Đang tải... (xem toàn văn)
Biến đổi Z hai phía của một tín hiệu rời rạc xn được định nghĩa như sau: X(z) = Z(xn) = X +∞ n=−∞ xnz −n trong đó, z là một biến phức → biến đổi Z biến một tín hiệu từ miền thời gian rời rạc sang miền phức (mặt phẳng Z).
CHƯƠNG V Biến Đổi Z Áp dụng cho Biểu Diễn Phân Tích Hệ Thống Rời Rạc Trần Đức Tân Khoa Điện- Điện tử, Trường Đại học Phenikaa 2021 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Biến đổi Z tín hiệu rời rạc Biến đổi Z hai phía Biến đổi Z hai phía tín hiệu rời rạc x[n] định nghĩa sau: X (z) = Z(x[n]) = +∞ X x[n]z −n n=−∞ đó, z biến phức → biến đổi Z biến tín hiệu từ miền thời gian rời rạc sang miền phức (mặt phẳng Z) Biến đổi Z x[n] tồn chuỗi biến đổi hội tụ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Biến đổi Z tín hiệu rời rạc Biến đổi Z phía Biến đổi Z phía tín hiệu rời rạc x[n] định nghĩa sau: 1 X (z) = Z (x[n]) = +∞ X x[n]z −n n=0 Biến đổi phía hai phía tín hiệu nhân đồng Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Biến đổi Z tín hiệu rời rạc Miền hội tụ biến đổi Z Miền hội tụ (ROC) biến đổi Z tập hợp tất giá trị z làm cho chuỗi biến đổi P x[n]z −n hội tụ Điều kiện hội tụ biến đổi Z xác định từ điều kiện Cauchy sau đây: 1/n lim |x[n]| n→∞ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) < ⇐⇒ +∞ X x[n] < ∞ n=0 Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Biến đổi Z tín hiệu rời rạc Miền hội tụ biến đổi Z Các điều kiện hội tụ sau cho biến đổi Z có từ việc sử dụng điều kiện Cauchy: Rx− < |z| < Rx+ đó: Rx− = lim |x[n]|1/n n→∞ Rx+ = 1/ lim |x(−n)|1/n n→∞ ROC biến đổi Z miền nằm giới hạn hai đường đồng tâm gốc có bán kính Rx− Rx+ mặt phẳng Z Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Biến đổi Z tín hiệu rời rạc Miền hội tụ biến đổi Z ROC biến đổi Z cho số dạng tín hiệu: Tín hiệu nhân có độ dài hữu hạn: ROC toàn mặt phẳng Z trừ điểm gốc (Rx− = 0, Rx+ = ∞) Tín hiệu nhân có độ dài vơ hạn: ROC tồn phần mặt phẳng Z nằm bên ngồi đường trịn bán kính Rx− (Rx+ = ∞) Tín hiệu phản nhân có độ dài hữu hạn: ROC tồn mặt phẳng Z (Rx+ = ∞, Rx− không tồn tại) Tín hiệu phản nhân có độ dài vơ hạn: ROC toàn phần mặt phẳng Z nằm bên đường trịn bán kính Rx+ (Rx− khơng tồn tại) ROC biến đổi Z phía giống ROC biến đổi Z hai phía cho tín hiệu nhân Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Biến đổi Z tín hiệu rời rạc Tính chất biến đổi Z Tuyến tính: Z(αx1 [n] + βx2 [n]) = αZ(x1 [n]) + βZ(x2 [n]) Dịch thời gian: Z(x[n − n0 ]) = z −n0 X (z) Co giãn mặt phẳng Z : Z(an x[n]) = X (a−1 z) với ROC |a|Rx− < |z| < |a|Rx+ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Biến đổi Z tín hiệu rời rạc Tính chất biến đổi Z Lật: Z(x[−n]) = X (z −1 ) với ROC 1/Rx+ < |z| < 1/Rx− Đạo hàm miền Z: Z(nx[n]) = −z dX (z) dz Tích chập: Z(x1 [n] ∗ x2 [n]) = X1 (z)X2 (z) Tương quan: Z(rx1 x2 [n]) = X1 (z)X2 (z −1 ) Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Biến đổi Z tín hiệu rời rạc Tính chất biến đổi Z phía Trễ: Z (x[n−k ]) = z −k X (z)+ k X x[−m]z m−k (k > 0) m=1 Tiến: k Z (x[n + k ]) = z X (z) − k −1 X x[m]z −m (k > 0) m=0 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Biến đổi Z tín hiệu rời rạc Tính chất biến đổi Z phía Định lý giá trị cuối: lim x[n] = lim (z − 1)X (z) n→∞ z→1 ROC (z − 1)X (z) chứa đường tròn đơn vị mặt phẳng Z Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 10 / 29 Biến đổi Z nghịch Phương pháp khai triển phân thức tối giản Không giảm tổng quát, giả thiết X (z) biểu diễn dạng phân thức hữu tỉ N(z)/D(z) (N(z) D(z) đa thức bậc N(z) nhỏ bậc D(z)) Gọi {zpk } trị cực X (z): {zpk } nghiệm phương trình D(z) = Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 15 / 29 Biến đổi Z nghịch Phương pháp khai triển phân thức tối giản Nếu tất trị cực {zpk } trị cực đơn, X (z) khai triển sau: X (z) = X k Ak z − zpk đó, hệ số {Ak } tính cơng thức: Ak = (z − zpk )X (z)|z=zpk Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 16 / 29 Biến đổi Z nghịch Phương pháp khai triển phân thức tối giản Trong trường hợp X (z) có trị cực bội, gọi sk giá trị bội trị cực zpk , công thức khai triển X (z) sau: X (z) = sk XX k s=1 Aks (z − zpk )s đó, hệ số {Aks } tính công thức: d sk −s (z − zpk )sk X (z) Ak s = (sk − s)! dz sk −s z=zp k Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 17 / 29 Biến đổi Z nghịch Phương pháp khai triển phân thức tối giản Biến đổi Z nghịch phân thức tối giản (1) Z −1 Z −1 z z −α z −α = Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) = αn u[n] (|z| > |α|) −αn u[−n − 1] (|z| < |α|) n−1 α u[n − 1] (|z| > |α|) −αn−1 u[−n] Tín hiệu Hệ thống (|z| < |α|) 2021 18 / 29 Biến đổi Z nghịch Phương pháp khai triển phân thức tối giản Biến đổi Z nghịch phân thức tối giản (2) Z −1 z = (z − α)m+1 n(n−1) (n−m+1) n−m α u[n] m! (|z| > |α|) − n(n−1) (n−m+1) αn−m u[−n − 1] m! (|z| < |α|) Chú ý: việc sử dụng phương pháp thường dễ dàng khai triển X (z)/z thay khai triển X (z) Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 19 / 29 Quan hệ với biến đổi Fourier Tính biến đổi Fourier qua biến đổi Z Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc x[n] biến đổi Z đường tròn đơn vị mặt phẳng Z → biến đổi Fourier x[n] tồn ROC biến đổi Z chứa đường tròn đơn vị Ứng dụng: tính biến đổi Fourier thuận nghịch tín hiệu rời rạc qua biến đổi Z thuận nghịch Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 20 / 29