Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI GIẢNG SỐ 4: PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng BÀI GIẢNG SỐ 4: PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M cho trước song song với đường thẳng D Phương pháp: · · uu uu r r d / / D Þ ud = uD uu uu r r Đường thẳng d : Qua M, có vectơ phương ud = uD Ví dụ: Viết phương trình tắc đường thẳng d , qua M (1; 2;3) song song với đường thẳng D qua điểm A (1;3;5) B (2;1; -1) Giải uuu r uu r uu r Ta có: AB = (1; -2; -6 ) Þ uD = (1; -2; -6 ) = ud uu r x -1 y - z - ud = (1; -2; -6 ) nên d: = = -2 -6 Đường thẳng d qua M (1; 2;3) , có VTCP Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC có A (1;0; ) , B ( -1; 2;3) , C ( 4; -2;1) Viết phương trình tắc d trường hợp sau: 1) Chứa cạnh AB cua tam giác ABC 2) Qua trọng tâm G tam giác ABC song song với cạnh BC Đáp số : 1) d : x -1 y z - ; 2) d : = = -2 = y = z -2 -4 -2 x- Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua A ( -2;1;3) song song với hai mặt phẳng cắt ( P) : x + y + z + = Đáp số : d: ( Q ) : x + y + z + = x + y -1 z - = = 1 -3 Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M cho trước vng góc với mặt phẳng ( P ) cho trước Phương pháp: · · uu uu r r Vì d ^ ( P ) nên chọn ud = nP uu uu r r d qua M , có vectơ phương ud = nP Ví dụ: Cho tam giác ABC có A (1; -2;1) ; B ( 4;0; ) ; C ( 2; -1; -4 ) Viết phương trình d qua gốc tọa độ vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Giải uuu r uuur uuu uuur r r Ta có : AB = ( 3; 2;1) ; AC = (1;1; -5 ) ; AB Ù AC = ( -11;16;1) Chọn n = ( -11;16;1) VTPT mặt phẳng ( ABC ) uu r r Vì d ^ ( ABC ) nên ud = n = ( -11;16;1) Đường thẳng d qua điểm O ( 0;0;0 ) , có VTCP uu r x y z ud = ( -11;16;1) nên d : = = -11 16 Bài tập: Cho A ( 2;1;1) mặt phẳng ( P ) : x + y - z = 1) Viết phương trình d qua A vng góc với ( P ) 2) Tìm tọa độ H giao điểm d ( P ) Tính khoảng cách từ A đến ( P ) Đáp số : 1) d : x - y -1 z -1 ; = = -1 2) Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d giao tuyến hai mặt ( P ) ( Q ) Phương pháp: · · Tìm điểm chung ( P ) ( Q ) uu uu uu r r r ud = nP Ù nQ Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng Ví dụ: Viết phương trình d giao tuyến hai mặt ( P ) : x + y - 3z - = ( Q ) : 3x + y - 3z - 11 = Giải uu r uu r uu uu r r uu r Ta có : nP = ( 2;1; -3) ; nQ = ( 3; 4; -3) ; nP Ù nQ = ( 9; -3;5 ) , chọn ud = ( 9; -3;5 ) ìx = ì2 x - y = 2ö 2ö ï ỉ ỉ Cho y = Þ í Ûí ị A ỗ 3;0; - ữ ẻ d ng thng d qua A ỗ 3;0; - ữ v 3ứ 3ø è è ỵ3x - 3z = 11 ï y = ỵ z+ uu r x -3 y có VTCP ud = ( 9; -3;5 ) nên: d : = = -3 Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d giao tuyến ( P ) ( Q ) trường hợp sau: 1) 2) 3) ( P ) : 3x - y + 11 = ( Q ) : x - 3z - = ( P ) : x + y + = ( Q ) : 3x + y + = ( P ) : z + = ( Q ) : y - = 11 ì ïx = - + t ì x = -1 ï ï Đáp số: 1) d : í y = t ; 2) d : í