la lb lc a b c cos A  1  Hướng 3: Từ (*) suy ra: la     2cos , lb , lc ta có hệ thức tương tự, sau b c A B C 1 1 1 1  1  cộng lại ta được: la     lb     lc      cos  cos  cos  Biến đổi vế trái, ta 2 2 b c c a a b  l l l l l l A B C  có đẳng thức: a b  b c  c a   cos  cos  cos  (3) c a b 2 2  A B C A B C 3  Hướng 4: Từ (3) BĐT: cos  cos  cos  3cos , ta có:  2 la  lb lb  lc lc  la    3 (4), dấu xảy tam giác ABC Từ BĐT (4), ta c a b l l l l l l chuyển sang toán: Nhận dạng tam giác ABC biết: a b  b c  c a  3 c a b A 2bc cos la  cos A (vì (b  c )2  4bc ) Tương tự với hệ thức  Hướng 5: Từ (*) suy ra:  bc (b  c ) 2 l l l 1 A B C lb , lc cộng lại, ta có: a  b  c   cos  cos  cos  Áp dụng BĐT: bc ca ab 2 2 2 l l l A B C A B C 3 3 , ta thu BĐT: a  b  c  (5), dấu cos  cos  cos  3cos  2 bc ca ab xảy tam giác ABC Từ BĐT (5) ta chuyển sang tốn: Nhận dạng tam giác l l l 3 ABC biết: a  b  c  bc ca ab 1  Hướng 6: Từ (4) BĐT    , với x, y, z dương, ta có: x y z x yx a b c 9      (6) lb  lc lc  la la  lb lb  lc  lc  la  la  lb 3 a b c bc bc R(sin B  sin C ) B C  Hướng 7: Từ (*) suy ra:    R cos  2R A la 2cos A 2cos 2 (với R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) Tương tự với hệ thức lb , lc , bc ca ab cộng lại, ta có:    R (7) la lb lc TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 31 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Dạy học phần hình học       Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, I điểm thỏa mãn: IA  IB  5IC  Gọi D giao điểm DB hai đường thẳng AI BC Tính tỉ số DC Gợi ý: Để giải ví dụ 1, HS tham khảo kết sau:    Cho tam giác ABC, I tâm tỉ cự  hệ điểm  A( ), B (  ), C ( ) , ta có:  IA   IB   IC  (***) với       Nếu           , ta xét  IA   IB Khi đó,  IA   IB  (   ) IC ' với C’ tâm tỉ cự hệ hai điểm       A( ), B(  ) , nghĩa là:  C ' A   C ' B  C’ nằm đường thẳng AB, kết hợp với (***) suy    (   ) IC /   IC  , C’ nằm đường thẳng CI Vậy C’là giao điểm hai đường thẳng       AB CI Tương tự với tổng  IB   IC  IA   IC Với kết ta tìm giao điểm AI BC A’, với A’ tâm tỉ cự hệ hai điểm B (  ), C ( ) , giao điểm BI AC     Theo kết trên, đường thẳng AI cắt đường thẳng BC điểm D thỏa DB  5DC  , suy DB:DC = : Với cách tiếp cận HS chứng minh số hệ thức tâm tỉ cự ngắn gọn sau: Ví dụ 2: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC, I tâm đường tròn nội tiếp tam       giác ABC, đó: aIA  bIB  cIC  Gọi D giao điểm đường thẳng AI BC, E giao điểm đường thẳng BI   DB AB c c  AC, F giao điểm đường thẳng CI AB Ta có:    DB   DC DC b              AC b   bDB  cDC  , tương tự: aEA  cEC  0 aFA  bFB  Từ suy I tâm tỉ cự hệ      điểm  A( a ), B (b), C (c ) , tức aIA  bIB  cIC  Ví dụ 3: Cho I nằm tam giác ABC Gọi S a  S IBC diện tích tam giác IBC, S b  S IAC ,       S c  S IAB , đó: S a IA  Sb IB  Sc IC  Mở rộng ví dụ 3, ta có tốn sau: Ví dụ 4: Cho I điểm nằm tứ diện ABCD Gọi Va  VIBCD thể tích tứ diện IBCD,        Vb  VIACD , Vc  VIABD , Vd  VIABC Khi đó: Va IA  Vb IB  Vc IC  Vd ID  *** Từ số toán cho thấy, việc vận dụng nguyên tắc phân nhỏ Altshuller vào dạy học giải tập toán giúp HS rèn luyện bồi dưỡng TDST học tập GV cần vận dụng nguyên tắc cách linh hoạt nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học mơn Tốn phổ thơng -(1) Tôn Thân Xây dựng hệ thống câu hỏi tập nhằm bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh giỏi toán trường trung học sở Việt Nam Luận án Tiến Sĩ, 1995 Tài liệu tham khảo Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học mơn Tốn NXB Đại học sư phạm, H 2007 Bùi Văn Nghị Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học mơn Tốn trường phổ thông NXB Đại học sư phạm, H 2009 Phan Dũng Các thủ thuật (nguyên tắc) sáng tạo NXB Trẻ, TP Hồ Chí Minh, 2010 TỔ TỐN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 32 ... DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN Thầy: Nguyễn Vũ Thanh Trong dạy học nói chung dạy học. .. cao hiệu dạy học TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 13 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG HỐN VỊ VỊNG QUANH (MỞ... thực tiễn dạy học mơn tốn trường phổ thơng, NXB Đại học Sư phạm TỔ TỐN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012