Đang tải... (xem toàn văn)
Có thâm niên giảng dạy lâu năm tại Gia Lai, từ năm 1986 đến 2007, thầy Nguyễn Trọng Tuấn từng công tác ở nhiều đơn vị trường học: THPT Pleiku, THPT Phan Bội Châu, THPT Chuyên Hùng Vương với nhiệm vụ giảng dạy môn ToánTin và bồi dưỡng học sinh giỏi. Cuốn sách này được dùng nhiều để bồi dưỡng học sinh giỏi toán olympic
"ng "`: « R: Tap hop cac số thực 1C HLI[ILI, + *ILL 1l JLẺ., IR” : Tập hợp số thực đương Q: Tập hợp số hữu tỉ THẦI: THL/ THẺ 1L lL|LL Q” : Tap hợp số hữu tỉ dương Z2: Lập hợp số nguyên „ Z⁄NÑ”:T ập hợp số nguyên đương „ _Ñ: Tập hợp số tự nhiên _ IMO: Ơlimpic tốn quốc tế = Palkan : Olimpic tốn vùng Ban Căng UMTS: Thi chọn tài toán học Mĩ w USAMO: Ơlimpic tốn Hoa Hoa Ki n AIME: Cuộc thi tốn tồn Hoa Kì (vịng 2) „w MOSP: Trường hè toán học Mĩ m_ Putnam : Cuộc thi toán cho sinh viên Mĩ Canađa „m APMO ¡ CAMO : Ơlimpic tốn Canađa JiUL PL SE “ÂN kš m : Cuộc thi toán châu Á - Thái Bình Dương « AUS: Olimpic tn Oxtraylia Sun | Iran : Olimpic todn Iran e a Nordic : Olimpic todn Na Uy Iberoamerican : Ơlimpic tốn châu My la tinh w Flanders : Cudc thi todn vùng Flanders nước Bỉ ø Trung Quốc : Ơlimpic tốn Ïrũng Quốc a 17/206 : Bai todn T7/206 tạp chí Tốn học Tuổi trẻ „ BMO : Ơlimpic tốn Anh quốc Oo ; = a ext ti MÔ Đ@Ø phương Toán học Các toán hàm số Hàm số khái niệm kì thi Olimpic thường xuyên xuất g dạn ảa phú, ng hàm trình hiểm hàm số, phương trình hàm liệu tài nay, đến cho ng, toán Thế việc giảng dạy, bơi dưỡng nhiêu khó khăn cho thường tắn mạn Điều thường gây đặc biệt lò tỉnh vùng sâu, vùng x4 học sinh khá, giỏi, sinh việc đỡ phần chơ giáo viên học Cuốn sách tài liệu giúp sách giải tốn Nội dung giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi c toán theo tỉnh thân kì thí Olimpi hàm h trìn ơng phư số hàm đến n liên qua quát dạng tốn này, có khả tổng giải g năn kĩ n luyệ rèn sinh học Qua giúp giải tốn Do khn khổ tư h thàn hình tốn số hố hố cụ thể c đề cập : hàm đa thức, hàm hoặ cập đề c đượ ng khô g dun nội số sách, nhờ dãy số, bất nguyên, giải phương trình hàm nhiêu biến, hàm liên quan đến phần c xét đến với mứt với tốn hàm liên tục đượ phương trình hàm Hàm số thông độ đơn giản, phù hợp với học sinh phổ Olimpic tuyển chọn từ ki thi sách n cuố g tron toán Phân lớn tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Một số c hoặ tế, c quố vực khu , tốn nước có tốn ma tac gid trích ng nhữ tất ơn cảm Xi tác g sán toán khác