y = -4 ; ïz = t ï -7 ỵ ïz = + t 3 ỵ ìx = t ï 3) d : í y = ï z = -2 ỵ Bài tốn 4: Phương trình đường đặc biệt tam giác 4.1: Viết phương trình đường thẳng chứa trung tuyến AM tam giác ABC Phương pháp: · · Tìm tọa độ trung điểm M cạnh BC Viết phương trình qua điểm A M 4.2: Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH tam giác ABC Phương pháp: Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng · · uuur uuu r ì AH ^ BC ï Tìm tọa độ điểm H dựa vào tính chất: í uuur uuu r ï BH = k BC ỵ Viết phương trình qua A H Ví dụ : Cho tam giác ABC có A (1;1; ) , B ( -2;3;1) , C ( 3; -1; ) Viết phương trình đường thẳng chứa trung tuyến đường cao vẽ từ B tam giác Giải ü Phương trình đường trung tuyến BM: uuuu r Gọi M trung điểm AC, suy M ( 2;0;3) , BM = ( 4; -3;1) BM qua B ( -2;3;1) , r x + y - z -1 có VTCP u = ( 4; -3;1) Vậy BM: = = -3 ü Phương trình đường cao BH: Gọi H ( x; y; z ) chân đường cao kẻ từ B tam giac ABC uuur uuur uuur uuur Ta có: BH = ( x + 2; y - 3; z - 1) ; AC = ( 2; -2; ) Vì BH ^ AC Û BH AC = uuur uuur Û x - y + z + = (1) Mặt khác H thuộc ÁC nên AH phương với AC Û ìx + y - = x -1 y -1 z - Ûí = = -2 îx - z +1 = ( 2) Giải hệ pt (1) ; ( ) ; ( 3) Û H ( -1;3;0 ) ( 3) ì x = -2 + t uuur r ï ,t Ỵ R BH = (1;0; -1) BH qua B ( -2;3;1) , có VTCP u = (1; 0; -1) Þ BH : í y = ïz = 1- t ỵ Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC có A (11; 4; -3) , B ( 2;3;1) ; C ( 4; 4; -1) Viết phương trình đường trung tuyến AM, đường cao AH Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng ì x = 11 + 16t ì x = 11 + 3t ï ï Đáp số: AM : í y = + t , t Ỵ R ; AH : í y = - 2t , t Ỵ R ï z = -3 - 6t ï z = -3 + 2t î î Bài 2: Cho tam giác ABC có A (1;3; ) , B ( 2; 2;0 ) , phương trình trung tuyến ìx = 1+ t ï AM : í y = , t Ỵ R Viết phương trình cạnh BC, AC ïz = - t ỵ Đáp số: BC : x-2 y-2 z x -1 y - z - = = ; AC : = = 3 1 Bài tốn 5: Viết phương trình đường thẳng d qua A, vng góc với d1 , d ( d1 , d không phương) Phương pháp: · · r ur r ur uu r ìu ^ u1 ìd ^ d1 ï Vì í Û í r uu nên chọn u = u1 Ù u2 VTCP d r ỵd ^ d ïu ^ u2 î r d qua điểm A, có VTCP u Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A (1;1;3) , vng gốc với hai đường thẳng d1 : x -1 y - z + x + y + 12 z d : = = = = -1 2 1 Giải ur uu r r ur uu r Ta có : u1 = (1; -1; ) ; u2 = ( 2;1;1) ; Chọn u = u1 Ù u2 = ( -3;3;3) VTCP đường thẳng d Mặt khác d qua A (1;1;3) nên d có phương trình d : x -1 y -1 z - = = -1 1 Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua A ( 2; -1;1) vng góc với hai đường thẳng sau ìx = + t x -1 y + z - ï d : í y = -3 - 2t , t Ỵ R d1 : = = -1 -2 ïz = ỵ Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng Đáp số: d : x - y +1 z -1 = = Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d qua A, vng góc với d1 cắt d ( A Ï d ) Phương pháp: · Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc vớ i d1 · Tìm giao điểm B d với (P) · Phương trình d phương trình qua điểm A B Ví dụ: Viết phương trình d qua A (1;1;1) , vng góc với d1 : thẳng d : x y -1 z -1 cắt đường = = -2 x y z = = 2 Giải x y -1 z -1 ü Gọi (P) mặt phẳng qua A (1;1;1) vng góc với d1 : = Ta có : = -2 r (P) mặt phẳng qua A (1;1;1) có VTPT n = (1; -2;1) Þ ( P ) : x - y + z = Gọi B giao điểm d với mặt phẳng ( P ) Þ B ( 0;0;0 ) uuu r r ü AB = ( -1; -1; -1) Đường thẳng d qua A (1;1;1) có VTCP u = (1;1;1) nên đường thẳng d có phương trình d : x -1 y -1 z -1 = = 1 Bài tập: Viết phương trình d qua A (1; 2;3) , vng góc với d1 : đường thẳng d : Đáp số: d : x-2 y +2 z -3 cắt = = -1 x -1 y -1 z + = = -1 x -1 y - z - = = -3 -5 Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt hai đường thẳng d1; d Phương pháp: ü Gọi M Ỵ d1; N Ỵ d Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng uuuu r uuur ü Vì A, M, N thẳng hàng nên AM = k AN từ suy toan độ M, N ü Phương trình d qua điểm A,M A, N Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua A (1;1;1) , cắt hai đường d1; d có phương trình d1 : x y -1 z -1 x y z d : = = = = -2 1 2 Giải uuuu r ü Gọi M ( t;1 - 2t;1 + t ) N ( u; 2u; 2u ) thuộc d1; d Ta có : AM = ( t - 1; -2t ; t ) ; uuur AN = ( u - 1; 2u - 1; 2u - 1) ìt - = k ( u - 1) ìku = uuuu r uuur ï ï ü Vì A, M, N thẳng hàng nên AM = k AN Û í-2t = k ( 2u - 1) Û ík = ï ït = ỵ ỵt = k ( 2u - 1) ìx = 1- t uuuu r ï Þ AM = ( -1;0;0 ) Suy d có phương trình d : í y = , t Ỵ R ïz = ỵ Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua A (1; -1;1) , cắt hai đường d1; d có phương ì x = + 2t x y +1 z - ï trình d1 : í y = t , t Ỵ R d : = = -2 ïz = - t ỵ Đáp số: d : x -1 y +1 z -1 = = -7 Bài tốn 8: Viết phương trình đường thẳng d qua A , cắt vng góc với đường thẳng D Phương pháp: uuuu r ü Gọi M Î D Þ AM uuuu uu r r ü Vì AM ^ D Û AM uD = Þ M ü Phương trình d qua hai điểm A M Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua A ( -4; -2; ) , cắt vng góc với đường thẳng ì x = -3 + 2t ï D : í y = - t , t Ỵ R ï z = -1 + 4t ỵ Giải uuuu r uu r Gọi M thuộc D Þ M ( -3 + 2t ;1 - t ; -1 + 4t ) Þ AM = (1 + 2t ;3 - t ; -5 + 4t ) ; uD = ( 2; -1; ) uuuu uu r r uuuu r Ta có : MA ^ D Û AM uD = Û t = -1 Þ AM = ( 3; 2; -1) Đường thẳng d qua A ( -4; -2; ) , có r x+4 y+2 z-4 VTCP u = ( 3; 2; -1) Vậy d : = = -1 Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua A ( -4; -2; ) , cắt vng góc với đường thẳng D: x -1 y z + = = -1 Đáp số: d : x+4 y+2 z-4 = = -6 -7 Bài tốn 9: Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1; d Phương pháp: ü Gọi A, B thuộc d1; d (theo tham số khác nhau) uuu ur r ì AB.u1 = ì AB ^ d1 ï ü Ta có: í Û í uuu uu , từ tìm A, B r r ỵ AB ^ d ï AB.u2 = ỵ ü Phương trình d phương trình AB Ví dụ: Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1; d biết: d1 : x - y +1 z - x-2 y -4 z +3 ; d2 : = = = = -1 -1 Giải uuu r Gọi A ( + t; -1 - t; + t ) ; B ( + 2u; - u; -3 + 4u ) Ỵ d1; d , AB = ( -1 + 2u - t ;5 - u + t ; -7 + 4u - t ) Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng uuu ur r ì AB.u1 = ì ì AB ^ d1 ì7u - 3t = 13 ìu = ï ï A (1;1; ) Ta có: í Û í uuu uu Ûí Ûí Ûí r r ỵ21u - 7t = 35 ỵt = -2 ỵ AB ^ d ï B ( 4;3;1) ï AB.u2 = î î r x -1 y -1 z - Đường thẳng d qua A (1;1; ) , có VTCP u = ( 3; 2; -1) Vậy d : = = -1 Bài tập: Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1; d biết: d1 : x +1 y -1 z - x-2 y+2 z ; d2 : = = = = 1 -2 17 24 yz13 = 13 = 13 Đáp số: d : 11 -5 -7 x+ Bài tốn 10: Viết phương trình đường thẳng d song song với D cắt hai đường d1; d Phương pháp: uuuu r ü Gọi M, N thuộc d1; d Þ MN uuuu r uu r ü Vì MN / / D Þ MN = kuD uu r ü Phương trình d qua M N có VTCP uD Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d song song với D : đường d1 : x+4 y -5 z +2 cắt hai = = -4 x -1 y +1 z - x+ y -3 z ; d2 : = = = = 2 Giải Gọi M (1 + 3t; -1 + t ; + 2t ) ; N ( -2 + 2u;3 + 4u; u ) thuộc hai đường thẳng d1; d Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng uuuu r uu r MN = ( 2u - 3t - 3; 4u - t + 4; u - 2t - ) uD = ( 3; -4;1) Vì MN song song với D nên ta có: ì ït = - ì2u - 3t - = 3k uuuu r uu r ï ï MN = kuD Û í4u - t + = -4k Û íu = -1 Þ N ( 0; -1; -1) Đường thẳng d qua N ( 0; -1; -1) , ïu - 2t - = k ï ỵ ïk = î r x y +1 z +1 có VTCP u = (3; -4;1) Phương trình đường thẳng d: = = -4 Bài tập:Viết phương trình đường thẳng d song song với D : x y -1 z - cắt hai = = -1 x -1 y + z - x+4 y+7 z ; d2 : = = = = đường d1 : 99 142 58 yz47 = 47 = 47 -1 x- Đáp số: d : Bài toán 11: Viết phương trình d nằm (P) cắt hai đường thẳng d1; d Phương pháp: ü Xác định A = d1 Ç ( P ) ; B = d Ç ( P ) ü Phương trinh AB phương trình d Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng ( P ) : x + y + z - = cắt hai đường d1 : x -3 y -2 z -6 x - y z -1 d : = = = = Giải Gọi A ( + 2t ; + t ;6 + 5t ) Ỵ d1 ; B ( + 3u; 2u;1 + u ) Ỵ d Vì A B thuộc (P) nên ta có: uuu r ì ì2 ( + 2t ) + + t + + 5t - = ìt = -1 ï ï A (1;1;1) Ûí Ûí Þ AB = ( 2; -3;1) Đường thẳng d qua í ï2(6 + 3u ) + 2u + + u - = ỵu = -1 ï B ( 3; -2; ) ỵ ỵ r x -1 y -1 z -1 A (1;1;1) có VTCP u = ( 2; -3;1) Vậy d : = = -3 -1 Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! 10 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng Bài tập:Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng ( P ) : y + z = cắt hai ìx = 1- t ìx = - u ï ï đường d1 : í y = t d : í y = + 2u ïz = ïz = ỵ ỵ Đáp số: d : x -1 y z = = -2 Bài tốn 12: Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) cắt vuông góc với đường thẳng D Phương pháp: r uu r r uu uu r r ì ìd Ì ( P ) ïu ^ nP ï ü Ta có: í Þ í r uu Þ Chọn u = nP Ù uD r ïd ^ D ïu ^ uD ỵ ợ ỹ Gi M = d ầ D ị M = D Ç ( P ) r ü Viết phương trình d qua M có VTCP u Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng ( P ) : x + y - z - = cắt vng góc với D : x -1 y -1 z -1 = = 2 Giải r uu r uu r uu r ì r uu uu r r ìd Ì ( P ) ïu ^ nP ï Ta có: nP = (1;1; -1) ; uD = (1; 2; 2) í Þ í r uu Þ Chọn u = nP Ù uD = ( 4; -3;1) Gọi M r ïd ^ D ïu ^ uD ỵ ỵ ìx = 1+ t ï y = + 2t ì ï ït = giao điểm d với ( P ) tọa độ M nghiệm hệ: í Ûí ï M (1;1;1) ỵ ï z = + 2t ïx + y - z -1 = ỵ r x -1 y -1 z -1 Đường thẳng d qua M (1;1;1) , có VTCP u = ( 4; -3;1) Vậy d : = = -3 Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng ( P ) : x + y - z + = cắt x -1 y + z - = = -1 Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! 11 vng góc với D : Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng ìx = t ï Đáp số: d : í y = -1 , t Ỵ R ïz = + t ỵ Bài tốn 13: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A , song song với mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng D Phương pháp: r uu r r uu uu r r ì ìd / / ( P ) ïu ^ nP ï ü Ta có: í Þ í r uu Þ Chọn u = nP Ù uD r ïd ^ D ïu ^ uD ỵ ỵ r uu uu r r ü Đường thẳng d qua A có VTCP u = nP Ù uD Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A (1;1;5) , song song với mặt phẳng ( P ) : x + y - z - = vuông góc với đường thẳng D : x -1 y -1 z -1 = = 2 Giải r uu r uu r uu r ì r uu uu r r ìd Ì ( P ) ïu ^ nP ï Ta có: nP = (1;1; -1) ; uD = (1; 2; 2) vì: í Þ í r uu Þ Chọ u = nP Ù uD = ( 4; -3;1) Đường r ïd ^ D ïu ^ uD ỵ ỵ r uu uu r r x -1 y -1 z - thẳng d qua A (1;1;5 ) , có VTCP u = nP Ù uD = ( 4; -3;1) Vậy d : = = -3 Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A (1;1; -2 ) , song song với mặt phẳng ( P ) : x - y - z -1 = vng góc với đường thẳng D : x -1 y -1 z + = = -3 Bài tốn 14: Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( P ) cắt hai đường d1; d chéo Phương pháp: uuu r ü Giả sử A = d Ç d1 ; B = d Ç d Þ AB uuu r uu r ü Vì AB ^ ( P ) Þ AB = k nP Þ A, B r uu r ü Phương trình d qua A B có d Ç d1 có VTCP u = nP Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! 12 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( P ) : x + y - z = cắt ì x = -1 + 2t x y -1 z + ï hai đường thẳng d1 : = d : í y = + t , t Ỵ R = -1 ïz = ỵ Giải Giả sử: A = d Ç d1 ; B = d Ç d Þ A ( 2u;1 - u; -2 + u ) ; B ( -1 + 2t;1 + t;3) Ta có : uu r uuu r uuu r AB = ( 2t - 2u - 1; t + u;5 - u ) ; VTPT (P): nP = (7;1; -4) AB ^ ( P ) nên AB phương uu r 2t - 2u - t + u - u với nP Û = = Û t = -2; u = Þ A ( 2;0; -1) ; B ( -5; -1;3) Vậy đường thẳng -4 x - y z +1 d có phương trình d : = = -4 Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( P ) : 3x - y + z - = cắt hai đường thẳng d1 : x y -1 z -1 x y z d : = = = = -2 1 2 ì ï x = 13 + 3t ï 14 ï Đáp số: d : í y = - t , t Ỵ R 13 ï ï 14 ï z = 13 + t ỵ Bài tốn 15: Viết phương trình đường đường thẳng d qua điểm A, song song với mặt phẳng ( P ) cắt đường thẳng D Phương pháp: ü Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) qua A song song với ( P ) ü Gọi B = D Ç ( Q ) ü Phương trình d phương trình AB Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua A ( 3; 2; -4 ) song song với mặt phẳng x - y + z -1 = = -2 Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! 