phải hay ngắn gọn nhất, a chư a đ giải lời ng Nhữ chọn sách mà bạn đọc tham khảo xem lời giải Cuốn sách gâm chương : tập hợp số hàm số Chương mở đầu : Một số kiến thức giá trị hàm số Chương ï : Các toán liên quan đến tập số thực Chương lI : Giải phương trình hàm n, số nguyễn va tap hop số hitu ii nhiê tự số hợp tập n trê số Hàm : Chương III hàm số qua kì thi Olimpic Chương IV : Nhin lai mot số toán + Cuối phần trả lài tập g, n Doãn Thoại, T5 Trần Phương Dun Pha S PGST dén on biết lòng tổ Tác giả xin o dục), TS N guyen Trọng Thiệp (Ban Tốn ~ NXB Giá bạn Hồng Xn Vinh, Nguyễn Lai) dé ), thay Đặng Phúc Thanh (Pleiku — Gia Tre Tuổi học n Tố chí (Tạp Hải Việt u q trình hồn thiện sách động viên giúp đố tác giả nhiề sót g sách song khó tránh khỏi sai tron đề vấn Kĩ cứu iên ngh Tuy đọc Những ý kiến đóng góp xim gửi bạn góp g đón ơn cảm nh Tác giả xin chân ao, Hà Nội Trường THPT g Hưn n Trầ 81 — dục o Giá địa : Nhà xuất Hùng Vương, tỉnh Gia Lai Jửi———— Tác gia Je ULL L HLỮ IIIJJJ[IIIHLI I' IÍJlLU huong mé dau UU BE SIEM TY Te Ì MOT SO KIEN THUC VE TAP HOP SO VA HAM SO IS) Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức tập hợp số hàm số mà sách có sử dụng Một số kết có đưa phép chứng minh, số kết khác khơng có chứng minh kèm theo chúng đơn giản có số tài liệu Trong sách này, nói đến tập hợp ta hiểu tập hợp số AT I RR SS PE $1 BO TUC VỀ TẬP HỢP SỐ na ° aw ^~ I TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN \ 1) Phân tích tiêu chuẩn số tự nhiên Mọi số tự nhiên lớn viết cách (không kể thứ tự nhân tử) nhiên p¡ (¡ =1,2, k) đạng n= py ps? pKm voi m,k; la số tự số nguyên tố khác 2) Hệ đếm số b Cho b số tự nhiên lớn Khi số tự nhiên n viết s_ dạng n — pa, + ba) + + ba; + ao, aj € {0, 1, 2, , b- 1}, a, #0 Khi viết n = (aiâk _1 14o)p Chi ý : Hệ đếm số gọi hệ nhị phân Hệ đêm sô gọi hệ tam phân Đối với số cụ thê viết có thê bỏ đấu ngoặc hạn 1102 ;5617 Ví dụ Số 13 biểu diễn hệ đếm số 11012 Số 14 biểu diễn hệ đếm số 1123 kết v h cọ A ne cb> © 3) Một số nhi phan n hệ nhị phân ta có Giả sử n = ayâk_1 -31202 biểu diễ _——————— —————- _2n Qn+1= = avay_1-.aiaoỦ› 4n+l=akay- aiAo01; › av2k_I 3120 l2; 4n +3 = avak-i a1A0112 xét : Từ biểu diễn trên, ta có nhận n n 2n ° Số chữ số biểu diễn nhị phâ + Ì số chữ số 2n n phâ nhị n diễ u biể ng tro e Số chữ số m biểu diễn nhị phân 2n cộng thé II TẬP HỢP CÁC SỐ THỰC 1) Nguyên lí Archimède k e Ñ * cho ke > X tồn n luô > x voi va > Với