13 ( P ) : 3x - y - 3z - cắt D: Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng Giải uu r Mặt phẳng ( Q ) qua A song song với ( P ) Þ nQ = ( 3; -2; -3) VTPT ( Q ) Þ phương trình ( Q ) : 3x - y - 3z - 17 = Gi B ẻ D ị B ( + 3t; -4 - 2t;1 + 2t ) , mà B Ỵ (Q) Þ ( + 3t ) - ( -4 - 2t ) - 3(1 + 2t ) - 17 = Ût = x-3 y -2 z +2 ỉ 32 -40 19 = = Bỗ ; ; ữ Vy phng trỡnh d : 11 -54 47 è 7 ø Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua O ( 0;0;0 ) song song với mặt phẳng ( P ) : x - y + 5z - = cắt Đáp số: d : D: x y -1 z + = = x y z = = 28 27 16 Bài tốn 16: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng (P) ( d khơng vng góc với ( P ) ) Phương pháp: · Nếu D / / ( P ) thì: ü Chọn điểm M thuộc D Tìm tọa độ H hình chiếu vng góc M ( P ) uu r ü d qua H có VTCP uD · Nếu d cắt ( P ) thì: ü Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa D vng góc với ( P ) ü Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng ( Q ) ( P ) Ví dụ: Viết phương trình hình chiếu vng góc D : x - y +1 z - lên mặt phẳng = = 2 ( P) : x - 3y + z - = Giải Nhận xét : D cắt ( P ) Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! 14 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng Gọi ( Q ) mặt phẳng chứa D vng góc với mặt phẳng (P) ( Q ) qua M ( 2; -1; ) có VTPT r n = ( -5;1;8 ) Þ ( Q ) : -5 x + y + z - ì -5 x + y + z - = x - y -1 z - d giao tuyến ( P ) ; ( Q ) Þ d : í hay d : = = 25 13 14 ỵx - 3y + z - = Bài tập: Cho đường thẳng d : x y +8 z -3 mặt phẳng ( P ) qua điểm A ( 7;0;0 ) , = = -1 B ( 0;7;0 ) , C (0; 0; 7) Viết phương trình d’ hình chiếu vng góc d lên ( P ) ìx = ï Đáp số: d : í y = -4 + 8t , t Ỵ R ï z = - 8t ỵ Bài tốn 17: Viết phương trình hình chiếu song song d1 lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu d ( d1 ¹ d ) Phương pháp: uu ur uu r r ì( Q ) / / d ï ü Gọi (Q) mặt phẳng: í Þ nQ = u1 Ù u2 ï( Q ) É d1 ỵ ü Phương trình d giao tuyến ( P ) ( Q ) x y -1 z = = lên mặt phẳng x -1 y z - = = ( P ) : x - y - z - = theo phương chiếu d : 2 Ví dụ: Viết phương trình hình chiếu song song d1 : Giải uu ur uu r r ì( Q ) / / d ï Gọi (Q) mặt phẳng: í Þ nQ = u1 Ù u2 = (0;1; 2) Þ ( Q ) : y - z - = ï( Q ) É d1 ỵ ìx - y - 2z -1 = x - y -1 z d giao tuyến ( P ) ( Q ) Þ d : í hay d : = = ỵ y - 2z -1 = Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! 15 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng x -1 y + z - lên mặt phẳng = = 2 x + y - z -1 = = ( P ) : x - y - z + = theo phương chiếu d : 2 Bài tập: Viết phương trình hình chiếu song song d1 : 25 27 y7 = =z -1 x- Đáp số: d : Bài tốn 18: Viết phương trình đường thẳng d sử dụng cơng thức góc Phương pháp: uu uu r r ud uD Gọi a góc d D ta có cosa = uu uu r r ud uD Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng d qua A (1;1; ) vng góc với D : x -1 y - z = = 2 tạo với trục Oz góc a cho: 1) a = 45o ; 2) a nhỏ Giải uu uu r r uu r Giả sử: ud = ( a; b; c ) với a + b + c > VTCP d Vì d ^ D nên ud uD = Û b = -2a - 2c Ta có · Cos(d , Oz ) = 1) a = 45o Û c 5a + 8ac + 5c = c a +b +c 2 = c 5a + 8ac + 5c 2 = Cosa é a = -c Û 5a + 8ac + 3c = Û ê ë5a = -3c ìx = 1- t ï Với a = -c Chọn c = Þ a = -1; b = Þ d : í y = , t ẻ R ùz = + t ợ ỡ x = - 3t ï Với 5a = -3c Chọn c = Þ a = -3; b = -4 Þ d : í y = - 4t , t Ỵ R ï z = + 5t ỵ Viết tặng em học sinh u q tôi_Chúc em học tập thật tốt! 16 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng 2) Ta có : Cos 2a = c2 5a + 8ac + 5c Với c = Þ Cosa = 90o a 1 ta có Cos 2a = = £ Với 0o £ a £ 90o a nhỏ c 5t + 8t + ỉ 4ư 9 5ỗ t + ữ + ố 5ứ -4 a Cosa lớn Û Cos 2a lớn Û t = Û = - Chọn c = Þ a = -4; b = -2 c Với c ¹ , đặt t = Phương trình d : x -1 y -1 z - = = -4 -2 Bài tập: Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua A (1; 2;3) tạo với trục Ox, Oy góc 60o 45o ìx = 1+ t ï Đáp số: d : í y = ± 2t , t Ỵ R ïz = ± t ỵ Bài 2: Cho đường thẳng D : x y-2 z = = mặt phẳng ( P ) : x - y + z - = Viết phương 2 trình đường thẳng d qua A ( 3; -1;1) vng góc với ( P ) tạo với đường thẳng D góc 45o ìx = + t ï Đáp số: d : í y = -1 + t ïz = ỵ ì x = + 7t ï d : í y = -1 - 8t , t ẻ R ù z = - 15t ợ Bài tốn 19: Viết phương trình đường thẳng sử dụng công thức khoảng cách r Phương pháp: Đường thẳng D qua điểm M, có VTCP u khoảng cách từ A đến D r uuuu r u Ù AM là: d( A;D ) = r u Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! 17 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng d qua A (1;0;1) vng góc với D : đồng thời d cách gốc tọa độ khoảng x -1 y + z -1 , = = -1 Giải uu uu r r r Gọi u = ( a; b; c ) với a + b + c > VTCP đường thẳng d Vì d ^ D nên ud uD = uuu r uuu uu r r Û a + 2b - c = Û c = a + 2b Ta có d qua A (1;0;1) Þ OA = (1; 0;1) Þ OA Ù ud = ( -b; a - c; b ) = ( -b; -2b; b ) Þ d( o;d ) uuu uu r r OA Ù ud = = uu r ud 6b a +b +c 2 = 6b 5a + 4ab + 5b Û a = -b Chọn a = Þ b = -1; c = -1 , đường thẳng d : = Û (a + b) = 2 x -1 y z -1 = = -1 -1 Bài tập: Bài 1: Cho điểm A ( -3;0;1) , B (1; -1;3) mặt phẳng ( P ) : x - y + z - = Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với (P) cho khoảng cách từ B đến d ngắn Đáp số: d: x + y z -1 = = 26 11 -2 Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d nằm ( P ) : x + y - z - = , vng góc với D: x -1 y -1 z -1 cách giao điểm D với ( P ) khoảng = = 2 Đáp số: d : 78 x -3 y - z -8 x +1 y + z + d : = = = = -3 -3 Bài toán 20: Một số tốn lập phương trình đường thẳng khác x-3 y -2 z -6 mặt phẳng = = ( P ) : x - y - z + = Viết phương trình d qua điểm A, cắt d B cắt ( P ) C cho: Ví dụ 1: Cho điểm A ( -1;0; ) , đường thẳng D : uuur uuu r r AC + AB = Giải Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! 