e với số thực x tồn g răn y thấ ta lí yên ngu Từ : C”ú ý hiệu [x] k gọi phần nguyên x, kí 5ô k+ x< k< ho oc sa ” ke (512]=5` [-436]=~Š: Vrdu:B1=3, 2) Tinh tra mat Tap hop x.ye';x< duge R Ac goi la tra mat R < 7: y tồn ae À cho x Chứng : Xet x, y € R,x m-1 Do x Ì® — < d n m—1 FO) +f (FO) $ (EEO) NH VA TINH DON DIEU i, HAM CỘNG TÍNH, NHÂN TI 1) Cho f:lR ả mãn với x>0 TB hàm cộng tính tho Khi f hàm tang Chứng : Xét x Y f(x) > y—x>0=f(y—x)>0: f(y—x)+f@) > f(x) Ta có f(y)=f(y—x+X)= Vay fla ham tang trén R Khi ta phải chọn hai dãy đơn điệu ngược hội tụ x 2.64.ĐÐS: f(x)= x 2.65 DS: f(x)=C (hằng số) HD : Trước tiên chứng minh hàm f liên tục 2.66 Chú ý f(x) = kx k nghiệm t2 ~at—b =0 2.67 HD : Chứng minh f đơn ánh liên tục, suy f đơn điệu Hơn nên ftăng thực f(2x) = 2f(x) > f(x) 2x >x Vn€ Đ* từ suy với x€(n ;n+]) Tiếp theo chứng minh f(n)=n f(x)= x DS: f(x)=x VxER™ 2.68 DS : f(x) =1 VxER 2.69 HD : Dat g(u) -| l+u |" — chứng minh g(uv) = g(u)g(v) u+l, 2.70 HD : Chứng minh fÍJxy = _— với x, y >0 -_ Tiếp theo xét hàm số g(x) =f G => g(x) liên tục R Chứng minh g | ` > y | _ 80) : BY) với x, y Từ g(x) = ax +b f(x) =alnx +b DS : f(x)=alnx +b voi a, bE R™ y CHUONG | Ill 3.1 HD : Dễ chứng minh f đơn ánh Ta có Hay ĐS: 258 f(f(n+2))=n+4=f(f(n+1)+1)=> f(n+2)=f(n+])+1 - f(n)=f(0)+n=n+1 f(n)=n-+l VncN với ncÑ (thoả mãn) 3.2 DS : Không tôn tai 3.3 HD: Giả sử tồn hàm f thoả mãn Cho m=1 ta duoc f(n)= f(n) + f(1) + 3f(D£F(n) Néu f(1)>0 thi fn) 1 Vn>1 Suy n hợp số f(n) > Cũng f song ánh nên có p, q, r€ N* cho: TCSII f(p) =1, f(q)= 3, f(r) =8 Cha y rang p, q số nguyên tố phân biệt [HDD HH Khi f(q*) = f(pr) =33 > q? = pr Voli Vậy không tôn tai ham sé | eT RENE EEL 3.4 HD : Thay y g(y) có f(g(Œ&)+g(y)) = g(f(g(y))+x) Vì vai trị X _ y bình đẳng nên có f (g(x) + ø(y)) = g(f(g())+ y) Do g đơn ánh nên f(s(y))+x =f(g(x))+ y > f(g(x))—x =f (g(y))—y =a (hằng số) Tir dé | | | a+x=f(g(x)) =f (g(x) +0)=g(f(0) +x) = g(x) =x +a—F(0) Nhu thé | a +x =f(g(x))= f(x+a—f(0))=>f(x) = x+f(0) DS: f(x)=x+a; g(x)=x+b voi a,b€Z tuỳ ý 3.5 HD : Cho k=m= =0 =(f(0)— n1)” f(0) =1 Tương tự cho m=n= Cho m=n=°0 k=] có f() =1 f(k) 1> f(n)= | DS: f(n)=1VnEN 3.6 HD : Tacé f(n+1)—f(n) =(f(n)—1) +f ting va f(n)>2 Vn € N* Chứng minh Jt f(l) oo ` fQ@) ate | f(n) Cuôi băng quy nạp chứng minh f(n+1)—1' n—l f@ =1: (2f)=1=>f(2) =1 | | Từ đẳng thức f n 22 |-:|:|” ¬l | +1 , quy nạp ta có f 2” | =1 Vn Với n tuỳ ý có sơ k cho 27 k-l