18 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng Gọi M = D Ç ( P ) Þ M ( 5;6;7 ) Dựng đường thẳng D1 qua A song song với D , suy x +1 y z - Gọi N giao điểm D1 với ( P ) , suy N ( -3; -4;1) Gọi C điểm = = uuur uuuu r r ( P ) cho NC + NM = Û C ( -19; -24; -11) Đường thẳng d cần tìm qua điểm C D1 : A có phương trình d : x +1 y z - = = 18 24 13 Ví dụ 2: Cho điểm M (1;1;1) , đường thẳng D : x - y -1 z = = mặt phẳng ( P ) có phương -1 trình ( P ) : x + y - z + = Gọi A giao điểm D ( P ) Viết phương trình chứa M, cắt D ( P ) tương ứng B C cho tam giác ABC cân B Giải r r Đường thẳng D có VTCP u = (1; -1;1) , mặt phẳng (P) có VTPT n = (1;1; -1) Gọi H hình r r Chiếu B (P) , Cos · = Cos u , n = Do tam giác ABC cân B nên ta có: ABH ( ) uuur r · = CBH Þ CosCBH = hay Cos MB, n = (*) Vì B Ỵ D Þ B ( t + 2;1 - t; t ) · ABH · 3 ( ) uuur uuur Þ MB = ( t + 1; -t; t - 1) nên từ (*) có t = Þ MB = (11; -5; -1) Vậy đường thẳng d có phương Trình d : x -1 y -1 z -1 = = 11 -5 -1 Bài tập: Bài 1: Cho hai đường thẳng d1 : x - y -1 z x - y -1 z - ; d2 : Và mặt phẳng = = = = -5 -1 ( P ) : x + y + z - = Đường thẳng d cắt d1 d A B, đồng thời khoảng cách từ d đến mặt phẳng ( P ) Viết phương trình đường thẳng d, biết điểm A có hồnh độ dương Hướng dẫn: Chú ý AB / / ( P ) Đáp số: d : x - y - 13 z + 30 = = -10 -11 31 Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! 19 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng Bài 2: Cho hai đường thẳng d1 : x -1 y + z x -1 y - z = = ; d2 : = = Và mặt phẳng 1 ( P ) : x + y - z + = Viết phương trình đường thẳng d song song với ( P ) cắt d1; d A, B cho AB = 29 Đáp số: d : x - y z -1 x +1 y + z +1 d : = = = = 4 Bài 3: Cho đường thẳng D : x - y + z +1 mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = Viết = = -1 phương trình d nằm mặt phẳng ( P ) cho cho d vng góc với D khoẳng cách hai đường d D Đáp số: d : 21 x-5 y + z +5 = = -3 d : x +3 y + z -5 = = -3 Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt! 20 ... P ) cắt đường thẳng D Phương pháp: ü Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) qua A song song với ( P ) ü Gọi B = D Ç ( Q ) ü Phương trình d phương trình AB Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d... Viết phương trình đường thẳng d qua A, vng góc với d1 cắt d ( A Ï d ) Phương pháp: · Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc vớ i d1 · Tìm giao điểm B d với (P) · Phương trình d phương trình. .. ỵ Bài tốn 4: Phương trình đường đặc biệt tam giác 4.1: Viết phương trình đường thẳng chứa trung tuyến AM tam giác ABC Phương pháp: · · Tìm tọa độ trung điểm M cạnh BC Viết phương trình qua điểm